BÀI 4 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC Câu 1 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác, N là trung điểm AC Khi đo BG = BN Số thích hợp điền vào chỗ trống là A 2 3 B C 3 D 2 Lời giải Vì[.]
BÀI TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN TRONG TAM GIÁC Câu 1: Cho tam giác ABC có G trọng tâm tam giác, N trung điểm AC Khi đo BG = BN Số thích hợp điền vào chỗ trống : A B C D Lời giải: Vì G trọng tâm ABC nên BG Số thích hợp điền vào chỗ trống BN 3 Đáp án cần chọn A Câu 2: Tam giác ABC có trung tuyến AM A 7,5 cm B cm C 10 cm D 22,5 cm 15cm G trọng tâm Độ dài đoạn AG Lời giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến nên AG = AM ( tính chất ba đường trung tuyến tam giác) 15 10cm Đáp án cần chọn C Do AG Câu 3: Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy" 3 B C D A Lời giải: Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Số cần điền Đáp án cần chọn là: A Câu 4: Chọn câu sai A Trong tam giác có ba đường trung tuyến B Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C Giao ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác D Một tam giác có hai trọng tâm Lời giải: + Một tam giác có trọng tâm nên đáp án D sai Đáp án cần chọn là: D Câu 5: Cho hình vẽ sau 5.1: Biết MG A 1cm B 2cm C 3cm 3cm Tính MR D 4,5 cm Lời giải: Ta có: MR,NS hai đường trung tuyến tam giác MNP chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác MNP Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: MG 3 MR MG 4,5(cm) MR 2 Vậy MR 4,5cm Đáp án cần chọn D 5.2: Biết GS 1,5cm Tính NG A 1,5cm B 3cm C 2,25cm D 1cm Lời giải: Theo câu trước ta có G trọng tâm tam giác MNP Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: NG NG NG 2GS 2.1,5 3(cm) NS GS Vậy NG 3cm Đáp án cần chọn B Câu 6: Chọn câu A Trong tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện đường trung tuyến tam giác B Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C Trọng tâm tam giác giao ba đường trung tuyến D Cả A, B, C Lời giải: - Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện nên A - Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác nên B, C Đáp án cần chọn là: D Câu 7: Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME,NF cắt O Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO 8cm A 12cm B 48cm C 36 cm D 24 cm Lời giải: Gọi MH đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME Hai đường trung tuyến ME NF cắt O nên O trọng tâm tam giác MNP, MO ME Có ME trung tuyến ứng với cạnh NP nên E trung điểm NP, suy NP 2NE Ta có: NK .ME NK.MO SMNO 2 1 SMNE NK.ME NK.ME 2 SMNO SMNE 1 MH.NE MH.NE SMNE 2 1 SMNP MH.NP MH.2.NE 2 SMNE SMNP Từ suy ra: SMNP 2.SMNE 3.SMNO SMNP 3.8 24cm Đáp án cần chọn D Câu 8: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD;CE cho BD tam giác ABC A Cân B B Cân C C Vuông A D Cân A CE Khi Lời giải: Hai đường trung tuyến BD CE cắt G suy G trọng tâm tam giác ABC 2 Suy BG BD;CH CE mà BD CE BG CG Từ đó: 3 BD BG CE CG GD GE Xét tam giác BGE tam giác CGD có: BG CG GD GE BGE CGD (đối đỉnh) AB Do AB AC hay tam giác ABC cân A Đáp án cần chọn D BGE CDG(c.g.c) BE CD Câu 9: Tam giác ABC có trung tuyến AM A 4,5 cm B cm C cm D cm AC 9cm G trọng tâm Độ dài đoạn AG Lời giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến nên AM ( tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Do AG Đáp án cần chọn C AG Câu 10: Cho tam giác ABC, có G trọng tâm đường trung tuyến AM,BN,CP Trên tia AG kéo dài lấy điểm D cho G trung điểm AD So sánh cạnh tam giác BGD với đường trung tuyến tam giác ABC 2 A BG BN;GD AM;BD CP 3 2 B BG BN;GD AM;BD CP 3 2 C BG BN;GD AM;BD CP 3 2 D BG BN;GD AM;BD CP 3 Lời giải: ABC có G trọng tâm đường trung tuyến AM,BN,CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: 2 AG AM;BG BN;CG CP 3 2 AM AM (cmt), GD Vì G trung điểm AD nên GD AG mà AG 3 Ta có: GD AG 2GM (tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Mà GD GM MD 2GM GM MD GM MD Xét BMD CMG có: GM MD BMD CMG (hai góc đối đỉnh) BM MC (vì AM đường trung tuyến BMD CMG(c.g.c) BD CG (hai cạnh tương ứng) mà CG BN;GD Đáp án cần chọn B Vậy BG AM;BD ABC ) CP(cmt) nên BD CP(cmt) CP Câu 11: Cho tam giác ABC vng A có AC 9cm,BC 15cm Ba đường trung tuyến AM,BN,CE cắt O Độ dài trung tuyến CE A 10cm B 117cm C 12 cm D 106cm Lời giải: ABC vng A nên theo định lí Pytago ta có: AB2 AC2 BC2 AB2 BC2 AC2 152 92 144 AB 12 Ta có AM, BN, CE đường trung tuyến ứng với cạnh BC,AC,AB tam giác vuông ABC Suy M, N, E trung điểm cạnh BC,AC,AB 1 AE AB 12 6cm 2 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACE vng A ta có: AC2 AE CE 92 62 CE CE 117 CE 117cm Đáp án cần chọn B Câu 12: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài cạnh BC biết BD 9cm;CE 12cm A BC 12cm B BC 6cm C BC 8cm D BC 10cm Lời giải: Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD CE G G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất đường trung tuyến tam giác ta có: 2 BG BD;CG CE 3 Mà BD 9cm;CE 12cm nên 2 BG 6cm;CG 12 8cm 3 Xét tam gốc BGC vng G, theo định lí Pytago ta có: BC2 BG CG BC2 62 82 100 Hay BC 10cm Vậy BC 10cm Đáp án cần chọn D Câu 13: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC;CE Gọi I;K theo thứ tự giao điểm AM,AN BE Chọn câu A BI IK KE B BI IK KE C BI IK KE D BI IK KE Lời giải: Vì AM, DB hai đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt I nên I trọng tâm tam giác ABC 2 1 Khi đó: BI BD BE BE (1) 3 Vì AN, ED hai đường trung tuyến tam giác ACE chúng cắt K nên K trọng tâm tam giác ACE nên 2 1 EK ED BE BE (2) 3 Từ (1) (2) suy IK BE từ BI EK IK Đáp án cần chọn C Câu 14: Cho tam giác ABC vng A có: AB tuyến AM,BN,CE cắt O Độ dài trung tuyến BN là: A 6cm B 61cm C.12cm D 65cm 5cm;BC 13cm Ba đường trung Lời giải: ABC vuông A nên theo định lí Pytago ta có: AB2 AC2 BC2 AC2 BC2 AB2 132 52 144 AC 12 Ta có AM, BN, CE đường trung tuyến ứng với cạnh BC,AC,AB tam giác vuông ABC Suy M, N, E trung điểm cạnh BC,AC,AB 1 AN AC 12 6cm 2 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABN vng A ta có: AB2 AN BN 52 62 BN BN 61 BN 61cm Đáp án cần chọn B Câu 15: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài cạnh BC biết BD 4,5cm;CE 6cm A BC 6cm B BC 4,5cm C BC 5cm D BC 10cm Lời giải: Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD CE G G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất đường trung tuyến tam giác ta có: 2 BG BD;CG CE 3 Mà BD 4,5cm;CE 6cm nên 2 BG 4,5 3cm;CG 4cm 3 Xét tam goác BGC vng G, theo định lí Pytago ta có: BC2 32 42 25 Hay BC 5cm Vậy BC 5cm Đáp án cần chọn C Câu 16: Cho G trọng tâm tam giác Chọn câu A GA GB GC B GA GB GC C GA GB GC D GA GB GC Lời giải: Các tia AG,BG CG cắt BC,AC,AB D,E,F D,E,F theo thứ tự trung điểm BC,AC,AB Mà AC AB BC (do tam giác ABC tam giác đều), BD DC CE EA AF FB Xét AEB AFC ta có: AB AC Achung AE AF AEB AFC(c.g.c) BE CF (1) Chứng minh tương tự ta có BEC ADC(c.g.c) BE AD (2) Từ (1) (2) ta có: AD BE CF (3) Theo đề G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: 2 GA AD;GB BE;GC CF 3 Vì từ (3) ta suy GA GB GC Đáp án cần chọn A Câu 17: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC;CE Gọi I;K theo thứ tự giao điểm AM,AN BE Tính BE biết IK 3cm A 6cm B 9cm C 12cm D 15cm Lời giải: Ta có: DE DB mà BD DE BE nên 2BD BE BD DE BE Vì AM, DB hai đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt I nên I trọng tâm tam giác ABC 2 1 Khi đó: BI BD BE BE (1) 3 Vì AN, ED hai đường trung tuyến tam giác ACE chúng cắt K nên K trọng tâm tam giác ACE nên 2 1 EK ED BE BE (2) 3 Mặt khác BI IK KE BE kết hợp với (1);(2) suy 1 BE IK BE BE IK BE 3 Do đó: BE 3IK 3.3 9cm Đáp án cần chọn B Câu 18: tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE Chọn câu BC A BD CE BC B BD CE BC C BD CE D BD CE BC Lời giải: Gọi G giao điểm BD CE Trong GBC ta có BG CG BC 2 Ta lại có: BD BD;CG CE (tính chất đường trung tuyến tam giác ABC) 3 Từ đó: 2 BD CE BG CG (BD CE) BG CG 3 BD CE BC Đáp án cần chọn B Câu 19: Cho G trọng tâm tam giác D,E,F trung điểm BC,AC,AB.Chọn câu A GD GE GF B GD GE GF C GD GE GF D GD GE GF Lời giải: Vì D,E,F trung điểm BC,AC,AB nên BD CE BC GBC BG CG BC 2 BD BD;CG CE 3 2 BD CE BG CG (BD CE) BG CG 3 BD CE BC 1 BD DC BC;CE EA AC;AF FB AB 2 Mặt khác AC AB BC (do tam giác ABC tam giác đều), BD DC CE EA AF FB Xét AEB AFC ta có: AB AC Achung AE AF AEB AFC(c.g.c) BE CF (1) Chứng minh tương tự ta có BEC ADC(c.g.c) BE Từ (1) (2) ta có: AD BE CF (3) Theo đề G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: 2 GA AD;GB BE;GC CF 3 1 GD AD;GE BE;GF CF 3 Kết hợp với (3) ta được: GD GE GF Đáp án cần chọn D AD (2) ... giác có hai trọng tâm Lời giải: + Một tam giác có trọng tâm nên đáp án D sai Đáp án cần chọn là: D Câu 5: Cho hình vẽ sau 5.1: Biết MG A 1cm B 2cm C 3cm 3cm Tính MR D 4,5 cm Lời giải: Ta có: ... định lí Pytago vào tam giác ACE vng A ta có: AC2 AE CE 92 62 CE CE 1 17 CE 117cm Đáp án cần chọn B Câu 12: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài cạnh BC biết BD... GE Xét tam giác BGE tam giác CGD có: BG CG GD GE BGE CGD (đối đỉnh) AB Do AB AC hay tam giác ABC cân A Đáp án cần chọn D BGE CDG(c.g.c) BE CD Câu 9: Tam giác ABC có trung tuyến AM A 4,5 cm B cm