Bài 1 Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Định lí côsin và định lí sin trong tam giác A Lý thuyết 1 Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° 1 1 Định nghĩa Với mỗi góc α (0 ≤ α ≤ 180°)[.]
Bài Giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180° Định lí cơsin định lí sin tam giác A Lý thuyết Giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180° 1.1 Định nghĩa Với góc α (0 ≤ α ≤ 180°) ta xác định điểm M (x0, y0) nửa đường trịn đơn vị cho góc xOM = α Khi ta có định nghĩa: +) sin góc α, kí hiệu sinα, xác định bởi: sinα = y0; +) cơsin góc α, kí hiệu cosα, xác định bởi: cosα = x0; +) tang góc α, kí hiệu tanα, xác định bởi: tanα = y0 (x0 ≠ 0); x0 +) côtang góc α, kí hiệu cotα, xác định bởi: cotα = x0 (y0 ≠ 0) y0 Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi giá trị lượng giác góc α Chú ý: tanα = sin (α ≠ 90°); cos cotα = cos (0 < α < 180°) sin sin(90° – α) = cosα (0° ≤ α ≤ 90°); cos(90° – α) = sinα (0° ≤ α ≤ 90°); tan(90° – α) = cotα (0° ≤ α ≤ 90°); cot(90° – α) = tanα (0° ≤ α ≤ 90°) 1.2 Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = α xON = 180o – α Với 0° ≤ α ≤ 180° thì: sin(180° – α) = sinα, cos(180° – α) = – cosα, tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°), cot(180° – α) = – cotα (α ≠ 0°, α ≠ 180°) Ví dụ: Tính giá trị biểu thức sau: A = cos0° + cos20° + cos 40° + + cos160° + cos180° Hướng dẫn giải: A = cos0° + cos20° + cos 40° + + cos160° + cos180° = cos0° + cos180° + cos20° + cos160° + + cos80° + cos100° = cos0° – cos0° + cos20° – cos20° + + cos80° – cos80° = 1.3 Giá trị lượng giác góc đặc biệt Chú thích: Dấu “||” biểu thị khơng xác định giá trị lượng giác góc Ví dụ: sin30ׄ° = ; cos120° = – ; tan60° = 6; cot120° = – Chú ý: Cách sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác: – Ta tìm giá trị lượng giác (đúng gần đúng) góc từ 0° đến 180° cách sử dụng phím: sin, cos, tan máy tính cầm tay Ví dụ: Dùng máy tính cầm tay, tính giá trị lượng giác sau (làm tròn đến hàng phần chục nghìn) sin55°, cos140°, tan80° Hướng dẫn giải: Để tính giá trị lượng giác trên, sau đưa máy tính chế độ “độ” ta làm sau: Nút ấn Kết (đã làm tròn) sin55° sin ⇒ ⇒ ⇒ = 0,8192 cos140° cos ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = –0,7660 tan80° tan ⇒ ⇒ ⇒ = 5,6713 – Ta tìm số đo (đúng gần đúng) góc từ 0° đến 180° biết giá trị lượng giác góc cách sử dụng phím: SHIFT với sin; cos; tan máy tính cầm tay Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) làm tròn đến độ, biết: a) sinα = 0,56 b) cosα = – 0,95 c) tanα = 0, 42 Hướng dẫn giải: Để tính gần số đo góc α trường hợp trên, sau đưa máy tính chế độ “độ”, ta làm sau: Nút ấn Kết (đã làm tròn) sinα = 0,56 SHIFT ⇒ sin ⇒ 0,56 ⇒ = 34° cosα = – 0,95 SHIFT ⇒ cos ⇒ –0.95 ⇒ = 162° tanα = 0, 42 SHIFT ⇒ tan ⇒ 0.42 ⇒ = 23° Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Khi đó: a2 = b2 + c2 – 2bccosA, b2 = c2 + a2 – 2cacosB, c2 = a2 + b2 – 2abcosC Lưu ý: cosA = b2 c2 a , 2bc c2 a b2 cosB = , 2ca cosC = a b2 c2 2ab Ví dụ: Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bccosA Hướng dẫn giải: Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c Cho tam giác ABC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, cosA = cosα Kẻ BH vuông góc với AC Xét tam giác vng BHC AHB, áp dụng định lý Py–ta–go ta có: BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC – AH)2 = BH2 + AC2 – 2.AC.AH + AH2 = (BH2 + AH2) + AC2 – 2.AC.AH = AB2 + AC2 – 2.AC.AH (BH2 + AH2 = AB2 áp dụng định lí Py–ta–go tam giác vng AHB) Xét tam giác vng AHB, ta lại có: cosA = AH AB ⇒ AH = AB.cosA = c.cosα Do đó: a2 = BC2 = AB2 + AC2 – 2.AC.AH = c2 + b2 –2b c.cosα = b2 + c2 –2bc.cosα (đpcm) Ví dụ: Cho tam giác ABC có A = 60°, AB = 6, AC = Tính BC Hướng dẫn giải: Áp dụng định lí Cosin tam giác ABC ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cosA Thay số ta có: BC2 = 62 + 82 – 2.6.8.cos60° ⇔ BC2 = 36 + 64 – 48 = 52 ⇔ BC = 52 = 13 Vậy BC = 13 Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c bán kính đường trịn ngoại tiếp R Khi đó: a b c 2R sin A sin B sin C Lưu ý: a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC Ví dụ: Chứng minh định lí sin Hướng dẫn giải: Ta cần chứng minh a 2R , dấu chứng minh hoàn toàn tương sin A tự Ta xét ba trường hợp sau: TH1: Tam giác ABC vng A Khi sinA = sin90° = Vì BC đường kính đường ngoại tiếp tam giác ABC nên a = BC = 2R Vậy a BC 2R sin A TH2: Góc A nhọn Gọi D điểm cho BD đường kính Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên A = D Từ sinA = sinD = Suy a BC = BD 2R a 2R sin A TH3: Góc A tù Gọi D điểm cho BD đường kính Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên A + D = 180° Suy sinA = sinD ( hai góc bù có sin nhau) Ta có sinD = Suy a BC = BD 2R a 2R sin A Ví dụ: Một người quan sát đỉnh núi từ hai vị trí khác tịa nhà Lần người quan sát đỉnh núi từ tầng với phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc 35° lần thứ hai người quan sát sân thượng tịa nhà với phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc 15° Tính chiều cao núi so với mặt đất biết tịa nhà cao 60 m Hướng dẫn giải: Bài tốn mơ lại hình vẽ với A vị trí người sân thượng tịa nhà, B vị trí người tầng C D đỉnh chân núi Từ A hạ AE vng góc với CD E AB 60m Theo đề ta có DBC 35 DAE 15 Ta có: ABD = ABC – DBC = 90° – 35° = 55°; BAD = BAE + DAE = 90° + 15° = 105° Mà ADB BAD ABD 180 (Tổng góc tam giác 180°) Suy ra: ADB 180 BAD ABD = 180° – 105° – 55° = 20° Áp dụng định lí sin tam giác ABD ta có: AB sin ADB ⇔ BD = BD sin BAD AB.sin BAD sin ADB = 60.sin105 ≈ 169,45 (m) sin 20 Xét tam giác CBD vuông C, ta có: CD = BD.sin DBC = 169,45.sin35° ≈ 97,19 (m) Vậy núi cao xấp xỉ 97,19 m B Bài tập tự luyện B.1 Bài tập tự luận Bài Khơng sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức sau: a) A = – sin290° + 2cos260° – 3tan245°; b) B = a2sin90° + b2cos90° + c2cos180° Hướng dẫn giải: a) A = – sin290° + 2cos260° – 3tan245° 2 1 = – + – 2 2 = b) B = a2sin90° + b2cos90° + c2cos180° = a2.1 + b2.0 + c2.(–1) = a2 – c2 Bài Tính chiều cao núi (làm trịn đến mét), biết hai điểm A, B cách 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng 34° 38° (Hình minh họa hình bên) Hướng dẫn giải: Gọi D C đỉnh chân núi Đặt BC = x (m); Ta có: 500 + x (m) Xét tam giác vng ACD, ta có: tanCAD = CD ⇒ CD = AC.tanCAD AC ⇒ CD = (500 + x).tan34° (1) Xét tam giác BCD, ta có: tanCBD = CD ⇒ CD = BC.tanCBD BC ⇒ CD = x.tan38° (2) Từ (1) (2) ta có: (500 + x).tan34° = x.tan38° ⇔ 500.tan34° + x.tan34° = x.tan38° ⇔ 500.tan34° = x.tan38° – x.tan34° ⇔ x.tan38° – x.tan34° = 500.tan34° ⇔ x.(tan38° – tan34°) = 500.tan34° ⇔x= 500.tan34 tan38 tan34 ⇔ x 3158,5m ⇒ CD = 3158,5.tan38° 2467,7 (m) Vậy chiều cao núi 2467,7 mét B.2 Bài tập trắc nghiệm Câu Tam giác ABC có AB = 2, AC = A 60 Tính độ dài cạnh BC A BC = 1; B BC = 2; C BC = 2; D BC = Hướng dẫn giải Đáp án là: D Theo định lí cơsin, ta có: BC2 AB2 AC2 2AB.AC.cos A 22 12 2.2.1.cos60 BC Câu Tam giác ABC có B 60, C 45 AB = Tính độ dài cạnh AC A AC ; B AC 3; C AC 2; D AC 10 Hướng dẫn giải Đáp án là: A Theo định lí sin, ta có: AB AC AC sin C sin B sin 45 sin 60 AC 5.sin 60 sin 45 Câu Tam giác ABC có BC = 10 A 30 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A R = 5; B R = 10; C R 10 ; D R 10 Hướng dẫn giải Đáp án là: B Áp dụng định lí sin tam giác ABC, ta có: BC sin BAC 2R R BC 10 10 2.sin A 2.sin 30 ... dụng định lý Py–ta–go ta có: BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC – AH)2 = BH2 + AC2 – 2.AC.AH + AH2 = (BH2 + AH2) + AC2 – 2.AC.AH = AB2 + AC2 – 2.AC.AH (BH2 + AH2 = AB2 áp dụng định lí Py–ta–go tam giác... xOM = α xON = 180o – α Với 0° ≤ α ≤ 180° thì: sin(180° – α) = sinα, cos(180° – α) = – cosα, tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°), cot(180° – α) = – cotα (α ≠ 0°, α ≠ 180°) Ví dụ: Tính giá trị biểu thức... Ta có: ABD = ABC – DBC = 90° – 35° = 55°; BAD = BAE + DAE = 90° + 15° = 105 ° Mà ADB BAD ABD 180 (Tổng góc tam giác 180°) Suy ra: ADB 180 BAD ABD = 180° – 105 ° – 55° = 20° Áp dụng