Skkn khai thác một số dạng bài tập về hàm hợp nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOÀNG LỆ KHA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM HỢP NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 12 Người thực hiện: Cù Thị Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực ( mơn ): Tốn THANH HĨA NĂM 2022 MỤC LỤC skkn MỞ ĐẦU….….………………………………………………… …… …… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… ………… 1.5 Những điểm sáng kiến ……………………………….…………… NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM………………… ……… 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề……… ……………………………………… … 2.3 Các giải pháp thực hiện……… ………………………………… ……… 2.4 Hiệu sáng kiến………… ……………………………… 29 KẾT LUẬN…………………………………… ……….…………… 29 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong q trình giảng dạy, tơi nhà trường tin tưởng phân công dạy lớp 12 ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia Chính ngồi việc giúp em nắm kiến thức tơi cịn phải bồi dưỡng cho em ôn thi THPT quốc gia nhiệm vụ quan trọng Trong đề thi THPT quốc gia năm năm gần đây, toán liên quan đến hàm hợp thường dạng thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Chính học sinh không ôn luyện cách hệ thống thường lúng túng nhiều thời gian để tìm lời giải Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia với kinh nghiệm q trình giảng dạy Tơi tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘ Khai thác số dạng tập hàm hợp nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 12’’ Hi vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp dạy học hiệu hơn, giúp em học sinh xử lí tốt tốn liên quan đến hàm hợp 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp kỹ để học sinh giải tốn hàm hợp mức độ thông hiểu, vận dụng vận dụng cao, tránh tình trạng em gặp phải toán thường làm phức tạp vấn đề làm nhiều thời gian hay không giải Với hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn áp lực thời gian vấn đề, địi hỏi học sinh có cách giải nhanh tập Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp toán hàm hợp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 Đối tượng nghiên cứu : phép toán tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, tính đơn điệu dấu đạo hàm, điều kiện đủ để hàm số có cực trị, qui tắc tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu tài liệu liên quan sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo toán trắc nghiệm liên quan đến hàm số Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thông Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm lớp 12A7, 12A10 trường THPT Hoàng Lệ Kha skkn 1.5 Những điểm sáng kiến  Việc sử dụng kiến thức liên quan đến hàm số để xét tính đơn điệu, tìm cực trị, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm hợp  Hệ thống tập dạng trắc nghiệm NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Đẩy mạnh việc đổi dạy học (PPDH) diễn tất trường học, việc đổi phương pháp dạy học đem lại chất lượng hiệu cao giảng dạy Đổi PPDH trường THPT diễn theo bốn hướng chủ yếu sau :  Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học tập học sinh  Bồi dưỡng phương pháp tự học  Rèn luyện kỹ lý thuyết vào thực tiễn  Tác động đến tình cảm, đem lại niền vui, hứng thú học tập cho học sinh Trong hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động học tập học sinh xem chủ đạo, chi phối đến hướng lại 2.2 Thực trạng vấn đề Giải tập liên quan đến hàm hợp dạng tập khó học sinh đặc biệt học sinh đại trà Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian tìm phương pháp giải tính tốn Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm cách giải đơn giản, thuận lợi để giải tốn cách nhanh chóng 2.3 Các giải pháp thực Khi tiếp cận toán, giáo viên phải giúp học sinh nhận dạng tập sau giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán hàm hợp, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức tính đơn điệu, cực trị hàm số, cách tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng, đoạn Sau giáo viên chọn số tốn điển hình để học sinh vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số dạng tập xét tính đơn điệu, tìm cực trị, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 2.3.1 Kiến thức tốn kỹ có liên quan  Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y  f  x  hàm số xác định K, ta nói: + Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) K skkn x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: + Nếu f   x   , x  K f   x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K + Nếu f   x   , x  K f   x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K  Cực trị hàm số Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập K x0  K Ta nói: + x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng  a; b  chứa x0 cho  a; b   K f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f + x0 điểm cực đại hàm số f tồn khoảng  a; b  chứa x0 cho  a; b   K f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f + Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị + Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị + Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K + Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số + Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm  x0 ; f  x0   gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f  Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số skkn Định nghĩa Cho hàm số xác định tập + Số M gọi giá trị lớn hàm số nếu: + Kí hiệu: + Số gọi giá trị nhỏ hàm số nếu: + Kí hiệu: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn Bước 1: Hàm số cho Tìm điểm xác định liên tục đoạn khoảng , khơng xác định Bước 2: Tính Bước 3: Khi đó: o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng Bước 1: Tính đạo hàm Bước 2: Tìm tất nghiệm điểm Bước 3: Tính làm cho phương trình tất không xác định , , Bước 4: So sánh giá trị tính kết luận skkn , , + Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) + Nếu đồng biến + Nếu nghịch biến + Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng  Đạo hàm hàm hợp: g  x   f  u  x    g ( x)   f  u  x     u  x  f   u   Sự tương giao hai đồ thị Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  nghiệm phương trình f  x   g  x  (1) Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số  Tính chất đổi dấu biểu thức Gọi  nghiệm phương trình f  x   Khi Nếu  nghiệm bội bậc chẵn f  x  không đổi dấu qua  Nếu  nghiệm bội bậc lẻ f  x  đổi dấu qua  2.3.2 Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm hợp Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số g ( x)  f  u  x   biết bảng xét dấu đồ thị hàm số f   x   Các bước giải: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g ( x)  f  u  x   Bước 2: Dựa vào đồ thị bảng xét dấu hàm số f   x  suy số nghiệm phương trình g   x   Bước 3: Lập bảng biến thiên cuả hàm số g ( x)  f  u  x   suy số cực trị  Các ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm f   x  sau: skkn Hàm số y  f  x  x  nghịch biến khoảng đây? A  2;1 B  4;  3 C  0;1 D  2;  1 Lời giải Chọn D Đặt: y  g  x   f  x  x  ; g   x   f  x  x     x   f   x  x    g x     2x  2 f  x2  2x    x  1 x      x  1   2 x   x  x       x  1  2  x  2x   f   x  x   x 1    x  x   x  3 Nghiệm x  1  nghiệm bội chẵn phương trình x  x  Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số y  f  x  x  nghịch biến khoảng  2; 1 Chú ý: Cách xét dấu g   x  : Chọn giá trị (dựa theo bảng   xét dấu hàm f   x  ) Suy g   x   0, x  1; 1  Sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “lẻ đổi, chẵn không” suy dấu g   x  khoảng cịn lại Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  có đồ thị hàm f   x  hình vẽ bên Hỏi hàm số y  f  x  1 nghịch biến khoảng sau đây? skkn A  1;0  B  0;1 C  ;0  Lời giải D  0;  Chọn B Ta có y  x f   x  1 x  x  x  x     y   x f   x  1    x   2   x  1    x    x   x  1  x2    x2     Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên chọn đáp án B Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x    x   Khi hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng đây? A  3;  B  3;0  C   ; 3 D  2;2  Lời giải Chọn C Ta có y   f  x     x   x  x    x    x  x  3  x  3  x    x     Cho y   x  3 x  2 x  x  x  Ta có bảng xét dấu y skkn Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x  A  3;1  x  1  B  2;0  đồng biến khoảng C  1;3 3  D  1;  2  Lời giải Chọn A g  x  f  x  x  1   g   x   f   x    x  1 Hàm số cho đồng biến g   x    f   x    x  1   f   x    x  1 Vẽ đồ thị hàm số y  x  lên hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y  f   x  ta thấy: f   x    x  1 x   3;1   3;   Chọn đáp án A Dạng 2: Tìm cực trị của hàm hợp 10 skkn Tìm cực trị hàm số g ( x)  f  u  x   biết bảng xét dấu đồ thị hàm số  Các bước giải: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g ( x)  f  u  x   Bước 2: Dựa vào đồ thị bảng bảng xét dấu hàm số suy số nghiệm phương trình g   x   Bước 3: Dựa vào số nghiệm phương trình g   x   lập bảng biến thiên cuả hàm số g ( x)  f  u  x   suy số cực trị  Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ sau: Số điểm cực trị hàm số y  f ( x )  x A B C D Lời giải Chọn C Ta có y  f ( x )  x Suy y  f ( x)  Số điểm cực trị hàm số y  f ( x )  x số nghiệm bội lẻ phương trình y  Ta có y  f ( x )    f ( x )  11 skkn Dựa vào đồ thị ta có y  f ( x) cắt đường thẳng y  điểm Suy số điểm cực trị hàm số y  f ( x )  x Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm x   , hàm số f ( x)  x  ax  bx  c có đồ thị ( hình vẽ ) Số điểm cực trị hàm số y  f  f   x   A B 11 C D Lời giải Chọn A Quan sát đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số f ( x)  x  ax  bx  c qua điểm O  0;0  ; A  1;0  ; B  1;0  Khi ta có hệ phương trình: c  a    a  b  1  b  1  f   x   x  x  f   x   3x  a  b  c    Đặt: g  x   f  f   x    Ta có: g   x   f  f   x    f   f   x   f   x    x  x    x  x    3x  1   3  x  x  1  x  1  x  x  1  x  x  1  3x  1   x  x  x 1 x 1    x  1  x  1  g x       x  a ( 0,76) x  x 1   x  b  b  1,32   x3  x      3 x    x   Ta có bảng biến thiên: 12 skkn * Cách xét dấu g   x  : chọn x    1;   ta có: g      g   x   0x   1;   , từ suy dấu g   x  khoảng lại Dựa vào BBT suy hàm số có điểm cực trị * Trắc nghiệm: Số điểm cực trị số nghiệm đơn ( nghiệm bội lẻ) phương trình đa thức g   x   PT g   x   có nghiệm phân biệt nên hàm số cho có điểm cực trị Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức có bảng xét dấu f   x  sau Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  A B D C Lời giải Chọn A   Ta có g  x   f  x  x   f x  x Số điểm cực trị hàm số f  x  hai lần số điểm cực trị dương hàm số f  x  cộng thêm Xét hàm số   x  x    h  x   f  x  x   h  x    x  1 f   x  x     x  x  1      x2  x   x    Bảng xét dấu hàm số h  x   f  x  x  Hàm số h  x   f  x2  x   có điểm cực trị dương, hàm số  g  x   f  x  x   f x  x có điểm cực trị Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm hợp Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số g ( x)  f  u  x   biết bảng xét dấu f   x  đồ thị hàm số f   x   Các bước giải: 13 skkn Bước 1: Tính đạo hàm hàm số g ( x)  f  u  x   Bước 2: Dựa vào đồ thị bảng xét dấu hàm số f   x  suy số nghiệm phương trình g   x   Bước 3: Lập bảng biến thiên cuả hàm số g ( x)  f  u  x   suy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số  Ví dụ áp dụng Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f   x  hình vẽ Giá trị lớn hàm số g  x   f  x   x  x  đoạn  1;2 5 A f  1  B f  1  C f    D  3 3 Lời giải Chọn B 2 Ta có: g   x   f   x   x   f   x    x  1   f   x   x  (*) Từ đồ thị ta cáo bảng xét dấu 14 skkn Giá trị lớn hàm số g  x   f  x   x  x  đoạn  1;2 f  1  Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau 3 Tìm giá trị lớn hàm số g  x   f  x  x   x  x  3x  đoạn 15  1;2 ? A 2022 B 2019 C 2020 D 2021 Lời giải Chọn D g   x    3x  3 f   x  3x   x  x    x  1 3 f   x  3x   x  3 3 f   x  x   x   g x     x2    3 Mà x   1;2  x  x   2;2  f   x  3x    f   x  3x   x   , g   x    x    x  1 Ta có y  g  1  f  2    2021 Vậy max  1;2 15 skkn Ví dụ 3: Cho hàm sớ f  x  Biết hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Trên đoạn  4;3 , hàm số g  x   f  x     x  đạt giá trị nhỏ điểm A x0  4 B x0  1 C x0  Lời giải D x0  3 Chọn B Ta có g   x   f   x     x    f   x     x   Vẽ đường thẳng y   x hệ trục chứa đồ thị y  f   x   x  4  Dựa vào hình vẽ ta có g   x    f   x    x   x  1  x  Ta có bảng biến thiên 16 skkn Vậy hàm số g  x   f  x     x  đạt giá trị nhỏ x0  1 2.3.3 Một số tập tương tự Bài Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x. x    x   Hàm số g  x   f  10  x  đồng biến khoảng đây? A  ;1 B  1;2  C  2;  D  1;3 Bài Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f ( x)  x( x  1) ( x  2) với giá trị  5x  thực x Xét hàm số g ( x)  f   Trong khẳng định sau khẳng  x 4 định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng (0;1) B Hàm số nghịch biến khoảng (0;4) C Hàm số đạt cực đại x  D Hàm số đạt giá trị nhỏ x 1 Bài Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên 2 Hỏi hàm số g  x   f  x  x   x  3x đồng biến khoảng đây?   A   ;0    1  B  ;1 4  C  0;1 D  ;0  2 Bài Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   (3  x)  10  3x   x   với Bài x   Hàm số g  x   f   x   ( x  1)3 đồng biến khoảng khoảng sau? 1  A  ;0  B  0;1 C  1;   D  ;   2  Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau 17 skkn Hàm số y   f  x     f  x   nghịch biến khoảng đây? A  2;3 B  1;2  C  3;4  D   ;  1 Bài Cho hàm số y  f  x  , hàm số f   x   x  ax  bx  c  a, b, c    có đồ thị  có đồ thị hình vẽ Hàm số g  x   f  f   x   nghịch biến khoảng đây? A  1;  B  ; 2   3 ; D     3  Bài Cho hàm số y  f  x  , hàm số f   x   x  ax  bx  c  a, b, c   C  1;0  hình vẽ Hàm số g  x   f  f   x   nghịch biến khoảng đây? A  1;  B  ; 2   3 ; D    3   C  1;0  18 skkn Bài Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm  Biết hàm số f '  x  có đồ thị cho hình vẽ Có giá trị nguyên m thuộc  2019;2019 x để hàm só g  x   f  2019   mx  đồng biến  0;1 A 2028 B 2019 C 2011 D 2020 Bài Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số f   x  hình vẽ Biết f    f  1  f    f    f   Giá trị nhỏ m , giá trị lớn M hàm số f  x  đoạn  0;4 A m  f   , M  f  1 B m  f   , M  f   C m  f  1 , M  f   D m  f   , M  f   Bài 10 Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x  Đồ thị hàm số y  f   x  cho hình vẽ Biết f    f    f  3  f   Giá trị nhỏ lớn f  x  đoạn  0;4 A f   , f   B f   , f   C f   , f   D f   , f   Bài 11 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình Tìm giá trị lớn 2 hàm số g  x   f  x  x   x  x  x  đoạn  1;3 3 19 skkn A 15 B 25 C 19 D 12 Bài 12 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x   với x   Hàm số g  x   f   x  có điểm cực đại? A B C D Bài 13 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  bảng xét dấu đạo hàm Hàm số y  f ( x  x  6)  x  x  12 x có tất điểm cực tiểu? A B C D Bài 14 Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ 2019 Xét hàm số y  g ( x)  f  x    2018 Số điểm cực trị hàm số g ( x) A B C Bài 15 Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Biết hàm số có đồ thị y  f '  x  hình vẽ Hàm số g  x   f  x   x đạt cực tiểu tại điểm A x  C không có điểm cực tiểu B x  D x  20 skkn D 2.4 Hiệu sáng kiến Năm học 2021-2022 giao nhiệm vụ giảng dạy mơn Tốn lớp : 12A7, 12A10 Trong hai lớp đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải toán Tuy nhiên gặp toán hàm hợp mức vận dụng em lúng túng từ khâu tính đạo hàm, tìm nghiệm đạo hàm xét dấu đạo hàm Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp dạy mình, tơi thu nhiều kết khả quan Hoạt động học tập học sinh diễn sôi nổi, đa số học sinh hiểu vận dụng vào giải toán Một số học sinh giỏi biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm đề thi sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức Kết kiểm tra: Lớp Điểm yếu Số % 12A7 5,1 12A10 7,1 Điểm TB Điểm Số % Số % 12,8 30 77 10,7 20 71,6 KẾT LUẬN Điểm giỏi Số % 5,1 10,7 3.1 Kết luận Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn hầu hết em vận dụng tốt 3.2 Kiến nghị Mặc dù có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Cù Thị Hà 21 skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12; tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên); Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo Dục năm 2008 Chuyên đề bám sát đề thi THPTQG hàm số, đồ thị ứng dụng; tác giả Lê Hồ Quí; Nguyễn Tài Chung; NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2021 Hàm số đạo hàm ứng dụng; tác giả Lê Hồng Đức; Đỗ Hoàng Hà; Lê Hoàng Nam; Đoàn Minh Châu; Đào Thị Ngọc Hà; NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trọng tâm kiến thức tập giải tích tự luận trắc nghiệm 12; tác giả Phan Huy Khải; NXB Giáo Dục; xuất năm 2008 Nguồn khác: Internet 22 skkn skkn ... dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia với kinh nghiệm trình giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘ Khai thác số dạng tập hàm hợp nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 12? ??’... động học tập học sinh xem chủ đạo, chi phối đến hướng lại 2.2 Thực trạng vấn đề Giải tập liên quan đến hàm hợp dạng tập khó học sinh đặc biệt học sinh đại trà Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh. .. học sinh có cách giải nhanh tập Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp toán hàm hợp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12