Chuyên đề góc với đường tròn

GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN KIẾN THỨC CƠ BẢN - Góc ABE có đỉnh A nằm đường trịn O cạnh cắt đường trịn gọi góc nội tiếp (Hình) Trong trường hợp góc nội tiếp có số đo khơng vượt q 900 số đo chúng nửa số đo góc tâm, chắn cung Các góc nội tiếp có số đo nửa số đo cung bị chắn Vì thế, góc chắn cung (hoặc chắn cung nhau) chúng nhau, góc nội tiếp cung bị chắn C B D O E A Trên hình vẽ ta có: ABE ADE sđAE ADE - Cho đường tròn O dây cung AB Từ điểm A ta kẻ tiếp tuyến Ax với đường trịn, BAx gọi góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung AB (Hình) Cũng góc nội tiếp, số đo góc tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn : sđBAx sđAmB B O m THCS.TOANMATH.com A x Chú ý: Việc nắm khái niệm, định lý, hệ góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung giúp so sánh số đo góc, từ chứng minh đường thẳng song song với nhau, tam giác nhau, tam giác đồng dạng với nhau… I Góc nội tiếp đường trịn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI B O C A D - Hai góc chắn cung nửa số đo cung bị sđAD - Các góc chắn hai cung Trên hình vẽ: chắn Trên hình vẽ: sđABD AD CD sđAD sđCD sđACD sđABD sđCAD B VÍ DỤ Ví dụ Trên cạnh huyền BC tam giác vuông ABC phía ngồi ta dựng hình vng với tâm điểm O Chứng minh AO tia phân giác góc BAC A Lời giải: B Vì O tâm hình vng nên BOC Lại có BAC 90 900 suy bốn điểm A, B,O,C nằm đường trịn đường kính BC THCS.TOANMATH.com C O N M Đối với đường tròn ta thấy BAO BCO 450 CAO BAC BAO BAO BCO (cùng chắn BO ) Mà 450 Do BAC 900 , nên 450 Vậy BAO CAO , nghĩa AO tia phân giác góc vng BAC (đpcm) Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Từ đỉnh A ta kẻ đường cao AH ( H thuộc BC ) Chứng minh BAH OAC Lời giải: A O B H C D E Kẻ đường kính AE đường trịn O Ta thấy ACE chắn nửa đường trịn) Từ OAC Theo giả thiết ra, ta có: BAH AEC ABC 900 (góc nội tiếp 900 (1) 900 (2) Lại AEC ABC (cùng chắn AC ) (3) Từ (1),(2) (3) suy BAH OAC (đpcm) Lưu ý: Cũng giải tốn theo hướng sau: Gọi D giao điểm tia AH với đường tròn O , chứng tỏ tứ giác BDEC hình thang cân Từ suy sđBD sđCE , dẫn đến BAD THCS.TOANMATH.com CAE , hay BAH OAC Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Trên cung BC không chứa A ta lấy điểm P ( P khác B P khác C ) Các đoạn PA BC cắt Q a) Giả sử D điểm đoạn PA cho PD PDB b) Chứng minh PA c) Chứng minh hệ thức PB PQ PB Chứng minh PC PB Lời giải: PC A D B O Q C P a) Trước tiên ta nhận thấy tam giác PBD cân P Mặt khác, BPD BPA BCA 600 (hai góc nội tiếp chắn AB đường tròn O ) Vậy nên tam giác PDB b) Ta có PB PD , để chứng minh PA PB PC ta chứng minh DA PC Thật vậy, xét hai tam giác BPC BDA có: BA BC (giả thiết), BD BP (do tam giác BPD đều) Lại ABD DBC 600 , PBC DBC 600 nên ABD BPC BDA (c.g.c), dẫn đến DA PC (đpcm) THCS.TOANMATH.com PBC Từ c) Xét hai tam giác PBQ PAC ta thấy BPQ 600 (hai góc nội tiếp chắn cung AC ) suy APC ABC BPQ APC , PBQ Từ PBQ PBC PAC (g.g) Theo kết câu b , ta có PA PQ PB PQ PB 600 , PC PAC (hai góc nội tiếp chắn PC ) PQ PC , hay PQ.PA PB PA PB PC nên PB.PC PB.PC Hệ thức tương đương với (đpcm) PC Ghi chú: - Tứ giác ABCD có tính chất ABCD BC AD (*) nói ví dụ gọi tứ giác điều hòa Loại tứ giác đặc biệt có nhiều ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng khác AB BC nhớ lại tính chất đường phân AD CD giác tam giác ta nêu thêm tính chất tứ giác điều hòa - Nếu hệ thức (*) dạng - Tứ giác ABCD tứ giác điều hòa đường phân giác góc BAD BCD cắt điểm đường chéo BD - Tứ giác ABCD tứ giác điều hòa đường phân giác góc ABC ADC cắt đường chéo AC Ví dụ 4) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) Đường phân giác góc A cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác D Gọi I tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh DB DC DI Giải: Ta ln có DB DC AD phân giác góc A Ta chứng minh tam giác DIB cân D THCS.TOANMATH.com Thật ta có: IBD Mặt khác CBD IBC CBD A CAD (Góc nội tiếp chắn cung CD ) mà BAD CAD , IBC I IBA O C B (Tính chất phân giác) suy D IBD ABI BAI Nhưng BID ABI BAI (Tính chất góc ngồi) Như tam giác BDI cân D DB DI DC Nhận xét: Thông qua tốn ta có thêm tính chất: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC giao điểm phân giác góc A với (O ) Ví dụ 5) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) AB AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A Vẽ MH , MK , MI vng góc với BC MH AC MK AB MI Giải: A Trong toán có tỷ số độ dài N ta nghỉ đến tam giác đồng dạng định lý Thales Cách 1: Dựng đường thẳng qua A song song với BC cắt (O ) N Gọi E giao điểm BC MN Ta có: AB NC THCS.TOANMATH.com O B I K H E M C Ta có BME MBC MAC BME AN sđ NC AN AMC , AMC MH , MK hai đường cao AC MK BE , chứng minh tương tự ta có: MH BC AC CE AB Cộng hai đẳng thức ta có: MH MK MI MH tương ứng nên: AB MI sđ AB BMN Cách 2: Ta thấy MH , MI đường cao tam giác MBC , MAB hai tam giác không đồng dạng với Điều giúp ta nghỉ đến việc lấy điểm E cạnh BC cho BMA DMC để tạo tam giác đồng dạng giữ hai đường cao tương ứng (Phần lời giải xin dành cho bạn đọc) Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung A PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung (tại điểm đường tròn) nửa số đo cung bị chắn - Trên hình vẽ: sđBAC sđxBC A sđBC C O m x B B VÍ DỤ THCS.TOANMATH.com Ví dụ Giả sử A B hai điểm phân biệt đường tròn O Các tiếp tuyến đường tròn O Các tiếp tuyến đường tròn O A B cắt điểm M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn O C MC cắt đường tròn O E Các tia AE MB cắt K Chứng minh MK AK EK MK A Lời giải: Do MB / /AC nên E C M BMC KB O ACM (1), ta lại có K ACM ACE MAE B (cùng chắn AE ) (2) Từ (1) (2) suy KME KAM (g.g) MK AK EK hay MK MK AK EK (3) Ta thấy EAB EBK (cùng chắn BE ) Từ EBK BAK BK EK (g.g) hay BK AK EK (4) Từ (3) (4) suy AK BK MK KB nghĩa MK MB (đpcm) Ví dụ Cho đường trịn C tâm O , AB dây cung C không qua O I trung điểm AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn C tâm O bán kính OI P Q Chứng minh tích AP AQ khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ ln qua điểm cố định khác B Lời giải: Ta có PQI PIA (cùng chắn PI ), nên THCS.TOANMATH.com API AIQ (g.g) Suy AP AI AI AQ AP.AQ AI (khơng đổi) Giả sử đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ cắt AB D D Khi ADP B B I AQB , suy D AD AQ AP hay AD.AB AB O AI A AP.AQ P Q (khơng đổi) Do điểm D điểm cố định (đpcm) Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H BAC 600 Gọi M , N , P theo thứ tự chân đường cao kẻ từ A, B,C tam giác ABC I trung điểm BC a) Chứng minh tam giác INP b) Gọi E K trung điểm PB NC Chứng minh điểm I , M , E, K thuộc đường tròn c) Giả sử IA phân giác NIP Tìm số đo BCP A Lời giải: N a) Từ giả thiết ta có P IN IP BC nên tam giác H E B INP cân I Lại B, P, N ,C M C I nằm đường trịn tâm I , đường kính BC nên theo mối liên hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung, ta thấy PIN Vậy tam giác INP THCS.TOANMATH.com 2PBN 600 b) Rõ ràng bốn điểm I , M , E K nằm đường trịn đường kính AI c) Từ điều kiện toán ta thấy AI tia phân giác BAC 600 , mà I trung điểm BC nên tam giác ABC Từ suy BCP 300 Ví dụ 4) Cho tam giác cân ABC ,(AB AC ) Gọi O trung điểm BC Dựng đường tròn (O ) tiếp xúc với cạnh AB, AC D, E M điểm chuyển động cung nhỏ DE tiếp tuyến với đường tròn (O ) M tìm vị trí điểm M 4BPCQ cắt AB, AC P,Q Chứng minh BC để diện tích tam giác APQ lớn Lời giải: A Ta thấy S ABC không đổi nên P S APQ M lớn SBPQC Q D E nhỏ nhất, sở để ta làm xuất biểu thức có liên quan B C O đến BP ,CQ Ta có AB, PQ, AC tiếp tuyến điểm D, M , E (O ) nên ta có: AB OD, PQ OM , AC OE, BD CE Từ ta tính được: R BP PQ R BD DP EQ R BD 2DP R BP CQ BD SBPQC CQ Mặt khác ta có: POQ BOP 1800 POQ THCS.TOANMATH.com DOE QOC 1800 2EQ 1800 A QCO QOC B CE C nên suy CQO BP CO BO CQ BP.CQ bất đẳng thức Cơ si ta có: BP CQ BP.CQ BPO SBPQC COQ R BC BO.CO BC Theo BC BD Vậy SBPQC nhỏ BP CQ M trung điểm cung DE Chủ đề Góc có đỉnh ngồi đường tròn KIẾN THỨC CẦN NHỚ *) Với đỉnh A nằm đường trịn O ta có góc với đỉnh đường trịn (hình) C D Số đo góc nửa tổng số A đo hai cung bị chắn hai cạnh góc tia đối hai cạnh + sđBAE + s đBAD sđBE sđCD sđBD E B sđCE *) Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn O ta có số đo góc nằm ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn C B A + Trên hình vẽ ta có: sđCAE sđEmC n D sđBnD Cần lưu ý đến trường hợp sau: THCS.TOANMATH.com m E + Với đỉnh A nằm đường tròn C (O ) AD tếp tuyến (O ) , qua A O m B vẽ cát tuyến cắt đường tròn n BC , CAD sđCmD sđBnD A D B + Với Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn (O ) AB, AC tếp tuyến (O ) , A ( A, B tiếp điểm) BAC sđBmC O n C sđBnC Áp dụng góc có đỉnh ngồi đường trịn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cũng phần góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, định lý hệ góc có đỉnh nằm nằm ngồi đường trịn giúp tìm mối quan hệ số đo góc, chứng minh đường song song, tam giác nhau, tam giác đồng dạng với nhau, hai đường thẳng vng góc với B VÍ DỤ Ví dụ ) Trên đường tròn O cho điểm A, B,C , D theo thứ tự Gọi A1, B1,C1, D1 điểm cung AB, BC ,CD và B1D1 vng góc với DA Chứng minh đường thẳng AC 1 Lời giải: Gọi I giao điểm AC B1D1 ; , , , 1 THCS.TOANMATH.com theo thứ tự số đo m cung AB, BC ,CD, DA Khi 3600 Xét góc A1IB1 góc có đỉnh nằm B đường trịn O Ta có AIB 1 sđABB 1 sđA1B B1 C A1 I O sđC1DD1 C1 A sđBB1 sđC1D 900 Nghĩa AC 1 D D1 sđDD1 B1D1 (đpcm) Ví dụ Cho bốn điểm A, D,C , B theo thứ tự nằm đường trịn tâm O đường kính AB 2R (C D nằm phía so với AB ) Gọi E F theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B đường thẳng CD Tia AD cắt tia BC I Biết AE R BF a) Tính số đo AIB b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K Gọi giao điểm KA, KB với DC M N Tìm giá trị lớn MN K di động cung nhỏ CD Lời giải: a) Kẻ OH I CD H E CD , D M ta thấy OH đường trung bình hình thang ABFE , suy OH AE THCS.TOANMATH.com BF N H A R K O C F B Từ tam giác OCD đều, suy sđCOD sđKCD 600 Ta thấy AIB có đỉnh nằm ngồi đường 1 trịn O nên sđAIB sđAmB sđKCD 1800 600 600 2 b) Ta thấy AEM NFB suy EM.NF AE.BF (không đổi) MN lớn EM NF nhỏ Theo trên, EM.NF không đổi nên EM NF nhỏ EM Vậy giá trị lớn MN EF FN AE.BF AE.BF Ví dụ Trong tam giác ABC , đường phân giác BAC cắt cạnh BC D Giả sử T đường tròn tiếp xúc với BC D qua điểm A Gọi M giao điểm thứ hai T AC , P giao điểm thứ hai T BM , E giao điểm AP BC a) Chứng minh EAB MBC b) Chứng minh hệ thức BE EP.EA A Lời giải: a) Gọi N giao điểm thứ hai T AB với đường tròn T M N P Do AD phân giác BAC B nên sđDM MBC D sđDN Ta có MBD sđNP E sđDM NAP THCS.TOANMATH.com sđDP EAB (đpcm) sđDN sđDP C b) Từ kết câu a, ta thấy EBP EAB Từ BE EA suy hay BE EP.EA (đpcm) EP BE EBP EAB (g.g), Ví dụ Trên đường tròn O ta lấy điểm A,C1, B, A1,C , B1 theo thứ tự a) Chứng minh đường thẳng AA1, BB1,CC1 đường phân giác tam giác ABC chúng đường cao ABC 1 b) CHứng minh đường thẳng AA1, BB1,CC1 đường cao tam giác ABC chúng đường phân giác tam giác ABC 1 c) Giả sử T1 T2 hai tam giác nội tiếp đường tròn O , đồng thời đỉnh tam giác T2 điểm cung đường trịn bị chia đỉnh tam giác T1 Chứng minh hình lục giác giao tam giác T1 T2 đường chéo nối đỉnh đối song song với cạnh tam giác T1 đồng quy điểm Lời giải: A C1 K B1 M I C B A1 THCS.TOANMATH.com Thật vậy, gọi M giao điểm AA1 BC 1 a) Ta chứng minh AA1 , đó: BC 1 AMB1 ABB1 sđAB1 AAB 1 sđAB1 sđABC 1 BCC1 ABC sđAB CAB Chứng minh tương tự ta có BB1 BCA AC ;CC1 1 sđBC1 900 (đpcm) AB 1 b) A B1 M1 C1 B C M2 A1 Gọi M1 giao điểm BB1 AC Ta có BM1A sđAC1B Lại có BM2A BM 1A BM 2A sđAC 1 sđAC1B BCA B1C AC C (1) 1 BCA B1C 1C (2) Vì 900 , nên từ (1) (2) suy AC A 1 B1C 1C Tức B CC chứa đường phân giác AC 1 Chứng minh tương tự, ta thu AA1 chứa đường phân giác B1AC , BB1 chứa đường phân giác A1B1C 1 THCS.TOANMATH.com c) Kí hiệu đỉnh tam giác T1 A, B C ; A1, B1 C điểm cung BC ,CA AB tương ứng Khi T2 tam giác A1B1C Các đường AA1, BB1,CC1 chứa đường phân giác tam giác T1 nên chúng đồng quy điểm I Giả sử K giao điểm AB Ta cần chứng minh IK / /AC BC 1 Thật vậy, ta thấy tam giác AB1I cân B1 nên tam giác AKI cân K Từ KIA KAI IAC , dẫn đến IK / /AC (đpcm) Dạng Áp dụng giải tốn quỹ tích dựng hình A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khái niệm cung chứa góc giúp giải nhiều tốn quỹ tích, dựng hình, chứng minh nhiều điểm thuộc đường trịn B VÍ DỤ AC D điểm cạnh Ví dụ Cho tam giác cân ABC AB BC Kẻ DM / /AB ( M AC ), DN / /AC N AB Gọi D ' điểm đối xứng D qua MN Tìm quỹ tích điểm D ' điểm D di động cạnh BC Lời giải: A M D' N B THCS.TOANMATH.com D C Phần thuận: Từ giả thiết đề ta thấy NB ND ' ,(1) ba điểm B, D, D ' nằm đường tròn tâm N Từ BD ' D DMC (2) Lại có BND BD 'C DMC ND BAC , nên từ (1) (2) suy BAC (không đổi) Vì BC cố định, D ' nhìn BC góc BAC khơng đổi, D ' khác phía với D (tức phía với A so với MN ) nên D ' nằm cung chứa góc BAC vẽ đoạn BC (một phần đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) Phần đảo: Bạn đọc tự giải Kết luận: Quỹ tích điểm D ' cung chứa góc BAC đoạn BC Đó cung BAC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lưu ý: Quy trình để giải tốn quỹ tích sau: Để tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn tính chất T ta tiến hành bước *Phần thuận: Chỉ điểm có tính chất T thuộc hình H *Phần đảo: Chứng tỏ điểm thuộc hình H có tính chất T *Kết luận: Quỹ tích điểm M có tính chất T hình H Chú ý số toán, sau phần thuận, trước phần đảo ta thêm phần giới hạn quỹ tích (Bạn đọc tham khảo thêm phần quỹ tích cuối sách này) THCS.TOANMATH.com Ví dụ Cho đường tròn O dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn O ( A khác B , A khác C ) Tia phân giác ACB cắt đường tròn O điểm D khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI DB Đường thẳng BI cắt đường tròn O điểm K khác điểm B a) Chứng minh tam giác KAC cân b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm J cố định c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM AC Tìm quỹ tích điểm M A di động cung lớn BC đường tròn O Lời giải: M a) Ta có sđDA DBK sđDIB sđBD Vì sđBD nên sđKC hay x sđAK ; sđDA A D K sđKC O B C DBI cân D sđAK Suy AK J CK KAC cân K (đpcm) b) Từ kết câu a, ta thấy I tâm đường tròn nội tiếp ABC nên đường thẳng AI qua điểm J (điểm cung BC khơng chứa A ) Rõ ràng J điểm cố định THCS.TOANMATH.com c) Phần thuận: Do BAC Giả sử số đo AMC cân A , nên BMC BAC (khơng đổi) A di động cung lớn BC M thuộc cung chứa góc dựng đoạn BC phía điểm O Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn O cắt cung chứa góc vẽ đoạn BC điểm X Lấy điểm M Cx (một phần cung vẽ đoạn BC M chứa góc C Nếu MB cắt đường tròn X; M O A rõ ràng A thuộc cung lớn BC đường trịn O ; AMC Vì BAC suy AMC cân A hay AC AM Kết luận: Quỹ tích điểm M cung Cx , phần cung chứa góc vẽ đoạn BC phía O trừ hai điểm C X Ví dụ Cho trước điểm A nằm đường thẳng d hai điểm C , D thuộc hai nủa mặt phẳng đối bờ d Hãy dựng điểm B d cho ACB ADB Lời giải: C D' B A d D *Phân tích: Giả sử dựng điểm B d cho ACB D ' điểm đối xứng D qua d Khi ADB ACB ADB Gọi AD ' B , AD ' B Suy C D ' nằm nửa cung chứa góc THCS.TOANMATH.com dựng đoạn AB Từ ta thấy B giao điểm d với đường tròn ngoại tiếp ACD ' *Cách dựng: Dựng điểm D ' điểm đối xứng D qua đường thẳng d Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD ' Dựng giao điểm B đường thẳng d với đường tròn ACD ' *Chứng minh: Rõ ràng với cách dựng trên, ta có ACB AD ' B ADB *Biện luận: Nếu ba điểm A,C , D không thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng CD khơng vng góc với d tốn có nghiệm hình + Nếu ba điểm A,C , D thẳng hàng d đường trung trực đoạn CD tốn có vơ số nghiệm hình + Nếu ba điểm A,C , D thẳng hàng, d CD d đường trung trực CD tốn khơng có nghiệm hình Lưu ý: Khái niệm cung chứa góc áp dụng để chứng minh nhiều điểm thuộc đường trịn Ví dụ để chứng minh bốn điểm A, B,C , D nằm đường trịn, ta chứng minh hai điểm A B nhìn CD hai góc Nói cách khác, tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại hai góc bốn đỉnh tứ giác thuộc đường trịn Ví dụ Giả sử AD đường phân giác góc A tam giác ABC ( D BC ) Trên AD lấy hai điểm M N cho ABN CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM điểm thứ hai E CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM điểm thứ hai F a) Chứng minh bốn điểm B,C , E , F nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm A, E , F thẳng hàng THCS.TOANMATH.com c) Chứng minh BCF ACM , từ suy ACN BCM Lời giải: F A E N M B C D BAN (cùng chắn cung BN ); BEC a) Ta có BFC CM ), mà BAN CAN , suy BFC CAN (cùng chắn BEC Từ bốn điểm B,C , E , F nằm đường tròn (đpcm) b) Từ kết trên, ta có CFE NFA Do hai tia FA FE trùng nghĩa ba điểm A, E , F thẳng hàng (đpcm) c) Vì BCF ACM BEF ACM BCF , dẫn đến ACN THCS.TOANMATH.com BEF nên BEF BCM (đpcm) ACM Từ suy ... hai điểm phân biệt đường tròn O Các tiếp tuyến đường tròn O Các tiếp tuyến đường tròn O A B cắt điểm M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn O C MC cắt đường tròn O E Các tia... DE Chủ đề Góc có đỉnh ngồi đường trịn KIẾN THỨC CẦN NHỚ *) Với đỉnh A nằm đường trịn O ta có góc với đỉnh đường trịn (hình) C D Số đo góc nửa tổng số A đo hai cung bị chắn hai cạnh góc tia... điều hòa đường phân giác góc ABC ADC cắt đường chéo AC Ví dụ 4) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O ) Đường phân giác góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác D Gọi I tâm vòng tròn nội