Skkn cách tính tổng một số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật

SKKN Cách tính tổng một số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật I Lời giới thiệu Toán học là một môn khoa học tự nhiên, điều quan trọng nhà trường cần trang bị cho học sinh tiềm lực kiến thức khoa h[.]

SKKN Cách tính tổng số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật I Lời giới thiệu: Toán học môn khoa học tự nhiên, điều quan trọng nhà trường cần trang bị cho học sinh tiềm lực kiến thức khoa học, phương pháp tự nghiên cứu để chiếm  lĩnh lấy tri thức Mỗi thầy giáo, cô giáo làm cho học sinh có hứng thú học tập mơn rèn cho em có kỹ giải tập toán thành thạo, hiệu Để đạt mục đích trên, giáo viên ngồi việc đổi phương pháp dạy học theo đặc trưng mơn, cần tìm hiểu thêm dạng tập toán, cách giải dạng tập việc hướng dẫn cho học sinh nắm cách giải dạng tập Ở trường THCS (trung học sở) cịn số học sinh khơng có ý thức tự giác học tập, chưa say mê học mơn tốn Thực tế tốn học mơn học khó, lượng kiến thức tương đối nhiều lên lớp, mà trình giải tập nhà học sinh lại khó khăn Chúng ta cịn thấy nhiều kiểu dạng tập có cách giải khác song đến đáp số Mặt khác có học sinh khơng chịu đào sâu suy nghĩ theo lối học vẹt, học qua lý thuyết bước vào giải tập nên kết đáp số tốn sai Vì dẫn đến em có tư tưởng chán nản, ngại học toán Hơn số em lại thiếu sách giáo khoa, sách tập sách tham khảo nên q trình thực hành giải tập tốn em đạt hiệu chưa cao so với yêu cầu môn yêu cầu giáo viên đề skkn Trong chương trình tốn xuất nhiều tốn có liên quan đến tính tổng dãy số viết theo quy luật mà học sinh trung bình khó làm Khi gặp tốn học sinh thường lúng túng khơng biết cách giải nên ngại học, lười suy nghĩ em chưa có phương pháp giải thích hợp Chính giáo viên cần đưa dạng tốn từ đơn giản đến phức tạp phương pháp giải phù hợp với dạng tốn Trong chương trình giảng dạy tơi tìm cách giải tốn tính tổng dãy số viết theo qui luật giúp học sinh có phương pháp giải cách nhanh chóng, thích hợp.Từ giúp học sinh có hứng thú học tốn Chính tơi viết sáng kiến kinh nghiệm “Cách tính tổng số dãy số, dãy phân số viết theo quy luật” mong đồng nghiệp tham khảo góp ý II.Nội dung   Đa số học sinh nhận thức tầm quan trọng mơn Tốn nên say sưa hứng thú học dạng tốn tính tổng dãy số viết theo quy luật Một vài học sinh cịn tự nghiên cứa tìm cách giải toán đơn giản dạng toán    Bên cạnh số học sinh lười học, nhận thức chậm chưa biết cách làm nên dễ mắc sai lầm như: - Khơng tìm quy luật dãy số, dãy phân số - Tìm sai quy luật dãy số, dãy phân số có chứa luỹ thừa với số mũ tự nhiên - Thực tính tổng dãy số theo thứ tự thực phép tính     Nhiều giáo viên u nghề, nhiệt tình, có tinh thần trách nghiệm cao công tác bồi dưỡng học sinh giỏi     Trong trình giảng dạy giáo viên hệ thống số dạng tốn cách tính tổng dãy số viết theo quy luật skkn     Giáo viên truyền đạt cách làm dạng toán tới học sinh     Tuy nhiên, trình giảng dạy giáo viên cịn chưa quan tâm hết tới đối tượng học sinh học sinh trung bình Giáo viên chưa dạy kĩ cách làm dạng toán mà lại cho học sinh làm tập áp dụng nên nhiều học sinh kiểm tra đánh giá khơng đạt u cầu đề Cách tính tổng dãy số viết theo quy luật:   Như ta biết có nhiều dạng dãy số viết theo quy luật, để tính tổng dãy số viết theo quy luật có nhiều cách giải Dưới số tốn tínhtổng dãy số viết theo quy luật 1.1.Dạng 1: Bài 1: Tính tổng sau A = + + 22 + 23 + … + 210 B = + + 32 + … + 3100           Giải Nhân vế A với ta được:        2A = + 22 + … + 211  Khi đó: 2A - A = A = 211 - Nhân vế B với ta được:        3B = + 32 + … + 3101  Khi đó: 3B - B = 2B = 3101 - Vậy B = (3101 - 1) : Tổng quát: Tính tổng S = + a + a2 + … + an, với a > a, n thuộc Z+( tập hợp số nguyên dương) skkn Nhân hai vế S với a ta có a S = a + a2 + … + an+1 trừ cho S ta được:  a.S - S = ( a - )S = an+1 - Vậy: + a + a2 + … + an = (an+1 - 1) : Từ ta có cơng thức: an+1 - = ( a - )( + a + a2 + … + an ) Bài tập áp dụng: Tính tổng sau: A = + + … + 72013 B = + + … + 4100 Chứng minh rằng: a 1414 - chia hết cho 13 b 20122013 - chia hết cho 2012 Bài 2: Tính tổng sau: A= + 32 + 34 + … + 3100 B = + 73 + + 799                                            Giải A= + 32 + … + 3100 Vấn đề đăt nhân hai vế A với số để trừ cho A loạt luỹ thừa bị triệt tiêu? Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân vế với 32 rồi trừ cho A ta được:   32.A – A= 3102 - hay A ( 32 - 1) = 3102 -   Vậy A =( 3102 - 1) : Từ kết ta suy ra: 3102 - chia hết cho Tương tự ta nhân hai vế B với 72 rồi trừ cho B ta được:          B = ( 7101 - ) : 48   skkn Tương tự ta suy ra: 7101 – chia hết cho 48 Tổng quát: Tính S1 = + a2 + a4 + … + a2n = (a2n + 2 - 1) : (a2 - 1)         S2 = a + a3 + a5 + … + a2n+1 = (a2n + 3 - a) : (a2 - 1) Bài tập áp dụng: Tính tổng sau:                  A = + 23  + 25 + … + 22010                  B = + 22 + 24 + … + 22010                  C = 13 + 133 + … + 1399 Bài tập khác: Chứng minh rằng: A = + 22 + … + 260 chia hết cho 31 15 B = + 52 + … + 512 chia hết cho 30 31 1.2.Dạng 2: Bài Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + … + 9.10                       Lời giải Nhận xét: Khoảng cách hai thừa số số hạng Nhân hai vế A với lần khoảng cách ta được:      3A         = 3.(1.2+2.3+…+9.10) = 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+…+9.10.(11-8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + … + 9.10.11 = 9.10.11 = 990        A = 990: =330 skkn     Ta ý tới đáp số 990 = 9.10.11 9.10 số hạng cuối A 11 số tự nhiên liền sau 10, tạo thành tích số tự nhiên liên tiếp Ta có kết tổng quát sau:   A = 1.2 + 2.3 + … + ( n - 1).n = ( n - 1).n.(n + 1):                      Lời giải     3A = 3.(1.2 + 2.3 + … + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + … + 9.10 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + 9.9.2) = (12 + 32 + 52 + … + 92).2.3 = (12 + 32 + … + 92).6 = 990 = 9.10.11   Ta chưa biết cách tính tổng bình phương số lẻ liên tiếp 1,nhưng liên hệ với lời giải 1,ta có: (12 + 32 + … + 92).6 = 9.10.11                      hay (12 + 32 + … + 92) = 9.10.11 : Ta có kết tổng quát: P = 12 + 32 + … + (2n+1)2 = (2n+1)(2n+2)(2n+3) : Bài tập áp dụng: Tính tổng sau: P = 12 + 32 + … + 992 Q = 112 + 132 + … + 20112 M = 1.2 + 2.3 + … + 99.100 skkn Bài 2: Cho A = 1.2 + 2.3 + … + 9.10 C = A + 10.11.Tính giá trị C Giải Theo cách tính A tốn ta kết là: C = 10.11.12: Theo cách giải tốn ta lại có :       C = ( 1.2 + 2.3) + … + ( 9.10+10.11) = 2.(1 + 3) + 4.(3 + 5) + … + 10(9 + 11) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2 + 2.4.4 + … + 2.10.10 = 2.( 22 + 42 + … + 102) Vậy C = 10.11.12: Từ ta có: 22 + 42 + … + 102 = 10.11.12: Ta có kết tổng quát là: 22 + 42 + … + ( 2n )2 = 2n.( 2n+1 ).(2n+2): Bài tập áp dụng: Tính tổng: 202 + 222 + … + 502 Cho n số tự nhiên.Tính tổng: n2 + ( n+2 )2 + ( n+4)2 + … + (n+100)2 Tính tổng: 1.2 + 2.3 + +999.1000 Bài Tính: A = 1.3 + 3.5 + … + 97.99                            Giải Nhận xét: Khoảng cách hai thừa số số hạng 2, ta nhân vế A với lần khoảng cách ta được: 6A          = 1.3.6 + 3.5.6 + … + 97.99.6 skkn = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7.(9 - 3) + … + 97.99.(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 A  = (1 + 97.33.101): = 161651 1.3.Dạng 3: Bài 1:Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 8.9.10                             Giải Ta nhân hai vế A với số lần khoảng cách 4A          = 1.2.3.4 + 2.3.4 + … + 8.9.10.4 = 1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4.(5 - 1) + … + 8.9.10.(11 - 7) = 1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + … + 8.9.10.11 A  = 8.9.10.11:4 = 1980 Từ ta có kết tổng quát: A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n-1).n.(n+1) = (n-1).n.(n+1).(n+2): Bài 2: Tính: A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 95.97.99                           Giải 8A          = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5.(7 + 1) + 3.5.7.(9 - 1) + … + 95.97.99.(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 A  = 11517600 skkn 1.4. Dạng 4: Tính tổng S = 13 + 23 + 33 + … + n3 Giải   Trước hết ta chứng minh kết sau đây: Với n số tự nhiên ta có:      n3 - n = (n - 1)n(n + 1) Thật vậy: n3 - n = n(n2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)   Áp dụng kết để tính S:    S = 13 - + 23 - + … + n3 - n + (1 + + + … + n)      = + 2.(22 - 1) + 3(32 - 1) + … + n.(n2 - 1) + (1 + + + … + n)      = + 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) + (1 + + + … + n)    S = (n - 1)n(n + 1)(n + 2): + n(n + 1) :       = [n(n + 1) : 2]2   Nhận xét:Vì n(n + 1) : = + + + … + n nên ta có kết quan trọng sau đây:    13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + + + … + n)2 1.5.Dạng 5:  Trong dạng toán ta không nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Bài 1: Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 +…+ 99.100.101 Giải A = 1.3 (5 - 3) + 3.5 (7 - 3) + … +  99.101, (103 - 3)     = (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) – ( 1.3.3 + 3.5.3 +…+ 99.101.3 )     = ( 15 + 99.101.103.105 ) : - 3.(1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) skkn     = 13517400 – 3.171650     = 13002450 Bài 2 : Tính A = 1.22 + 2.32 +  3.42 +…+  99.1002 Giải       A = 1.2.(3 - 1) + 2.3 (4 - 1) + … + 99.100 (101 - 1)           = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + … + 99.100.101 - 99.100           = ( 1.2.3 + 2.3.4 + … +  99.100 101) – ( 1.2 + 2.3 + … + 99.100)           = 25497450- 333300           = 25164150 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tính A = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … +  97.992 Bài 2: Tính B = 1.3.5 - 3.5.7 + 5.7.9 - 7.9.11 + … - 97.99.101 Cách tính tổng dãy phân số viết theo quy luật 2.1.Dạng 1: Bài 1: Tính nhanh:           A =  Giải: Nhân hai vế với Ta có: 2A = 1+            A =                                       (1)                                   (2) skkn Lấy (1) trừ (2) ta A = 1- = Bài 2: Tính nhanh:            B =  Giải : Nhân hai vế với Ta có:            3B = 1+                                        (1)              B =                                       (2) Lấy (1) trừ (2) ta B = (1- :2= Tổng quát : Tính nhanh:       A =         (n ,a ) Nhân hai vế với a ta      a.A = 1+                 (1)        A =                  (2) Lấy (1) trừ (2) ta        A = (1Bài tập áp dụng : skkn Bài 1:Tính nhanh: a) A =  b) B =  Bài 2: Bài tập mở rộng Chứng minh rằng: a) A =  Giải: a) Tách A thành nhóm, nhóm có 50 phân số, thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ấy, ta được: A =  > b) Tách A thành nhóm làm trên, ta được: A >   >  Bài 2: Cho A =  Chứng minh rằng: A