Luận án tiến sĩ chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh, dầm dựa trên phương trình tần số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ––––––––––––––––––––––––––––– Phạm Thị Ba Liên CHẨN ĐỐN VẾT NỨT TRONG KẾT CẤU THANH, DẦM DỰA TRÊN PHƢƠNG TRÌNH TẦN SỐ LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ––––––––––––––––––––––––––––– Phạm Thị Ba Liên CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG KẾT CẤU THANH, DẦM DỰA TRÊN PHƢƠNG TRÌNH TẦN SỐ Chuyên ngành : Cơ kỹ thuật Mã số : 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - Năm 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chƣa đƣợc công bố cơng trình khác Tác giả luận án Phạm Thị Ba Liên ii LỜI CÁM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hƣớng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm TS Nguyễn Minh Tuấn tận tâm hƣớng dẫn khoa học, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Nhà khoa học, Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học công nghệ Việt Nam, Trƣờng Đại học Giao thông Vận tải quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi q trình thực luận án Cuối tơi xin chân thành cám ơn tới bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, ủng hộ tác giả trình thực luận án iii MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN i LỜI CAM ĐOAN i MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vi DANH MỤC BẢNG x MỞ ĐẦU .1 CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Bài toán chẩn đoán hƣ hỏng kết cấu 1.2 Chẩn đoán vết nứt kết cấu thanh, dầm tần số riêng 1.3 Tần số phản cộng hƣởng ứng dụng 1.4 Đặt vấn đề nội dung nghiên cứu luận án 13 CHƢƠNG DAO ĐỘNG DỌC TRỤC CỦA THANH CÓ NHIỀU VẾT NỨT 16 2.1 Phƣơng trình tần số dao động dọc trục có nhiều vết nứt 16 2.1.1 Hàm dạng dao động dọc trục tổng quát có nhiều vết nứt 16 2.1.2 Phương trình tần số dao động dọc trục có nhiều vết nứt 20 2.1.3 Kết số thảo luận 24 2.2 Công thức Rayleigh dao động dọc trục có nhiều vết nứt 33 2.2.1 Cơng thức Rayleigh có nhiều vết nứt .34 2.2.2 Tính tốn tần số riêng có nhiều vết nứt cơng thức Rayleigh 36 2.2.3 Kết minh họa số 39 KẾT LUẬN CHƢƠNG 43 CHƢƠNG CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH BẰNG TẦN SỐ PHẢN CỘNG HƢỞNG 44 3.1 Phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng có vết nứt 44 3.1.1 Hàm đáp ứng tần số có nhiều vết nứt 44 3.1.2 Phương trình tần số phản cộng hưởng có nhiều vết nứt 46 3.1.3 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số phản cộng hưởng .48 3.2 Chẩn đoán vết nứt tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng 53 iv 3.2.1 Phương trình thuật tốn chẩn đốn 53 3.2.2 Kết thử nghiệm số 56 KẾT LUẬN CHƢƠNG 61 CHƢƠNG CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM ĐÀN HỒI BẰNG TẦN SỐ PHẢN CỘNG HƢỞNG 62 4.1 Phƣơng trình tần số dao động uốn dầm có nhiều vết nứt 62 4.1.1 Hàm dạng dao động uốn tổng quát dầm có nhiều vết nứt 62 4.1.2 Phương trình tần số dao động uốn dầm có nhiều vết nứt .64 4.1.3 Kết số thảo luận 67 4.2 Tần số phản cộng hƣởng dầm có vết nứt .71 4.2.1 Hàm đáp ứng tần số dao động uốn dầm đàn hồi có vết nứt 71 4.2.2 Phương trình tần số phản cộng hưởng dầm có vết nứt 73 4.2.3 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số phản cộng hưởng dầm đàn hồi 77 4.3 Chẩn đoán vết nứt dầm tần số phản cộng hƣởng .84 4.3.1 Thuật toán chẩn đoán 84 4.3.2 Kết thử nghiệm số 87 KẾT LUẬN CHƢƠNG 95 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 96 DANH MỤC CÁC CÔNG BỐ KHOA HỌC 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 PHỤ LỤC 105 v DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT A Diện tích mặt cắt ngang (m2) a Chiều sâu vết nứt (m) b Chiều rộng mặt cắt ngang (m) E Mô đun đàn hồi vật liệu thanh, dầm (GPa) ej Tỷ số vị trí vết nứt vị trí xj h Chiều cao mặt cắt ngang (m) H Ma trận hàm đáp ứng tần số I Mô men qn tính hình học mặt cắt ngang (m4) L Chiều dài thanh, dầm (m) Kj Độ cứng lò xo tƣơng đƣơng K Ma trận độ cứng động xj Vị trí vết nứt (m) ν Hệ số Poission vật liệu 0, 0 Tham số điều kiện biên đầu trái kết cấu 1, 1 Tham số điều kiện biên đầu phải kết cấu  Tham số độ lớn vết nứt (gọi tắt độ lớn vết nứt)  Tham số tần số cộng hƣởng (tần số cộng hƣởng)  Tham số tần số phản cộng hƣởng (tần số phản cộng hƣởng) j Tham số vết nứt  Khối lƣợng riêng (kg/m3) (x) Dao động kết cấu thanh, dầm  Tần số cộng hƣởng (rad/s)  Tần số phản cộng hƣởng (rad/s) vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Mơ hình vết nứt 16 Hình 2.2 So sánh kết tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai đầu ngàm có vết nứt chiều sâu 25 Hình 2.3 So sánh kết tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai hai đầu ngàm có vết nứt có chiều sâu 26 Hình 2.4 So sánh kết tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba hai đầu ngàm có vết nứt có chiều sâu 26 Hình 2.5 So sánh kết tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ cho đầu ngàm đầu tự có vết nứt có chiều sâu .27 Hình 2.6 So sánh kết tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai cho đầu ngàm đầu tự có vết nứt có chiều sâu .27 Hình 2.7 So sánh kết tính toán tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba cho đầu ngàm đầu tự có vết nứt có chiều sâu .28 Hình 2.8 So sánh kết tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ cho hai đầu tự có vết nứt có chiều sâu .28 Hình 2.9 So sánh kết tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai cho hai đầu tự có vết nứt có chiều sâu .29 Hình 2.10 So sánh kết tính tốn tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba cho hai đầu tự có vết nứt có chiều sâu .29 Hình 2.11 Sự thay đổi tỷ số tần số cộng hƣởng thứ đầu ngàm đầu tự theo vị trí vết nứt (10% –50%) 30 Hình 2.12 Sự thay đổi tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai đầu ngàm đầu tự theo vị trí vết nứt (10% –50%) .31 Hình 2.13 Sự thay đổi tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba đầu ngàm đầu tự theo vị trí vết nứt (10% –50%) 31 Hình 2.14 Sự thay đổi tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai đầu tự theo vị trí vết nứt (10% –50%) .32 Hình 2.15 Sự thay đổi tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai hai đầu tự theo vị trí vết nứt (10% –50%) 32 vii Hình 2.16 Sự thay đổi tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba hai đầu tự theo vị trí vết nứt (10% –50%) 33 Hình 2.17 Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ đầu ngàm đầu tự .39 Hình 2.18 Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai đầu ngàm đầu tự 40 Hình 2.19 Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba đầu ngàm đầu tự .40 Hình 2.20 Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai đầu tự 41 Hình 2.21 Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ hai hai đầu tự .41 Hình 2.22 Tỷ số tần số cộng hƣởng thứ ba hai đầu tự 42 Hình 3.1 Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ đầu ngàm đầu tự phụ thuộc vào vị trí chiều sâu vết nứt 51 Hình 3.2 Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ hai đầu ngàm đầu tự phụ thuộc vào vị trí chiều sâu vết nứt .51 Hình 3.3 Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ ba đầu ngàm đầu tự phụ thuộc vào vị trí chiều sâu vết nứt .52 Hình 3.4 Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ hai đầu tự phụ thuộc vào vị trí chiều sâu vết nứt 52 Hình 3.5 Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ hai hai đầu tự phụ thuộc vào vị trí chiều sâu vết nứt 52 Hình 3.6 Tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ ba hai đầu tự phụ thuộc vào vị trí chiều sâu vết nứt 53 Hình 3.7 Sơ đồ thuật tốn chẩn đốn vết nứt phƣơng trình tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng 54 Hình 3.8 Vị trí vết nứt cho đầu ngàm đầu tự phƣơng trình tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng vị trí 0.75 58 Hình 3.9 Vị trí vết nứt cho đầu ngàm đầu tự phƣơng trình tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng vị trí 0.5 .58 Hình 3.10 Vị trí vết nứt cho đầu ngàm đầu tự phƣơng trình tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng vị trí 0.25 59 Hình 4.1 Mơ hình dầm có nhiều vết nứt .62 viii Hình 4.2 Tỷ số tần số riêng dầm công – xôn c ba vết nứt phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt đƣợc tính từ phƣơng trình xấp x phƣơng trình xác 69 Hình 4.3 Tỷ số tần số riêng dầm cơng – xơn c chín vết nứt phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt đƣợc tính từ phƣơng trình xấp x phƣơng trình xác 70 Hình 4.4 Tỷ số tần số riêng dầm công – xơn c mƣời chín vết nứt phụ thuộc chiều sâu vết nứt đƣợc tính từ phƣơng trình xấp x phƣơng trình xác 70 Hình 4.5 Sự phụ thuộc tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ tính tốn cho dầm cơng xơn vào vị trí chiều sâu vết nứt (điểm đo đầu tự do) 78 Hình 4.6 Sự phụ thuộc tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ hai tính tốn cho dầm cơng xơn vào vị trí chiều sâu vết nứt (điểm đo đầu tự do) 78 Hình 4.7 Sự phụ thuộc tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ ba tính tốn cho dầm cơng xơn vào vị trí chiều sâu vết nứt (điểm đo đầu tự do) 79 Hình 4.8 Tỷ số tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng thứ tính tốn cho dầm tựa đơn phụ thuộc vào vị trí chiều sâu vết nứt (điểm đo dầm) .79 Hình 4.9 Sự thay đổi tỷ số tần số phản cộng hƣởng thứ vết nứt phụ thuộc vào vị trí đặt lực vị trí vết nứt khác tính tốn cho dầm cơng xơn với chiều sâu vết nứt 40% 80 Hình 4.10 Sơ đồ thuật toán chẩn đoán vết nứt dầm phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng .85 Hình 4.11 Chẩn đốn vết nứt dầm cơng xơng tần số phản cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo 10 số lƣợng vết nứt giả thiết 15 .87 Hình 4.12 Chẩn đốn vết nứt dầm công xông tần số phản cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo 13 số lƣợng vết nứt giả thiết 15 .87 Hình 4.13 Chẩn đốn vết nứt dầm công xông tần số phản cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo 14 số lƣợng vết nứt giả thiết 15 .88 Hình 4.14 Kết chẩn đốn vết nứt dầm cơng xơn tần số phản cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo 15 số lƣợng vết nứt giả thiết 15 Vết nứt thực e = 0.2 có chiều sâu a/h=10% 88 Hình 4.15 Chẩn đốn vết nứt dầm công xôn tần số phản cộng hƣởng với số lƣợng điểm đo 10 số lƣợng vết nứt giả thiết 20 .89 93 + Trường hợp 4: Chẩn đoán ba vết nứt dầm cơng xơn vị trí khác e = 0.2 ; 0.5 ; 0.9 có chiều sâu tương ứng a/h = 20% ; 30%; 50% Hình 4.23 Chẩn đốn a vết nứt dầm cơng xơn tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 10 số lượng vết nứt giả thiết 20 Hình 4.24 Chẩn đốn a vết nứt dầm công xôn tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 16 số lượng vết nứt giả thiết 20 94 Hình 4.25 Chẩn đốn a vết nứttrong dầm cơng xơn tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 18 số lượng vết nứt giả thiết 20 Hình 4.26 Kết chẩn đốn a vết nứt dầm công xôn tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 20 số lượng vết nứt giả thiết 20 Vết nứt thực vị trí e = 0.2;0.5; 0.9 có chiều sâu tương ứng a/h=30%;20%;50% Khảo sát hình vẽ cho thấy: vết nứt đơn c chiều sâu 10% ln đƣợc chẩn đốn xác tần số phản cộng hƣởng đo đạc đƣợc 10 vị trí khác nhau, nhƣng n ch đƣợc chẩn đoán cách tần số phản cộng hƣởng đo đƣợc 15 vị trí (Hình 4.6) Tuy nhiên, để chẩn đốn xác vết nứt 95 đơn c chiều sâu 30% cần đến số lƣợng tần số phản cộng hƣởng 18 điểm lƣới chia gồm 20 điểm (Hình 4.16) Việc chẩn đốn ba vết nứt đƣợc thực với hai kịch bản: ba vết nứt có chiều sâu (Hình 4.21) ba vết nứt có chiều sâu khác (Hình 4.25) Trong kịch thứ nhất, ba vết nứt đƣợc chẩn đoán xác ổn định 10 tần số phản cộng hƣởng lƣới chia 20 điểm Trong kịch thứ hai ba vết nứt đƣợc chẩn đốn xác với 20 điểm đo tần số phản cộng hƣởng Rõ ràng để chẩn đốn xác số lƣợng vết nứt đ cần số lƣợng tần số phản cộng hƣởng nhiều số lƣợng điểm chia lƣới dị tìm vết nứt cần xấp x số lƣợng tần số phản cộng hƣởng KẾT LUẬN CHƢƠNG Nhƣ vậy, Chƣơng này: Đã thiết lập đƣợc phƣơng trình đặc trƣng để tính tốn tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng dao động uốn dầm có nhiều vết nứt dạng tƣờng minh tham số vết nứt ch xấp x tiệm cận khả ứng dụng tính tốn tần số cơng hƣởng phản cộng hƣởng dầm Đã nghiên cứu thay đổi tần số phản cộng hƣởng phụ thuộc vào vết nứt vị trí đo đạc tần số phản cộng hƣởng ch thay đổi tần số phản cộng hƣởng vết nứt tƣơng tự nhƣ thay đổi tần số phản cộng hƣởng, nhƣng số lƣợng điểm nút tần số phản cộng hƣởng nhiều tần số phản cộng hƣởng Đồng thời ch phụ thuộc tần số phản cộng hƣởng dầm có vết nứt phụ thuộc đáng kể vào vị trí đo đạc tần số phản cộng hƣởng Đây dấu hiệu hữu ích để chẩn đoán vết nứt tần số phản cộng hƣởng Đã thử nghiệm giải toán chẩn đoán ba vết nứt dầm công xôn tần số phản cộng hƣởng Kết chẩn đoán minh chứng cho tính hiệu dụng cao tần số phản cộng hƣởng so với tần số cộng hƣởng 96 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận án là: Đã thiết lập đƣợc phƣơng trình đặc trƣng tƣờng minh cho tần số cộng hƣởng tần số phản cộng hƣởng dao động dọc trục dao động uốn kết cấu chiều (thanh, dầm) có nhiều vết nứt [Cơng bố số số 2] Đã xây dựng đƣợc công thức Rayleigh mở rộng xấp x bậc nhất, bậc hai biểu diễn mối liên hệ tƣờng minh dạng đa thức tần số dao động dọc trục với tham số vết nứt, phục vụ việc tính tốn chẩn đốn vết nứt [Cơng bố số 3] Sử dụng phƣơng trình đƣợc thiết lập luận án này, nghiên cứu chi tiết ảnh hƣởng tham số vết nứt đến tần số cộng hƣởng tần số phản cộng hƣởng kết cấu thanh, dầm có vết nứt [Cơng bố số 4] Đã giải toán chẩn đoán vết nứt thanh, dầm tần số phản cộng hƣởng khẳng định tính ƣu việt tần số phản cộng hƣởng so với tần số cộng hƣởng (tần số riêng) [Công bố số số 5] Những đóng góp luận án là: Phƣơng trình tần số cộng hƣởng phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng dạng tƣờng minh lần đƣợc xây dựng, cung cấp công cụ để chẩn đoán vết nứt thanh, dầm tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng Công thức Rayleigh, biểu thức tƣờng minh tần số dao động dọc trục thông qua tham số vết nứt lần đƣợc xây dựng luận án Kết góp phần đ ng g p công cụ khác phục vụ việc chẩn đoán vết nứt tần số riêng Đã nghiên cứu ảnh hƣởng vết nứt đến tần số phản cộng hƣởng thanh, dầm khẳng định tần số phản cộng hƣởng đặc trƣng số dễ dàng đo đƣợc nhƣ tần số riêng, nhƣng lại chứa thông tin cục nhƣ dạng dao động riêng Vì vậy, tần số phản cộng hƣởng ch số hữu hiệu tần số riêng việc để chẩn đoán vết nứt kết cấu thanh, dầm Hƣớng nghiên cứu nghiên cứu thực nghiệm để kiểm chứng kết lý thuyết đạt đƣợc, làm sở để ứng dụng kết nghiên cứu vào thực tế 97 DANH MỤC CÁC CÔNG BỐ KHOA HỌC Tran Thanh Hai, Nguyen Tien Khiem, Pham Thi Ba Lien, Characteristic equation for antiresonant frequencies of multiple cracked bars and application for crack detection, Nondestructive Testing and Evaluation, 2019, VOL 34, NO 3, 299–323 DOI:10.1080/10589759.2019.1605604 (ISI) Phạm Thị Ba Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Phƣơng trình đặc trƣng xác dầm Euler–Bernoulli c nhiều vết nứt ứng dụng, Tuyển tập báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc 9/04/2019, pp.149–156 Nguyen Tien Khiem, Nguyen Minh Tuan, Pham Thi Ba Lien, Rayleigh quotient for longitudinal vibration of multiple cracks bar and application./ Modern Mechanics and Applications, N.T Khiem et al (Eds) Select Proceedings of ICOMMA 2020, pp 13–25 DOI: 10.1007/978–981–16– 3239–6_2 (SCOPUS) Pham Thi Ba Lien, Nguyen Tien Khiem, Resonant and antiresonant frequencies of multiple cracked bar Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 41, No (2019), pp 157 – 170 DOI: 10.15625/0866–7136/13092 Nguyen Tien Khiem, Nguyen Minh Tuan, Pham Thi Ba Lien, Crack Identification in Beams by Antiresonant Frequencies Vietnam Journal of Mechanics, 2021, Vol 43, No 4, pp 389–405 DOI: 10.15625/0866– 7136/16710 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S.W Doebling, C.R Farrar, M.B Prime, D.W Shevitz, Damage Identification and Health Monitoring of Structural and Mechanical Systems from Changes in Their Vibration Characteristics: A Literature Review Report LA–13070–MS, Los Alamos National Laboratory, 1996, New Mexico [2] H Sohn, C.R Farrar, F.M Hemez, D.D Shunk, D.W Stinemates, B.R Nadler, J.J Czarnecki, A Review of Health Monitoring Literature 1996–2001 Report No LA–13976–MS, Los Alamos National Laboratory, 2004, New Mexico [3] W Fan and P.Z Qiao, Vibration–based Damage Identification Methods: A Review and Comparative Study Structural Health Monitoring, 10 (1) (2011) 83–111 [4] R Hou and Y Xia, Review on the new development of vibration–based damage identification for civil engineering structures: 2010–2019 Journal of Sound and Vibration, Vol 491, 20 January 2021, 115741 DOI: 10.1016/j.jsv.2020.115741 [5] R.D Adams, P Cawley, C.J Pye, B.J Stone, A vibration technique for non– destructively assessing the integrity of structures Journal of Mechanical Engineering Science, 20 (1978) 93–100 [6] T G Chondros, A.D Dimarogonas, J Yao Longitudinal vibration of a continuous cracked rod Engineering Fracture Mechanics, 61 (1998) 593–606 [7] R Ruotolo, C Surace Natural frequencies of a rod with multiple cracks Journal of Sound and Vibration 272 (2004) 301–316 [8] Y Narkis, Identification of crack location in vibrating simply supported beams Journal of Sound and Vibration, 172 (1994) 549–558 [9] R.Y Liang, J Hu and F Choy, Theoretical Study of Crack–Induced Eigenfrequency Change on Beam Structures, Journal of Engineering Mechanics 118 (2) (1992) 384–395 [10] R.Y Liang, J Hu and F Choy, Quantitive NDE Technique for Assessing Damages in Beam Structures, Journal of Engineering Mechanics 118 (7) (1992) 1468–1487 99 [11] A Morassi, Crack–Induced Changes in Eigenparameters of Beam Structures, Journal of Engineering Mechanics 119(9) (1993) 1798–1803 [12] Nguyen Tien Khiem and Dao Nhu Mai Natural Frequency Analysis of Cracked Beam Vietnam Journal of Mechanics, Vol 19(2), 1997, pp 28–38 [13] T G Chondros, , A D Dimarogonas and J Yao A continuous cracked beam vibration theory Journal of Sound and Vibration, Vol 215, 1998, pp 17–34 [14] E.I Shifrin and R Ruotolo, Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks, Journal of Sound and Vibration 222(3) (1999) 409–423 [15] N.T Khiem and T.V Lien, A simplified method for natural frequency analysis of multiple cracked beam, Journal of Sound and Vibration 245(4) (2001) 737– 751 [16] K Aydin, Vibratory Characteristics of Euler–Bernoulli Beams with an Arbitrary Number of Cracks Subjected to Axial Load, Journal of Vibration and Control 14(4) (2008) 485–510 [17] J Fernandez–Saez, L Rubio, C Navarro Approximate calculation of the fundamenl frequency for bending vibration of cracked beams Journal of Sound and Vibration 225(2) (1999) 345–352 [18] Nguyen Tien Khiem and Tran Thanh Hai, The Rayleigh quotient for multiple cracked beam and application Vietnam Journal of Mechanics, 33(1) (2011) 1– 12 [19] N.T Khiem, L.K Toan A novel method for crack detection in beam–like structures by measurements of natural frequencies Journal of Sound and Vibration 333 (2014) 4084–4103 [20] N.T Khiem, H.T Tran, V.T.A Ninh A closed–form solution to the problem of crack identification for a multistep beam base on Rayleigh quotient International Journal of Solids and Structures 150 (2018) 154–165 [21] A Morassi Identification of a crack in a rod based on changes in a pair of natural frequencies Journal of Sound and Vibration, 242(4) (2001) 577–596 [22] M Dilena, A Morassi, Detecting cracks in a longitudinal vibrating beam with dissipative boundary conditions Journal of Sound and Vibration 267 (2003) 87–103 100 [23] L Rubio, J Fernandez–Saez, A Morassi, Identification of two cracks in rod Journal of Sound and Vibration 339 (2015) 99–111 [24] L Rubio, J Fernandez–Saez, A Morassi Crack identification in non–uniform rods by two frequency data International Journal of Solids and Structures 75– 76 (2015) 61–80 [25] L Rubio, J Fernandez–Saez, A Morassi, The full nonlinear crack detection problem in uniform vibrating rods Journal of Sound and Vibration 339 (2015) 99–111 [26] E.J Shifrin, Inverse spectral problem for a rod with multiple cracks Mechanical Systems and Signal Processing 56–57 (2015) 181–196 [27] E.I Shifrin Identification of a finite number of small cracks in a rod using natural frequencies Mechanical Systems and Signal Processing 70–71 (2016) 613–624 [28] A Morassi, Identification of two cracks in a simply supported beam from minimal frequency measurements, Journal of Vibration and Control (2001) 729–739 [29] D.P Patil, S.K Maiti, Detection of multiple cracks using frequency measurements”, Engineering Fracture Mechanics 70 (2003) 1553 – 1572 [30] N.T Khiem and T.V Lien, Multi–crack detection for beam by the natural frequencies Journal of Sound and Vibration 273 (2004) 175–184 [31] J Lee, Identification of multiple cracks in beam using natural frequencies Journal of Sound and Vibration 320 (2009) 482–490 [32] L Rubio, An Efficient Method for Crack Identification in Simply Supported Euler–Bernoulli Beams, Journal of Vibration and Acoustics, 131 (2009) 051001(1–6) [33] M Attar, A transfer matrix method for free vibration analysis and crack identification of stepped beams with multiple edge cracks and different boundary conditions International Journal of Mechanical Sciences 57 (2012) 19–33 [34] Trần Văn Liên, Bài toán ngƣợc học số ứng dụng Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Trƣờng Đại học Xây dựng Hà Nội, 2003 101 [35] Đào Nhƣ Mai, Độ nhạy cảm đặc trƣng động lực học ứng dụng chẩn đoán kỹ thuật cơng trình Luận án tiến sỹ học, Viện Cơ học, 2004 [36] Trần Thanh Hải, Chẩn đoán vết nứt dầm đàn hồi phƣơng pháp đo dao động Luận án tiến sỹ học, Viện Cơ học, 2012 [37] Phí Thị Hằng, Phƣơng pháp phổ tần số nghiên cứu dao động dầm đàn hồi có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Viện Cơ học, 2016 [38] Nguyễn Ngọc Huyên, Phân tích dao động chẩn đoán vết nứt dầm FGM Luận án tiến sỹ, Viện Cơ học, 2017 [39] Vũ Thị An Ninh, Dao động chẩn đốn dầm bậc có vết nứt Luận án tiến sỹ, Viện Cơ học, 2018 [40] Lê Khánh Tồn, Chẩn đốn vết nứt kết cấu thanh, dầm hàm đáp ứng tần số Luận án Tiến sỹ kỹ thuật khí Cơ kỹ thuật, Học Viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, Hà Nội, 2019 [41] Đặng Xuân Trọng, Chẩn đoán vết nứt cần cẩu tháp phƣơng pháp thử nghiệm động Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Học Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Hà Nội, 2021 [42] Lƣu Quỳnh Hƣờng, ứng dụng vật liệu áp điện đánh giá trạng thái kỹ thuật cơng trình Luận án tiến sỹ kỹ thuật Học Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Hà Nội, 2021 [43] Nguyễn Tiến Khiêm, Nhập mơn Chẩn đốn kỹ thuật cơng trình NXB KHTN&CN, Hà Nội, 2008 [44] Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Phƣơng pháp độ cứng động lực phân tích chẩn đốn kết cấu, NXB Xây dựng, Hà Nội 2017 ISBN: 978– 604–82–2163–8 [45] Nguyễn Tiến Khiêm, Trần Thanh Hải Dao động kỹ thuật NXB ĐHQGHN, Hà Nội, 2020 102 [46] J.E Monttershead, On the zeros of Structural Frequency Response Functions and Their Sensitivities Mechanical Systems and Signal Processing 12(5) (1998) 591–597 [47] J.E Mottershead, Y.M Ram, Inverse eigenvalue problems in vibration absorption: passive modification and active control, Mech Syst Signal Process 20 (2006) 5–44 doi: 10.1016/j.ymssp.2005.05.006 [48] J.E Mottershead, M.G Tehrani, S James, Y.M Ram, Active vibration suppression by pole–zero placement using measured recepnces, J Sound Vib 311 (2008) 1391–1408, doi: 10.1016/j.jsv.2007.10.024 [49] D Richiedei, I mellin, Active control of linear vibrating systems for antiresonance assignment with regional pole placement Journal of Sound and Vibration 494 (2021) 115858 doi: 10.1016/j.jsv.2020.115858 [50] J.E Monttershead, On the zeros of Structural Frequency Response Functions and Their Sensitivities Mechanical Systems and Signal Processing 12(5) (1998) 591−597 [51] W D’Ambrogio, A Fregolent, The use of antiresonance for robust model updating Journal of Sound and Vibration 236 (2000) 237–243 [52] K John and J Turcotte, Finite element model updating using antiresonant frequencies Journal of Sound and Vibration 252 (2002) 717–727 [53] V Meruane, Model updating using antiresonant frequencies identified from transmissibility functions Journal of Sound and Vibration 332(4) (2013) 807– 820 [54] F Wahl, G Schmitt and L Forrai On the significance of antiresonance frequencies in experimenl structure analysis Journal of Sound and Vibration 219(3)(1999) 379−394 [55] D Hanson et al., The role of antiresonance frequencies from operational modal analysis in finite element model updating Mechanical Systems and Signal Processing 21 (2007) 74–97 [56] T Inada, Y Shimamura, A Todoroki and H Kobayashi, Development of Two–step Delamination Identification by Resonant and Antiresonant 103 Frequency Changes Key Engineering Material, Vols 270–273 (2004) 1852– 1858 [57] N Dharmaraju and J.K Sinha, Some comments on use of antiresonance for crack identification in beams Journal of Sound and Vibration 286 (2005) 669–671 [58] F.Q Wang, X.L Han and Y.Z Guo Analysis of the Characteristics of Pseudo−Resonance and Anti−Resonance Journal of Vibration and Acoustics Vol 118(4) (1996) 663−667 [59] Y Bamnios, E Douka, A Trochidis, Crack Identification in Beam Structures Using Mechanical Impedance Journal of Sound and Vibration 256(2) (2002) 287–297 [60] D.S Wang and H.P Zhu Wave Propagation Based Multi–Crack Identification in Beam Structures Through Anti–Resonance Information Key Engineering Material, Vols 293–294 (2005) 557–564 [61] D.S Wang, H.P Zhu, C.Y Chen and Y Xia, An impedance analysis for crack detection in Timoshenko beam based on the anti–resonance technique Ac Mechanica Solida Sinica 20(3) (2007) 228–235 [62] M Dilena, A Morassi, Detecting cracks in a longitudinal vibrating beam with dissipative boundary conditions Journal of Sound and Vibration 267 (2003) 87–103 [63] M Dilena and A Morassi, The use of antiresonance for crack detection in beams Journal of Sound and Vibration 276 (2004) 195–214 [64] M Dilena, A Morassi Structural Health Monitoring of Rods Based on Natural Frequency and Antiresonant Frequency Structural Health Monitoring 8(2) (2009) 149–173 [65] M Delina and A Morassi, Reconstruction Method for Damage Detection in Beams Based on Natural Frequency and Antiresonant Frequency Measurements ASCE Journal of Engineering Mechanics 136(4) (2010) 329– 344 104 [66] Fernandez−Saez, J., L Rubio, C Navarro Approximate calculation of the fundamenl frequency for bending vibration of cracked beams Journal of Sound and Vibration 225(2) (1999) 345−352 [67] L Rubio, J Fernandez–Saez, A Morassi Identification of two cracks in a rod by minimal resonant and anti–resonant frequency da Mechanical System and Signal processing 60–61 (2015) 1–13 [68] V Meruane and W Heylen, Structural damage assessment with antiresonanes versus mode shapes Structural Control and Health Monitoring 18 (2011) 825–839 [69] Chondros, T G., Dimarogonas, A D and Yao, J “A continuous cracked beam vibration theory” Journal of Sound and Vibration, Vol 215, 1998, pp 17−34 [70] Nguyen Tien Khiem, Hai Thanh Tran, A procedure for multiple crack Identification in beam–like structures from natural vibration mode Journal of Vibration and Control, Vol 20 No 19 (2014) 1417–1427 105 PHỤ LỤC KHAI TRIỂN KỲ DỊ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG Trƣớc hết xét ma trận A c kích thƣớc m × n Ma trận A đƣợc khai triển dạng: A = U  Σ  VT , đ U, V ma trận trực giao cấp m n: UT U  I m , VT V  I n Σ ma trận có kích cỡ nhƣ A ch có phần tử đƣờng chéo khác không âm, ký hiệu Σ(m  n)  diag{1, ,  q }, q  min(m, n) Các số  , ,  r đƣợc gọi là giá trị kỳ dị ma trận A biểu diễn nêu đƣợc gọi khai triển kỳ dị ma trận A Ngồi cịn chứng minh đƣợc Av k   k v k , AT u k   k v k , AAT u k   k2u k , AT Av k   k2 v k , k  1, , r Tức véc tơ cột u k , v k , k  1, , r ma trận U, V véc tơ riêng bình phƣơng giá trị kỳ dị ma trận A trị riêng ma trận AAT , AT A Nếu ma trận A đối xứng U = V Khi đ c thể viết lại biểu thức khai triển kỳ dị nêu dạng r A    k u k vTk , r  rankA k 1 Hơn nữa, ma trận nghịch đảo suy rộng, hay gọi ma trận nghịch đảo Moore-Penzoe ma trận A có khai triển kỳ dị A  (AT A)1 AT  VΣ UT , đ ma trận   nhận đƣợc từ ma trận  cách thay giá trị khác giá trị nghịch đảo, giá trị giữ nguyên sau đ đổi hàng thành cột (chuyển vị) Bây xét phƣơng trình Ax = trƣờng hợp A vuông (m = n) nhƣng c định thức 0, tức có giá trị kỳ dị Giả sử giá trị kỳ dị ma trận A khác 1 , , r , r n , tức  k  0, k  r  1, , n Khi đ r r k 1 k 1 Av k     k u k vTk v k     k ( vTk v k  )uk  0, k   r  1, , n 106 Nhƣ vậy, nghiệm khác phƣơng trình nêu (n-r) véc tơ kỳ dị phải ma trận A tƣơng ứng với giá trị kỳ dị Chúng tạo thành không gian Null ma trận A Khơng gian Null có số chiều (dimension) (n-r) với sở trực giao véc tơ vk  , k   r  1, , n Điều c nghĩa nghiệm phƣơng trình Ax = ln biểu diễn nr xnul   ck vr  k với số ck Trong trƣờng hợp ma trận A không k 1 vuông, giải sử rankA  r  m n , khơng gian Null ma trận A véc tơ v k  , k   r  1, , n Xét phƣơng trình khơng Ax = 0, đ có r r k 1 k 1 Ax    k u k vTk x    k ( vTk x)u k  b  xk  ( vTk x)  uTk b /  k , k  1, , r Nhƣ vậy, nghiệm riêng phƣơng trình khơng r x   k 1 uTk b k vk nghiệm tổng quát nr x  x   ck v r  k  x  Vr c , k 1 đ Vr ma trận tạo thành từ n-r véc tơ cột c véc tơ số tùy ý {c j , j  1, , n  r} Nếu chọn số c ràng buộc đ , ví dụ L( x  x0 )  với L ma trận trọng số chọn x thông tin cho trƣớc nghiệm phƣơng cho (nếu khơng có thơng tin cho x =0), đƣợc nghiệm riêng khác phƣơng trình khơng Trong trƣờng hợp cuối đƣợc x  x  Vr (LVr ) L(x ' x )  Vr (LVr )  Lx  I  Vr (LVr )  L  x Thực chất nghiệm tốn bình phƣơng tối thiểu có ràng buộc dạng phƣơng trình min{ L( x  x ) : Ax = b} , nhƣng đồng thời nghiệm phƣơng trình khơng Tìm nghiệm điều ch nh phƣơng trình khơng tổng qt : 107 (AT A   2I) x  AT b   2x0 với λ tham số điều ch nh Tikhonov Sử dụng khai triển r n k 1 k 1 AT A    k2 v k vTk , I   v k vTk có r n r k 1 k r 1 ( AT A   2I) x   ( k2   )v k vTk x    v k vTk x  AT b   2x0    2uTk bv k   2x0 k 1 Do đ vkT x   k2 uTk b 2 , k  1, , r ; vTk x  x k  , k   r  1, , n  x 2 0k 2  k  k k hay n   x0 k k uTk b  x  v x0 k ' v k '    k 2 k 1     k k  r  '  r Đây biểu thức tổng quát nghiệm đa đƣợc điều ch nh theo Tikhonov   k uTk b  v , đƣợc xác định Nếu x  , nghiệm xˆ    2 k k 1     k  r giá trị kỳ dị nhỏ Từ công thức tổng quát nêu cho thấy tham số điều ch nh chọn lớn, nghiệm điều ch nh tiến đến thông tin cho trƣớc x , lúc vế phải đ ng vai trò nhỏ Ngƣợc lại tham số điều ch nh chọn nhỏ so với giá trị kỳ dị bé nhận đƣợc nghiệm chƣa điều ch nh x Vấn đề chọn tham số điều ch nh để cân hai trƣờng hợp tới hạn này, nghĩa không lớn nhƣng không nhỏ Độ lớn tham số điều ch nh đƣợc định sai số đầu vào b ... đàn hồi có vết nứt 71 4.2.2 Phương trình tần số phản cộng hưởng dầm có vết nứt 73 4.2.3 Ảnh hưởng vết nứt đến tần số phản cộng hưởng dầm đàn hồi 77 4.3 Chẩn đoán vết nứt dầm tần số phản cộng... tần số phản cộng hƣởng với tham số vết nứt kết cấu thanh, dầm phục vụ việc chẩn đoán vết nứt tần số cộng hƣởng phản cộng hƣởng Đối tượng phạm vi nghiên cứu kết cấu chiều (thanh, dầm) có vết nứt. .. luận án tiến sỹ [39] phát triển phƣơng pháp Rayleigh để chẩn đoán đa vết nứt dầm bậc hàm đáp ứng tần số đƣợc áp dụng để giải toán chẩn đoán vết nứt dầm bậc [40] Và gần phƣơng pháp chẩn đoán vết nứt