Tài liệu Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

tai lieu, document1 of 66 GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I TĨM TẮT LÝ THUYẾT  nằm bên Ví dụ Trong Hình 1, góc BIC đường trịn (O) gọi góc có đỉnh hên đường trịn Ví dụ Trong Hình 2, 3, góc đỉnh I có đặc điểm chung là: đỉnh nằm bên ngồi đường trịn, cạnh có điếm chung với đường trịn Mỗi góc gọi góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Định lí Số đo góc có đỉnh bên đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Định lí Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn II.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng Chứng minh hai góc hai đoạn thẳng Phương pháp giải: Sử dụng hai định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn 1.1 Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến MC c cát tuyên MAB (A nằm M B) A,B,C  (O) Gọi D điểm cung AB không chứa C, CD cắt AB I Chứng minh:   BID ; a) MCD luan 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   b) MI = MC tai lieu, document2 1.2 Cho đường trònof (O)66 điểm p nằm (O) Kẻ cát tuyến PAB tiếp tuyến PT với A,B,T  (O) Đường phân giác góc ATB cắt AB D Chứng minh PT = PD 2.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Các tia phân giác góc B C cắt I cắt (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh: a) Các tam giác AMN, EAI DAI tam giác cân; b) Tứ giác AMIN hình thoi 2.2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (/) Các tia AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F Dây EF cắt AB, AC M N Chứng minh: a) DI = DB; b) AM = AN; Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song vng góc Chứng minh đẳng thức cho trước Phương pháp giải: Áp dụng hai định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn để có góc nhau, cạnh Từ đó, ta suy điều cần chứng minh 3.1 Từ điểm P (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn cát tuyến PBC với P, B,C  (O) a) Biết PC = 25cm; PB = 49cm Đường kính (O) 50cm Tính PO b) Đường phân giác góc A cắt PB I cắt (O) D Chứng minh DB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp AIB 3.2 Cho (O) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đường kính AB lấy điểm E cho AE = R Vẽ dây CF qua E Tiếp tuyên đường tròn F cắt CD M, vẽ dây Aỉ cắt CD N Chứng minh: a) Tia CF tia phân giác góc BCD; b) MF AC song song; c) MN, OD, OM độ dài cạnh tam giác vuông 4.1 Cho tam giác ABC phân giác AD Vẽ đường tròn (O) qua A, D tiếp xúc với BC D Đường tròn cắt AB, AC E F Chứng minh: a) EF song song BC; b) AD2 = AE.AC; c) AE.AC = AB.AF luan 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document3 of nội 66.tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc A B cắt 4.2 Cho tam giác ABC cắt đường tròn theo thứ tự D E Chứng minh: a) Tam giác BDI tam giác cân; b) DE đường trung trực IC; c) IF BC song song, F giao điểm DE AC III BÀI TẬP VỂ NHÀ Từ điểm P nằm đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB PCD (A nằm P B, C nằm P D), đường thẳng AD BC cắt Q  = 60°   AQC = 80° Tính góc BCD a) Cho biết P b) Chứng minh PA.PB = PC.PD  cắt BC Từ điểm A bên (O), vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Tia phân giác góc BAC BD M N Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN H, cắt CD E Chứng minh: b) FD2 = FE.FB a) Tam giác BMN cân;  Gọi E giao điểm Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm (O) Điểm D di chuyển MP   MND  MP ND, gọi F giao điểm MD NP Chứng minh MFN Trên đường tròn (O)lấy ba điểm A, B C.Gọi M, N P theo thứ tự điểm cua cung AB, BC AC BP cắt AN I, NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh: a) Tam giác BNI cân; b) AE.BN = EB.AN; c) EI song song BC; d) AN AB  BN BD Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MCB với A,B,C  (O) Phân  cắt BC D, cắt (O) N Chứng minh: giác góc BAC a) MA = MD; b) Cho cát tuyến MCB quay quanh M cắt đưịng trịn Chứng minh MB.MC khơng đổi c) NB2 = NA.ND luan 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document4 of tiếp 66.đường tròn tâm (O), điểm I, K, H điểm cung MN, 10 Tam giác MNP nội NP, PM Gọi J giao điểm IK MN, G giao điểm HK MP Chứng minh JG song song với NP HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN   BID   sd CD  1.1 a) MCD b) Sử dụng kết câu a) 1.2 Tương tự 1A HS tự làm  2.1 a)  AMN   ANM  sd ED Suy AMN cân A Kéo dài AI cắt đường trịn (o) K Chứng minh tương tự, ta có AIE DIA cân E D b) Xét AMN cân A có AI phân giác Suy AI  MN F MF = FN Tương tự với EAI cân E, ta có: AF = IF Vậy tứ giác AMIN hình hình hành Mà AI  MN  ĐPCM 2.2 Tương tự 2.1 HS tự làm 3.1 a) Chứng minh PA2 = PC.PB PA2 = PO2 = OA2  tính PO   DAB   CAB   ĐPCM b) Chứng minh DBC 3.2 a) Học sinh tự chứng minh  (  AFM  CAF ACF )  MF / / AC b) Chứng minh    MNF   MNF cân c) Chứng minh: MFN M  MN  MF Mặt khác: OD = OF = R Ta có MF tiếp tuyến nên OFM vuông  ĐPCM luan 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, 66 4.1 a)document5 HS tự chứngofminh b) ADE  ACD (g-g)  AD2 = AE.AC c) Tương tự: ADF  ABD  AD2 = AB.AF  ĐPCM   DBE   BID cân D   sđ DE 4.2 a) BID b) Chứng minh tương tự: IEC cân E, DIC cân D  EI = EC DI = DC  DE trung trực CI c) F  DE nên FI = FC   FCI   ICB   IF / / BC  FIC  - sđ   +   (sđ BD a) Ta có: BPD AC ),  AQC  (sđ BD 2 AC ) sđ    = 1400  BPD AQC = sđ BD   700  BCD b) HS tự chứng minh a) HS tự chứng minh BMN cân B b) EDF  DBF ( g g )  DF EF  BF DF  DF  EF BF HS tự chứng minh a) Chứng minh tương tự 4B ý a) b) M  AB luan 5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu,document6 of 66  NE phân giác BNA  BN EB (tính chất đường phân giác)  BN.AE =  AN EA NA.BE c) Chứng tinh tương tự 4B d) Chứng minh ABN  DBN  ĐPCM/ HS tự chứng minh   MG  MK (1) 10 KG đường phân giác MKP GP KP   MJ  MK (2) KJ đường phân giác MKN JN KN Chứng minh được: KN = KP (3) Từ (1); (2); (3)  MG MJ  ĐPCM  GP JN B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY Bài Cho tam giác ABC vng A Đường trịn (O) đường kính AB cắt đường trịn (O’) đương kính AC D, M điểm cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) N, cắt BC E Chứng minh O, N, O’ thẳng hàng Bài Cho điểm A1 , A2 , , A19 , A20 xếp theo thứ tự cùn đường tròn (O) Chúng chia đường tròn thành 20 cung Chứng minh dây A1 A8 vng góc với dây A3 A16 Bài Cho ABC cân B Qua B kẻ đường thẳng xy song song với AC Gọi O điểm xy Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AC D, cắt cạnh AB BC E F Chứng minh số đo cung  không đổi O di chuyển xy EF Bài Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Một cát tuyến qua M, cắt (O) hai điểm C D (C nằm M D) a) Chứng minh AC DB  AD.CB b) Tia phân giác góc CAD cắt CD I Chứng minh BI tia phân giác góc CBD luan 6. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, of 66 Bài document7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi I giao điểm AC BD Biết đường tròn (K) ngoại tiếp IAD cắt cạnh AB, CD tứ giác E E  E  A; F  D  Đường thẳng EF cắt AC, BD M, N AME   AD I a) Chứng minh  b) Chứng minh KI  BC   90 Vẽ đường tròn tâm I đường Bài Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O; R  biết BOC kính BC, cắt AB, AC M, N Chứng minh rằng: MN  R Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt   BMC  Tính số đo góc BAC  M Biết BAC Bài Cho đường tròn  O; R  có dây AB  R ; Trên cung lớn AB lấy dây CD  R (C thuộc cung BD) Chứng minh AC  BD Bài Từ điểm A bên (O) kẻ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC H cắt CD E Chứng minh BM tia phân giác góc CBD HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ   sđ CM  sđ AD Bài Xét (O’) có:  AEB  (Góc có đỉnh bên đường trịn)      sđ ADM  sđ AD  sđ MD BAM 2 (Góc tia tiếp tuyến dây cung)   AE  Suy BAM B  tam giác ABE cân B nên BN vừa đường cao vừa trung tuyến  NA  NE OA  OB, OA  OC  NO, NO’ đường trung bình tam giác ACE, ABE nên ON / / CE , NO / / EB luan 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, ofhàng 66 Do document8 O, N, O’ thẳng Bài Số đo cung nhỏ 360 : 20  18 + Số đo cung nhỏ A1 A là: sñ  A1 A3  2.18  36 + Số đo cung nhỏ A8 A16 là: sñ  A8 A16  8.18  144 Gọi M giao điểm A1 A A3 A16 sñ  A1 A3  sñ  A8 A16 36  144  Ta có A MA    90 2 Suy A1 A8 vng góc với A3 A16 Bài Gọi AB, CB cắt đường tròn điểm thứ hai F’, E’ Kẻ đường cao BK tam giác ABC, gọi I giao điểm tia đối tia BK với đường trịn, ta có:  E    BI ; E Bx  E A BK  CBK Bx E  F  Suy E E’ đối xứng qua xy, tương tự E, F’ đối xứng qua xy  EF Theo tính chất góc có đỉnh bên đường trịn, ta có:     sñ EF  sñ E F   sñ EF  ABC Vậy số đo cung EF không đổi O di chuyển dường thẳng BC Bài a) MAC ~ MDA  MA AC  M D AD MBC ~ MDB  MB CB  MD DB Mà MA  MB nên AC CB  hay AC DB  AD.CB AD DB b) Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng AI với (O)    sñ   AE  sđ  AC  sđ CE Ta có: MAI 2 luan  8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document9 of 66     sñ   mà ED   CE  MIA AC  sñ ED   MIA  suy AMI cân Nên MAI Do MA  MI Mà MA  MB nên MB  MI   MBI , Vậy BMI cân  MIB   MBI   MBC   MIB   MDB D  Do đó: CBI BI Vậy BI tia phân giác góc CBD Bài B  a) Ta có: BAC DC (cùng chắn cung BC (O))   sñ IE ; Xét đường trịn (K) có BAC   sñ IF   IE   IF  BDC    sñ   AME AE  sñ IF       sñ IE   sñ AI   ADI  sñ AE 2    (cùng chắn cung AB (O) mà A b)  ME  AD B ADB  ACB   A ME  A CB  EF / / BC 1   IF   KI  EF Lại có IE   Từ (1) (2) ta có: KI  BC luan 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, Bài document10 Xét đường trịnof(O)66 có:    BOC  45 (hệ góc nội tiếp) BAC    180  sđ MN Xét đường trịn (1) có: BAC (Góc có đỉnh ngồi đường trịn) Hay 45   180  sñ MN   90  MIN   90  sñ MN Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: MN  MI  NI  2.MI  BC  BC  MN 2 BC  BO  CO  2R  BC  R Suy MN  R   x; sđ BC   y ta có x  y  360 (1) Bài Đặt sñ BAC    sđ BC  y (góc nội tiếp) Ta có BAC 2     sđ BAC  sñ BC  x  y BMC 2 (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)   BMC  nên y  x  y Mà BAC   Hay x  3y    x  y  360  x  216  Từ (1) (2) suy  2 x  y  y  144    sđ BC  72 Từ suy BAC   120 ; Bài AB  R nên sñ AB  D  60 AB  R nên sđC luan 10. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 10 of 66   tai lieu,document25 of 66    Mà AD = AC nên DF = BF  = BF   = EOF   AOF  = COF  nên NOF Lại có DF  = OFN  Suy DOAF = DOCF (c - g - c )  OFE Suy DOEF = DONF (g - c - g )  OE = ( - 1)R Đáp án cần chọn C 24 Lời giải: A E K I J B C D  góc có đỉnh nằm đường tròn (O ) chắn hai cung BD AE Ta có BID  = (sđBD  + sđAE )  BID  góc có đỉnh nằm đường tròn (O ) chắn hai cung CD AE AJE  = (sđAE  + sđDC )  AJE  = sđCD  Mà AD phân giác góc A nên sđBD  = AJE  Suy BID Đáp án cần chọn A 25 Lời giải: luan 25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 25 of 66   tai lieu, document26 of 66 A D B C S  góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn nên Ta có ASC  = (sđAB  - sđCD  ) = (sđAC  ) = sđAD  = DCA   - sđCD  = ABD ASC 2 Đáp án cần chọn A 26 Lời giải: M E C B A D  - sđAC  = 140 (1)  = (sđDB  - sđAC  ) = 70  sđDB DEB  - sđBC  = 80 (2)  = (sđAD  - sđBC  ) = 40  sđAD AMD  + sđDB  + sđAD  + sđCB  = 360 (3) sđAC  = 290  + sđAD  = 290  sđAB  + sđAD  ) = 580  sđDB (1) + (2) + (3)  2(sđDB Đáp án cần chọn C 27 Lời giải: luan 26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 26 of 66   tai lieu, document27 of 66 A K I D E B C  góc có đỉnh nằm đường trịn nên Ta có ADK  = (sđAK  ) = (sđAI  + sđIB  ) = sđAB  = ACB   + sđIB ADK 2  góc có đỉnh nằm đường trịn nên: Ta có ADI  = (sđKB  ) = (sđKB  ) = (sđKB  = (sđAC )  + sđIA  + sđIA  + sđAK  ) = sđAB  + sđCB ADI 2 2  góc có đỉnh đường trịn nên Ta có AEI  = (sđAI  + sđKC   ) = (sđAK  + sđKC  ) = sđAC  = ABC AEI 2 Đáp án cần chọn D 28 Lời giải: E B D I F N A O C  = sđDB  Ta có tam giác AOB cân O nên dễ dàng sđACD  = (sđBN  ) = sđDN   + sđAD  ) = (sđBN  + sđBD  = INF IFN 2 Suy tam giác FIN cân I  +N  = 90  N  + C = 90 Ta có: N luan 27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 27 of 66   tai lieu, 1document28 of 66  = (sđAC  ) = sđNC  - sđBN  ) = (sđBC  - sđCN  E 2  =N ,  = sđDN  + sđNC  = sđDC  = 90  E  C4 + E 1 2 Do DINE cân I Đáp án cần chọn A D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Quan sát hình trả lời câu hỏi 1, 2, 3, Câu Góc có đỉnh bên đường trịn góc: …………………………………………… Câu Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn góc: ……………………………………………   300 thì: Câu Nếu CAE A   300 sđ CE   150 C sđ BD B  )  300  + sđ BD (sđ CE D  )  300  - sđ BD (sđ CE   300 thì: Câu Nếu CFE A   300 sđ CE   150 C sđ BD B  )  300  + sđ BD (sđ CE D  )  300  - sđ BD (sđ CE Câu Cho tam giác ABC nội tiếp (O), tia CO kéo dài cắt (O) E Gọi F giao điểm AB CE, tia CO kéo dài cắt (O) E, tia AE cắt tia CB G  AC , BE a) Tính số đo cung  ,  b) Tính số đo góc BFE AGC Câu Qua điểm I nằm (O) kẻ tiếp tuyến IM, cát tuyến IPQ Gọi T điểm cung   IMK  nhỏ PQ, K giao điểm MT PQ Chứng minh: IKM Câu Cho đường trịn (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Gọi E điểm  (E không trùng với hai mút cung) Tiếp tuyến với (O) điểm E cắt CD điểm thuộc cung nhỏ BD  F (với D nằm hai điểm C F) Gọi G giao điểm AE CD Chứng minh rằng: FEG AGC luan 28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 28 of 66   tai lieu, ofbên 66.ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến RST RUV với đường trịn (với S Câu 8.document29 Từ điểm R nằm nằm hai điểm R T; U nằm hai điểm R V) Gọi X giao điểm UT SV Chứng minh     rằng: URS+VXT=VUT+VST Câu Gọi (O; R) đường tròn qua ba đỉnh tam giác ABC Gọi M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CA, AB OM cắt cung nhỏ BC D, ON cắt cung nhỏ CA E, OP cắt cung nhỏ AB F Gọi I giao điểm AD CF a) Chứng minh hai dây AD EF vng góc với b) Chứng minh rằng: DC = DI Câu 10 Cho đường tròn (O; R) có hai dây cung AD BC song song với nhau, nữa, hai dây cung AC BD cắt điểm E Chứng minh rằng:  a) DBC ACB b) EB  EC  c)  AOB   ADB  DAC Câu 11 Cho hình vẽ sau có BD = CF x C F Chứng minh rằng: AC  DF B O O' A D E y Câu 12 Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O ) , dựng hai cát tuyến ABC AMN Hai đường thẳng BN CM cắt S  + BSM  = 2CMN  Chứng minh rằng: A Câu 13 Cho AB AC hai dây cung đường tròn (O ) Gọi M trung điểm cung AB N trung điểm cung AC Đường thẳng MN cắt dây AB D cắt dây AC E Chứng minh AD = AE Câu 14 Cho đường tròn (O ) , điểm A, B,C , D theo thứ tự đường tròn Điểm M cung AB MA = MB Giao điểm MC MD với dây AB E K  + KDC  = 1800 Chứng minh: KEC Câu 15 Trên đường tròn (O ) , lấy ba điểm A, B,C Gọi M , N , P theo thứ tự điểm cung AB, BC AC Gọi I giao điểm AB MN , K giao điểm An BP Chứng minh rằng: a) Tam giác BNK cân b) AI BN = IB.AN c) IK  BC Câu 16 Cho đường tròn (O ) Trên đường tròn lấy điểm A,C 1, B, A1,C , B1 theo thứ tự luan 29. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 29 of 66   tai lieu, document30 of 66 a) Chứng minh rằng: đường thẳng AA1, BB1,CC đường phân giác tam giác ABC chúng đường cao tam giác A1B1C b) Chứng minh rằng: đường thẳng AA1, BB1,CC đường cao tam giác ABC chúng đường phân giác A1B1C Câu 17 Cho đường tròn (O ) Một dây AB , lấy C thuộc tia đối BA từ C kẻ tiếp tuyến CM CN với đường tròn ( M thuộc cung nhỏ AB , N thuộc cung lớn AB ) lấy D điểm cung lớn AB DM cắt AB E a) Chứng minh CM = CE b) Chứng minh EA.NB = NA.EB c) Gọi I trung điểm dây AB Chứng minh năm điểm M ,C , N ,O, I thuộc đường tròn  C tù Câu 18 Cho tứ giác ABCD có A Chứng minh AC < BD Câu 19 Cho tam giác ABC Gỉa sử đường phân giác phân giác ngồi góc A tam giác ABC cắt BC D, E có AD = AE Chứng minh AB + AC = 4R với R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  D điểm di động Câu 20 Cho đường tròn (O; R) , đường kính BC A điểm cung BC cung AC AD cắt BC E Xác định vị trí điểm D để 2AD + AE nhỏ HƯỚNG DẪN  , BFD,  CFB,  DFE  Câu CFE  Câu CAE Câu D Câu B luan 30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 30 of 66   tai lieu, Câu 5.document31 of 66  AC , BE a) Tính số đo cung  ABC tam giác   ABC  600  AB AC  sđ  AC  1200  sđ  ABC  sđ  CF trung tuyến ABC nên E điểm cung    600 AB  sđ BE ,  AGC b) Tính số đo góc BFE   900 BFE  ) = 300  AC - sđ BE AGC  (sđ  Câu  + sđ QT  ) = (sđ PM  + sđ PT  ) = sđ TM   IMT    ( sđ PM IKM 2 Câu  góc tạo tiếp tuyến dây cung nên: FEG   sđ  AE FEG  AGC góc có đỉnh bên đường trịn nên: )  AC + sđ DE AGC  (sđ      sđ  Mà  AC   AD   AGC  sđ  AD  sđ DE AE 2   FEG AGC Câu luan 31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 31 of 66   nhỏ tai lieu, document32 of 66   góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nên: UR    sđ S URS S  sđ TV U   góc có đỉnh bên đường trịn nên: V   sđ S VXT XT  sđTV U       sđTV   sđ SU   sđTV   sđ S Do đó: UR S  VXT U 2      VXT   sđTV  (1) URS  ,VST  hai góc nội tiếp chắn cung VT  nên VUT   VST   sđVT  (2) VUT Từ (1) (2) suy đpcm Câu a) Gọi H giao điểm hai dây AD EF  AHE góc có đỉnh bên đường tròn nên:   1      sđ  AHE  sđ FD AE  sđ FD  sđ AE 2     DEF+ADE  180  AHE AHE  900  b) Xét DCI :      sđ AF   sđ CD   sđ BF   sđ BD  DIC 2    sđ DF  DCF  Câu 10   ADC  sđ B D  sđ  AC hay BD = AC a) Hai dây cung AD / / BC  BCD luan 32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 32 of 66   tai lieu, 66.cân Do document33 ABCD hìnhof thang   sđ   CD  AB  sđ CD AB  DBC ACB   EDA  (đồng vị) b) EBC   EAD  (đồng vị) ECB   EDA  (hai góc đáy hình thang cân) Mà EAD    ECB  EBC  EBC cân E hay EB  EC  (hai góc đáy hình thang cân) ADB  DAC c) Vì    2  ADB  DAC ADB  sđ  AB   AOB Câu 11    = sđCE - sđBD (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) CAE  sđF E  F DE = (góc nội tiếp)  - sđBD  = sđCE  - sđCF  = sđEF  BD = CF (gt)  sđCE  = FDE   AC  DF Do đó: CAE Câu 12 C  - sđBM   sđCN sđA = S O (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) N B A M    = sđCN - sđBM sđBSM (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)  CN  +B  Do đó: A SM = 2sđ = 2C MD Câu 13 A  = MB  (gt), AN  = NC  (gt) AM    = sđAN + sđMB ADE M B D E N O C luan 33. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 33 of 66   tai lieu, of đường 66 trịn) (góc códocument34 đỉnh bên    = sđNC + sđAM AED (góc có đỉnh bên đường tròn)  = AED   DADE cân A Do đó: ADE  AD = AE Câu 14 B E M AM = MB (gt)  = MB  (định lý liên hệ cung dây)  AM K A C O    = sđMB + sđAC KEC D (góc có đỉnh bên đường trịn) c sđM  (góc nội tiếp) K DC +   + sđAC  + sđM sđMB C   EC + K DC = Do đó: K =   + sđAC  + sđMC sđMA 3600 = = 1800 2 Câu 15 a) Ta có: B  = (sđPC )  + sđCN sđPBN M I A  ) (góc nội tiếp chắn cung PN = sđBCN  + sđBN ) (sđAP (góc có đỉnh bên đường tròn) Mà PC = AP CN = BN (giả thiết) luan 34. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 34 of 66   N K P C tai lieu, document35  of 66 Suy ra: PBN = BCN Do đó: DBNK cân N  = BNM  Dễ thấy ANM (góc nội tiếp chắn hai cung AM BM ) nên NI tia phân b) giác ANB Ta có: AI AN =  AI BN = IB.AN IB BN c) Theo chứng minh (câu a,b) DBNK cân có NI đường phân giác Do IN đồng thời đường trung trực cạnh BK    IB = IK hay DBIK cân  IBK = IKB  = IKB  Hay ABP (1)  = CBP  Mà APB (2) (góc nội tiếp chắn hai cung AP CP )  = IKB  Do IK  BC Từ (1), (2)  CBP Câu 16 a) Gọi I giao điểm AA1 B1C ta có: A B1 C1 I  + sđ A )  = (sđAB  sđAIB B + sđBC 1 1  +A   = ABB AB + ACC 1 (góc nội tiếp cung bị chắn) = B M N C A1    (ABC + CAB + BCA) = 900 Vậy AA1 ^ B1C Chứng minh tương tự ta có: BB1 ^ AC ;CC ^ A1B1 1 b) Gọi giao điểm đoạn thẳng AA1 BC M , BB1 AC N ta có:  = (sđAB  + sđAC ) s đAMB  + AC  = ACB C (góc có đỉnh bên đường trịn) 1 luan 35. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 35 of 66   tai lieu, document36 of 66  = (sđAB  + sđ B   + AC  Mà sđANB C ) = ACB C 1  = ANB  = 900  nên AC B Do AMB C hay CC tia phân giác góc AC 1 1 Chứng minh tương tự ta có:  B BB1 tia phân giác góc AC 1  AA1 tia phân giác góc B1AC 1 Câu 17 N D a)  = (sđAD )  + sđBM sđMEC C O (góc có đỉnh bên đường tròn) A  = (sđBD  + sđBM ) sđDMC Mà DA = DB (giả thiết) Suy ra: MEC = EMC  DMEC cân C  CM = CE Ta có: CM = CN (tính chất hai tiếp tuyến cắt điểm) Theo chứng minh CM = CE  CE = CN Do DECN cân  CEN = CNE (1)  = BAN  + ANE  Mà CEN (2) (góc tam giác)  = BAN  + BNE  Lại có: CEN (3)  = CNB  Mà BAN (hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) Từ 1), (2) (3) ta có:  = BNE   ANE hay NE tia phân giác góc ANB  EA NA (tính chất đường phân giác DANB ) = EB NB  EA.NB = NA.EB luan I E M (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) b) B 36. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 36 of 66   tai lieu, document37 of 66 c) Ta có: M , N thuộc đường trịn đường kính OC  = ONC  = 900 (OMC theo tính chất tiếp tuyến)  Mặt khác I trung điểm dây AB  = 900 hay OIC  = 900 Nên IOB Vậy điểm I thuộc đường trịn đường kính OC Vậy năm điểm M ,C , N ,O, I thuộc đường trịn đường kính OC A Câu 18 Vẽ đường trịn (O ) đường kính DB B D O , DCB  tù nên A,C nằm đường tròn (O ) Vì DAB C BD đường kính nên dây cung lớn (O ) AC nhỏ dây cung chứa Do đó: AC < BD Câu 19 Gọi F giao điểm AD đường tròn (O ) ( F khác A ), x Ax tia đối tia AC Vẽ đường kính AG đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A O E B  = 900 (góc nội tiếp Ta có: ABG G D C F chắn nửa đường tròn)  + sđAE   + sđFC  + sđBF sđGC  = 1800 (1) = sđACG  = FAC  AD  = sđFC  (2) BAF ( đường phân giác)  sđBF    AD, AE hai tia phân giác hai góc kề bù BAC Bax nên DAE = 900 luan 37. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 37 of 66   tai lieu, DDAEdocument38 AE (gt) nên tam giác vuông cân vng có ADof= 66  = 450  ADE sđ  + sđCF  sđAB  + sđCF  = 900  sđAB (3) Từ (1), (2) (3) có: GC = AB  GC = AE DCAG vng C nên: AC + GC = AG (Áp dụng đinh lí Py-ta-go) Do đó: AB + AC = (2R)2 Vậy AB + AC = 4R Câu 20 A    = sđAB - sđCD sđAEC D (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn) = sđACD    - sđCD sđAD sđAC = 2 Mà AB = AC (gt)  = ACD  Do đó: AEC  chung; ACD  = AEC  Xét DACD DAEC có: CAD Do DACD ∽ DAEC  Mà AB = AC = AD AC =  AD.AE = AC AC AE BC = 2R ( DABC vuông cân A ) Nên AD.AE = 2R Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, Ta có: 2AD + AE ³ 2AD.AE 2AD + AE ³ 4R luan 38. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 38 of 66   B O C E tai lieu, document39 of =66 AE = 2R Dấu “=” xảy  2AD Vậy D cung AC cho AD = R 2AD + AE nhỏ -Toán Học Sơ Đồ luan 39. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 39 of 66   ... hai định lý số đo góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn để có góc nhau, cạnh Từ đó, ta suy điều cần chứng minh 3.1 Từ điểm P (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn cát tuyến... (sđAC  góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nên CNB  - sđMB ) Xét (O ) có CNA = (90 - 45) = 22, 5 Đáp án cần chọn C 15 Lời giải:  = (sđAC  góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nên CNB  - sđMB... DẪN Lời giải: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn:    B IC = (sđB C - sđA D) Đáp án cần chọn B Lời giải: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo