BÀI 2 TÍCH PHÂN Câu 1 Cho 1 2 0 d ln 2 ln3 3 2 x a b x x = + + + với ,a b là các số nguyên Mệnh đề nào sau đây đúng? A 2 5a b− = − B 1a b+ = C 2 4a b+ = D 2 5a b− = Lời giải Đáp án B Ta có ( )( ) ( )[.]
BÀI TÍCH PHÂN Câu Cho x dx = a ln + b ln với a, b số nguyên Mệnh đề sau + 3x + đúng? A a − 2b = −5 B a + b = C a + 2b = D a − 2b = Lời giải Đáp án B 1 dx dx Ta có = = − d x = ln x + − ln x + ( ) x + 3x + ( x + 1)( x + ) x + x + = ( ln − ln3) − ( ln1 − ln ) = 2ln − ln3 Vậy a = 2; b = −1 a + b = Câu Xét tích phân I = e x +1 dx , đặt u = x + I A ueu du 21 B ue du u C ue du u Lời giải Đáp án C u2 −1 dx = udu Đặt u = x + x = Đổi cận : x = u = x = u = 3 Do I = ueu du D eu du 21 Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm , f ( −1) = −2 f ( 3) = Tính I= f ( x ) dx −1 A I = −4 B I = C I = D I = Lời giải Đáp án D Ta có I = f ( x ) dx = f ( x ) −1 = f ( 3) − f ( −1) = − ( −2 ) = −1 Vậy I = Câu Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục thỏa mãn f ( ) = , f ( x ) dx = A f (1) = B f (1) = 10 C f (1) = −3 Lời giải Đáp án A Ta có f ( x ) dx = f ( x ) = f (1) − f ( ) Suy f ( x ) dx = f (1) − f ( ) = f (1) = f ( ) + = Vậy f (1) = D f (1) = Câu Cho f ( x )dx = Tính I = cos x f ( sin x )dx A I = B I = C I = −1 D I = −2 Lời giải Đáp án A Ta có: 1 f ( x ) dx = f ( x ) d ( x ) = f ( t )dt = 20 Đặt t = sin x Ta có: dt = d ( sin x ) = cos x dx , sin = sin =1 0 Vậy I = cos x f ( sin x ) dx = f (t )dt = Câu Xét ( x + 1)e x2 +2 x dx đặt t = x + x ( x + 1)e x A ( t + 1) et dt 20 2 +2 x dx 1 B et dt 20 C e dt t Lời giải Đáp án B Đặt x + x = t (2 x + 2)dx = dt ( x + 1)dx = Đổi cận: x = t = 0; x = t = dt D (t + 1)et dt Khi : ( x + 1)e x2 +2 x Câu Biết 3x 3 et dx = dt = et dt 20 3x + ln b dx = ln a + với a, b, c + x ln x c A B + , c Tổng a + b + c C D Lời giải Đáp án A 2 3x + 1 ln x 1 3x2 + x ln x dx = 1 3x + ln x dx = 1 3x + ln x d (3x + ln x ) = ln 3x + ln x = ln + 2 3+ Suy a = 2, b = 2, c = Vậy a + b + c = Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn 1;9 thỏa mãn x f ( x + 1)dx = Khi I = f ( x ) dx có giá trị B A C Lời giải Đáp án A Xét tích phân x f ( x + 1)dx = Đặt t = x + dt = x.dx x.dx = dt Đổi cận: D.1 Với x = t = Với x = t = 9 Khi = x f ( x + 1)dx = f ( t )dt f ( t ) dt = 41 f ( x ) dx = Mà tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên Câu Với hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục a ; b , k số thực, khẳng định sau sai ? b b b a a a A f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) dx − g ( x ) dx b b a a B kf ( x ) dx = k f ( x ) dx C b b b a a a f ( x ).g ( x ) dx = f ( x ) dx. g ( x ) dx b b b a a a D f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx Lời giải Đáp án C Theo tính chất tích phân A, B, D đúng, C sai Câu 10 Cho f ( x ) − x dx = Khi A −3 B −1 f ( x )dx C Lời giải Đáp án D D 2 2 1 1 Ta có f ( x ) − x dx = f ( x ) dx − xdx = 4 f ( x ) dx − 2 1 Theo ra: f ( x ) − x dx = 4 f ( x ) dx − = f ( x ) dx = Vậy f ( x ) dx = 1 Câu 11 Cho a b c, b b c a c a f ( x)dx = f ( x)dx = Tính f ( x)dx c A c f ( x)dx = B a f ( x)dx = −2 c f ( x)dx = C a c D a f ( x)dx = a Lời giải Đáp án A Ta có b c b c c a a c a a f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx = c Vậy f ( x)dx = a Câu 12 Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn 0;8 , thỏa mãn f ( x ) dx = f ( x ) dx = Tính I = f ( x ) dx A I = B I = −3 C I = 15 Lời giải Đáp án D D I = 8 0 f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx Ta có: Suy ra: 8 5 0 f ( x ) dx = f ( x ) dx − f ( x ) dx = − = Câu 13 Biết F ( x) = x nguyên hàm hàm số f ( x) [2 + f ( x)]dx A B C 13 D Lời giải Đáp án D 2 Ta có [2 + f ( x)]dx = 2dx + f ( x)dx = (2 x ) + ( x ) = + = 1 2 Vậy [2 + f ( x)]dx = Câu 14 Nếu 2 1 f ( x ) dx = 2 f ( x ) + g ( x ) dx = 13 g ( x ) dx A −3 B −1 C Lời giải Đáp án D 2 1 Ta có f ( x ) + g ( x ) dx = 13 2. f ( x ) dx + g ( x ) dx = 13 D Giá trị 2 1 g ( x ) dx = 13 − 2. f ( x ) dx g ( x ) dx = 13 − 2.5 g ( x ) dx = Vậy g ( x ) dx = Câu 15 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) liên tục 0;2 f ( ) = , 2 0 f ( x ) dx = Tích phân x f ( x ) dx A C −3 B D Lời giải Đáp án B 2 2 Ta có: I = x f ( x ) dx = x d ( f ( x ) ) = x f ( x ) − f ( x ) dx = f ( ) − = 2.3 − = 0 0 Vậy x f ( x ) dx = Câu 16 Biết tích phân ( x − 1) ln xdx = a ln + b với a , b Z Tổng 2a + b A B C 10 Lời giải Đáp án C u = ln x du = dx x Đặt d v = x − d x ( ) v = x − x = x ( x − 1) D 13 Ta có 2 ( x − 1) ln xdx = x ( x − 1) ln x − ( x − 1) dx = 6ln − ( x − x ) = 6ln − 2 Vậy 2a + b = 10 Câu 17 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) thỏa mãn ( x + 1) f ( x ) dx = 10 , f (1) − f ( ) = 12 Tính I = f ( x ) dx A I = B I = −2 C I = D I = −1 Lời giải Đáp án A Đặt: u = x + du = 2dx , dv = f ( x ) dx chọn v = f ( x ) Ta có: 1 x + f x d x = 10 x + f x − f ( x ) dx = 10 ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 1 0 f (1) − f ( ) − f ( x ) dx = 10 12 − f ( x ) dx = 10 f ( x ) dx = x2 − x − I = dx = a ln + b ln + c ln 5,(a, b, c ) Tính ( x − 1) x − x + ( ) Câu 18 Biết S = 2a − 3b + 8c A S = B S = −9 C S = D S = −8 Lời giải Đáp án A 3 d ( x2 − x + 4) x2 − x − dx 2x − I = d x = d x − dx = − d x 2 x − x + x − x − x + x − ( x − 1) x − x + ( ) 2 2 3 = ln x2 − x + − ln( x − 1) = − ln − ln3 + ln5 Như vậy, a = −1, b = −1, c = Vậy S = 2a − 3b + 8c = Câu 19 Biết A a dx = a + b ln a , b với số hữu tỉ Tính tỷ số 0 + tan x b B C D Lời giải Đáp án A 4 cos x ( sin x + cos x ) + ( cos x − sin x ) dx = dx = dx Ta có + tan x sin x + cos x 20 sin x + cos x 0 4 d sin x + cos x 1 ( ) = x + ln sin x + cos x = + ln = dx + )0 2( 2 sin x + cos x a = a = b b = Câu 20 Cho hàm số f ( x ) có f = f ( x ) = cos2 x.sin x Khi 2 A 253 1200 B 251 1200 C Lời giải Đáp án D 251 1200 D f ( x )dx 253 1200 Ta có f ( x ) = cos2 x.sin xdx = ( 2cos x − 1)(1 − cos x ) sin xdx Đặt t = cosx dt = − sin xdx Khi đó: ( 2cos x − 1)(1 − cos x ) sin xdx = − ( 2t 2 − 1)(1 − t ) dt = ( 2t − 3t + 1) dt = t5 − t3 + t + C = cos5 x − cos3 x + cosx + C Suy ra: f ( x ) = cos5 x − cos3 x + cosx + C Mà f = C = 2 Do 2 2 2 f ( x ) = cos5 x − cos3 x + cosx = cosx cos x − cos x + 1 = cosx (1 − sin x ) + sin x 5 5 2 I = f ( x ) dx = cosx (1 − sin x ) + sin x dx 5 0 6 Đặt t = sin x dt = cosxdx x = t = Đổi cận x = t = 2 2 I = (1 − t 0 ) 2 2 1 253 + t dt = ( 2t + t + ) dt = t + t + 2t = 50 5 1200 Câu 21 Tính tích phân I = ( x + 1) dx −1 B I = A I = C I = D I = − Lời giải Đáp án A I = ( 2x + 1) dx = ( x + x ) −1 −1 = Câu 22 Tích phân e3 x −1dx bằng: A (e − e ) B (e + e ) C e −e D e5 − e2 Lời giải Đáp án A e 2 1 dx = e3 x−1d ( 3x − 1) = e3 x−1 = ( e5 − e2 ) 31 3 x −1 Câu 23 Khẳng định đúng? 2 1 A x dx = x e e 1 1 B x dx = e x e C x dx = e x e Lời giải Đáp án D 2 1 Ta có x dx = e− x dx = −e− x = x e e 1 2 1 D x dx = x e e 2020 Câu 24 Tích phân x dx 52020 − ln A 52020 − B ln 52021 − ln C Lời giải Đáp án D 2020 2020 5x dx = ln x 52020 − = ln 52020 − D ln ... Câu 20 Cho hàm số f ( x ) có f = f ( x ) = cos2 x.sin x Khi 2 A 253 120 0 B 251 120 0 C Lời giải Đáp án D 251 120 0 D f ( x )dx 253 120 0 Ta có f ( x ) = cos2 x.sin xdx =... ( x ) dx Lời giải Đáp án C Theo tính chất tích phân A, B, D đúng, C sai Câu 10 Cho f ( x ) − x dx = Khi A −3 B −1 f ( x )dx C Lời giải Đáp án D D 2 2 1 1 Ta có f ( x ) − x... giải Đáp án A e 2 1 dx = e3 x−1d ( 3x − 1) = e3 x−1 = ( e5 − e2 ) 31 3 x −1 Câu 23 Khẳng định đúng? 2 1 A x dx = x e e 1 1 B x dx = e x e C x dx = e x e Lời giải Đáp án D 2 1 Ta có