Chương I Mệnh đề toán học – Tập hợp Bài 1 Mệnh đề toán học A Lý thuyết 1 Mệnh đề toán học • Mệnh đề toán học là mệnh đề khẳng định một sự kiện trong toán học Ví dụ + “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” kh[.]
Chương I Mệnh đề toán học – Tập hợp Bài Mệnh đề toán học A Lý thuyết Mệnh đề tốn học • Mệnh đề tốn học mệnh đề khẳng định kiện tốn học Ví dụ: + “Hà Nội thủ đô Việt Nam” khơng phải kiện tốn học Do khẳng định khơng phải mệnh đề tốn học + “Số π số hữu tỉ” khẳng định kiện tốn học Do khẳng định mệnh đề tốn học • Mỗi mệnh đề tốn học phải sai, khơng thể vừa đúng, vừa sai - Khi mệnh đề toán học đúng, ta gọi mệnh đề mệnh đề - Khi mệnh đề toán học sai, ta gọi mệnh đề mệnh đề sai Ví dụ: + “Tổng ba góc tam giác 1800” mệnh đề + “ số hữu tỉ” mệnh đề sai (vì 1,414213562 số vô tỉ) Mệnh đề chứa biến • Ở mệnh đề chứa biến, ta chưa thể khẳng định tính sai Với giá trị cụ thể biến số, ta có mệnh đề tốn học mà ta khẳng định tính sai mệnh đề Kí hiệu mệnh đề chứa biến n P(n), mệnh đề chứa biến x, y P(x, y), … Ví dụ: + P(x): “x số nguyên tố” mệnh đề chứa biến Với x = 3, mệnh đề P(x): “3 số nguyên tố” mệnh đề Với x = 8, mệnh đề P(x): “8 số nguyên tố” mệnh đề sai Phủ định mệnh đề • Cho mệnh đề P Mệnh đề “Khơng phải P” gọi mệnh đề phủ định mệnh đề P kí hiệu P Mệnh đề P P sai, ngược lại Ví dụ: + A: “69420 số lẻ” mệnh đề sai Mệnh đề phủ định A : “69420 số lẻ”, A mệnh đề Chú ý: Để phủ định mệnh đề, ta cần thêm (hoặc bớt) từ “không” (hoặc “không phải”) vào trước vị ngữ mệnh đề Mệnh đề kéo theo • Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai, tất trường hợp lại Nhận xét: Tùy theo nội dung cụ thể, người ta phát biểu mệnh đề P ⇒ Q “P kéo theo Q” hay “P suy Q” hay “Vì P nên Q”… Ví dụ: + Xét hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD có bốn cạnh nhau” Q: “Tứ giác ABCD hình thoi” + Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD có bốn cạnh tứ giác ABCD hình thoi” Mệnh đề mệnh đề Nhận xét: Các định lí tốn học thường phát biểu dạng mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Khi ta nói: P giả thiết, Q kết luận định lí, hay P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần để có P Ví dụ: Ta có định lý: Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn Khi đó, ta nói: + Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 điều kiện đủ để tứ giác nội tiếp đường trịn + Tứ giác nội tiếp đường tròn điều kiện cần để tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 1800 Mệnh đề đảo Mệnh đề tương đương • Mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P đúng, P Q hai mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ Q Nhận xét: Mệnh đề P ⇔ Q phát biểu dạng sau: + “P tương đương Q”; + “P điều kiện cần đủ để có Q”; + “P Q”; + “P Q” Ví dụ: Với P: “Tứ giác ABCD có bốn cạnh nhau” Q: “Tứ giác ABCD hình thoi” P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD có bốn cạnh tứ giác ABCD hình thoi” mệnh đề đúng, Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD có bốn cạnh nhau” mệnh đề Do P ⇔ Q, phát biểu: + “Tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD có bốn cạnh nhau” + “Tứ giác ABCD hình thoi điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có bốn cạnh nhau” Chú ý: Trong toán học, câu khẳng đỉnh phát biểu dạng “P ⇔ Q” coi mệnh đề toán học, gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu ∀ ∃ • Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” • Kí hiệu ∃ đọc “tồn tại”, “có một” (tồn một), “có một” (tồn một) Ví dụ: Phát biểu mệnh đề: + “ x , x + ”: Với số thực x x2 + ln lớn + “ x , 2x = ”: Tồn số tự nhiên x cho 2x • Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “ x X, P(x) ” • Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “ x X, P(x) ” Ví dụ: + Phủ định mệnh đề “ x , x + ” mệnh đề “ x , x + ” + Phủ định mệnh đề “ x , 2x = ” mệnh đề “ x , 2x ” B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Phát biểu phủ định mệnh đề sau xét tính sai nó: a) P: “15 khơng chia hết cho 3”; b) Q: “ 1” Hướng dẫn giải: a) Mệnh đề phủ định mệnh đề P P : “15 chia hết cho 3” Vì 15 = 3.5 nên 15 chia hết cho Do P mệnh đề b) Mệnh đề phủ định mệnh đề Q Q : “ ” Vì 1,41 > nên Q mệnh đề sai Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai chúng: a) P(x): “ x , x ” ; b) Q(n): “ n , 2n + ” Hướng dẫn giải: a) Mệnh đề phủ định P(x) :" x , x 0" Do tồn giá trị x = thoả mãn x2 ≤ 0, nên P(x) mệnh đề b) Mệnh đề phủ định Q(n) :"n , 2n + 2" Vì n ∈ ℕ nên n ≥ ⇒ 2n + ≥ > Do Q(n) mệnh đề Bài Xét mệnh đề P: “x số hữu tỉ” Q: “x2 số hữu tỉ” a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q xét tính sai b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề c) Chỉ giá trị x mà mệnh đề đảo sai Hướng dẫn giải: a) Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu là: “Nếu x số hữu tỉ x2 số hữu tỉ” Mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề b) Mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu x2 số hữu tỉ x số hữu tỉ” c) Ta thấy x2 = x = khơng phải số hữu tỉ B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cho mệnh đề P: “Tứ giác ABCD hình bình hành” mệnh đề Q: ”Tứ giác ABCD hình thoi” Mệnh đề P Q phát biểu là: A Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD hình thoi B Nếu tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD hình bình hành C Tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD hình thoi D Tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD hình thoi Hướng dẫn giải Đáp án là: A Mệnh đề kéo theo P Q có ý nghĩa “Nếu P Q” Do ta có phát biểu mệnh đề P Q là: “Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD hình thoi” Câu Cho hai mệnh đề A: “∀ x ∈ ℝ: x2 – ≠ 0” B: “∃ n ∈ ℤ: n = n2” Xét tính đúng, sai hai mệnh đề A B A A đúng, B sai; B A sai, B đúng; C A, B đúng; D A, B sai Hướng dẫn giải Đáp án là: B A sai tồn x = ±1 để x2 − = B có n = thỏa mãn = 12 Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo ĐÚNG? A Nếu a b số chẵn a + b số chẵn; B Nếu tứ giác ABCD hình thoi AC ⊥ BD; C Nếu a chia hết cho a chia hết cho 9; D Nếu số có tận số chia hết cho Hướng dẫn giải Đáp án là: C Ta có mệnh đề đảo mệnh đề + Đáp án A: “Nếu a + b số chẵn a b số chẵn” Đây mệnh đề sai, thật vậy, giả sử a = 3, b = 5, ta có: a + b = + = số chẵn số lẻ + Đáp án B: “Nếu AC ⊥ BD tứ giác ABCD hình thoi” Mệnh đề sai + Đáp án C: “Nếu a chia hết cho a chia hết cho 3” Mệnh đề số chia hết cho chia hết cho + Đáp án D: “Một số chia hết cho có tận 0” Mệnh đề sai số có tận chia hết cho ... x , x + ” + Phủ định mệnh đề “ x , 2x = ” mệnh đề “ x , 2x ” B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Phát biểu phủ định mệnh đề sau xét tính sai nó: a) P: “15 khơng chia hết... thoi điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có bốn cạnh nhau” Chú ý: Trong toán học, câu khẳng đỉnh phát biểu dạng “P ⇔ Q” coi mệnh đề toán học, gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu ∀ ∃ • Kí hiệu ∀ đọc “với... Các định lí toán học thường phát biểu dạng mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Khi ta nói: P giả thiết, Q kết luận định lí, hay P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần để có P Ví dụ: Ta có định lý: Nếu tứ