Microsoft Word HH9 C3 CD7 Ð? DÀI ÐU?NG TRÒN, CUNG TRÒN docx ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN A TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) Độ dài (C[.]
ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường trịn) Độ dài (C) đường trịn bán kính R tính theo cơng thức: C = 2R C = d (với d = 2R) Cơng thức tính độ dài cung trịn Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n° tính theo cơng thức: l Rn 180 II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đường trịn, cung trịn Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức nêu phần Tóm tắt lý thuyết 1.1 Lấy giá trị gần 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Bán kính R đường trịn Đường kính d đường tròn 16 30 Độ dài c đường tròn 25,12 1.2 Lấy giá trị gần n 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Bán kính R đường trịn 10 Đường kính d đường tròn Độ dài c đường tròn 2.1 9,42 6,28 a) Tính độ dài cung 60° đường trịn có bán kính 3dm b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 600mm 2.1 a) Tính độ dài cung 40° đường trịn có bán kính 5dm b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 400mm 3.1 Lấy giá trị gần n 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đon vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ đến độ): Bán kính R đường trịn 12 Số đo n° cung tròn 90° Độ dài / cung tròn 22 60° 40,6 5,2 31° 30,8 28° 8,2 3.2 Lấy giá trị gần 3,14, điền vào ô trống bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ đến độ): Bán kính R đường tròn 14 Số đo n° cung tròn 90° Độ dài l cung tròn 20 50° 40,6 4,2 35° 30,8 20° 4,2 Dạng Một sô tốn tổng hợp Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức kiên thức có 4.1 Cho tam giác ABC vng A có AB = 5cm, B = 60° Đường trịn tâm 7, đường kính AB cắt BC D a) Chứng minh AD vng góc vói BC b) Chứng minh đường trịn tâm K đường kính AC qua D c) Tính độ dài cung nhỏ BD 4.2 Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (thuộc cung AD) Nối AC BD cắt M a) Chứng minh tam giác MCD đồng dạng với tam giác MBA Tìm tỉ số đồng dạng b) Cho ABC = 30°, tính độ dài cung nhỏ AC Cho đường tròn (O ; R ) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác góc BAC cắt đường trịn (O ) D tiếp tuyến đường tròn (O ; R ) C D cắt E Tia CD cắt AB K , đường thẳng AD cắt CE I Cho BC = R Tính R theo độ dài cung nhỏ BC đường tròn (O ; R ) Cho đường tròn (O ; R ) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác góc BAC cắt đường trịn (O ) D tiếp tuyến đường tròn (O ; R ) C D cắt E Tia CD cắt AB K , đường thẳng AD cắt CE I Chứng minh AKIC tứ giác nội tiếp Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK ^ AM K Đường thẳng BK cắt CM E Tia BE cắt đường tròn (O; R) N ( N khác B ).Chứng minh tam giác MBE cân M Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O; R) Kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK ^ AM K Đường thẳng BK cắt CM E Tia BE cắt đường tròn (O; R) N ( N khác B ) Tính độ dài cung nhỏ MN theo R III BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ Cho = 3,14 Hãy điền vào bảng sau: Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S 94,2 28,26 Cho đường (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC OA Biết độ dài đường trịn (O) 4 cm Tính: a) Bán kính đường trịn (O); b) Độ dài hai cung BC đường trịn A = 1200 Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác Cho tam giác ABC có AB = AC = 3cm ABC Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường tròn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK AM K đường thẳng BK cắt CM E a) Chứng mnh bốn điểm A, B, H, J thuộc đường tròn b) Chứng minh tam giác MBE cân M A = 400 c) Tịa BE cắt đường tròn (O; R) N (N khác B) Tính độ dài cung nhỏ MN theo R Giả sử Cho đường tròn (O; R) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác cắt đường tròn (O)tại D Các tiếp tuyến đường tròn (O; R) C D cắt E BAC Tịa CD cắt AB K, đường thẳng AD cắt CE I a) Chứng minh BC song song DE b) Chứng minh AKIC tứ giác nội tiếp c) Cho BC = R Tính theo R độ dài cung nhỏ BC đường tròn (O; R) HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 1.1 Bán kính R đường tròn 4,78 Đường kính d đường trịn 18 16 9,56 56,52 50,24 18,84 30 25,12 1,5 10 2,5 Độ dài C đường trịn 1.2 Bán kính R đường trịn Đường kính d đường trịn 20 16 9,42 62,8 15,7 6,28 50,24 Bán kính R đường trịn 12 38,8 22 5,2 16,8 Số đo n0 cung tròn 900 600 80,30 310 280 Độ dài l cung tròn 18,8 40,6 30,8 2,8 8,2 Bán kính R đường trịn 14 46,5 20 4,2 12 Số đo n0 cung tròn 900 500 88,30 350 200 Độ dài l cung tròn 22 40,6 30,8 2,6 4,2 Độ dài C đường tròn 2.1 a) l dm; 2.2 a) l 10 dm; b) C 600 mm; b) C 400 mm; 3.1 3.2 4.1 ADB góc nội tiếp đường kính AB AD BD a) AC ADC 900 nên D đường tròn ( k ; ) b) Do 600 c) IBD cân I có B 600 l IBD BID BD 180 60 cm 4.2 a) Khi M hay M nằm đường trịn MCD MBA có góc ĐPCM Tỷ số đồng dạng là: CD AB R b) ABC 300 AOC 600 l AC Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S 10 31,4 78,5 18,84 28,26 15 30 94,2 706,5 18,84 28,26 Vì độ dài đường trịn 6p nên 6p = 2p.R R = 3cm ( R bán kính đường trịn) Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO ^ BC M trung điểm đường nên tứ giác ABOC hình thoi Suy OB = OC = AB DABO AOB = 60 BOC = 120 Suy số đo cung lớn BC 360 - 120 = 240 Độ dài cung lớn BC l = p.3.240 = 4p(cm ) 180 + Vì AD tia phân giác BAC D điểm cung BC Nên OD ^ BC phương án D + Mà DE ^ OD(DE tiếp tuyến (O )) suy BC / /DE phương án A +) Xét (O ) có DAC = DCI (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung DC ) Mà BAD = DAC ( AD phân giác) nên KAI = KCI nên tứ giác KICA nội tiếp 360 = sđBC = = 120 Xét đường tròn (O ) có tam giác ABC nên sđ AB = sdAC 120 = 60 AMB góc nội tiếp chắn cung AB AMB = sđAB = 2 Suy KBM = 90 - KMB = 90 - 60 = 30 ỉ - sđNM ÷ư suy sđNM = 2.NBM = 2.30 = 60 NBM = 30 (cmt ) v BEM = ỗỗsBC ữứ 2ố = ( ) 120 - 60 = 30 tam giác MBE cân M Theo câu trước số đo cung NM 60 nên độ dài cung NM l = BTVN 1.HS tự làm a) 2 R 4 R 2cm AOB 600 (OAB đều) b) 1200 BOC R.120 lBC nhỏ = 180 lBC lớn = cm cm 600 A 1200 OAC OAC R AC 30cm C 2 R 6 cm Đặt AB = a; BC = b; CD = c; AD = d C( AB ) Vậy Có a a Tương tự C( CD ) c 2 2 2 C( AB ) C( BC ) C(CD ) C(CD ) (a c) (b d ) Tứ giác ABCD ngoại tiếp, kết hợp tính chất tiếp a + c = b + d ĐPCM HS tự làm a) AD phân giác BAC pR.60 pR = 180 OD BC D điểm BC Mà DE tiếp tuyến ĐPCM DAC BAD ĐPCM sđ CD b) ECD c) HC lBC P 600 BOC 1200 HOC R.1200 180 R B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài Cho đường tròn (O;R) Hai tiếp tuyến A, B cắt M tạo với góc 60 a) Tính độ dài cung lớn AB theo R b) Tìm diện tích hình giới hạn hai tiếp tuyến cung nhỏ AB Bài Cho đường trịn (O;R) a) Tính góc AOB biết độ dài cung nhỏ AB 5 R ; b) Xác định điểm C cung lớn AB cho kẻ CH AB AH CH ; c) Tính độ dài cung AC, BC; d) Tính chu vi, diện tích ABC 90 ; AB 60 , sđ BC Bài Lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đường tròn (O) cho sđ 120 sđ CD a) Tứ giác ABCD hình gì? b) Tính độ dài đường trịn (O) Biết diện tích tứ giác ABCD 100 m2 Bài Cho tam giác ABC cạnh a Lấy A; B; C làm tâm dựng ba đường trịn với bán kính a Hãy tính diện tích phần chung đường trịn Bài Cho hình vng ABCD có cạnh cm Tính diện tích phần chung bốn hình trịn có tâm điểm A, B, C, D có bán kính cm Bài Bên hình chữ nhật kích thước 10 20 có 151 điểm Chứng minh tồn bốn điểm nằm hồn tồn đường trịn có bán kính 1,5 Bài Trong hình vng cạnh l, người ta đặt số đường tròn mà tổng độ dài chúng 2020 Chứng minh tìm đường thẳng cắt 632 đường trịn nói Bài Cho ABCD hình chữ nhật với AB = 10 cm Vẽ đường tròn (O), (O’) với đường kính AB CD Gọi P Q giao điểm (O), (O’) Biết đường tròn đường kính PQ tiếp xúc với AB CD Tính diện tích phần chung hai đường trịn (O), (O’) Bài Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = cm đường chéo AC = cm Đường trịn tâm A bán kính R = cm tiếp xúc với đường tròn tâm C M thuộc đoạn AC Đường tròn cắt CB E cung EF cắt CD F Tính tỉ số độ dài cung BD Bài 10 Ba đường tròn (O;R),(O1;R1 ),(O2 ;R ) với R R1 R2 , tiếp xúc ngồi với đơi một, đồng thời tiếp xúc với đường thẳng Gọi S, S1, S2 diện tích hình tròn (O;R),(O1;R1 ),(O2 ;R ) Chứng minh rằng: S S1 S2 Bài 11 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, Gọi Ax, By tiếp tuyến A B (O), Tiếp tuyến điểm M tùy ý (O) cắt Ax By C D a) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp OCD b) Cho AB cm Tìm vị trí C để chu vi tứ giác ABDC 28cm, tính diện tích phần tứ giác nằm ngồi (O) HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Bài 90 nên: a) Tứ giác OAMB có AMB 60; AB Svp S q S 25 25 25 (cm2) 4 Vậy diện tích phần chung hai đường tròn (O), (O’) là: S 2.Svp 25 25 (cm2) AC Bài ABCD hình thoi n ta có AM AB cm Đặt AC 5.n Độ dài cung BD BD 180 3.n Độ dài cung EF EF 180 EF BD Suy tỉ số độ dài cung BD EF Bài 10 Từ công thức tính diện tích hình trịn, ta thấy hệ thức cần chứng minh tương đương với: 1 R R1 R2 R R1 R2 R1R2 Kẻ OK O2 B, O1 N O2 B, OH O1 A Ta có tứ giác O1 NKH , KHAB hình chữ nhật ba điểm H, O, K thẳng hàng Do O1 N HK OH OK (1) Mặt khác OH OO12 O1H R1 R R1 R 2 Suy OH RR1 (2) Tương tự, ta có: OK RR2 (3), O1 N R1R2 (4) Từ (1), (2), (3), (4), suy ra: R R1 R2 R1R2 Bài 11 a) OCD vuông O (OC OD phân giác hai góc kề bù) I trung điểm CD IO = IC = ID IO AB O nên AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp OCD b) Đặt AC x (cm) BD y (cm) C ABDC AB AC BD 28 x y 10 Mặt khác OM MC.MD xy 16 x y 10 x x Giải hệ ta xy 16 y y Vậy C cách A đoạn AC 2cm BD 8cm AC 8cm BD 2cm Cả hai trường hợp hình thang vng ABCD có diện tích: S1 40 (cm2) Diện tích nửa hình trịn (O): S2 8 (cm2) Vậy phần diện tích tứ giác ABCD nằm ngồi đường trịn: S S1 S 40 8 (cm ) C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu Số đo n cung trịn có độ dài 30, 8cm đường trịn có bán kính 22cm (lấy p 3,14 làm tròn đến độ) A 70 B 80 C 65 D 85 Câu Số đo n cung trịn có độ dài 40,2cm đường trịn có bán kính 16cm (lấy p 3,14 làm tròn đến độ) A 144 B 145 C 124 D 72 Câu Tính độ dài cung 30 đường trịn có bán kính 4dm A 4p (dm ) B p (dm) C p (dm) D 2p (dm ) Câu Chu vi đường tròn R = bán kính là: A 18p B 9p C 12p D 27p Câu Chu vi đường trịn bán kính R = là: A 18p B 9p C 12p D 27p Câu Biết chu vi đường tròn C = 48p Tính đường kính đường trịn A 48 B 24 C 36 D 18 Câu Biết chu vi đường tròn C = 36p(cm ) Tính đường kính đường trịn A 18(cm ) B 14(cm ) C 36(cm ) D 20(cm ) Câu Cho ba điểm A, B,C thẳng hàng B nằm A C Chọn khẳng định A Độ dài nửa đường tròn đường kính AC hiệu độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB BC B Độ dài nửa đường trịn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB BC C Độ dài nửa đường tròn đường kính BC tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB AC D Độ dài nửa đường trịn đường kính AB tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AC BC Câu Cho ba điểm A, B,C thẳng hàng C nằm A B , đồng thời AB = 3AC Chọn khẳng định sai A Độ dài nửa đường trịn đường kính AB gấp ba lần độ dài nửa đường trịn đường kính AC B Độ dài nửa đường trịn đường kính AB gấp 1,5 lần độ dài nửa đường tròn đường kính BC C Độ dài nửa đường trịn đường kính AB tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính BC AC D Độ dài nửa đường trịn đường kính BC tổng độ dài hai nửa đường tròn đường kính AC AB = 60 Đường tròn tâm I , đường Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A , cạnh AB = 5cm, B kính AB cắt BC D Chọn khẳng định sai? A Độ dài cung nhỏ BD (I ) p (cm) B AD ^ BC C D thuộc đường trịn đường kính AC D Độ dài cung nhỏ BD (I ) 5p 6(cm ) = 50 Đường tròn tâm I , đường Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A , cạnh AB = 4cm, B kính AB cắt BC D Chọn khẳng định sai? A BCA = 40 B Độ dài cung nhỏ BD (I ) C DAC = 50 D Độ dài cung lớn BD (I ) 8p (cm ) 3p (cm ) = 100 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = AC = 4cm, A giác ABC A 6, 22p B 3,11p C 6p D 12, 44p = 120 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp Câu 13 Cho tam giác ABC có AB = AC = cm, A tam giác ABC A 12p B 9p C 6p D 3p Câu 14 Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh a (cm ) là: A 4pa (cm ) B 2pa (cm ) C pa (cm ) D 5pa (cm ) Câu 15 Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh 3(cm ) là: A 4p (cm ) B p 3(cm ) C 2p (cm ) D 2p 3(cm ) Câu 16 Cho đường trịn (O ) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ^ OA Biết độ dài đường tròn (O ) 4p(cm ) Độ dài cung lớn BC là: A 4p B 5p C 7p D 8p Câu 17 Cho đường tròn (O ) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ^ OA Biết độ dài đường tròn (O ) 6p(cm ) Độ dài cung lớn BC là: A 4p B 8p C 4p D 2p HƯỚNG DẪN Câu Đáp án B Độ dài cung tròn l = pRn p.22.n = 30, n » 80 180 180 Câu Đáp án A Độ dài cung tròn l = 40,2.180 pRn p.16.n = 40,2 n = » 144 180 180 16.p Câu Đáp án D Độ dài cung tròn l = pRn p.4.30 2p (dm ) = = 180 180 Câu Đáp án A Chu vi C = 2pR = 2p.9 = 18 p Câu Đáp án C Chu vi C = 2pR = 2p.6 = 12p Câu Đáp án A Chu vi C = pd = 48 p d = 48 Vậy đường kính cần tìm 48 Câu Đáp án C Chu vi C = pd = 36p d = 36 Vậy đường kính cần tìm 36(cm ) Câu Đáp án B Độ dài nửa đường trịn đường kính AC l1 = p AC Độ dài nửa đường tròn đường kính AB l1 = p AB Độ dài nửa đường trịn đường kính BC l1 = p BC Mà ba điểm A, B,C thẳng hàng cho B nằm A C nên AB + BC = AC Do l1 = p ỉ AB BC ÷ư AC AB BC ÷÷ = p = p ỗỗỗ + + p = l2 + l ÷ 2 ø 2 è Vậy độ dài nửa đường trịn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường tròn đường kính AB BC Câu Đáp án D Độ dài nửa đường trịn đường kính AC l1 = p AC Độ dài nửa đường tròn đường kính AB l1 = p AB Độ dài nửa đường trịn đường kính BC l1 = p BC Mà ba điểm A, B,C thẳng hàng cho C nằm A B AB = 3AC ìï ïï ïïAC + CB = AB nên ïíAB = 3AC ïï ïï ïïAB = BC ỵ Do l2 = p ỉ AC AB BC ÷ư AC BC ÷÷ = p = p ççç + + p = l1 + l nên C đúng, D sai 2 ÷ø 2 è Lại có AB = 3AC l2 = p AB = AC BC BC l2 = p = p = l nên B 2 2 Câu 10 Đáp án A 3AC AB AC =p = 3.p = 3l1 nên A 2 ... AC 120 - Độ dài cung AC AC - Độ dài cung BC BC R120 180 R90 180 2 R ; R ; d) Kẻ OK AH BOK 1 AOB 75 BK OB.sin 75 0,966.R AB 1,932 R - Ta có sđ... a) Tính độ dài cung lớn AB theo R b) Tìm diện tích hình giới hạn hai tiếp tuyến cung nhỏ AB Bài Cho đường tròn (O;R) a) Tính góc AOB biết độ dài cung nhỏ AB 5 R ; b) Xác định điểm C cung lớn... 16,8 Số đo n0 cung tròn 900 600 80,30 310 280 Độ dài l cung tròn 18,8 40,6 30,8 2,8 8,2 Bán kính R đường trịn 14 46,5 20 4,2 12 Số đo n0 cung tròn 900 500 88,30 350 200 Độ dài l cung tròn 22 40,6