Chuyên đề Góc trong không gian

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Chuyên đề HHKG - GĨC TRONG KHƠNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ – GIỎI MỨC ĐỘ 7+ Dạng Góc đường thẳng với đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng d1 , d không gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm d1 hai đường thẳng) d'1 O d'2 d2 Từ O dựng đường thẳng d1' , d 2' song song ( tròng O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d1' , d 2' góc hai đường thẳng d1 , d Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác b2  c2  a cos A  2bc   Cách Tìm hai vec tơ phương u1 , u hai đường thẳng d1 , d   u1.u2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d xác định cos  d1 , d     u1 u2      Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a, b, c khơng đồng phẳng mà tính độ dài góc     chúng,sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a, b, c thực tính tốn Câu (Mã 101 - 2021 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh Góc đường thẳng AA BC  A 300 Câu B 900 C 450 D 600 (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh (tham khảo hình bên dưới) Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C A B A' C' B' Góc hai đường thẳng AB CC  B 30 A 45 Câu C 30 D 600 (Mã 104 - 2021 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có tất cạnh ( tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng AB ' C C ' B 90 A 30 Câu D 60 (Mã 102 - 2021 Lần 1) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh (tham khảo hình bên) Góc hai đường thẳng AA BC B 45 A 900 Câu C 90 C 60 D 45 (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA  OB  OC Gọi M trung điểm B C (tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng OM AB Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Câu Câu Câu Câu A 450 B 900 C 300 D 600  (Chuyên Long An - 2021) Cho hình lập phương ABCD.EFGH Góc cặp véc tơ AF  EG A 30 B 120 C 60 D 90 (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc với SA  SB  SC Gọi I trung điểm AB Góc SI BC A 30 B 60 C 45 D 90 (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 có cạnh a Gọi I trung điểm BD Góc hai đường thẳng A1 D B1 I B 30 C 45 D 60 A 120 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện với ABCD   DAB   600 , CD  AD Gọi  góc hai đường thẳng AB CD Chọn AC  AD, CAB khẳng định góc  A cos   Câu 10 B 300 C 600 D cos   (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , biết đáy ABCD hình vng Tính góc AC BD A 90 B 30 C 60 D 45 Câu 11 (Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết MN  a , góc hai đường thẳng AB CD A 450 B 900 C 600 D 300 Câu 12 (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD AB C D  ; gọi M trung điểm B C  Góc hai đường thẳng AM BC  A 45 B 90 C 30 D 60 Câu 13 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho hình chóp S ABC có độ dài SA  SB  SC  AB  AC  a BC  a Góc hai đường thẳng AB SC là? A 45 B 90 C 60 D 30 cạnh Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 14 (Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC AB C  có AB  a AA  a Góc hai đường thẳng AB BC  B 45 C 90 D 30 A 60 ABC  45 Câu 15 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a ,  Tính góc hai đường thẳng AB DC A 60 B 120 C 90 D 30 (Chun Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Cho hình lập phương ABCD ABC D Gọi M , N trung điểm AD , BB Cosin góc hợp MN AC ' A B C D 3 Câu 17 (Cụm Trường Chun - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a , BC  a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 600 Tính cosin góc hai đường thẳng SB AC 2 2 A B C D 35 Câu 16 Câu 18 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD A 90 B 60 C 45 D 75 Câu 19 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm AD SD Số đo góc hai đường thẳng MN SC B 60 C 30 D 90 A 45 Câu 20 (Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông A , AB  a , AC  a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC , AH  a Gọi  góc hai đường thẳng AB BC Tính cos  A cos   Câu 21 B cos   C cos   D cos   (Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Tính giá trị cos  AB, DM  A Câu 22 B C D (Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a , tam giác ABC nằm mặt phẳng vng góc với  ABC  M trung điểm cạnh CC  Tính cosin góc  hai đường thẳng AA BM Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 22 A cos  11 33 B cos  11 11 C cos  11 D cos  22 11 Câu 23 (Sở Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC MNP có tất cạnh Gọi I trung điểm cạnh AC Cơsin góc hai đường thẳng NC BI 15 10 B C D A Câu 24 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos  AB, DM  A Câu 25 B C D (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng Cho tam giác SAB vng S góc SBA 300 Mặt phẳng  SAB  vng góc mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm AB, BC Tìm cosin góc tạo hai đường thẳng  SM , DN  A B C D Dạng Góc đường thẳng với mặt phẳng Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc d hình chiếu mặt phẳng (P) Gọi  góc d mặt phẳng (P) 0    90 Đầu tiên tìm giao điểm d (P) gọi điểm A Trên d chọn điểm B khác A, dựng BH vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P)  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi  góc d (P) suy ra: d  M ,  P  sin   AM Ta phải chọn điểm M d, mà tính khoảng cách đến mặt phẳng (P) Cịn A giao điểm d mặt phẳng (P) Câu (Đề Minh Họa 2021) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  AD  AA  2 (tham khảo hình vẽ bên) Góc đường thẳng CA mặt phẳng  ABCD  bằng: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A' D' B' C' A D B A 30 Câu C B 45 C 60 D 900 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Góc SC mặt phẳng (ABCD) A 450 Câu B 600 C 300 D 900 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  a 2, tam giác ABC vuông cân B AC  2a (minh họa nhứ hình bên) Góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABC  A 30 Câu B 45 C 60 D 90 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  a , BC  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  15a (tham khảo hình bên) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 S C A B Câu Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy B 30 C 60 D 90 A 45 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B , AB  3a, BC  3a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 0 B 45 C 30 A 60 Câu D 90 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB  a, BC  3a; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  30a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng SC mặt đáy A 45 B 90 C 60 D 30 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  a ; BC  a ; SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc đường thẳng SC đáy A 900 B 450 C 600 D 300 Câu (Mã 101 – 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D  có AB  BC  a, AA  6a (tham khảo hình dưới) Góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABCD  bằng: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu A 60 B 90 C 30 D 45 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a , AD  2a , AA '  3a (tham khảo hình bên) Góc đường thẳng A ' C mặt phẳng  ABCD  A 45 Câu 10 B 90 C 60 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , có AB  AA  a , AD  a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABCD  A 30 B 45 C 90 Câu 11 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình hộp AB  a, AD  3a, AA  3a (tham khảo hình vẽ) Góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABCD  B 30 C 60 A 45 Câu 12 D 30 chữ D 60 nhật ABCD A BC  D có D 90 (Mã 103 2018) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng C , AC  a , BC  2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 60 B 90 C 30 D 45 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 13 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam giác ABC vuông B , AB  a BC  3a (minh họa hình vẽ bên) Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  Câu 14 A 30 B 60 C 45 D 90 (THPT Phan Đình Phùng - Quảng Bình - 2021) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  a , tam giác ABC vuông A AC  a,sin B  (minh họ hình bên) Góc đường thẳng SB với mặt phẳng  ABC  B 300 C 450 D 600 A 900 Câu 15 (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) , SA  a , tam giác ABC vuông B có AC  2a , BC  a Góc đường thẳng SB mặt phằng ( ABC ) B 90 C 30 D 45 A 60 Câu 16 (Sở Lào Cai - 2021) Cho hình lập phương ABCD ABCD Gọi M , N trung điểm AC BC  ,  góc đường thẳng MN mặt phẳng  ABC D  Tính giá trị  2 5 B sin   C sin   D sin   5 Câu 17 (Sở Tun Quang - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  Khi tan  A sin   (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh 3a , SA vng góc với mặt đáy  ABCD  , SB  5a Tính sin góc cạnh A 2 Câu 18 B C D SC mặt đáy  ABCD  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 34 2 B C D 17 Câu 19 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a , gọi M trung điểm SC Tính cosin góc  góc đường thẳng BM  ABC  A 7 21 B cos   C cos   D cos   14 7 Câu 20 (Chun Hồng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA   ABC  , SA  a Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  A cos   A 60 B 90 C 45 D 30 Câu 21 (Sở Yên Bái - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng canh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  B 45o C 90o D 30o A 60o Câu 22 (THPT Lương Thế Vinh - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O , ABD 3a Góc đường thẳng SO cạnh a 2, SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  mặt phẳng  ABCD  A 45 B 90 C 30 D 60 Câu 23 (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2021) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có AA  a , đáy ABC tam giác vuông cân B BA  BC  a Góc đường thẳng AC mặt phẳng đáy A 45 B 90 C 60 D 30 Câu 24 (THPT Chu Văn An - Thái Nguyên - 2021) Cho chóp S ABC có đáy tam giác vng B AB  3a, BC  3a SA vng góc với đáy SA  2a Góc SC đáy A 90 B 45 C 60 D 30 Câu 25 (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm 3a O , ABD cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  Góc đường thẳng SO mặt phẳng  ABCD  A 45 Câu 26 B 30 C 60 D 90 (Trung Tâm Thanh Tường - 2021) Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , SA  a , tam giác ABC vng B có AC  2a, BC  a Góc S B mặt phẳng  ABC Câu 27 B 45 C 30 D 60 A 90 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2021) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm I , cạnh a Biết SA vng góc với mặt đáy  ABCD  SA  a (tham khảo hình vẽ bên) Khi tang góc đường thẳng SI mặt phẳng  ABCD  là: Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a  cho A  0; 0;  , B  0;1;  , D 1; 0;  , S  0; 0;  1  Ta có M trung điểm SD  M  ;0;1 , C 1;1;  2        1    AM   ;0;1 , AC  1;1;  ,  AM , AC    1;1;    AMC  có vtpt n   2; 2;1 2  2       SB   0;1; 2  , SC  1;1; 2  ,  SB, SC    0; 2;1   SBC  có vtpt k   0; 2;1  n.k Gọi  góc hai mặt phẳng  AMC   SBC  cos      n.n 1  cos  (Sở Thanh Hóa 2018) Cho tứ diện ABCD có Do tan   nên tan   Câu 15  ACD    BCD  Tìm giá trị A x  a B x  x để  ABC    ABD  ? a AC  AD  BC  BD  a , CD  x , C x  a D x  a Lời giải :  AE  CD (Tính chất tứ diện đều) Gọi E ; F trung điểm CD AB    BE  CD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23      TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022   90 Đồng thời  BCD    ACD   CD   BCD  ,  ACD   BEA CF  AB   AB   CFD    Ta có  ABC  ,  ABD   CF , FD  DF  AB       trung tuyến FE tam giác CFD , FD  90  CFD Vậy để  ABC    ABD  CF nửa cạnh huyền  FE  CD Ta có EAB vuông cân E  EF  Vậy x  Câu 16 AE  AC  CE  a2  x2 a2  x2 a2  x2 a2  x2   x2  xa 2 3 (Chuyên Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC, SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  A 39 39 B C 39 13 D 13 13 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 24 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi  3  a   a  a  a  S  0;0;  ; A  ;0;0  ; B  ;0;0  ; C  ; a;0  ; D  ; a;0       2  2    a a a 3  a a a 3 a 3 suy G  0;0;  ; M  ; ;  ; N   ; ;    4   4   Ta có mặt phẳng  ABCD  có vectơ pháp tuyến k   0;0;1 , mặt phẳng  GMN  có vectơ pháp     a a ;  tuyến n  GM ; GN    0;  24   Gọi  góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  , ta có  n.k 39 cos      13 39 n.k 24 Câu 17 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lập phương ABCD AB C D  có cạnh a Số đo góc  BAC   DAC  : A 90 B 60 C 30 D 45 Lời giải Ta có:  BAC    DAC   AC Kẻ BI  AC Do BAC  DAC nên DI  AC    BAC  ,  DAC    BI , DI Do đó:    Tam giác BID có BD  a , BI  DI  a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25   BI  DI  BD      BI cos BI , DI  , DI  120 2.BI DI   TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 BAC  ,  DAC    60 Vậy    Câu 18 (Chuyên Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AB  AD  a , CD  a Gọi I trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng  SBI  ,  SCI  vng góc với đáy thể tích khối chóp S ABCD hai mặt phẳng  SBC  ,  ABCD  A 30 B 36 C 45 15a Tính góc D 60 Lời giải Diện tích hình thang S ABCD  Độ dài đường cao SI  1 AD  AB  CD   2a.3a  3a2 , CB  AC  a 2 3VS ABCD  S ABCD 3 15a3 15a  3a Vẽ IH  CB H  BC   SIH   BC  SH       SBC  ,  ABCD   IH Ta có  , SH  SHI S ICB  S ABCD  S IDC  S AIB  3a  3a 3a a2  a2   IH CB  3a  IH  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 26 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 3a 15 SI    60 tan SHI    SHI IH 3a 5 Câu 19 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có AA  AB  AC    1200 Gọi I trung điểm cạnh CC  Cơsin góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  BAC A 370 20 B 70 10 C 30 20 D 30 10 Lời giải Chọn D Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABI  AB  , AI  BC  AB  AC  AB AC.cos A   BC  BC   13 Vì AB2  AI  BI  ABI vuông điểm A BI  BC 2  C I  10 S ABI  AI AB  AB AC.sin A  4 Hình chiếu vng góc ABI lên mặt phẳng  ABC  ABC S ABC  Ta có S ABC  S ABI cos   cos   Câu 20 S ABC 30  10 S ABI (Sở Ninh Bình 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , độ dài cạnh AC  2a , tam giác SAB, SCB vuông A C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) a Giá trị cosin góc hai mặt phẳng (SAB) (SCB) A 2 B C D Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 + Gọi O, I trung điểm AC , SB có O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác SAB, SCB vuông A C nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC OI  ( ABC ) + Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) ta có SD / /OI SD  2OI suy O trung điểm BD Từ ta có ABCD hình vng cạnh 2a  a SD  a + Gọi H , K hình chiếu D lên SC , SA ta có SD  ( ABCD)  SD  BC đồng thời ABCD hình vng nên BC  DC từ hai ý ta có BC  (SCD)  BC  DH , từ suy DH  ( SCB) Chứng minh tương tự ta có DK  (SAB) + Vì góc hai mặt phẳng (SCB) (SAB) góc hai đường thẳng DK DH + Xét tam giác vng SAD, SCD ta có hai đường cao DK  DH  + Trong tam giác SAC ta có  cos HDK Câu 21 a HK SH SD 2a , tam giác DHK có     HK  AC SC SC 3 DH  KD  KH 2  DH KD (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a,  ABC  1200 , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  600 , A SA  Chọn A a B SA  a C SA  a D SA  a Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 28 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Gọi O giao điểm AC, BD Gọi H hình chiếu vng góc O SC Khi SC   HBD  SC  BD, SC  OH Vậy góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  góc hai đường thẳng HB, HD Vì  SCD  SBC  HB  HD Đặt SA  x  x   Ta có cos 600  HB  HD  BD 2 HB.HD  HB  BD2   HB  HB  BD   BD 2 HB   Ta có CHO  CSA  OH CS  CO.SA 1 Trong tam giác ABC ta có AC  a 3, OB  a  BD  a TH1 : HB  BD  a  OH  HB  OB  a Thay vào (1) ta có x  x  3a (vô nghiệm) TH2 : HB  BD a a   OH  HB  OB  3 a2 3a 2 a x  3a  x x 12 4 (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác cân đỉnh A Biết   BC  a  ABC  30o , cạnh bên AA  a Gọi M điểm thỏa mãn 2CM  3CC  Gọi  Thay vào (1) ta có Câu 22   góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABM  , sin  có giá trị A 66 22 B 481 22 C 22 D 418 22 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Cách 1: Gọi O trung điểm BC o Ta có: BO  AB.cos30  AB  BO a a   a  AC AO  AB.sin30o  o cos30 2 Theo đề bài:          a 2CM  3CC   CM  CC   CC   C M  CC   C M  CC   C M  2 2 Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABM  Theo cơng thức diện tích hình chiếu ta có: S ABC  SABC cos  cos  SABC SABC 1 a a2 Ta có SABC  AH BC  a  ; AB  AB  BB2  a  a  a ; 2 a BM  C M  BC      a 2 2 AB  BM  AM  Khi p   a 2  2 a 13 a 13  3a   ; AM  AC  CM  a     2   a 13 a 13  2  a  a 13 2 Áp dụng cơng thức Hê-rơng vào ABM ta có: SABM  p  p  AB  p  BM  p  AM   Vậy cos  SABC SABC a 22 a2 3 19 418  24   sin   cos 2   22 22 22 a 22 Cách 2: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 30 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Gọi O trung điểm BC o Ta có: BO  AB.cos30  AB  BO a a   a  AC AO  AB.sin30o  o cos30 2 Theo đề bài:          a 2CM  3CC   CM  CC   CC   C M  CC   C M  CC   C M  2 2 Coi a        ;0;0  , C   ;0;0  , Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O  0;0;0  , A  0; ;0  , B           3 B  ;0;1 , M   ;0;  2     Khi  ABC    Oxy  : z    ABC  có véc-tơ pháp tuyến k   0;0;1         3 ;  ;1 , AM    ;  ;   n ABM    AB, AM   1;5 3; Ta có: AB    2     Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABM    k.n ABM  3 19 418   sin   cos2   Vậy cos     22 22 22 k n ABM  1.2 22 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 Câu 23 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA a vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  Góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABC  A 45 B 90 C 30 D 60 Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm BC Ta có AI  BC (tam giác ABC đều) (1) Lại có SA  BC  SA   ABC   Suy BC   SAI   BC  SI (2) BC   SBC    ABC  (3) Từ (1), (2) (3) suy    SBC  ,  ABC     SI , AI   SIA a SA  Xét tam giác SAI vuông A ta có tan SIA   AI a 3   30 Suy SIA Vậy Câu 24   SBC  ,  ABC    30 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB  2a , SA vng góc với mặt đáy góc SB mặt đáy 60 Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  Giá trị cos A 15 Chọn C B C D Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 32 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Gọi M trung điểm BC  AM  BC (1) BC  SA  BC  SM (2) Có BC  AM    Từ (1) (2) suy   SBC , ABC   SMA   60 Do SA   ABC   SA  AB AB hình chiếu vng góc SB lên  ABC   SBA   2a.tan60  3a SAB có SA  AB.tan SBA 2 1 ABC có AM  BC  AB  AC   2a    2a   a 2 SAM vng A có cos  Câu 25 AM AM   SM SA  AM a 2 3a  a  2  (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB SD Tính sin  với  góc hợp  AMN   SBD  A B 2 C D Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn: A  O, B  a;0;0  , D  0; a;0  , S  0;0; a  (như minh họa hình vẽ), a a  a a suy M  ;0;  N  0; ;  2 2  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33   a a    a a  Ta có AM   ;0;  , AN   0; ;  nên mặt phẳng 2 2  2     a a a  n1   AM , AN     ;  ;  4    SB   a;0; a  , SD   0; a; a     n2   SB, SD   a ; a ; a  mặt  AMN   SBD  phẳng có có vectơ pháp tuyến vectơ pháp tuyến    n1.n2 Khi cos      n1 n2 Câu 26 nên TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  a4 a4 a4   4 a4  a4  a4 4 a a a   16 16 16  2  sin    cos   3 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy   120o cạnh bên BB '  a Gọi I trung ABC tam giác cân với AB  AC  a góc BAC điểm CC ' Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABC   AB ' I  A 10 B 30 10 C 30 30 D 10 30 Lời giải Chọn B  Trong  BCB ' C ' , B ' I  BC   D Trong  ABC  , dựng AH  AD H Vì AD  CH nên AD  IH Do đó:   90   AB ' I  ,  ABC     IH , CH   IHC   120  ABC  ACB  30   ACD  150  ABC cân A , BAC  Áp dụng định lý Cosin ABC :   a  a  2.a a cos120o  3a BC  AB  AC  AB AC.cos BAC  BC  B ' C '  CD  a  Tương tự ACD : Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 34 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 AD  AC  CD  AC CD cos  ACD  a  3a  a a 3.cos150o  7a 2 2  AD  a 1  Ta có S ACD  CA CD sin  ACD  CH AD 2  CA CD sin ACD a a sin150o a 21  CH    14 AD a  ICH vuông C  IH  IC  CH   cos IHC  a 3a a 70   28 14 CH 30  IH 10  Vậy cos   AB ' I  ,( ABC )   Cách 2: 30 10  Gọi O trung điểm BC Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ a a ; OA  AB cos 60  2  1      ; 0 ,C 0; ; 0 ,  Giả sử a  suy A  ; 0; 0 , B 0;     2   Ta có: OB  AB sin 60        I 0; ;  , B  0;  ;1    2                  3 ;  ;   Ta có: n1  AB, AC   0; 0;   n2  AB , AI     4          n1.n2 30   Gọi  góc ABC  AB I  Suy ra: cos      10 10 n1 n2 Câu 27 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho hình lập phương ABCD ABC D Cosin góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 A B C Lời giải D Chọn D Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   ABC   Gọi O  AC  AC  Gọi H hình chiếu A lên BO , AH  BO  CH  BO  ABC    ABC    BO      ABC  ;  ABC      AH , CH  Ta có  AH  BO CH  BO  Xét tam giác vng ABC có BO  Ta có S BCH  a AC  2 1 a2 S ABC  a 2.a  2 Mặt khác S BCH a2 a a  CH BO   CH   a 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 36 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 a 6 a 6      a 2 2 3 AH CH AC       AHC   Xét tam giác AHC có cos  2 AH CH a 6     cos   cos  AHD     BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu https://nguyenbaovuong.blogspot.com/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 ... vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P)  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)), ta sử dụng cơng thức sau Gọi  góc. .. THI THPTQG 2022 Chuyên đề HHKG - GĨC TRONG KHƠNG GIAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Dạng Góc đường thẳng với đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng d1 , d không gian ta thực... chiếu vng góc đỉnh, dựng AH  d  Bước 3: góc cần tìm góc SHA Với S đỉnh, A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC).Hãy xác định góc mặt