Giáo trình Toán chuyên đề Trường Đại học Hàng Hải

Mục lục Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Chuẩn bị 1.1.1 Tích Đề-các 1.1.2 Ánh xạ 1.2 Ma trận phép toán ma trận 1.2.1 Khái niệm ma trận 1.2.2 Các phép toán ma trận 1.3 Định thức 1.3.1 Định nghĩa định thức 1.3.2 Ma trận nghịch đảo 1.3.3 Hạng ma trận 1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính Bài tập chương Biến cố ngẫu nhiên xác suất 2.1 Phép thử phân loại biến cố 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Phân loại biến cố 2.2 Định nghĩa xác suất 2.2.1 Xác suất biến cố 2.2.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 2.2.3 Định nghĩa hình học xác suất 2.2.4 Định nghĩa thống kê xác suất 2.3 Quan hệ biến cố 2.3.1 Tổng biến cố 2.3.2 Tích biến cố 2.3.3 Biến cố xung khắc 2.3.4 Nhóm đầy đủ biến cố 2.3.5 Biến cố đối lập 2.4 Định lý cộng nhân xác suất 2.4.1 Định lý cộng xác suất (trường hợp biến cố 2.4.2 Định lý nhân xác suất 2.4.3 Định lý cộng xác suất (trường hợp tổng quát) 2.4.4 Định lý liên hệ cộng nhân xác suất 2.5 Công thức Bernoulli 2.5.1 Các phép thử độc lập 2.5.2 Công thức Bernoulli 2.5.3 Số lần xuất 2.5.4 Mở rộng công thức Bernoulli 2.6 Công thức đầy đủ công thức Bayes 2.6.1 Công thức xác suất đầy đủ 2.6.2 Công thức Bayes xung 5 5 6 9 15 17 19 26 khắc) 33 33 33 33 34 34 34 36 37 38 38 38 39 39 39 40 40 41 45 46 47 47 47 48 49 50 50 52 MỤC LỤC Bài tập chương Đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 3.1 Định nghĩa phân loại đại lượng ngẫu nhiên 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên 3.2 Quy luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên 3.2.1 Bảng phân phối xác suất 3.2.2 Hàm phân phối xác suất 3.2.3 Hàm mật độ xác suất 3.3 Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 3.3.1 Kỳ vọng toán 3.3.2 Phương sai 3.3.3 Độ lệch tiêu chuẩn 3.3.4 Mốt 3.3.5 Trung vị 3.3.6 Phân vị 3.4 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 3.4.1 Quy luật phân phối chuẩn N (µ, σ ) 3.4.2 Quy luật không - A(p) 3.4.3 Quy luật nhị thức B(n, p) 3.4.4 Quy luật Poisson P (λ) 3.4.5 Quy luật siêu bội M (N, n) 3.4.6 Quy luật - bình phương χ2 (n) 3.4.7 Quy luật Student T (n) Bài tập chương Mẫu ngẫu nhiên - Ước lượng tham số 4.1 Tổng thể nghiên cứu 4.1.1 Định nghĩa 4.1.2 Các phương pháp mô tả tổng thể 4.1.3 Các tham số đặc trưng tổng thể 4.2 Mẫu ngẫu nhiên 4.2.1 Định nghĩa 4.2.2 Các phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên 4.2.3 Đồ thị phân phối thực nghiệm 4.3 Thống kê 4.3.1 Định nghĩa 4.3.2 Trung bình mẫu 4.3.3 Phương sai mẫu 4.3.4 Độ lệch tiêu chuẩn mẫu 4.3.5 Tần suất mẫu 4.3.6 Quy luật phân phối xác suất số thống kê đặc trưng mẫu 4.3.7 Ví dụ 4.4 Mẫu ngẫu nhiên hai chiều 4.4.1 Khái niệm 4.4.2 Phương pháp mô tả ngẫu nhiên hai chiều 4.4.3 Một số thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên hai chiều 4.5 Ước lượng tham số đại lượng ngẫu nhiên 4.5.1 Phương pháp ước lượng điểm 4.5.2 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy 53 61 61 61 61 62 62 64 66 71 71 75 78 78 79 80 80 80 86 87 90 92 93 94 96 103 103 103 103 104 105 105 106 107 109 109 109 110 112 113 113 115 115 115 116 116 118 118 119 MỤC LỤC 4.5.3 Khoảng tin cậy cho trung bình (Ước lượng kỳ vọng tốn đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn) 4.5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ (Ước lượng kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không - một) 4.5.5 Khoảng tin cậy cho phương sai (Ước lượng phương sai đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn) Bài tập chương PHỤ LỤC 119 126 128 132 138 A Giải tích tổ hợp A.1 Các quy tắc đếm A.1.1 Quy tắc cộng A.1.2 Quy tắc nhân A.2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp A.2.1 Chỉnh hợp (chỉnh hợp không A.2.2 Chỉnh hợp lặp A.2.3 Hoán vị A.2.4 Tổ hợp Bài tập phụ lục A 139 139 139 139 139 139 140 140 141 142 B Sử dụng CNTT giải toán thống kê B.1 Đối với máy tính điện tử cầm tay B.1.1 Tính đặc trưng mẫu B.1.2 Bài tốn tìm hàm hồi quy B.2 Dùng phần mềm Excel B.2.1 Tính tốn tốn ước lượng B.2.2 Tính tốn đặc trưng mẫu B.2.3 Các phân phối xác suất 143 143 143 146 150 150 152 153 hóa 155 156 157 158 159 160 C Bảng tra C.1 Bảng C.2 Bảng C.3 Bảng C.4 Bảng C.5 Bảng lặp) giá trị hàm mật độ phân phối chuẩn giá trị hàm Laplace phân vị chuẩn phân vị Student phân vị Khi - bình phương TÀI LIỆU THAM KHẢO 161 MỤC LỤC Chương Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Chuẩn bị 1.1.1 Tích Đề-các Định nghĩa 1.1 Cho họ gồm n tập {Ai }ni=1 ( n số nguyên dương) Tích Đê-các họ cho tập, ký hiệu A1 × A2 × · · · × An , phần tử có thứ tự gồm n thành phần (a1 , a2 , , an ), ∈ Ai với i = 1, 2, , n •Ví dụ 1.1 Cho A1 = {a, b, c}, A2 = {1, 2} đó: A1 × A2 = {(a, 1); (a, 2); (b, 1); (b, 2); (c, 1); (c, 2)} A2 × A1 = {(1, a); (2, a); (1, b); (2, b); (1, c); (2, c)} Vậy A1 × A2 = A2 × A1 Chú ý: Nếu A1 = A2 = · · · = An = A, thay cho ký hiệu A1 × A2 × · · · × An ta dùng ký hiệu An •Ví dụ 1.2 Rn = {(x1 , x2 , , xn ), xi ∈ R, i = 1, 2, , n} 1.1.2 Ánh xạ Định nghĩa 1.2 Cho hai tập khác rỗng X, Y Một ánh xạ f từ X vào Y quy tắc cho phép với phần tử x ∈ X xác định phần tử y = f (x) ∈ Y , ký hiệu: f : X −→ Y y = f (x) Trong định nghĩa ❼ X gọi tập nguồn ánh xạ f ❼ Y gọi tập đích ánh xạ f ❼ y = f (x) gọi ảnh x qua ánh xạ f , x gọi tạo ảnh y = f (x) ❼ Giả sử A ⊂ X, f (A) = {f (x) : x ∈ A)} gọi ảnh A qua ánh xạ f ❼ Giả sử B ⊂ Y , Khi f −1 (B) = {x : y = f (x) ∈ B)} gọi nghịch ảnh B f Định nghĩa 1.3 Cho f : X −→ Y ánh xạ f đơn ánh x1 , x2 ∈ X x1 = x2 f (x1 ) = f (x2 ) CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH f tồn ánh f (X) = Y f song ánh f vừa đơn ánh vừa tồn ánh •Ví dụ 1.3 y = ex đơn ánh từ R vào R y = x2 toán ánh từ R vào R+ y = x song ánh từ R vào R Chú ý: Nếu X = Y ánh xạ f : X −→ X xác định y = f (x) = x gọi ánh xạ đồng X, ký hiệu idX Dễ thấy ánh xạ đồng song ánh Định nghĩa 1.4 Cho ánh xạ f : X −→ Y g : Y −→ Z Tích ánh xạ g với ánh xạ f ánh xạ, ký hiệu g.f , xác định sau: (g.f ) : X −→ Z (g.f )(x) = g[f (x)] •Ví dụ 1.4 Cho ánh xạ f, g : R −→ R xác định y = f (x) = Khi (g.f )(x) = 2x2 3x2 + + = x2 + x2 + x2 y = g(x) = 2x + x2 + Định nghĩa 1.5 Giả sử f : X −→ Y ánh xạ Nếu tồn ánh xạ g : Y −→ X cho g.f = idX f.g = idY ta gọi g ánh xạ ngược f , f ánh xạ ngược g •Ví dụ 1.5 Cho f : R −→ R+ xác định y = f (x) = ex g : R+ −→ R xác định y = g(x) = ln(x) Dễ dàng kiểm tra f g hai ánh xạ ngược 1.2 Ma trận phép toán ma trận 1.2.1 Khái niệm ma trận Định nghĩa 1.6 Cho m, n ∈ N∗ Một ma trận thực cỡ m × n bảng chữ nhật gồm m × n số thực xếp thành m hàng, n cột Số thực đứng hàng i cột j gọi phần tử ij Nếu ký hiệu phần tử aij ma trận cỡ m × n biểu diễn bởi:   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   an1 an2 ann Trong số trường hợp ta dùng ký hiệu thu gọn [aij ]m×n để ma trận m hàng, n cột •Ví dụ 1.6 Cho A = Đây ma trận cỡ × có: 11 a11 = 1, a12 = 3, a13 = 5, a21 = 7, a22 = 9, a23 = 11 1.2 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Ma trận cột ma trận cỡ m × Ma trận hàng ma trận cỡ × n Ma trận khơng ma trận mà phần tử 0, ký hiệu Θ Θm×n muốn rõ cỡ ma trận Ma trận vuông cấp n ma trận có số hàng số cột n Cho ma trận vng cấp n, A = [aij ]n×n , đường chéo A tập hợp phần tử có dạng: a11 , a22 , a33 , , ann Ma trận tam giác ma trận vng cấp n aij = i > j  a11 a12  a22 A=  0  a1n a2n    ann Ma trận tam giác ma trận vng cấp n aij = i < j   a11  a21 a22   A=   an1 an2 ann Ma trận đường chéo ma trận vng cấp n aij = i = j   a11  a22   A=   0 ann Ma trận đơn vị ma trận đường chéo có phần tử thuộc đường chéo 1, ma trận đơn vị cấp n thường ký hiệu In I không xảy hiểu lầm   In =   0     Ma trận chuyển vị ma trận A ma trận ký hiệu At , nhận từ ma trận A cách viết hàng A thành cột At Như vậy:  a11 a12  a21 a22 A=  am1 am2   a1n a11  a2n   ⇒ At =  a12   amn a1n a21 a22 a2n  am1 am2    amn Hai ma trận A, B gọi chúng có cỡ nghĩa A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n phần tử vị trí tương ứng cụ thể aij = bij với i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n, ký hiệu A = B CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.2.2 Các phép tốn ma trận a) Cộng hai ma trận cỡ Định nghĩa 1.7 Cho hai ma trận cỡ A = [aij ]m×n , B = [bij ]m×n Tổng A B ma trận cỡ C = [cij ]m×m , ký hiệu C = A + B, cij = aij + bij , i = 1, , n, j = 1, , m Như vây muốn cộng hai ma trận cỡ, ta cộng phần tử vị trí với •Ví dụ 1.7 −2 A= Khi đó: A + B = C = ,B = −3 −5 −5 −1 Tính chất: Các phép tính cộng ma trận cỡ có tính chất giống tính chất phép cộng số thực: ❼ Tính giao hốn A + B = B + A ❼ Tính kết hợp (A + B) + C = A + (B + C) ❼ A+Θ=A ❼ A = [aij ]m×n , ∃ ma trận đối ma ma trận A −A = [−aij ]m×n thỏa mãn A + (−A) = Θ b) Nhân ma trận với số thực Định nghĩa 1.8 Cho ma trận A = [aij ]m×n số thực k Tích A với số thức k ma trận cỡ với ma trận A, ký hiệu kA, xác định công thức kA = [kaij ]mìn ãVớ d 1.8 2  −2  =  −4 14  −1 −2 Tính chất: Giải sử k, h ∈ R A, B ma trận, ta có tính chất sau: ❼ k(A + B) = kA + kB ❼ k(hA) = khA ❼ (k + h)A = kA + hA ❼ 1.A = A c) Nhân ma trận với ma trận 1.3 ĐỊNH THỨC Định nghĩa 1.9 Cho hai ma trận A = [aij ]m×p B = [bij ]p×n Tích ma trận A với ma trận B ma trận có cỡ m × n, ký hiệu AB, xác định sau: p aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj AB = [cij ]mìn , cij = k=1 ãVớ d 1.9 Cho   A =  −1  , B = Khi     1.2 + 2.3 1.0 + 2.1 AB =  0.2 − 1.3 0.0 − 1.1  =  −3 −1  3.2 + 1.3 3.0 + 1.1 •Ví dụ 1.10 Tính AB BA  A= −1 −8  B =  −2  Ta có AB = −48 −4   11 −23 BA =  −4 30 −58  10 11 −27 Nhận xét: Do AB = BA nên phép nhân hai ma trận khơng có tính giao hốn Tính chất: Giả sử A, B, C ma trận k số thực Nếu phép tính vế trái đẳng thức có nghĩa vế phải có nghĩa vế ❼ (AB)C = A(BC) ❼ A(B + C) = AB + AC ❼ (B + C)A = BA + CA ❼ k(AB) = (kA)B = A(kB) ❼ IA =AI =A ❼ ΘA = AΘ = Θ 1.3 Định thức 1.3.1 Định nghĩa định thức Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Cho ma trận A = [aij ]m×n Ta gọi phép biến đổi sau hàng A phép biến đổi sơ cấp hàng: 10 CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ❼ Hốn vị hàng A ❼ Nhân tất phần tử hàng A với số khác ❼ Nhân tất phần tử hàng A với số cộng vào phần tử tương ứng hàng khác Chú ý: Các phép biến đổi sơ cấp cột định nghĩa tương tự   •Ví dụ 1.11 Cho ma trận A =   Hãy dùng phép biến đổi sơ cấp hàng A để đưa A dạng tam giác Lời giải Ta thực dãy phép biến đổi sơ cấp hàng để biến đổi dần ma trận A thành ma trận có dạng tam giác sau:       3 H −3H1 →H3 H −5H2 →H3 A =   −−3−−−− −−→  −1 −5  −−3−−−− −−→  −1 −5  H2 −2H1 →H2 −5 −7 0 18 Ma trận Aij ma trận A Định nghĩa 1.10 Cho ma trận A = [aj ]m×n Ma trận Aij A ma trận thu từ ma trận A cách bỏ phần tử nằm hàng i phần tử nằm cột j, cỡ Aij (m − 1) × (n − 1)   •Ví dụ 1.12 Cho ma trận A =   Các ma trận Aij A gồm: A11 = , A12 = , A13 = , A21 = , A22 = , A23 = , A31 = , A32 = , A33 = Định nghĩa định thức Định nghĩa 1.11 Cho ma trận vng cấp n, A = [aij ]n×n Định thức ma trận A ký hiệu là: det(A), |A| a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann xác định phương pháp quy nạp sau: i) Với n = 1, det(A) = a11 ii) Với n > 1, định thức ma trận A định nghĩa thông qua định thức ma trận Aij cấp n − cơng thức: n (−1)1+j a1j det(A1j ) det(A) = j=1 142 PHỤ LỤC A GIẢI TÍCH TỔ HỢP Bài tập phụ lục A Bài A.1 Một nhóm sinh viên gồm sinh viên nữ sinh viên nam Hỏi có cách chọn từ nhóm sinh viên đó: a) sinh viên vào Ban chấp hành Đoàn b) sinh viên vào Ban cán lớp, có lớp trưởng, lớp phó phụ trách học tập, lớp phó phụ trách đời sống c) sinh viên nam sinh viên nữ tập văn nghệ d) sinh viên dự Đại hội, có sinh viên nữ Đáp số: a) 35; b) 210; c) 18; d) 31 Bài A.2 Biển số xe ơtơ Hải Phịng có dạng: 16 - chữ - chữ số a) Hỏi lý thuyết lập biển xe? (các chữ lấy từ bảng chữ tiếng Anh gồm 26 chữ cái) b) Trong có biển xe mà tổng chữ số số có tận 9? Đáp số: a) 262 104 ; b) 676000 Bài A.3 Có cách xếp chỗ cho người A, B, C, D, E: a) vào ghế dài cho A, B hai đầu ghế? b) vào ghế dài cho A, B, C cạnh nhau? c) vào bàn trịn cho A, B ln cạnh nhau? Đáp số: a) 12; b) 36; c) 12 Bài A.4 Có 20 điểm phân biệt mặt phẳng có điểm thẳng hàng Nối 20 điểm lại với Hỏi: a) có đường thẳng phân biệt? b) có tam giác? Đáp số: a) 163; b) 1084 Bài A.5 Cho phương trình: x + y + z = 12 a) Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình cho x, y, z đơi phân biệt b) Tìm số nghiệm ngun dương phương trình c) Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình Đáp số: a) 42; b) 55; c) 91 Bài A.6 Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Từ A tạo bao nhiêu: a) số tự nhiên chẵn chữ số? b) số tự nhiên chẵn chữ số đôi phân biệt c) số tự nhiên chữ số, chữ số có mặt lần, số có mặt lần, chữ số khác có mặt khơng q lần? Đáp số: a) 1176; b) 420; c) 3960 Bài A.7 Thầy giáo có 12 sách đơi khác có sách Toán, sách tiếng Anh sách Triết học Thầy muốn lấy đem tặng cho sinh viên khác em a) Giả sử thầy giáo muốn tặng sách thuộc hai thể loại Toán tiếng Anh, hỏi có tất cách tặng? b) Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba thể loại cịn lại Hỏi có tất cách tặng? Đáp số: a) 60480; b) 579600 Bài A.8 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho sinh viên lớp A sinh viên lớp B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: a) Bất sinh viên ngồi cạnh đối diện khác lớp b) Bất sinh viên ngồi đối diện khác lớp Đáp số: a) 1036800; b) 33177600 Phụ lục B Sử dụng CNTT giải toán thống kê Tất SV năm thứ trang bị kiến thức Tin học Việc giải tốn máy tính điện tử (MTĐT) trở nên quen thuộc em Trong trình ngồi ghế nhà trường, SV không tiếp thu tri thức thông qua giảng GV mà họ cịn tự tìm kiếm, kiến tạo tri thức thông qua sách báo, tài liệu, mạng internet Việc GV dành thời gian để hướng dẫn cho SV giải toán thống kê cách sử dụng công cụ CNTT tăng thêm khả hứng thú, tính tị mị khoa học, kích thích hoạt động tìm tịi khám phá SV, từ dẫn tới việc hình thành kiến thức kỹ Sau chúng tơi trình bày cách thức thể số công cụ CNTT hỗ trợ cho việc giải toán thống kê, kết hợp ví dụ tương ứng B.1 Đối với máy tính điện tử cầm tay B.1.1 Tính đặc trưng mẫu •Ví dụ B.1 Gặt ngẫu nhiên 365 điểm trồng lúa huyện ta có bảng số liệu sau: X n 25 30 13 33 38 34 74 35 106 36 85 37 30 ˆ Tính x, S , Sˆ2 , S, S Đối với Casio FX570ES Nhập số liệu - Ấn phím: Shift - Ấn phím: Mode - Ấn phím: Mode - Var Hiện bảng: x freq Dùng phím Replay để di chuyển qua lại cột x freq Nhập cột x: 143 39 10 40 144 PHỤ LỤC B SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ 25 30 33 34 35 36 37 39 40 = = = = = = = = = Nhập cột freq: Dùng phím Replay di chuyển qua cột freq, dòng 25 13 38 74 106 85 30 10 = = = = = = = = = Nhập xong ấn phím AC Xem kết quả: - Ấn phím: Shift = → n = 365 (cỡ mẫu) - Ấn phím: Shift = → X = 34, 795 (tạ/ha) - Ấn phím: hiệu chỉnh) Shift = → Sˆ = 2, 072 (độ lệch chuẩn mẫu - Ấn phím: Shift chưa hiệu chỉnh) = → S = 2, 069 (độ lệch chuẩn mẫu ∗ Chú ý: nhập số liệu ta dùng phím để: - Xố dịng liệu: di chuyển đến dịng cần xố ấn Del - Chèn thêm dòng liệu: di chuyển đến dịng cần chèn nhấn phím Shift Ins - Xố tồn nội dung nhập Shift Del - A Đối với loại máy f x − 500M S, f x − 350M S, f x − 350T L, f x − 570M S Nhập số liệu: - Ấn phím: MODE để chuyển máy sang chế độ SD MODE MODE để chuyển máy sang chế độ SD - Ấn phím: 25 Shift , data (Phím M+ ) - Ấn phím: 30 Shift , 13 data - Ấn phím: 33 Shift , 38 data B.1 ĐỐI VỚI MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CẦM TAY 145 - Ấn phím: 34 Shift , 74 data - Ấn phím: 35 Shift , 106 data - Ấn phím: 36 Shift , 85 data - Ấn phím: 37 Shift , 30 data - Ấn phím: 39 Shift , 10 data - Ấn phím: 40 Shift , data Xem kết quả: - Ấn phím: Shift S - VAR = → X = 34, 795 - Ấn phím: Shift S - VAR = → Sˆ = 2, 072 - Ấn phím: Shift S - VAR = → S = 2, 069 ∗ Chú ý: Xoá SD lệnh: Shift MODE = Đối với loại máy f x − 220M S, f x − 500A, f x − 95, f x − 82Super Nhập số liệu: - Ấn phím: MODE - Ấn phím: Shift (Dấu chấm) để đưa máy chế độ SD Sac 26 × data (Phím M+ ) - Ấn phím: 30 × 13 data - Ấn phím: 33 × 38 data - Ấn phím: 34 × 74 data - Ấn phím: 35 × 106 data - Ấn phím: 36 × 85 data - Ấn phím: 37 × 30 data - Ấn phím: 39 × 10 data - Ấn phím: 40 × data Xem kết quả: - Ấn phím: Shift n → 365 - Ấn phím: Shift X → 34, 795 - Ấn phím: Shift Sˆ → 2, 072 - Ấn phím: Shift S → 2, 069 ∗ Chú ý: Xoá SD lệnh: MODE 146 PHỤ LỤC B SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ B.1.2 Bài tốn tìm hàm hồi quy Vào REG ấn: MODE (máy fx 500MS, 95MS) Máy khác MODE MODE (fx 570MS) - Màn hình hiện: ↑ ↓ - Ấn số tương ứng ta chức muốn chọn (Lin) (tuyến tính) y = A + Bx (Log) (logait) y = A + B ln x (Exp) (mũ) y = Aebx (ln y = ln A + Bx) (Pwr) (luỹ thừa) y = Aeb (ln y = ln A + B ln x) (Inv) (nghịch đảo) y = A + B.1/x (Quad) (bậc hai) y = A + Bx + Cx2 Trước tính tốn phải ấn SHIFT CLR (Sel) = để xoá nhớ thống kê - Nhập liệu theo cú pháp: ’DT - Các kết theo liệu nhập gọi theo bảng sau: B.1 ĐỐI VỚI MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CẦM TAY - Trừ y = A + Bx + Cx2 - Riêng với y = A + Bx + Cx2 theo bảng sau: 147 148 PHỤ LỤC B SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ - Các giá trị dùng biến biểu thức tính * Hồi quy tuyến tính y = A + Bx •Ví dụ B.2 Áp suất theo nhiệt độ bảng sau: Nhiệt độ 10◦ C 15◦ C 20◦ C 25◦ C 30◦ C Áp suất 1003hpa 1005hpa 1010hpa 1011hpa 1014hpa Hãy dùng Hồi quy tuyến tính y = A + Bx để tính A, B hệ số tương quan r, áp suất 18◦ C xy−nx.y Tìm nhiệt độ áp suất 1000hpa, hệ số tới hạn r2 số hiệp biến n−1 Vào Mode RED Ấn (Lin) SHIFT CLR (Sel) = (xoá nhớ) (Khi ấn DT liệu nhập hình giá trị n) Ấn tiếp Hệ số A = 997.4 Hệ số B = 0.56 Hệ số tương quan r = 0.982607368 Tìm áp suất 18◦ C = 1007.48 Nhiệt độ 1000 hpa = 4.642857143 B.1 ĐỐI VỚI MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CẦM TAY 149 r2 = 0.965517241 Số hiệp biến = 35 * Hồi quy bậc hai: A + Bx + Cx2 •Ví dụ B.3 Cho bảng sau xi yi 29 1.6 50 23.5 74 38.0 103 46.4 118 48 Theo công thức hồi quy bậc hai tìm hệ số A, B, C sau tìm yˆ với x = 16 xˆ với y = 20 Ở Mode RED Ấn (Quad) SHIFT CLR (Sel) = (xoá nhớ thống kê) Tính hệ số A = −35.59856934 Tính hệ số B = 1.4959856934 Tính hệ số C = −6.71629667 × 10−3 Tính yˆ xi = 16 (=13.38291067) Tính xˆ1 yi = 20 (=47.14556728) Tính xˆ2 yi = 20 (=175.5872105) Chú ý nhập liệu - Ấn DT DT để nhập liệu hai lần - Dùng phím SHIFT ; để nhập nhiều liệu giống Ví dụ nhập "20, 30" năm lần ấn 20 ’ 30 SHIFT ; DT - Kết gọi khơng cần thứ tự bảng - Vẫn có phần ý SD - Xem thêm phần tính P (t), Q(t), R(t) phần bổ sung cho máy Casio fx 570 MS 150 PHỤ LỤC B SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ - Các số nhớ A, B, C, D, E, F, X, Y không dùng thống kê SD hồi quy RED Khi vào chương trình này, giá trị số nhớ gán trước bị xoá hết B.2 Dùng phần mềm Excel B.2.1 Tính tốn tốn ước lượng •Ví dụ B.4 Bảng số liệu sau cho độ lệch X 200 chi tiết máy với kích thước chuẩn Với mức ý nghĩa α = 0, 05 kiểm tra giả thiết độ lệch X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (aσ ) Thứ tự Khoảng (xi−1 , xi ) (-20, -15) (-15, -10) (-10, -5) (-5, 0) (0, 5) ni 11 20 24 44 Thứ tự 10 Khoảng (xi−1 , xi ) (5, 10) (10, 15) (15, 20) (20, 25) (25, 30) ni 41 26 17 Lời giải Giả thiết H0 : X ∼ N (a, σ ), đối thiết H1 : X ∼ N (a, σ ) +) Lập bảng Excel ước lượng tham số a = X σ = S vẽ đa giác tần suất: TT 10 11 12 13 14 A TT 10 B (xi−1 , xi (-20, -15) (-15, -10) (-10, -5) (-5, 0) (0, 5) (5, 10) (10, 15) (15, 20) (20, 25) (25, 30) C xi -17.5 -12.5 -7.5 -2.5 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 D E F ni fi ni · xi 0.035 -122.5 11 0.055 -137.5 20 0.1 -150 24 0.12 -60 44 0.22 110 41 0.205 307.5 26 0.13 325 0.085 297.5 0.035 157.5 0.015 82.5 200 810 X = 810/200 = 4.05 S = 19519.5/199 = G ni xi − X 3250.818 3012.928 2668.05 1029.66 105.71 488.0025 1856.465 3075.343 2382.818 1649.708 19519.5 9.903936 Chọn cột E làm trục tâm, cột C làm trục hồnh ta có đa giác tần suất Đồ thị cho ta hình dạng hàm mật độ phân phối chuẩn B.2 DÙNG PHẦN MỀM EXCEL 151 +) Thực chia khoảng: Vì n10 = < nên ta ghép khoảng 10 vào khoảng 9, ta có bảng: Thứ tự Khoảng (xi−1 , xi ) < -15 (-15, -10) (-10, -5) (-5, 0) (0 ,5) ni 11 20 24 44 Khoảng (xi−1 , xi ) (5, 10) (10, 15) (15, 20) (20, 25) Thứ tự ni 41 26 17 10 Như ta có k = 9, r = Lập bảng Excel tính Qn χ26,0.05 , bảng Excel cột B ta ghi cận khoảng TT 10 11 12 A B -15 -10 -5 10 15 20 C ni 11 20 24 44 41 26 17 10 200 D pi 0.02721 0.050794 0.102413 0.160879 0.196912 0.187795 0.139551 0.080798 0.053648 Qn = χ26,0.05 E (ni − npi )2 /npi 0.44604605 0.06966124 0.01136968 2.07749498 0.5413946 0.31523907 0.13073038 0.04371067 0.04960009 3.68524676 12.5915774 Để tính xác suất pi i = 1, ta thực lệnh sau: D2 = NORMDIST(B2,4.05,9.903936,TRUE) D3 = NORMDIST(B3,4.05,9.903936,TRUE)-NORMDIST(B3,4.05,9.903936,TRUE) Sau dùng Autofill từ D4 đến D9 D10 = 1-NORMDIST(B9,4.05,9.903936,TRUE) Ta tra bảng hàm Laplace tính xác suất Pi khoảng (xi−1 , xi ) i = 1, với: Pi = φ xi − 4, 05 9, 9039 −φ xi−1 − 4, 05 9, 9039 152 PHỤ LỤC B SỬ DỤNG CNTT GIẢI TOÁN THỐNG KÊ Vậy Qn = 3, 68524776 < χ26,0.05 = 12, 59 chấp nhận H0 , hay X có phân phối chuẩn N(4,3;94,26) B.2.2 Tính tốn đặc trưng mẫu •Ví dụ B.5 Đo chiều cao 100 sinh viên năm thứ ta bảng thống kê (tính cm) X SV 150-154 10 154-158 14 158-162 24 162-166 28 166-170 12 170-174 174-178 Chọn x0 = 160 lập bảng tính Excel ta được: TT 10 11 12 A X 152 156 160 164 168 172 176 B C ni xi − x0 10 -8 14 -4 24 28 12 8 12 16 n = 100 X = Bn + x0 = S = Cn − X − x0 = S= D ni (xi − x0 ) -80 -56 112 96 96 64 B = 232 162.32 37.1176 6.09734 E ni (xi − x0 )2 640 224 448 768 1152 1024 C = 4256 •Ví dụ B.6 Hai máy A B sản xuất chi tiết có độ dài X Để kiểm tra độ xác máy, định kỳ tháng lần người ta lấy máy lô gồm 1000 sản phẩm kiểm tra độ dài chúng Nếu độ lệch trung bình lơ vượt mm máy cần tu lại Bảng thống kê lần hai máy cho đây: Độ dài n(A) m(B) 1222 1226 70 1226 1230 20 90 1230 1234 80 110 1234 1238 190 140 1238 1242 360 170 Hãy kiểm tra xem máy cần tu lại Lời giải Chọn x0 = 1236 lập bảng tính theo Excel: 1242 1246 300 170 1246 1250 30 140 1250 1254 10 90 1254 1256 20 B.2 DÙNG PHẦN MỀM EXCEL X 1222-1226 1226-1230 1230-1234 1234-1238 1238-1242 1242-1246 1246-1250 1250-1254 1254-1258 xi 1224 1228 1232 1236 1240 1244 1248 1252 1256 xi − x0 -12 -8 -4 12 16 20 A = Bn1 + x0 = SA2 = Cn2 − A − x0 SB2 = Cn2 − B − x0 SA = 2 ni A 20 80 190 360 300 30 10 1000 = = 153 mi B 70 90 110 140 170 170 140 90 20 1000 1239.92 21.7536 69.73 4.6664 ni (xi − x0 ) -60 -160 -320 1440 2400 360 160 100 B1=3920 mi (xi − x0 ) ni xi − A -840 720 -720 1280 -440 1280 0 680 5760 1360 19200 1680 4320 1440 2560 400 2000 B2=3560 C1=37120 B2 B = n + x0 = n SA2 = n−1 · SA2 = n SB2 = n−1 · SB2 = SB = mi xi − B 10080 5760 1760 2720 10880 20160 23040 8000 C2=82400 1239.56 21.77538 69.7962 8.3544 Như máy A không cần tu máy B phải tu B.2.3 Các phân phối xác suất •Ví dụ B.7 Quan sát số lượng tô vào xúc máy xác khoảng thời gian định sẵn mỏ than người ta thu bảng kết sau: Số ô tô Số khoảng thời gian 75 55 30 12 m Hãy kiểm tra xem số liệu có tn theo quy luật phân phối Pốt-Xơng pm = λm! e−λ khơng? Trong Pm xác suất khoảng thời gian có m tơ xuất máy xúc Lời giải Lập bảng Excel ước lượng tham số λ = X vẽ đa giác tần suất, gọi số ô tô X, số khoảng thời gian ni : X ni fi 75 0.426136 55 30 0.3125 0.170455 λ≈X= 12 0.068182 0.954545 0.017045 0.005682 176 154 PHỤ LỤC B SỬ DỤNG CNTT GIẢI TỐN THỐNG KÊ Đa giác tần suất có dạng hàm mật độ phân phối Pốt-Xơng Các xác suất pm = lập bảng tính Qn ta được: TT A X B C ni pi 75 0.384987 55 0.367488 30 0.175392 12 0.055806 0.013317 0.002542 176 Qn = χ4,0.05 = CHIIN V (0.05, 4) = −0.621212 e m! D (ni − npi )2 /npi 0.774082 1.448107 0.024461 0.482998 0.183674 0.682274 3.595594 9.487728 Để tính pi Excel ta thực hiện: C2 = POISSON(A2,0.954545,FALSE) Sau Autofill từ C3 đến C7 Số bậc tự k = 6, r = ta có k - r - = - - = χ24,0.05 = 9, 487728 > Qn = 3, 595594 Vậy bảng số liệu thu tuân theo phân phối Pốt-Xơng Trong phần chúng tơi giới thiệu cách sử dụng số máy tính điện tử cá nhân thông dụng phần mềm Excel để giải số toán thống kê Với phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin, ngày nhiều hệ máy tính phần mềm đời, thuận lợi lớn cho SV Do yêu cầu sử dụng MT ĐT nhân phần mềm hỗ trợ giải toán điều cần thiết Các công cụ giúp giải nhanh chóng tốn nói chung thống kê nói riêng, góp phần nâng cao tính xác kịp thời; đồng thời tiết kiệm thời gian tính tốn cho tốn, rèn luyện tư thuật giải 155 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hồng Văn Hùng, Bài giảng Tốn Cao cấp, Nhà xuất Đại học Hàng Hải Việt Nam - Tài liệu lưu hành nội bộ, 2010 [2] Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho nhà kinh tế (tập một, hai, ba), Nhà xuất Đại học Kinh tế quốc dân, 2010 [3] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [4] Nguyễn Đình Dương - Nguyễn Thị Đỗ Hạnh, Bài giảng Đại số, Nhà xuất Đại học Hàng Hải Việt Nam - Tài liệu lưu hành nội bộ, 2014 [5] Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp (tập một, hai, ba) - Đại số hình học giải tích, Nhà xuất Giáo dục, 2001 [6] Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học cao cấp (tập một, hai, ba) - Đại số hình học giải tích, Nhà xuất Giáo dục, 2001 [7] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [8] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Lí thuyết xác suất thống kê tốn, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội, 2002 [9] Lê Ngọc Lăng (chủ biên), Nguyễn Chí Bảo, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Phú Trường, Ôn thi học kỳ thi vào giai đoạn tập 1, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997 [10] Lê Ngọc Lăng (chủ biên), Nguyễn Chí Bảo, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Phú Trường, Ôn thi học kỳ thi vào giai đoạn tập 2, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997 [11] Tống Đình Quỳ, Giáo trình Xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội, 1999 [12] Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như, Thống kê toán học, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2004 161 ... biến đổi sau hàng A phép biến đổi sơ cấp hàng: 10 CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ❼ Hoán vị hàng A ❼ Nhân tất phần tử hàng A với số khác ❼ Nhân tất phần tử hàng A với số... ma trận có đặc điểm sau: ❼ Các hàng không hàng khác không ❼ Đối với hai hàng khác không liên tiếp, phần tử khác (kể từ trái sang) hàng nằm bên trái phần tử khác hàng •Ví dụ 1.24  0 A= 0 ... có hàng khác 0, r(A) = r(Abt ) = ❼ Nếu − m = ⇔ m = ma trận Abt có hàng khác 0, r(A) = r(Abt ) = 1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Định nghĩa 1.16 Hệ phương trình tuyến tính m phương trình,