BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Câu 1 Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) sin 2 1 cos x f x x = + thỏa mãn 0 2 F = Tính ( )0F A ( )0 2ln2 2F = + B ( )0 2ln2F[.]
BÀI ƠN TẬP CHƯƠNG III NGUN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Câu Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Tính F ( ) sin x thỏa mãn F = + cos x 2 A F ( ) = 2ln + B F ( ) = 2ln C F ( ) = ln D F ( ) = 2ln − Lời giải Đáp án D sin x 2sin x.cos x = + cos x + cos x Đặt u = + cos x du = − sin xdx cos x = u −1 f ( x) = Khi đó: F ( x ) = f ( x ) dx = −2 ( u − 1) 2sin x.cos x 2 dx = du = − du + cos x u u = 2ln u − 2u + C = 2ln + cos x − (1 + cos x ) + C F = 2ln + cos − 1 + cos + C = 2 2 C = F ( x ) = 2ln + cos x − 2cos x Vậy F ( ) = 2ln − Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = ( x + 1).sin x A f ( x)dx = (sin x − 2cos x − x cos x) + C B f ( x)dx = (sin x − cos x + x cos x ) + C C f ( x)dx = (sin x − 2cos x − x cos x) + C D f ( x)dx = − ( x 1 + x)cos x + C Lời giải Đáp án C du = dx u = x + Đặt d v = sin x d x v = − cos2 x Khi đó: 1 1 ( x + 1).sin x d x = − ( x + 1)cos x + cos2 x d x = − ( x + 1)cos x + sin x + C 2 = (sin x − 2cos x − x cos x) + C Câu Cho hàm số f ( x ) có 0 f ( x ) dx = Tính f ( 3x ) dx A f ( 3x ) dx = B 3 0 f ( 3x ) dx = 27 C f ( 3x ) dx = −3 D f ( 3x ) dx = Lời giải Đáp án A Đặt t = x dt = 3dx dx = dt Đổi cận x = t = x = 3t = 9 1 f ( 3x ) dx = f ( t ) dt = f ( x ) dx = 30 30 Câu Trong khẳng định sau, khẳng định sai? dx A = ln x + C x C a x dx = ax + C ( a 1) ln a x +1 + C , −1 B x dx = +1 D cos2 x dx = tan x + C Lời giải Đáp án A Ta có dx = ln x + C nên đáp án A sai x Câu Tính I = x x + 1dx cách đặt u = x + , mệnh đề đúng? A I = 2 u du B I = udu C I = u 2du D I = 2 u 2du Lời giải Đáp án D 2 Đặt u = x + u = x + 2udu = xdx I = 2u.u.du = 2 u 2du Câu Cho I = | x − | dx Khẳng định sau đúng? A I = ( x − ) dx B I = − ( x − ) dx + ( x − ) dx C I = ( x − ) dx + ( x − ) dx Đáp án B x − 2, x Ta có: x − = − ( x − ) , x 3 0 Suy ra: I = | x − | dx = − ( x − ) dx + ( x − ) dx Vậy I = − ( x − ) dx + ( x − ) dx D I = ( x − ) dx − ( x − ) dx Lời giải 2 x3 Câu Hàm số F ( x ) = − cos x nguyên hàm hàm số sau đây? A f ( x ) = 3x + cos x B f ( x ) = x + sin x C f ( x ) = x − sin x x4 D f ( x ) = + sin x 12 Lời giải Đáp án B Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = f ( x ) x3 Ta có F ( x ) = − cos x = x + sin x 3 Câu Tìm A ( 2x + 1) ( x + 1) + C 12 C ( x + 1) + C dx ta B ( x + 1) + C D 5( x + 1) + C Lời giải Đáp án A ( x + 1) + C Ta có ( x + 1) dx = ( x + 1) d ( x + 1) = 12 Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − 3x + x3 3x − + ln x + C A C x − 3x + ln x + C với x x x3 3x − + +C B x x3 3x − − ln x + C D Lời giải Đáp án A Ta có 1 x3 3x f ( x ) dx = x − 3x + dx = − + ln x + C x Câu 10 Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x4 + , x x2 x3 + +C A F ( x ) = x B F ( x ) = −3 x − x3 C F ( x ) = − + C x x3 − +C D F ( x ) = x +C x Lời giải Đáp án D x4 + x3 3 Ta có − +C dx = x + dx = x x x a a dx = Với số nguyên tối giản Trong a , b 0 x − x + b b Câu 11 Biết khẳng định sau khẳng định đúng? B a + b A a + b 10 Lời giải Đáp án C 1 1 dx = 0 x2 − x + 0 2 dx x− + 2 Đặt x − dx = = tan t − t 2 2 dt cos t Đổi cận x = t = − C a + b D a + b x =1 t = 1 dx = x − x + − 1 2 dt = dt = t = 3 − 3 (tan t + 1) cos t (tan t + 1) cos t − 6 4 a = 2, b = Câu 12 Cho đồ thị hàm số y = f ( x) hình vẽ bên Diện tích S hình phẳng phần tơ đậm hình tính theo cơng thức sau đây? A S = f ( x)dx B S = −2 C S = 0 −2 f ( x)dx + f ( x)dx D S = −2 0 −2 f ( x)dx + f ( x)dx f ( x)dx + f ( x)dx Lời giải Đáp án D Theo hình vẽ, ta có S = −2 −2 −2 0 f ( x) dx = − f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx Câu 13 Diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , y = − x trục hồnh Ox (như hình vẽ) tính cơng thức đây? 2 B S = ( x + x − 2)dx A S = x dx + ( x − 2)dx 0 1 1 D S = + x dx C S = x − (2 − x) dx Lời giải Đáp án D Xét phương trình hồnh độ giao điểm +) x3 = − x x3 + x − = x = +) x3 = x = +) − x = x = 2 1 Dựa vào hình vẽ, ta có S = x dx + (2 − x)dx = + x dx 0 Câu 14 Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x x − A V = 124 C V = 32 + 15 ( ) B V = 32 + 15 D V = 124 Lời giải Đáp án D Diện tích thiết diện (hình chữ nhật) S ( x) = 3x 3x2 − Suy thể tích cần tính 3 3 1 124 V = S ( x)dx = 3x 3x − 2dx = 3x − 2d ( x − ) = (3 x − 2) |13 = 3 1 Câu 15 Tìm sin3x dx A cos3 x + C B − cos3x + C C − cos3x + C D cos3x + C Lời giải Đáp án B Ta có: −1 sin 3x.dx = sin 3x d ( 3x ) = cos3x + C Câu 16 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Biết F (1) = Giá trị 2x − e +1 F A B C Lời giải Đáp án D f ( x ) dx = 1 dx = ln x − + C ( C 2x − ) F (1) = C = Vậy F ( x ) = ln x − + e +1 Do đó, F = −3 D Câu 17 Giả sử f hàm số liên tục khoảng K a , b , c ba số khoảng K Khẳng định sau sai? a A f ( x ) dx = a B C D b a a b f ( x ) dx = − f ( x ) dx c b b a c a b b a a f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx , c ( a ;b ) f ( x ) dx = f ( t ) dt Lời giải Đáp án A a Ta có: f ( x ) dx = a Câu 18 Cho số thực a, b ( a b ) Nếu hàm số y = F ( x ) nguyên hàm hàm số y = f ( x ) b A f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) a b B F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) C F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) D a b a b f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a Lời giải Đáp án D Theo giả thiết y = F ( x ) nguyên hàm hàm số y = f ( x ) nên ta có b f ( x ) dx = F ( x ) a b a = F (b ) − F ( a ) f ( x) Câu 19 Cho hàm số f ( x ) + xf ( x ) = 2x xác định liên tục 0;1 thỏa mãn + Giá trị f ( x ) dx A B 10 C D 10 Lời giải Đáp án B Theo đề f ( x ) + xf ( x ) = x + 1 Xét A = xf ( x ).dx Đặt t = x dt = x.dx Đổi cận: 0 x t A= 1 f t dt = f ( x ).dx ( ) 0 0 Từ đó: 1 1 1 f ( x ).dx + xf ( x ).dx = ( x + 1).dx f ( x ).dx + f ( x ).dx = 20 0 2 10 f ( x ) dx = f ( x ) dx = 20 Câu 20 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = x − x trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành A V = 16 15 B V = 11 15 C V = Lời giải Đáp án A x = Phương trình hồnh độ giao điểm: x − x = x = 12 15 D V = 4 15 Thể tích cần tính là: V = ( x − x ) 2 x3 x5 16 dx = − x + |0 = 5 15 Câu 21 Để tính x ln ( + x )dx theo phương pháp nguyên hàm phần, ta đặt u = ln ( x + ) A d v = x d x u = x ln ( x + ) B d v = ln x + d x ( ) u = x C d v = ln x + d x ( ) u = ln ( x + ) D d v = d x Lời giải Đáp án A u = ln ( x + ) Đặt dv = xdx Câu 22 Cho hàm số f ( x ) liên tục , diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b ( a b ) tính theo công thức b A S = f ( x ) dx a b B S = f ( x ) dx a b C S = f ( x )dx a b D S = f ( x )dx a Lời giải Đáp án B Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai b đường thẳng x = a , x = b , ( a b ) tính theo cơng thức S = f ( x ) dx a Câu 23 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục 3;4 Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = , x = Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức A V = f ( x ) dx B V = C V = f ( x ) dx f ( x ) dx D V = f ( x ) dx Lời giải Đáp án A Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành là: V = f ( x ) dx Câu 24 Hàm số f ( x ) = x x + có nguyên hàm F ( x ) Nếu F ( ) = F ( 3) A 146 15 B 116 15 C 886 105 D 105 886 Lời giải Đáp án A Đặt t = x + x = t − 2tdt = dx x x + 1d x = t − t d t = t − t + C = ( ) 5 Vì F ( ) = nên C = ( ) x +1 − ( ) x + + C 34 2 34 146 = Vậy F ( 3) = 25 − 23 + 15 15 15 Câu 25 Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục Ox đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn −2 ;1 1; 4 lần f ( −2 ) + f ( ) lượt 12 Cho f (1) = Giá trị biểu thức A 21 B C D Lời giải Đáp án C Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) f ( x ) đoạn −2 ;1 1; 4 Diện tích hình phẳng giới hạn trục Ox với đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn −2 ;1 là: S1 = −2 f ( x ) dx = − f ( x ) dx = f ( −2 ) − f (1) f ( −2 ) − f (1) = f ( −2 ) = + f (1) = 12 −2 Diện tích hình phẳng giới hạn trục Ox đồ với đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn 1; 4 4 1 S2 = f ( x ) dx = − f ( x ) dx = f (1) − f ( ) f (1) − f ( ) = 12 f ( ) = f (1) − 12 = −9 Vậy f ( −2 ) + f ( ) = 12 − = ln x + eln x Câu 26 Cho tích phân I = dx = e a − b , giá trị a + 2b x e A B C Lời giải Đáp án D Đặt t = ln x dt = dx x Đổi cận x = t = x = e t =1 D 1 Ta có I = (t + et )dt = e − Suy a = b = Tính a + 2b = 2 Câu 27 Cho hàm số f ( x) liên tục R f ( x) + f (− x) = cos x x R Giá trị biểu thức I = f ( x)dx − A 3 B 3 16 C 5 D 5 16 Lời giải Đáp án B Đặt x = −t dx = −dt Đổi cận x = x=− t = − Ta có I = t =− 2 f (−t )d(−t ) = f (−t )dt = f (− x)dx − − 1 3 f ( x)dx = f ( x) + f (− x) dx = cos xdx = ( + cos x + cos x)dx = 8 2 2 − − I = − − 3 16 Câu 28 Cho hàm số đa thức bậc ba y = f ( x) = ax3 + bx + cx + d (a 0) có đồ thị hình vẽ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) trục hoành A B 19 C 27 D Lời giải Đáp án C Đồ thị hàm số y = f ( x) cắt tiếp xúc trục hoành tại điểm ( −2;0 ) (1;0 ) nên hàm số có dạng y = f ( x) = a( x + 2)( x − 1)2 = a( x3 − 3x + 2) Mặt khác đồ thị hàm số lại qua điểm ( −1;4) nên ta có a = Vậy y = f ( x) = x − 3x + Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) trục hoành là: S= x −2 − 3x + 2dx = 27 Câu 29 Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6m , chiều dài CD = 12m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN = 4m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó? A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng Lời giải Đáp án C Gọi O trung điểm MN Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Khi đó, ta có phương trình đường parabol đỉnh I (0;6) qua hai điểm C ( 6;0 ) , D ( −6;0 ) ( P) : y = = x Diện tích tranh diện tích hình phẳng giới hạn đường parabol ( P ) trục Ox hai đường thẳng x = −2, x = Khi 1 208 S = − x dx = − x dx = (m ) 6 −2 −2 2 Vậy, số tiền công ty X cần dùng để làm tranh T = 900.000 208 = 20.800.000 (đồng) Câu 30 Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm cách khoét bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB = cm, OH = cm Tính diện tích bề mặt hoa văn A 140 cm B 160 cm C 14 cm D 50cm2 Lời giải Đáp án A Chọn hệ trục tọa độ cho O gốc tọa độ, OH thuộc Oy, Ox vng góc với OH 5 O chiều dương hướng từ A đến B Khi ta có B ;4 Giả sử parabol ( P ) qua 2 O, A, B nhận O làm đỉnh có dạng: y = ax + bx + c O ( P) c=0 −b 16 x Dễ dàng ta có hệ phương trình = b = Do đó: y = 25 a 16 B ( P) a = 25 Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đường y = 16 −5 x , y = 4, x = , x = S1 25 2 2,5 16 16 40 Kho ta có: S1 = − x dx = x − x3 = 25 75 −2,5 −2.5 2,5 Do diện tích hình hoa văn là: S = 102 − 40 140 = (cm ) 3 ... giải Đáp án A Ta có dx = ln x + C nên đáp án A sai x Câu Tính I = x x + 1dx cách đặt u = x + , mệnh đề đúng? A I = 2 u du B I = udu C I = u 2du D I = 2 u 2du Lời giải Đáp án D 2... vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 3) thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x x − A V = 124 C V = 32 + 15 ( ) B V = 32 + 15 D V = 124 Lời giải Đáp án D Diện tích thiết diện... sin x 12 Lời giải Đáp án B Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = f ( x ) x3 Ta có F ( x ) = − cos x = x + sin x 3 Câu Tìm A ( 2x + 1) ( x + 1) + C 12 C (