Giáo trình Toán ứng dụng - Trường Đại học Hàng Hải

Giáo trình Toán ứng dụng cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất của nó, đại lượng ngẫu nhiên và các quy luật phân phối xác suất, mẫu ngẫu nhiên - ước lượng tham số, số gần đúng và sai số, phép nội suy, tính gần đúng đạo hàm và tích phân, giải gần đúng phương trình vi phân.

Mục lục Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 Phép thử phân loại biến cố 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Phân loại biến cố 1.2 Định nghĩa xác suất 1.2.1 Xác suất biến cố 1.2.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 1.2.3 Định nghĩa hình học xác suất 11 1.2.4 Định nghĩa thống kê xác suất 12 1.3 Quan hệ biến cố 13 1.3.1 Tổng biến cố 13 1.3.2 Tích biến cố 13 1.3.3 Biến cố xung khắc 14 1.3.4 Nhóm đầy đủ biến cố 14 1.3.5 Biến cố đối lập 14 1.4 Định lý cộng nhân xác suất 15 1.4.1 Định lý cộng xác suất (trường hợp biến cố xung khắc) 15 1.4.2 Định lý nhân xác suất 17 1.4.3 Định lý cộng xác suất (trường hợp tổng quát) 22 1.4.4 Định lý liên hệ cộng nhân xác suất 23 1.5 Công thức Bernoulli 25 1.5.1 Các phép thử độc lập 25 1.5.2 Công thức Bernoulli 25 1.5.3 Số lần xuất 26 1.5.4 Mở rộng công thức Bernoulli 27 1.6 Công thức đầy đủ công thức Bayes 29 1.6.1 Công thức xác suất đầy đủ 29 1.6.2 Công thức Bayes 30 Bài tập chương 32 Đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 43 2.1 Định nghĩa phân loại đại lượng ngẫu nhiên 43 MỤC LỤC 2.1.1 Định nghĩa 43 2.1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên 43 2.2 Quy luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên 44 2.2.1 Bảng phân phối xác suất 44 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 46 2.2.3 Hàm mật độ xác suất 50 2.3 Các tham số đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên 55 2.3.1 Kỳ vọng toán 55 2.3.2 Phương sai 60 2.3.3 Độ lệch tiêu chuẩn 64 2.3.4 Mốt 64 2.3.5 Trung vị 65 2.3.6 Phân vị 66 2.4 Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng 66 2.4.1 Quy luật phân phối chuẩn N (µ, σ2 ) 66 2.4.2 Quy luật không - A(p) 74 2.4.3 Quy luật nhị thức B(n, p) 75 2.4.4 Quy luật Poisson P(λ) 79 2.4.5 Quy luật siêu bội M ( N, n) 81 2.4.6 Quy luật - bình phương χ2 (n) 82 2.4.7 Quy luật Student T (n) 84 Bài tập chương 85 Mẫu ngẫu nhiên - Ước lượng tham số 93 3.1 Tổng thể nghiên cứu 93 3.1.1 Định nghĩa 93 3.1.2 Các phương pháp mô tả tổng thể 93 3.1.3 Các tham số đặc trưng tổng thể 94 3.2 Mẫu ngẫu nhiên 96 3.2.1 Định nghĩa 96 3.2.2 Các phương pháp mô tả mẫu ngẫu nhiên 97 3.2.3 Đồ thị phân phối thực nghiệm 98 3.3 Thống kê 100 3.3.1 Định nghĩa 100 3.3.2 Trung bình mẫu 100 3.3.3 Phương sai mẫu 101 3.3.4 Độ lệch tiêu chuẩn mẫu 104 3.3.5 Tần suất mẫu 104 3.3.6 Quy luật phân phối xác suất số thống kê đặc trưng mẫu 105 3.3.7 Ví dụ 107 MỤC LỤC 3.4 Mẫu ngẫu nhiên hai chiều 108 3.4.1 Khái niệm 108 3.4.2 Phương pháp mô tả ngẫu nhiên hai chiều 108 3.4.3 Một số thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên hai chiều 108 3.5 Ước lượng tham số đại lượng ngẫu nhiên 111 3.5.1 Phương pháp ước lượng điểm 111 3.5.2 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy 112 3.5.3 Khoảng tin cậy cho trung bình (Ước lượng kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn) 112 3.5.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ (Ước lượng kỳ vọng toán đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không - một) 121 3.5.5 Khoảng tin cậy cho phương sai (Ước lượng phương sai đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn) 124 Bài tập chương 127 Số gần Sai số 135 4.1 Khái niệm số gần 135 4.1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 135 4.1.2 Sự làm tròn số, sai số làm tròn 136 4.2 Cách viết số xấp xỉ 137 4.2.1 Chữ số có nghĩa 137 4.2.2 Chữ số 137 4.2.3 Cách viết số xấp xỉ 138 4.3 Sai số tính tốn 138 4.3.1 Sai số phép tính cộng trừ 138 4.3.2 Sai số phép tính nhân chia 139 4.3.3 Sai số phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo 139 4.3.4 Bài toán ngược lý thuyết sai số 140 4.4 Sai số phương pháp sai số tính tốn 140 Bài tập chương 141 Phép nội suy 143 5.1 Nội suy đa thức đại số 143 5.2 Đa thức nội suy Lagrange 144 5.3 Sai số phép nội suy 146 5.3.1 Sai số phương pháp 146 5.3.2 Sai số tính tốn 147 MỤC LỤC 5.3.3 Chọn mốc nội suy tối ưu 148 5.4 Sai phân tính chất 149 5.5 Một số quy tắc nội suy hàm số lưới 149 5.5.1 Bảng sai phân 149 5.5.2 Nội suy đầu bảng 150 5.5.3 Nội suy cuối bảng 151 5.6 Một số ví dụ áp dụng sai phân nội suy 152 5.6.1 Tính giá trị đa thức 152 5.6.2 Tính tổng 153 5.7 Nội suy lưới không 154 5.7.1 Tỷ sai phân 154 5.7.2 Công thức nội suy Newton trường hợp mốc không cách 154 5.7.3 Bài toán nội suy ngược 155 5.8 Phương pháp bình phương bé 155 5.8.1 Nội dung phương pháp 156 5.8.2 Một số trường hợp áp dụng 156 Bài tập chương 160 Tính gần đạo hàm tích phân 161 6.1 Tính gần đạo hàm 161 6.1.1 Sử dụng đa thức nội suy Lagrange 161 6.1.2 Trường hợp mốc nội suy cách 162 6.2 Tính gần tích phân 163 6.2.1 Phương pháp hình thang 163 6.2.2 Công thức parabol (Simpson) 165 6.2.3 Công thức Newton-Cotes 167 Bài tập chương 168 Giải gần phương trình vi phân 171 7.1 Mở đầu 171 7.2 Phương pháp chuỗi Taylor 171 7.3 Phương pháp Euler 173 7.4 Phương pháp Euler cải tiến 175 7.5 Phương pháp Runge-Kutta 176 Bài tập chương 179 PHỤ LỤC 180 A Giải tích tổ hợp 181 A.1 Các quy tắc đếm 181 A.1.1 Quy tắc cộng 181 MỤC LỤC A.1.2 Quy tắc nhân 181 A.2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 181 A.2.1 Chỉnh hợp (chỉnh hợp không lặp) 181 A.2.2 Chỉnh hợp lặp 182 A.2.3 Hoán vị 183 A.2.4 Tổ hợp 183 Bài tập phụ lục A 185 B Sử dụng CNTT giải toán thống kê 187 B.1 Đối với máy tính điện tử cầm tay 187 B.1.1 Tính đặc trưng mẫu 187 B.1.2 Bài tốn tìm hàm hồi quy 190 B.2 Dùng phần mềm Excel 194 B.2.1 Tính tốn toán ước lượng 194 B.2.2 Tính toán đặc trưng mẫu 196 B.2.3 Các phân phối xác suất 198 C Bảng tra 201 C.1 Bảng giá trị hàm mật độ phân phối chuẩn hóa 202 C.2 Bảng giá trị hàm Laplace 203 C.3 Bảng phân vị chuẩn 204 C.4 Bảng phân vị Student 205 C.5 Bảng phân vị Khi - bình phương 206 MỤC LỤC Chương Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 Phép thử phân loại biến cố 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay không gọi thực phép thử, cịn tượng xảy kết phép thử gọi biến cố •Ví dụ 1.1 Tung súc sắc xuống đất phép thử, việc lật lên mặt biến cố •Ví dụ 1.2 Bắn phát súng vào bia Việc bắn súng phép thử, cịn việc trúng vào miền bia biến cố 1.1.2 Phân loại biến cố Một biến cố xảy phép thử gắn liền với thực Trong thực tế xảy loại biến cố sau đây: • Biến cố chắn: biến cố định xảy thực phép thử Biến cố chắn ký hiệu U • Biến cố khơng thể có: biến cố định không xảy thực phép thử Biến cố khơng thể có ký hiệu V • Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy không xảy thực phép thử Các biến cố ngẫu nhiên ký hiệu A, B, C, A1 , A2 , An , B1 , B2 , , Bn Tất biến cố ta gặp thực tế thuộc ba loại biến cố kể Tuy nhiên biến cố ngẫu nhiên biến cố thường gặp •Ví dụ 1.3 Tung xúc xắc, xét biến cố sau đây: CHƯƠNG BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CỦA NĨ U = ”Xuất mặt có số chấm nhỏ 7” U biến cố chắn V = ”Xuất mặt có chấm” V biến cố khơng thể có A = ”Xuất mặt có số chấm chẵn” A biến cố ngẫu nhiên Ai = ” Xuất mặt i chấm”, (i = 1, 2, 6) Ai biến cố ngẫu nhiên 1.2 Định nghĩa xác suất 1.2.1 Xác suất biến cố Định nghĩa 1.2 Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Ký hiệu xác suất biến cố A P( A) Ta ý rằng, việc biến cố ngẫu nhiên xảy hay không xảy kết phép thử điều khơng thể đốn trước được, xác suất biến cố phản ánh khả khách quan xuất biến cố, điều kiện phép thử quy định không tuỳ thuộc vào ý muốn chủ quan người 1.2.2 Định nghĩa cổ điển xác suất a) Ví dụ mở đầu Giả sử thực phép thử tung súc sắc cân đối đồng chất Xét biến cố A = ”Xuất mặt có số chấm chẵn” Ta xác định xác suất biến cố A Khi tung súc sắc cân đối đồng chất ta thấy có kết cục xảy là: xuất mặt chấm, chấm, , chấm Những kết cục thoả mãn hai điều kiện: chúng nhất, tức kết phép thử xảy kết cục số đó; chúng có khả xảy Các kết cục thoả mãn hai điều kiện gọi kết cục đồng khả Trong số kết cục đồng khả ta thấy có kết cục mà kết cục xảy biến cố A xảy ra, kết cục mặt chấm, chấm, chấm Những kết cục làm cho biến cố xẩy gọi kết cục thuận lợi cho biến cố Như ta thấy khả xảy biến cố A phần 6, tức phần Đó cách xác định xác suất biến cố theo quan điểm cổ điển b) Định nghĩa Định nghĩa 1.3 Xác suất xuất biến cố A phép thử tỉ số số kết cục thuận lợi cho A tổng số kết cục đồng khả xảy thực phép thử Nếu ký hiệu: m số kết cục thuận lợi cho biến cố A; n số kết cục đồng khả phép thử, ta có cơng thức tính xác suất biến cố A sau: P( A) = m n 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT c) Các tính chất xác suất • Xác suất biến cố chắn một: P(U) = • Xác suất biến cố khơng thể có khơng: P(V) = • Xác suất biến cố ngẫu nhiên số nằm khoảng không một: < P( A) < Như vậy, xác suất biến cố thoả mãn điều kiện: ≤ P( A) ≤ d) Tính xác suất định nghĩa cổ điển •Ví dụ 1.4 Một người gọi điện cho bạn quên chữ số cuối nhớ chúng khác Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên lần số cần gọi Lời giải Gọi A biến cố ”Quay ngẫu nhiên lần số cần gọi” Số kết cục đồng khả tất cách lập nên số khác từ 10 số tự nhiên Như vậy: n = A310 = 10.9.8 = 720 Số kết cục thuận lợi cho biến cố A có kết cục: m=1 Vì theo định nghĩa cổ điển, xác suất biến cố A là: P( A) = m = n 720 •Ví dụ 1.5 Trong bình có a cầu trắng b cầu đen Lấy ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất để lấy cầu trắng Lời giải Gọi A biến cố lấy cầu trắng Khi lấy ngẫu nhiên cầu, ta lấy cầu số a + b cầu bình, số kết cục đồng khả là: n = a+b 10 CHƯƠNG BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CỦA NÓ Biến cố A xảy ta lấy số a cầu trắng, số kết cục thuận lợi là: m=a Từ theo định nghĩa cổ điển xác suất, ta có: P( A) = m a = n a+b •Ví dụ 1.6 Một hộp có 10 sản phẩm, có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm Tìm xác suất để: a) Cả sản phẩm lấy phẩm b) Trong sản phẩm lấy có phẩm Lời giải a) Gọi A biến cố ”Lấy phẩm” Số kết cục đồng khả phép thử số cách chọn sản phẩm (phân biệt = 120 không kể thứ tự) từ 10 sản phẩm, n = C10 Số kết cục thuận lợi cho A xảy số cách chọn sản phẩm từ phẩm, m = C63 = 20 m 20 = = n 120 b) Gọi B biến cố ”Trong sản phẩm lấy có phẩm” Do xác suất biến cố A là: P( A) = Để biến cố B xảy ta phải thực chọn theo bước: - Chọn phẩm số phẩm, số cách chọn C62 ; - Chọn phế phẩm số phế phẩm, số cách chọn C41 Số kết cục thuận lợi cho biến cố B số cách chọn cho biến cố B xảy ra: m = C62 C41 Vậy xác suất biến cố B là: P( B) = C2 C1 m = 63 = n C10 •Ví dụ 1.7 Tung súc sắc hai lần Tính xác suất để có lần xuất mặt chấm Lời giải Gọi A biến cố: "Trong lần tung súc sắc có lần xuất mặt chấm” Số kết cục đồng khả số cách thiết lập cặp số số chấm xuất lần ... 1.64 Sinh viên phải chọn học mơn tự chọn: Tốn, Lý, Hố Biết có 60% sinh viên học Toán, 40% học Lý, 50% học Hoá, 28% học Toán Lý, 21% học Lý Hố, 20% học Tốn Hố a) Tính tỷ lệ sinh viên học mơn Tốn,... viên bán hàng năm đến bán công ty A ba lần Xác suất lần đầu bán hàng 0,8 Nếu lần trước bán hàng xác suất để lần sau bán hàng 0,9; cịn lần trước khơng bán hàng xác suất để lần sau bán hàng 0,4... cố: A1 - động thứ máy bay trúng đạn; A2 - động thứ hai máy bay trúng đạn; A3 - phi công trúng đạn; B - máy bay rơi Ta có: B = A1 A2 + A3 biến cố A1 , A2 , A3 độc lập không xung khắc, áp dụng định