(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề góc, khoảng cách, quan hệ vuông góc, quan hệ song song

CHUN ĐỀ 15: GĨC, KHOẢNG CÁCH, QUAN HỆ VNG GĨC, QUAN HỆ SONG SONG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT GÓC TRONG KHƠNG GIAN I 1) GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG + Nếu a b song song trùng góc chúng 0° + Nếu a b cắt góc chúng góc nhỏ góc tạo hai đường thẳng + Góc hai đường thẳng chéo a b góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm song song (hoặc trùng) với a b a//a' Tức là: b//b' a,b a ', b ' Chú ý: * 0a , b 90 * Để xác định góc hai đường thẳng, ta lấy điểm (thuộc hai đường thẳng đó) từ kẻ đường thẳng song song với đường lại * Nếu u1 , thẳng a b thì: a,b u u1 u u1 u Tức là: cos a , b download by : skknchat@gmail.com 2) GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG + Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P góc đường thẳng a mặt phẳng P 90° Tức là: a + a ,P P 90 Nếu đường thẳng a không vng góc với mặt phẳng P góc đường thẳng a hình chiếu a ' P gọi góc đường thẳng a mặt phẳng P Tức là: Nếu a a, P P a ' hình chiếu a P a, a ' Chú ý: * a,P * Nếu * Để tìm hình chiếu a ' a P ta làm sau: Tìm giao điểm M a P Lấy điểm A tùy ý a xác định hình chiếu H A P Khi đó, a ' đường thẳng qua hai điểm A M 3) GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Để xác định góc hai mặt phẳng P Q , ta thực theo cách sau: Cách 1: Theo định nghĩa a P P,Q b a,b Q download by : skknchat@gmail.com Cách 2: Khi xác định P + Bước 1: Tìm mặt phẳng R + Bước 2: Tìm p R P q R Q Khi đó: P , Q c ta làm sau: Q c p,q Đặc biệt: Nếu xác định đường thẳng p, q cho: P p c Q q c Cách 3: Theo định lí hình chiếu cos S ' S.cos AI 1) S ' S KHOẢNG CÁCH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng P MH, với H hình chiếu vng góc M mặt phẳng P MH P d M,P MH H P Phương pháp giải chung:Muốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, trước hết ta phải tìm hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng Việc xác định hình chiếu điểm mặt phẳng ta thường dùng cách sau: Cách 1: download by : skknchat@gmail.com + Bước 1: Tìm mặt phẳng Q chứa M vng góc với P + Bước 2: Xác định giao tuyến:PQ + Bước 3: Trong Q , dựng MH , H P Q Vì P Q Q MH P MH d M , PMH Cách 2: Nếu biết trước đường thẳng d P ta dựng Mx / /d , đó: H Mx P hình chiếu vng góc M P d M , PMH 2) KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU a) Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng a, b vng góc với đường gọi đường vng góc chung a b Đoạn thẳng MN gọi đoạn vng góc chung a b b) Một số hướng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo TH1: Khi a, b chéo a b + Bước 1: Dựng mặt phẳng P chứa b vng góc với a M + Bước 2: Trong P dựng MN b N + Bước 3: Đoạn MN đoạn vng góc chung a b d a , b MN TH2: Khi a, b chéo a b download by : skknchat@gmail.com Mục tiêu: Chuyển khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ đường đến mặt phẳng * Bước 1: Dựng mặt phẳng P chứa b song song với a a//P * Bước 2: d a , b b P da,P M a d M,P  Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách mặt phẳng song song: * Bước 1: Dựng hai mặt phẳng P , Q cho a * P//Q b Bước 2: Khi d a , b d P , Q d M , Q III QUAN HỆ SONG SONG Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng : ♦Phương pháp1: Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng khơng nằm mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng a // b b (P) a //(P) a (P) ♦Phương pháp2: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng minh đường thẳng a nằm mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P) ♦Phương pháp 3: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a mặt phẳng (P) khơng có điểm chung vng góc với đường thẳng b download by : skknchat@gmail.com ♦Phương pháp 4: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a mặt phẳng (P) khơng có điểm chung vng góc với mặt phẳng (Q) ♦Phương pháp 5: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a (P) khơng có điểm chung) Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song: ♦Phương pháp 1: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với hai đường thẳng đó) a // b a (P) b (Q) (P) (Q) c ♦Phương pháp 2: download by : skknchat@gmail.com Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a Q a (P) // a a (Q) (P) (Q) b b P ♦Phương pháp 3: Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) (Q) theo hai giao tuyến a b a//b (P) //(Q) (R) (P) a (R) (Q) b ♦Phương pháp 4: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng song song với đường thẳng giao tuyến chúng(nếu có) song song với đường thẳng (P) // a (Q) // a (P) (Q) b Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: ♦Phương pháp 1: Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng download by : skknchat@gmail.com a//Q b//Q a,b P a b I ♦Phương pháp 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) khơng có điểm chung vng góc đường thẳng a chúng song song với ♦Phương pháp 3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) điểm chung vng góc mặt phẳng(R) chúng song song với ♦Phương pháp 4: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) khơng có điểm chung song song mặt phẳng(R) chúng song song với download by : skknchat@gmail.com P Q R IV QUAN HỆ VNG GĨC Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng: ♦Phương pháp 1: Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng a b cắt nằm mặt phẳng (P) d a d b a, b (P) a b ♦Phương pháp 2: Sử dụng tính chất:d // ,mà (P) d (P) ♦Phương pháp 3: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vng góc với cắt theo giao tuyến x, đường thẳng nằm mặt phẳng (P) mà vng góc với giao tuyến x vng góc với mặt phẳng (Q) ♦Phương pháp 4: download by : skknchat@gmail.com S K C B G O a A • d B; SCD H D d G ; SCD download by : skknchat@gmail.com a • Tính được: GH Vậy d B; SCD 3 ; SG a ; GK d G ; SCD a a 3a 7 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a ,SB a Mặt phẳng SAB vng góc với mặt phẳng (ABCD) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAD 3a A Hướng dẫn giải Đáp án C Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD Do SAB ABCD nên SH đường cao khối chóp Ta có OA a,SB a SH C, SAD a , AH a Ta có d 3V SACD S SAD (A'BC) V SACD Sa2 SAD d Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB a, AA ' 2a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A 5a Hướng dẫn giải Đáp án B download by : skknchat@gmail.com Gọi H hình chiếu A lên A’B Khi AH A'BC d A; A ' BCAH Ta có d A; A ' BC2a5 Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng1 Cắt hình lập phương mặt phẳng qua đường chéo BD ' Tìm giá trị nhỏ diện tích thiết diện thu A Hướng dẫn giải Đáp án D Phương pháp: Thiết diện qua BD’ hình bình hành Gắn hệ trục tọa độ sau tính diện tích hình bình hành tìm giá trị nhỏ hình bình hành Cách giải: Giả sử mặt phẳng qua E E A 'B' cắt hình lập BED ' F , ta dễ dàng chứng minh hành Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình A ' 0;0;0 ,B 1;0;1 , D' 0;1;0 Gọi E x;0;0 x Ta có: download by : skknchat@gmail.com Ta có: EB Ta có: Dấu “=” xảy x , Câu 14 : Cho hình lăng trụ tam giác MN M AC,N BC A Hướng dẫn giải Đáp án A Phương pháp: +) Hình lăng trụ tam giác có tất cạnh có cạnh bên vng góc với đáy +) Chọn hệ trục tọa độ phù hợp để làm toán MN A C +) MN đoạn vng góc chung A’C BC’ MN BC Cách giải: Xét hình lăng trụ tam giác có cạnh Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ có gốc tọa độ trung điểm BC Ta có điểm: O 0; 0; ; A Ox A 3;0; B; C Oy B 0; 1; , C 0;1; A 3;0;2 ;C 0;1;2 AC Phương trình đường thẳng A’C Phương trình đường thẳng BC’ là: Ta có điểm M A C M MN 3t1 ; t download by : skknchat@gmail.com MN đoạn vng góc chung A’C BC’ t t t 2 t t Câu 15: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Cắt tứ diện mặt phẳng GCD diện tích S thiết diện a2 A S Hướng dẫn giải Đáp án B Gọi M trung điểm AB Khi đó, thiết diện cần tìm tam giác DMC Vì G trọng tâm tam giác ABC DG ABC Ta có: CM SDMC DG.CM a2 24 IV CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO Câu 1: Cho tứ diện SABC có hai mặt (ABC) (SBC) hai tam giác cạnh a, M điểm AB cho AM = b (0 < b < a) (P) mặt phẳng qua M vuông góc với BC Thiết diện (P) tứ diện SABC có diện tích bằng? A B C Hướng dẫn giải D download by : skknchat@gmail.com Gọi N trung điểm BC Chứng minh Dựng thiết diện qua M vng góc với BC: kẻ MI//AN, MK//SA Dễ chứng minh tam giác SAN tam giác cạnh suy tam giác KMI tam giác cạnh Đáp án C Câu 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy a, đường cao SO = 2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA1 tam giác ABC Xét mặt phẳng qua M vng góc với AA1 Đặt AM = x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt Giả sử tính diện tích thiết diện hình chóp theo a x Tìm x để diện tích thiết diện lớn A B C .D Hướng dẫn giải Vì S.ABC hình chóp nên Tương tự ta có BC// Loại trường hợp + x = 0, thiết diện suy biến thành điểm A + M thuộc đoạn AO trừ điểm A, thiết diện tam giác KIJ có + + , thiết diện suy biến thành đoạn BC , thiết diện hình tứ giác IJEF hình thang download by : skknchat@gmail.com , Sử dung địn lý TALET tính Diện tích Diện tích S lớn xảy Đáp án D Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân có hai đường chéo AC BD vng góc với nhau, AD = , BC = Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Góc hai mặt phẳng (SCD) va (ABCD) Khoảng cách từ M trung điểm AB đến (SCD) C B A D Hướng dẫn giải Dễ chứng minh SO vng góc (ABCD) Kẻ OK vng góc DC Góc (SCD) (ABCD) SKO Kéo dài OM cắt DC E Ta có Có (tính OH theo tam giác vng SOK) Vậy Đáp án D Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với (ABCD), SA = x Xác định x để mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với góc A D download by : skknchat@gmail.com Kẻ AI AJ vng góc với SB SD Chứng minh góc (SBC) (SCD) AI AJ Dễ chứng minh AI = AJ Do góc tam giác AIJ + Xét tam giác vuông SAB vuông A có AI đường cao nên AI.SB=SA.AB từ suy (1) + Lại có (2) Chứng minh IJ/BD nên (3) + Vì AI = IJ nên án C Đáp Câu 5: Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Khoảng cách hai mặt phẳng đáy (ABCD) (A’B’C’D’) là: A B C D Hướng dẫn giải Dễ chứng minh tứ diện A’ABD tứ diện cạnh A Gọi O tâm tam giác ABD Khi Xét tam giác vuông A’OM(với M trung điểm BD) Đáp án B download by : skknchat@gmail.com D PHẦN ĐÁP ÁN I PHẦN NHẬN BIẾT 2C 1C 3D 4A 5C 6A 7C 8C 9B 10D 4C 5D 6D 7B 8D 9B 10A AI PHẦN THÔNG HIỂU 1D2B3C III PHẦN VẬN DỤNG THẤP 1D 2D 3D 4A 5B 6A 7B 9A 10B 11D 12B 13B 14C 15B 8D IV.PHẦN VẬN DỤNG CAO 1C 2D 5B download by : skknchat@gmail.com ... thông qua khoảng cách mặt phẳng song song: * Bước 1: Dựng hai mặt phẳng P , Q cho a * P//Q b Bước 2: Khi d a , b d P , Q d M , Q III QUAN HỆ SONG SONG Phương pháp chứng minh đường thẳng song song... a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a (P) điểm chung) Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song:... mặt phẳng Khẳng định sau đúng? A qua song song với B qua song song với download by : skknchat@gmail.com giao tuyến hai C qua Lời giải song song với D qua song song với d S A D B C Ta có (với 1.2