Ôn tập chương I Mệnh đề toán học – Tập hợp A Lý thuyết 1 Mệnh đề toán học 1 1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến • Mệnh đề toán học là mệnh đề khẳng định một sự kiện trong toán học Mỗi mệnh đề toán học phải đ[.]
Ôn tập chương I Mệnh đề toán học – Tập hợp A Lý thuyết Mệnh đề toán học 1.1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến • Mệnh đề tốn học mệnh đề khẳng định kiện toán học Mỗi mệnh đề toán học phải sai, vừa đúng, vừa sai − Khi mệnh đề tốn học đúng, ta gọi mệnh đề mệnh đề − Khi mệnh đề toán học sai, ta gọi mệnh đề mệnh đề sai • Ở mệnh đề chứa biến, ta chưa thể khẳng định tính đúng/sai Với giá trị cụ thể biến số, ta khẳng định tính đúng/sai mệnh đề Kí hiệu mệnh đề chứa biến n P(n), mệnh đề chứa biến x, y P(x, y), … 1.2 Mệnh đề phủ định • Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định mệnh đề P kí hiệu P Mệnh đề P P sai, ngược lại Chú ý: Để phủ định mệnh đề, ta cần thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ mệnh đề 1.3 Mệnh đề kéo theo • Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai, tất trường hợp lại Nhận xét: Các định lí tốn học thường phát biểu dạng mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Khi ta nói: − P giả thiết, Q kết luận định lí, − P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần để có P 1.4 Mệnh đề đảo Mệnh đề tương đương • Mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P đúng, P Q hai mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ Q Nhận xét: Mệnh đề P ⇔ Q phát biểu dạng sau: + “P tương đương Q”; + “P điều kiện cần đủ để có Q”; + “P Q”; + “P Q” 1.5 Kí hiệu ∀ ∃ • Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” • Kí hiệu ∃ đọc “tồn tại”, “có một” (tồn một), “có một” (tồn một) • Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “ x X, P(x) ” • Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “ x X, P(x) ” 2 Tập hợp phép tốn tập hợp 2.1 Tập hợp • Tập hợp (còn gọi tập) khái niệm toán học Để x phần tử tập hợp A, ta viết x ∈ A (đọc x thuộc A) Để x phần tử tập hợp A, ta viết x ∉ A (đọc x khơng thuộc A) • Biểu diễn tập hợp cách: + Liệt kê phần tử tập hợp + Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp • Minh hoạ tập hợp biểu đồ Ven Mỗi phần tử thuộc tập hợp biểu diễn chấm bên vịng kín, cịn phần tử khơng thuộc tập hợp biểu diễn chấm bên vịng kín Ở hình dưới, phần tử thuộc tập hợp A a, b, d; phần tử không thuộc tập hợp A c • Một tập hợp khơng có phần tử nào, có phần tử, có nhiều phần tử, có vơ số phần tử Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng, kí hiệu Chú ý: Khi C tập hợp rỗng, ta viết C = , không viết C = {} 2.2 Tập hợp tập hợp • Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói A tập B, kí hiệu A ⊂ B Ta đọc A chứa B Quy ước: Tập hợp rỗng tập tập hợp Chú ý: + A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B) + Khi A ⊂ B, ta viết B ⊃ A, đọc B chứa A + Nếu A tập B, ta viết A ⊄ B Tính chất: + A ⊂ A với tập hợp A + Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C • Khi A ⊂ B B ⊂ A ta nói hai tập hợp A B nhau, viết A = B 2.3 Giao hai tập hợp • Tập hợp gồm tất phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B gọi giao A B, kí hiệu A ∩ B Vậy A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Tập hợp A ∩ B minh hoạ phần gạch chéo hình 2.4 Hợp hai tập hợp: • Tập hợp gồm tất phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp A B, kí hiệu A ∪ B Vậy A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Tập hợp A ∩ B minh hoạ phần gạch chéo hình 2.5 Phần bù hiệu hai tập hợp: • Cho A ⊂ B Tập hợp phần tử B mà phần tử A gọi phần bù A B, kí hiệu CBA Vậy, A ⊂ B ta có CBA = {x | x ∉ A x ∈ B} Tập hợp CBA mơ tả phần gạch chéo hình • Tập hợp gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B, kí hiệu A \ B Vậy A \ B = {x | x ∈ A x ∉ B} Tập hợp A \ B minh hoạ phần gạch chéo hình 2.6 Các tập hợp số: • Các tập hợp ℕ, ℤ, ℚ, ℝ tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực Ta có quan hệ sau: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ • Một số tập thường dùng tập số thực: Tập hợp ℝ Tên gọi kí hiệu Tập hợp số thực (−∞; +∞) Biểu diễn trục số {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} {x ∈ ℝ | a < x < b} Đoạn [a; b] Khoảng (a; b) {x ∈ ℝ | x > a} Khoảng (a; +∞) {x ∈ ℝ | x < b} Khoảng (−∞; b) {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} Nửa khoảng [a; b) Nửa khoảng (a; b] {x ∈ ℝ | x ≥ a} Nửa khoảng [a; +∞) {x ∈ ℝ | x ≤ b} Nửa khoảng (−∞; b] Kí hiệu −∞ đọc âm vơ cực (âm vơ cùng), kí hiệu +∞ đọc dương vô cực (dương vô cùng), a b đầu mút đoạn, khoảng, nửa khoảng B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Phát biểu mệnh đề sau, sử dụng khái niệm điều kiện cần điều kiện đủ: a) Các số tự nhiên có tận chia hết cho b) Hai tam giác có diện tích Hướng dẫn giải a) Một số tự nhiên có tận điều kiện đủ để số chia hết cho Một số tự nhiên chia hết cho điều kiện cần để số có tận b) Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích hai tam giác Điều kiện cần để hai tam giác hai tam giác có diện tích Bài Biết P tập hợp số tự nhiên lớn 15 ước số 60 Biểu diễn tập hợp P hai cách tìm tất tập hợp Hướng dẫn giải Theo cách nêu tính chất đặc trưng, ta có: P = {x ∈ ℕ| x > 15 60 ⁝ x} Ta có: 60 = 22.3.5 Suy tập ước số tự nhiên 60 Ư(60) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60} Trong ước số tự nhiên lớn 15 là: 20; 30; 60 Do theo cách liệt kê: P = {20; 30; 60} Các tập hợp P là: , {20}, {30}, {60}, {20; 30}, {20; 60}, {30; 60}, {20; 30; 60} Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai mệnh đề phủ định đó: a) A: “Phương trình x2 + 4x + = có nghiệm”; b) B: “Số 2048 chia hết cho 3”; c) C: “ ( ) + 12 số hữu tỉ”; d) D: “x = nghiệm phương trình x3 − 4x + = 0” Hướng dẫn giải: a) Mệnh đề phủ định mệnh đề A A : “Phương trình x2 + 4x + = vô nghiệm” Xét: ' = 22 − = − Do phương trình vơ nghiệm Mệnh đề A mệnh đề b) Mệnh đề phủ định mệnh đề B B : “Số 2048 không chia hết cho 3” Do + + + = 14 không chia hết cho 3, nên 2048 không chia hết cho Do mệnh đề B mệnh đề c) Mệnh đề phủ định mệnh đề C C : “ “ Xét: ( ( + 12 + 12 ) ) ( + 12 ) số hữu tỉ” số vô tỉ” = + 36 + 12 = 27 số hữu tỉ Mệnh đề C mệnh đề sai d) Mệnh đề phủ định mệnh đề D D : “x = khơng phải nghiệm phương trình x3 – 4x + = 0” Thay x = vào biểu thức x3 – 4x + 1, ta có: 53 – 4.5 + = 106 ≠ Vậy x = khơng nghiệm phương trình x3 – 4x + = Do mệnh đề D mệnh đề Bài Xét mệnh đề P: “x số hữu tỉ” Q: “x2 số hữu tỉ” a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q xét tính sai b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề c) Chỉ giá trị x mà mệnh đề đảo sai Hướng dẫn giải: a) Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu là: “Nếu x số hữu tỉ x2 số hữu tỉ” Mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề b) Mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu x2 số hữu tỉ x số hữu tỉ” c) Ta thấy x2 = x = số hữu tỉ Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai chúng: a) P(x): “∃x ∈ ℚ: x2 = 2”; b) Q(n): “∀n ∈ ℕ, n < 2n” Hướng dẫn giải: a) Mệnh đề phủ định P(x) : “∀x ∈ ℚ: x2 ≠ 2” Ta có: x2 = ⇔ x x , mà 2, số vô tỉ nên không tồn số hữu tỉ có bình phương 2, nên P(x) mệnh đề b) Mệnh đề phủ định Q(n) : “∃n ∈ ℕ, n ≥ 2n” Chọn n = 2n = 0, n ≥ 2n Q(n) mệnh đề Bài Tìm tập hợp sau: a) A = (−3; 5] ∩ ℤ; b) B = (−3; 5] ∩ ℕ; c) C = Cℝℚ; d) D = Cℕ2ℕ (với kí hiệu 2ℕ tập hợp số tự nhiên chẵn) Hướng dẫn giải: a) A tập hợp số nguyên lớn −3 nhỏ ⇒ A = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} b) B tập hợp số tự nhiên lớn −3 nhỏ ⇒ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} c) C tập hợp số thực số hữu tỉ ⇒ C tập hợp số vô tỉ d) D tập hợp số tự nhiên số chẵn ⇒ D = {1; 3; 5; 7; 9; …} (tập hợp số tự nhiên lẻ) Bài Xác định tập hợp A \ B, đó: a) A = ℝ; B = (−∞; 3); b) A = [1; 5]; B = (−3; 3) ∪ (2; 4); c) A = (−5; 0) ∪ (3; 5); B = (−1; 4) ∩ (2; 6) Hướng dẫn giải: a) Ta có: A \ B = ℝ \ (−∞; 3) = [3; +∞) b) Ta có: A = [1; 5] B = (−3; 3) ∪ (2; 4) = (−3; 4) ⇒ A \ B = [1; 5] \ (−3; 4) = [4; 5] c) Ta có: A = (−5; 0) ∪ (3; 5) B = (−1; 4) ∩ (2; 6) = (2; 4) ⇒ A \ B = (−5; 0) ∪ (3; 5) \ (2; 4) = (−5; 0) ∪ [4; 5) Bài Gọi M tập nghiệm phương trình x2 – 2x – = N tập nghiệm phương trình (x – 1)(2x – 4) = Tìm tập hợp M ∩ N, M ∪ N Hướng dẫn giải: Lần lượt giải phương trình: +) x2 – 2x – = ⇔ (x + 1)(x – 3) = ⇔ x = − x = Suy ra: M = {− 1; 3} +) (x – 1)(2x – 4) = ⇔ x = x = Suy ra: N = {1; 2} Vậy: M∩N=∅ M ∪ N = {− 1; 1; 2; 3} Bài Lớp 10B có 40 học sinh, 28 bạn chơi biết đá bóng 19 bạn biết chơi cờ vua Biết có 10 bạn biết chơi mơn Hỏi có bạn khơng biết chơi bóng đá cờ vua? Hướng dẫn giải: Gọi A tập hợp bạn biết đá bóng, B tập hợp bạn biết chơi cờ vua Số học sinh biết chơi hai môn số phần tử tập hợp A ∪ B Ta đếm số phần tử A (28 bạn), sau đếm số phần tử B (19 bạn) Nhưng số phần tử A ∩ B (10 bạn) lại đếm lần Suy số bạn biết môn (số phần tử A ∪ B) 28 + 19 – 10 = 37 Vậy, có 40 – 37 = bạn khơng biết chơi bóng đá cờ vua Bài 10 Những quan hệ quan hệ sau đúng: a) A ⊂ (A ∪ B); b) A ⊂ (A ∩ B); c) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) Hướng dẫn giải: a) Chọn phần tử x ∈ A Có trường hợp xảy ra: + Nếu x ∈ B x ∈ (A ∪ B) + Nếu x ∉ B ta có x ∈ (A ∪ B) Suy ra: ∀x ∈ A x ∈ (A ∪ B) Vậy A ⊂ (A ∪ B) quan hệ b) Chọn phần tử x ∈ A cho x ∉ B Như vậy, x ∉ (A ∩ B) Vậy A ⊄ (A ∩ B) Khẳng định ban đầu sai c) Với phần tử x ∈ (A ∩ B) x ∈ A, suy x ∈ (A ∪ B) Vậy (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) quan hệ B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Sử dụng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng để viết tập hợp A = {x ∈ | −3 ≤ x ≤ 5} A [−3; 5); B [−3; 5]; C (−3; 5); D (−3; 5] Hướng dẫn giải Đáp án là: B Ta có: A = {x ∈ ℝ| −3 ≤ x ≤ 5} = [−3; 5] Câu Xác định tập hợp A = {x ∈ ℕ| x2 − 2x – = 0} cách liệt kê phần tử A A = {−1; 3}; B A = {1; −3}; C A = {1}; D A = {3} Hướng dẫn giải Đáp án là: D x = −1 Giải phương trình x2 − 2x – = x = Mà x ∈ ℕ nên x = Vậy A = {3} Câu Cho tập hợp A = (−∞; 4] B = [−2; +∞) Xác định tập hợp A ∩ B? A [−2; 4]; B (−2; 4]; C [−2; 4); D Hướng dẫn giải Đáp án là: A Để xác định giao hai tập hợp A B, ta biểu diễn tập A tập B trục số Suy A ∩ B = [−2; 4] Câu Hình vẽ biểu diễn tập hợp nào? A (–3; 2); B [–3; 2); C [–3; 2]; D (–3; 2] Hướng dẫn giải Đáp án là: D Hình vẽ biểu diễn tập hợp (–3; 2] Câu Xét câu P(n): “n chia hết cho 12” Với giá trị n sau P(n) mệnh đề đúng? A 48; B 4; C 3; D 88 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Mệnh đề P(48): “48 chia hết cho 12” mệnh đề ... 5) Bài Gọi M tập nghiệm phương trình x2 – 2x – = N tập nghiệm phương trình (x – 1)(2x – 4) = Tìm tập hợp M ∩ N, M ∪ N Hướng dẫn giải: Lần lượt giải phương trình: +) x2 – 2x – = ⇔ (x + 1)(x – 3)... phải nghiệm phương trình x3 – 4x + = 0” Thay x = vào biểu thức x3 – 4x + 1, ta có: 53 – 4.5 + = 106 ≠ Vậy x = khơng nghiệm phương trình x3 – 4x + = Do mệnh đề D mệnh đề Bài Xét mệnh đề P: “x số... B (19 bạn) Nhưng số phần tử A ∩ B (10 bạn) lại đếm lần Suy số bạn biết môn (số phần tử A ∪ B) 28 + 19 – 10 = 37 Vậy, có 40 – 37 = bạn chơi bóng đá cờ vua Bài 10 Những quan hệ quan hệ sau đúng: