Giáo trình Toán chuyên đề cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về: Ma trận - định thức - hệ phương trình tuyến tính, biến cố ngẫu nhiên và xác suất của nó, đại lượng ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất, mẫu ngẫu nhiên - ước lượng tham số. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.
Mục lục Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Chuẩn bị 1.1.1 Tích Đề-các 1.1.2 Ánh xạ 1.2 Ma trận phép toán ma trận 1.2.1 Khái niệm ma trận 1.2.2 Các phép toán ma trận 1.3 Định thức 1.3.1 Định nghĩa định thức 1.3.2 Ma trận nghịch đảo 1.3.3 Hạng ma trận 1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính Bài tập chương Biến cố ngẫu nhiên xác suất 2.1 Phép thử phân loại biến cố 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Phân loại biến cố 2.2 Định nghĩa xác suất 2.2.1 Xác suất biến cố 2.2.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 2.2.3 Định nghĩa hình học xác suất 2.2.4 Định nghĩa thống kê xác suất 2.3 Quan hệ biến cố 2.3.1 Tổng biến cố 2.3.2 Tích biến cố 2.3.3 Biến cố xung khắc 2.3.4 Nhóm đầy đủ biến cố 2.3.5 Biến cố đối lập 2.4 Định lý cộng nhân xác suất 2.4.1 Định lý cộng xác suất (trường hợp biến cố 2.4.2 Định lý nhân xác suất 2.4.3 Định lý cộng xác suất (trường hợp tổng quát) 2.4.4 Định lý liên hệ cộng nhân xác suất 2.5 Công thức Bernoulli 2.5.1 Các phép thử độc lập 2.5.2 Công thức Bernoulli 2.5.3 Số lần xuất 2.5.4 Mở rộng công thức Bernoulli 2.6 Công thức đầy đủ công thức Bayes 2.6.1 Công thức xác suất đầy đủ 2.6.2 Công thức Bayes xung 5 5 6 9 15 17 19 26 khắc) 33 33 33 33 34 34 34 36 37 38 38 38 39 39 39 40 40 41 45 46 47 47 47 48 49 50 50 52 MỤC LỤC Bài tập chương Đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 3.1 Định nghĩa phân loại đại lượng ngẫu nhiên 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên 3.2 Quy luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên 3.2.1 Bảng phân phối xác suất 3.2.2 Hàm phân phối xác suất 3.2.3 Hàm mật độ xác suất 3.3 Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 3.3.1 Kỳ vọng toán 3.3.2 Phương sai 3.3.3 Độ lệch tiêu chuẩn 3.3.4 Mốt 3.3.5 Trung vị 3.3.6 Phân vị 3.4 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 3.4.1 Quy luật phân phối chuẩn N (µ, σ ) 3.4.2 Quy luật không - A(p) 3.4.3 Quy luật nhị thức B(n, p) 3.4.4 Quy luật Poisson P (λ) 3.4.5 Quy luật siêu bội M (N, n) 3.4.6 Quy luật - bình phương χ2 (n) 3.4.7 Quy luật Student T (n) Bài tập chương Mẫu ngẫu nhiên - Ước lượng tham số 4.1 Tổng thể nghiên cứu 4.1.1 Định nghĩa 4.1.2 Các phương pháp mô tả tổng thể 4.1.3 Các tham số đặc trưng tổng thể 4.2 Mẫu ngẫu nhiên 4.2.1 Định nghĩa 4.2.2 Các phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên 4.2.3 Đồ thị phân phối thực nghiệm 4.3 Thống kê 4.3.1 Định nghĩa 4.3.2 Trung bình mẫu 4.3.3 Phương sai mẫu 4.3.4 Độ lệch tiêu chuẩn mẫu 4.3.5 Tần suất mẫu 4.3.6 Quy luật phân phối xác suất số thống kê đặc trưng mẫu 4.3.7 Ví dụ 4.4 Mẫu ngẫu nhiên hai chiều 4.4.1 Khái niệm 4.4.2 Phương pháp mô tả ngẫu nhiên hai chiều 4.4.3 Một số thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên hai chiều 4.5 Ước lượng tham số đại lượng ngẫu nhiên 4.5.1 Phương pháp ước lượng điểm 4.5.2 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy 53 61 61 61 61 62 62 64 66 71 71 75 78 78 79 80 80 80 86 87 90 92 93 94 96 103 103 103 103 104 105 105 106 107 109 109 109 110 112 113 113 115 115 115 116 116 118 118 119 MỤC LỤC 4.5.3 Khoảng tin cậy cho trung bình (Ước lượng kỳ vọng tốn đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn) 4.5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ (Ước lượng kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không - một) 4.5.5 Khoảng tin cậy cho phương sai (Ước lượng phương sai đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn) Bài tập chương PHỤ LỤC 119 126 128 132 138 A Giải tích tổ hợp A.1 Các quy tắc đếm A.1.1 Quy tắc cộng A.1.2 Quy tắc nhân A.2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp A.2.1 Chỉnh hợp (chỉnh hợp không A.2.2 Chỉnh hợp lặp A.2.3 Hoán vị A.2.4 Tổ hợp Bài tập phụ lục A 139 139 139 139 139 139 140 140 141 142 B Sử dụng CNTT giải toán thống kê B.1 Đối với máy tính điện tử cầm tay B.1.1 Tính đặc trưng mẫu B.1.2 Bài tốn tìm hàm hồi quy B.2 Dùng phần mềm Excel B.2.1 Tính tốn tốn ước lượng B.2.2 Tính tốn đặc trưng mẫu B.2.3 Các phân phối xác suất 143 143 143 146 150 150 152 153 hóa 155 156 157 158 159 160 C Bảng tra C.1 Bảng C.2 Bảng C.3 Bảng C.4 Bảng C.5 Bảng lặp) giá trị hàm mật độ phân phối chuẩn giá trị hàm Laplace phân vị chuẩn phân vị Student phân vị Khi - bình phương TÀI LIỆU THAM KHẢO 161 MỤC LỤC Chương Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Chuẩn bị 1.1.1 Tích Đề-các Định nghĩa 1.1 Cho họ gồm n tập {Ai }ni=1 ( n số nguyên dương) Tích Đê-các họ cho tập, ký hiệu A1 × A2 × · · · × An , phần tử có thứ tự gồm n thành phần (a1 , a2 , , an ), ∈ Ai với i = 1, 2, , n •Ví dụ 1.1 Cho A1 = {a, b, c}, A2 = {1, 2} đó: A1 × A2 = {(a, 1); (a, 2); (b, 1); (b, 2); (c, 1); (c, 2)} A2 × A1 = {(1, a); (2, a); (1, b); (2, b); (1, c); (2, c)} Vậy A1 × A2 = A2 × A1 Chú ý: Nếu A1 = A2 = · · · = An = A, thay cho ký hiệu A1 × A2 × · · · × An ta dùng ký hiệu An •Ví dụ 1.2 Rn = {(x1 , x2 , , xn ), xi ∈ R, i = 1, 2, , n} 1.1.2 Ánh xạ Định nghĩa 1.2 Cho hai tập khác rỗng X, Y Một ánh xạ f từ X vào Y quy tắc cho phép với phần tử x ∈ X xác định phần tử y = f (x) ∈ Y , ký hiệu: f : X −→ Y y = f (x) Trong định nghĩa ❼ X gọi tập nguồn ánh xạ f ❼ Y gọi tập đích ánh xạ f ❼ y = f (x) gọi ảnh x qua ánh xạ f , x gọi tạo ảnh y = f (x) ❼ Giả sử A ⊂ X, f (A) = {f (x) : x ∈ A)} gọi ảnh A qua ánh xạ f ❼ Giả sử B ⊂ Y , Khi f −1 (B) = {x : y = f (x) ∈ B)} gọi nghịch ảnh B f Định nghĩa 1.3 Cho f : X −→ Y ánh xạ f đơn ánh x1 , x2 ∈ X x1 = x2 f (x1 ) = f (x2 ) CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH f tồn ánh f (X) = Y f song ánh f vừa đơn ánh vừa tồn ánh •Ví dụ 1.3 y = ex đơn ánh từ R vào R y = x2 toán ánh từ R vào R+ y = x song ánh từ R vào R Chú ý: Nếu X = Y ánh xạ f : X −→ X xác định y = f (x) = x gọi ánh xạ đồng X, ký hiệu idX Dễ thấy ánh xạ đồng song ánh Định nghĩa 1.4 Cho ánh xạ f : X −→ Y g : Y −→ Z Tích ánh xạ g với ánh xạ f ánh xạ, ký hiệu g.f , xác định sau: (g.f ) : X −→ Z (g.f )(x) = g[f (x)] •Ví dụ 1.4 Cho ánh xạ f, g : R −→ R xác định y = f (x) = Khi (g.f )(x) = 2x2 3x2 + + = x2 + x2 + x2 y = g(x) = 2x + x2 + Định nghĩa 1.5 Giả sử f : X −→ Y ánh xạ Nếu tồn ánh xạ g : Y −→ X cho g.f = idX f.g = idY ta gọi g ánh xạ ngược f , f ánh xạ ngược g •Ví dụ 1.5 Cho f : R −→ R+ xác định y = f (x) = ex g : R+ −→ R xác định y = g(x) = ln(x) Dễ dàng kiểm tra f g hai ánh xạ ngược 1.2 Ma trận phép toán ma trận 1.2.1 Khái niệm ma trận Định nghĩa 1.6 Cho m, n ∈ N∗ Một ma trận thực cỡ m × n bảng chữ nhật gồm m × n số thực xếp thành m hàng, n cột Số thực đứng hàng i cột j gọi phần tử ij Nếu ký hiệu phần tử aij ma trận cỡ m × n biểu diễn bởi: a11 a12 a1n a21 a22 a2n A= an1 an2 ann Trong số trường hợp ta dùng ký hiệu thu gọn [aij ]m×n để ma trận m hàng, n cột •Ví dụ 1.6 Cho A = Đây ma trận cỡ × có: 11 a11 = 1, a12 = 3, a13 = 5, a21 = 7, a22 = 9, a23 = 11 1.2 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Ma trận cột ma trận cỡ m × Ma trận hàng ma trận cỡ × n Ma trận khơng ma trận mà phần tử 0, ký hiệu Θ Θm×n muốn rõ cỡ ma trận Ma trận vuông cấp n ma trận có số hàng số cột n Cho ma trận vng cấp n, A = [aij ]n×n , đường chéo A tập hợp phần tử có dạng: a11 , a22 , a33 , , ann Ma trận tam giác ma trận vng cấp n aij = i > j a11 a12 a22 A= 0 a1n a2n ann Ma trận tam giác ma trận vng cấp n aij = i < j a11 a21 a22 A= an1 an2 ann Ma trận đường chéo ma trận vng cấp n aij = i = j a11 a22 A= 0 ann Ma trận đơn vị ma trận đường chéo có phần tử thuộc đường chéo 1, ma trận đơn vị cấp n thường ký hiệu In I không xảy hiểu lầm In = 0 Ma trận chuyển vị ma trận A ma trận ký hiệu At , nhận từ ma trận A cách viết hàng A thành cột At Như vậy: a11 a12 a21 a22 A= am1 am2 a1n a11 a2n ⇒ At = a12 amn a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Hai ma trận A, B gọi chúng có cỡ nghĩa A = [aij ]m×n B = [bij ]m×n phần tử vị trí tương ứng cụ thể aij = bij với i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n, ký hiệu A = B CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.2.2 Các phép tốn ma trận a) Cộng hai ma trận cỡ Định nghĩa 1.7 Cho hai ma trận cỡ A = [aij ]m×n , B = [bij ]m×n Tổng A B ma trận cỡ C = [cij ]m×m , ký hiệu C = A + B, cij = aij + bij , i = 1, , n, j = 1, , m Như vây muốn cộng hai ma trận cỡ, ta cộng phần tử vị trí với •Ví dụ 1.7 −2 A= Khi đó: A + B = C = ,B = −3 −5 −5 −1 Tính chất: Các phép tính cộng ma trận cỡ có tính chất giống tính chất phép cộng số thực: ❼ Tính giao hốn A + B = B + A ❼ Tính kết hợp (A + B) + C = A + (B + C) ❼ A+Θ=A ❼ A = [aij ]m×n , ∃ ma trận đối ma ma trận A −A = [−aij ]m×n thỏa mãn A + (−A) = Θ b) Nhân ma trận với số thực Định nghĩa 1.8 Cho ma trận A = [aij ]m×n số thực k Tích A với số thức k ma trận cỡ với ma trận A, ký hiệu kA, xác định công thức kA = [kaij ]mìn ãVớ d 1.8 2 −2 = −4 14 −1 −2 Tính chất: Giải sử k, h ∈ R A, B ma trận, ta có tính chất sau: ❼ k(A + B) = kA + kB ❼ k(hA) = khA ❼ (k + h)A = kA + hA ❼ 1.A = A c) Nhân ma trận với ma trận 1.3 ĐỊNH THỨC Định nghĩa 1.9 Cho hai ma trận A = [aij ]m×p B = [bij ]p×n Tích ma trận A với ma trận B ma trận có cỡ m × n, ký hiệu AB, xác định sau: p aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj AB = [cij ]mìn , cij = k=1 ãVớ d 1.9 Cho A = −1 , B = Khi 1.2 + 2.3 1.0 + 2.1 AB = 0.2 − 1.3 0.0 − 1.1 = −3 −1 3.2 + 1.3 3.0 + 1.1 •Ví dụ 1.10 Tính AB BA A= −1 −8 B = −2 Ta có AB = −48 −4 11 −23 BA = −4 30 −58 10 11 −27 Nhận xét: Do AB = BA nên phép nhân hai ma trận khơng có tính giao hốn Tính chất: Giả sử A, B, C ma trận k số thực Nếu phép tính vế trái đẳng thức có nghĩa vế phải có nghĩa vế ❼ (AB)C = A(BC) ❼ A(B + C) = AB + AC ❼ (B + C)A = BA + CA ❼ k(AB) = (kA)B = A(kB) ❼ IA =AI =A ❼ ΘA = AΘ = Θ 1.3 Định thức 1.3.1 Định nghĩa định thức Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Cho ma trận A = [aij ]m×n Ta gọi phép biến đổi sau hàng A phép biến đổi sơ cấp hàng: 10 CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ❼ Hốn vị hàng A ❼ Nhân tất phần tử hàng A với số khác ❼ Nhân tất phần tử hàng A với số cộng vào phần tử tương ứng hàng khác Chú ý: Các phép biến đổi sơ cấp cột định nghĩa tương tự •Ví dụ 1.11 Cho ma trận A = Hãy dùng phép biến đổi sơ cấp hàng A để đưa A dạng tam giác Lời giải Ta thực dãy phép biến đổi sơ cấp hàng để biến đổi dần ma trận A thành ma trận có dạng tam giác sau: 3 H −3H1 →H3 H −5H2 →H3 A = −−3−−−− −−→ −1 −5 −−3−−−− −−→ −1 −5 H2 −2H1 →H2 −5 −7 0 18 Ma trận Aij ma trận A Định nghĩa 1.10 Cho ma trận A = [aj ]m×n Ma trận Aij A ma trận thu từ ma trận A cách bỏ phần tử nằm hàng i phần tử nằm cột j, cỡ Aij (m − 1) × (n − 1) •Ví dụ 1.12 Cho ma trận A = Các ma trận Aij A gồm: A11 = , A12 = , A13 = , A21 = , A22 = , A23 = , A31 = , A32 = , A33 = Định nghĩa định thức Định nghĩa 1.11 Cho ma trận vng cấp n, A = [aij ]n×n Định thức ma trận A ký hiệu là: det(A), |A| a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann xác định phương pháp quy nạp sau: i) Với n = 1, det(A) = a11 ii) Với n > 1, định thức ma trận A định nghĩa thông qua định thức ma trận Aij cấp n − cơng thức: n (−1)1+j a1j det(A1j ) det(A) = j=1 ... xi (-2 0, -1 5) (-1 5, -1 0) (-1 0, -5 ) (-5 , 0) (0, 5) (5, 10) (10, 15) (15, 20) (20, 25) (25, 30) C xi -1 7.5 -1 2.5 -7 .5 -2 .5 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 D E F ni fi ni · xi 0.035 -1 22.5 11 0.055 -1 37.5... Đại học Hàng Hải Việt Nam - Tài liệu lưu hành nội bộ, 2014 [5] Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp (tập một, hai, ba) - Đại số hình học giải tích, Nhà xuất Giáo. .. PHẦN MỀM EXCEL X 122 2-1 226 122 6-1 230 123 0-1 234 123 4-1 238 123 8-1 242 124 2-1 246 124 6-1 250 125 0-1 254 125 4-1 258 xi 1224 1228 1232 1236 1240 1244 1248 1252 1256 xi − x0 -1 2 -8 -4 12 16 20 A = Bn1 +