Bài 1 Hàm số và Đồ thị A Lý thuyết 1 Hàm số 1 1 Định nghĩa Cho tập hợp khác rỗng D ⊂ ℝ Nếu với mỗi giá trị của x thuộc D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập hợp số thực ℝ thì ta có một[.]
Bài Hàm số Đồ thị A Lý thuyết Hàm số 1.1 Định nghĩa Cho tập hợp khác rỗng D ⊂ ℝ Nếu với giá trị x thuộc D có giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ ta có hàm số Ta gọi x biến số y hàm số x Tập D gọi tập xác định hàm số Kí hiệu hàm số: y = f(x), x ∈ D Ví dụ: a) Với hình trịn có bán kính r đường kính d, ta có d = r Như d hàm số r giá trị r cho giá trị d b) Biểu thức y2 = x, ta thấy y hàm số x x = ta có hai giá trị y – 1.2 Cách cho hàm số a) Hàm số cho công thức Hàm số cho biểu thức, cách nói với hàm số cho cơng thức Tập xác định hàm số y = f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa Ví dụ: a) Tìm tập xác định hàm số y = x2 Biểu thức có nghĩa x – ⇔ x ≠ 2, tập xác định hàm số x2 cho là: D = x x 2 \{2} b) Tìm tập xác định hàm số y = Biểu thức x2 x có nghĩa x – ≥ ⇔ x ≥ 2, tập xác định hàm số cho là: D x x 2 2) b) Hàm số cho nhiều cơng thức Một hàm số cho nhiều cơng thức Ví dụ: x Cho hàm số: f(x) = x x a) Tìm tập xác định hàm số trên? b) Tính giá trị hàm số x = – 5; x = 0; x = 2022 Hướng dẫn giải: a) Hàm số f(x) có nghĩa x < 0; x > 0; x = nên tập xác định hàm số là: D = ℝ b) Với x = –5 < f(–5) = –1; Với x = f(0) = 0; Với x = 2022 > f(2022) = Vậy giá trị hàm số x = –5; x = 0; x = 2022 f(–5) = –1; f(0) = 0; f(2022) = Chú ý: Giả sử hàm số y = f(x) có tập xác định D Khi biến số x thay đổi tập D tập hợp giá trị y tương ứng gọi tập giá trị hàm số c) Hàm số khơng cho cơng thức Trong thực tiễn, có tình dẫn tới hàm số khơng thể cho khơng thức (hoặc nhiều cơng thức) Ví dụ: Biểu đồ lượng mưa Hà Nội năm 2021 (Đơn vị: mm) a) Xác định tập hợp tháng nêu biểu đồ b) Tương ứng tháng với lượng mưa trung bình tháng có phải hàm số khơng? Giải thích Giải: a) Tập hợp tháng là: D = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} b) Mỗi tháng tương ứng xác định với giá trị lượng mưa nên tương ứng xác định hàm số Hàm số cho bảng sau: Tháng 10 11 12 Lượng mưa (mm) 29 45 161 335 229 366 247 107 24 28 Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f(x) xác định tập hợp D tập hợp tất điểm M(x; f(x)) mặt phẳng toạ độ Oxy với x thuộc D Ví dụ: Cho hàm số y = x + a) Vẽ đồ thị hàm số b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm: A(0; 3); B(1;2); C(1; 1) Xác định điểm thuộc không thuộc đồ thị Giải: a) Khi x = thay vào hàm số y = x + ta y = đồ thị cắt trục Oy điểm (0;3) Khi y = thay vào hàm số y = x + ta x = –3 đồ thị cắt trục Ox điểm (–3; 0) Ta vẽ đồ thị qua hai điểm Đồ thị hàm số y = x + b) Khi x = y = 3; x = y = Vậy điểm điểm A(0; 3) thuộc đồ thị hàm số, điểm B(1; 2); C(1; 1) không thuộc đồ thị Chú ý: – Điểm M(a; b) mặt phẳng toạ độ Oxy thuộc đồ thị hàm số y = f(x), x ∈ D a D b f (a) – Để chứng tỏ điểm M(a; b) mặt phẳng toạ độ không thuộc đồ thị hàm số y = f(x), x ∈ D, ta kiểm tra hai khả sau: Khả 1: Chứng tỏ a ∉ D Khả 2: Khi a ∈ D chứng tỏ b ≠ f(a) Sự biến hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b): – Hàm số y = f(x) gọi đồng biến khoảng (a; b) x1 , x a;b , x1 x f (x1 ) f (x ) – Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến khoảng (a; b) x1 , x a;b , x1 x f (x1 ) f (x ) Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) = x2 Xét biến thiên hàm số khoảng (–∞; 0) (0; +∞) Hướng dẫn giải +) Trên khoảng (–∞; 0) hàm số xác định Lấy x1, x2 ∈ (–∞; 0) thỏa mãn x1 < x2 Vì x1 < x2 < nên x12 > x22 hay f(x1) > f(x2) Do hàm số nghịch biến (–∞; 0) +) Trên khoảng (0; +∞) hàm số xác định Lấy x1, x2 ∈ (0; +∞) thỏa mãn x1 < x2 Vì < x1 < x2 nên x12 < x22 hay f(x1) < f(x2) Do hàm số đồng biến (0; +∞) Vậy hàm số cho nghịch biến (–∞; 0) đồng biến (0; +∞) Bảng biến thiên: Đây bảng thiên hàm số y = x2 x –∞ +∞ +∞ +∞ y – Dấu mũi tên xuống từ +∞ đến diễn tả hàm số nghịch biến khoảng (–∞; 0) – Dấu mũi tên lên từ đến +∞ diễn ta hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) Đồ thị hàm số: – Ta thấy hàm số nghịch biến khoảng (–∞; 0) đồ thị hàm số khoảng “đi xuống” – Hàm số đồng biến khoảng (0; +∞) đồ thị hàm số khoảng “đi lên” B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Cho đồ thị hàm số y = f(x) hình a) Trong điểm có toạ độ (1; –2); (0; 0); (2; –1) điểm thuộc đồ thị hàm số? Điểm không thuộc đồ thị hàm số? b) Xác định f(0); f(3) c) Tìm điểm thuộc đồ thị có tung độ Hướng dẫn giải a) Ta xác định điểm A, O, B tương ứng với tọa độ (1; –2); (0; 0); (2; –1) hình: Quan sát đồ thị ta thấy điểm A có hồnh độ tung độ –2 thuộc đồ thị hàm số; Điểm B có hồnh độ tung độ –1 thuộc đồ thị hàm số; Điểm (0; 0) không thuộc đồ thị hàm số b) – Giá trị f(0) giao điểm đường thẳng x = với đồ thị hàm số y = f(x) Quan sát đồ thị ta thấy giao điểm có hồnh độ –1 nên f(0) = –1 – Giá trị f(3) giao điểm đường thẳng x = với đồ thị hàm số y = f(x) Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng x = song song với Oy nên f(3) = Vậy f(0) = –1 f(3) = c) Điểm thuộc đồ thị có tung độ giao điểm đường thẳng y = đồ thị Quan sát đồ thị ta thấy có hai giao điểm với hoành độ x = – x = Do ta có hai giao điểm đồ thị trục Ox (–1; 0) (3; 0) Bài Cho hàm số y = –2.x2 a) Điểm điểm (−1; −2); (0; 0); (0; 1); (2021; 1) thuộc đồ thị hàm số trên? b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ −2; 10 c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ −18 Hướng dẫn giải a) – Thay toạ độ (–1; –2) vào hàm số y = –2.x2 ta được: –2 = –2 (– 1)2 (Đúng) Như vậy, điểm (–1; –2) thuộc đồ thị – Thay toạ độ (0; 0) vào hàm số y = –2.x2 ta được: = –2.02 (Đúng) Như điểm (0; 0) thuộc đồ thị – Thay toạ độ (0;1) vào hàm số y = –2.x2 ta được: = –2.02 = (Sai) Như điểm (0; 1) không thuộc đồ thị – Thay điểm toạ độ (2021; 1) vào hàm số y = –2.x2 ta được: = –2.20212 (Sai) Như điểm (2021; 1) không thuộc đồ thị b) – Thay x = –2 vào hàm số y = –2.x2, ta được: y = –2.(– 2)2 = –8 Khi ta điểm có tọa độ (–2; –8) – Thay x = vào hàm số y = –2.x2, ta được: y = –2.32 = –18 Khi ta điểm có tọa độ (3; –18) – Thay x = 10 vào hàm số y = –2.x2, ta được: y = –2.102 = –200 Khi ta điểm có tọa độ (10; –200) Vậy điểm cần tìm là: (–2; –8); (3; –18) (10; –200) c) Thay y = –18 vào hàm số y = –2.x2, ta được: –18 = –2.x2 ⇔ x2 = ⇔ x = ±3 Khi ta hai điểm có tọa độ (3; –18) (–3; –18) Vậy tọa độ điểm cần tìm (3; –18) (–3; –18) Bài Tìm tập xác định hàm số sau: a) y = – x2; b) y = c) y = 3x ; ; x 1 1 x d) y= 0 x \ Hướng dẫn giải a) Tập xác định D = ℝ b) Biểu thức 3x có nghĩa – 3x ≥ ⇔ x ≤ 2 số: D = x | x = 3 c) Biểu thức y = Vì tập xác định hàm 2 ; 3 có nghĩa x + ≠ ⇔ x ≠ – Vì tập xác định x 1 hàm số: D = x | x 1 = \ 1 d) Ta thấy hàm số có nghĩa với x ∈ ℚ x ∈ ℝ \ ℚ nên tập xác định hàm số là: D = ℝ B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Cho hàm số y = f(x) = |5x| Khẳng định sau đúng? A f(2) = 10; B f(– 1) = 10; C f(– 2) = 1; D f(1) = 10 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Thay giá trị: 2; –1; – 2; vào biểu thức |5x| để giá trị thỏa mãn Ta được: Khi x = thay vào hàm số y: |5 2| = |10| = 10 (Chọn A) Câu Tìm tập xác định y = 3x x A D = (1; 2); B D = [1; 2]; C D = [1; 3]; D D = [– 1; 2]; Hướng dẫn giải Đáp án là: B 6 3x 3x Để hàm số y xác định x x x 1 x x Tập xác định: D = [1; 2] Câu Xét biến thiên hàm số y = khoảng (0; +∞) Khẳng định x sau đúng? A Hàm số đồng biến (0; +∞); B Hàm số nghịch biến (0; +∞); C Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến khoảng (0; +∞); D Hàm số không đồng biến, không nghịch biến khoảng (0; +∞) Hướng dẫn giải Đáp án là: B Với x1 x Ta có: f (x1 ) f (x ) 3 3(x x1 ) 3(x1 x ) x1 x x1x x1x x1 x1.x > x1 – x2 < Với x1, x (0; +∞) x1 x ta có: x Do đó, f(x1) – f(x2) = Hàm số y = 3(x1 x ) > ⇔ f(x1) > f(x2) x1x nghịch biến (0; +∞) x ... = 10 vào hàm số y = –2 .x2, ta được: y = –2 .102 = –2 00 Khi ta điểm có tọa độ (10; –2 00) Vậy điểm cần tìm là: (–2 ; –8 ); (3; –1 8) (10; –2 00) c) Thay y = –1 8 vào hàm số y = –2 .x2, ta được: –1 8 = –2 .x2... b) – Thay x = –2 vào hàm số y = –2 .x2, ta được: y = –2 . (– 2)2 = –8 Khi ta điểm có tọa độ (–2 ; –8 ) – Thay x = vào hàm số y = –2 .x2, ta được: y = –2 .32 = –1 8 Khi ta điểm có tọa độ (3; –1 8) – Thay... Hướng dẫn giải a) – Thay toạ độ (–1 ; –2 ) vào hàm số y = –2 .x2 ta được: –2 = –2 (– 1)2 (Đúng) Như vậy, điểm (–1 ; –2 ) thuộc đồ thị – Thay toạ độ (0; 0) vào hàm số y = –2 .x2 ta được: = –2 .02 (Đúng)