Tài liệu Chuyên đề Góc nội tiếp

tai lieu, document1 of 66 GÓC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  có đỉnh A nằm đường trịn hai cạnh AB, AC hai dây cung gọi góc nội tiếp Góc BAC Cung BC nằm bên gọi cung bị chắn  sd BAC  sd BC (số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn) Tính chất: Trong đường trịn: * Các góc nội tiếp chắn cung * Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung * Góc nội tiếp (nhỏ 90°) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung * Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1: Chứng minh hai góc Tính số đo góc Bài 1: Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB dây AC N điểm cung CB Chứng minh   NAB  CAN Bài 2: Cho đường trịn  O  đường kính AB cung AM có số đo nhỏ 90  Vẽ dây   ADC  MC  AB, MD / /AB Chứng minh DMB   OAC  Bài 3: Cho ABC nhọn nội tiếp đường trịn  O  có đường cao AH Chứng minh BAH Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có đỉnh thuộc đường trịn  O  Biết AB / /DE, BC / EF chứng minh   DAF  ADC Bài 5: Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM Lấy điểm D cung   CAM  Chứng minh   BC không chứa A cho BAD ADB  CDM   45 Tính số đo góc CBD  Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường trịn  O  đường kính BD Biết BAC   60 Vẽ đườn trịn đường kính BC tâm O cắt AB, AC D E Bài 7: Cho ABC nhọn có BAC  tính số đo góc ODE luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document2 of 66  A  Bài 8: Cho ABC nội tiếp  O  Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx cho xBA  Tính sơ đo góc OBx   90 , dó I tâm đường trịn nội Bài 9: Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích Bài 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Clà trung điểm OB Gọi D, E điểm thuộc nửa   90 Biết CD  CE  a Tính DE theo a đường trịn cho  ACD  BCE   45o , C   15o Tính dộ dài AC , BC , AB Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có bán kính 1dm , B diện tích tam giác ABC Bài 3: Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Gọi K trung điểm OC Gọi M giao điểm thứ hai BK với đường tròn (O), I giao điểm MD AB Tính diện tích : a)Tam giác MAB; b)Tam giác MIK Dạng 3: Bài tốn dựa hệ góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 1: Cho đường trịn  O  đường kính AB cung AM có số đo nhỏ 90  Vẽ dây MC  AB, MD / /AB Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng Bài 2: Cho đường tròn  O  đường kính AB Vẽ đường trịn  K  tiếp xúc với đường tròn  O  C Các dây CA, CB cắt đường tròn  K  E F Chứng minh E, K, F thẳng hàng Bài 3: Cho đường tròn  O  đường kính AB Điểm M chuyển động  O  , M  A, M  B Kẻ MH  AB Kẻ đường tròn  O1  đường kính MH cắt đường thẳng MA MB C D Chứng minh C, D, O thẳng hàng   45 nội tiếp đường tròn  O  Các đường cao BH, CK cắt đường tròn  O  Bài 4: Cho ABC nhọn có BAC D E Chứng minh D, O, E thẳng hàng Dạng 4: Bài tốn dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vng góc Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt BC ởI Chứng minh IK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  , trực tâm H Gọi I trung điểm AH, M trung điểm BC AKH  90 Tia phân giác góc BAC cắt IM K Chứng minh  Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác góc Acắt BCởD cắt đường tròn (O) M (khác A) Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn  M ; MB  ,K tiếp điểm Chứng minh DK vng góc với AM luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document3 of 66 Bài 4: Cho hai đường tròn  O   O’ cắt A B , O nằm đường tròn  O’ Dây AC  O  cắt  O’ D, dây OE  O’ cắt  O  F hình Chứng minh rằng: OD ⊥ BC  cắt đường tròn  O  D đường tròn  D, DB cắt Bài 5: Cho ABC nội tiếp  O  Tia phân giác góc BAC đường thẳng AB Q (khác B), cắt đường thẳng AC P (khác C) Chứng minh AO  PQ Bài 6: Trong đường trịn  O  có dây AC BD vng góc với E Gọi M trung điểm BC Chứng minh IM  AD Bài 7: Cho đường tròn  O  , đường kính AB S điểm nằm bên ngoiaf đường tròn SA SB cắt đường tròn M , N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH  AB Dạng 5:Nâng cao phát triển tư Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm thứ hai AH với đường tròn (O) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt BC I Chứng minh IK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai đường tròn tiếp xúc với (O) A, tiếp xúc với (O’) B tiếp tuyến đường tròn (O) P cắt (O’) điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD R Chứng minh rằng:   QBR ; a) QAR b) Tam giác BPR cân; c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB Bài Từ điểm M ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD Gọi I giao điểm AB CD Chứng minh rằng: IC MC  ID MD Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), BE CF đường cao Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt S, đường thằng BC OS cắt M a) Chứng minh rằng: AB BS  AE ME b) Chứng minh rằng: AEM ∽ ABS c) Gọi N giao điểm AM EF, P giao điểm AS BC Chứng minh NP vng góc với BC Bài Cho ABC vuông A, đường cao AH đường tròn (O) ngoại tiếp HAC Gọi D điểm đối xứng B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) E Chứng minh: a) CH tia phân giác góc ACE b) HO //EC Bài Cho hình vng ABCD; M điểm tùy ý thuộc cạnh CD Hai đường tròn đường kính CD AM cắt N (khác D) Gọi K giao điểm DN BC Chứng minh AC vng góc KM luan van, khoa luan of 66 tai lieu, Bài document4 Gọi CA, CBof lần 66 lượt tiếp tuyến đường tròn (O; R) với A, B tiếp điểm Vẽ đường tròn tâm I qua C tiếp xúc với AB B Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) M Chứng minh đường thẳng AM qua trung điểm BC Bài Cho (O; R) tiếp tuyến xy A (O; R) Trên tiếp tuyến lấy điểm C (Khác A) Gọi B trung điểm AC Qua C vẽ đường thẳng cắt (O) E, M (theo thứ tự C, E, M) Tia BE cắt (O) F tia CF cắt (O) N Chứng minh: MN //AC Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Dựng CD tiếp tuyến chung (O) (O’) cho C thuộc (O), D thuộc (O’) B nằm tam giác CDA Đường thẳng CB cắt (O’) M Chứng minh tia AD phân giác góc CAM Bài 10 Cho hình bình hành ABCD, góc A < 90o Đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC E Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến B C cắt điểm P Trên cung nhỏ BC, lấy điểm K (K khác B C) Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hại Q  cắt KQ I Phân giác góc KBQ ; a) Chứng minh CI tia phân giác KCQ b) Giả sử đường thẳng AK qua trung điểm M cạnh BC Chứng minh AQ //BC Bài 12 Chứng minh từ 2015 điểm phân biệt nằm đường trịn ln chọn 1008 điểm mà điểm đỉnh tam giác tù Bài 13 Cho hình vng ABCD với tâm O Gọi M trung điểm AB Các điểm N, P thuộc BC, CD cho MN //AP Chứng minh rằng:   45o Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP NOP Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy Bài 14 Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC = 4AB Tia Cx vng góc với AC điểm C, gọi D điểm thuộc tia Cx (D không trùng với C) Từ điểm B kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K, E a) Tính giá trị DC, CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ c) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường trịn đường kính DE ln có dây cung cố định HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Chứng minh hai góc Tính số đo góc Bài 1: Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB dây AC N điểm cung CB Chứng minh   NAB  CAN luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document5 Lời giải: ( h 1.1) of 66   NB  ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) NAB N C   CN  ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có CAN A B O   NB  Lại có CN   NAB   CAN hình 1.1 Bài 2: Cho đường trịn  O  đường kính AB cung AM có số đo nhỏ 90  Vẽ dây   ADC  MC  AB, MD / /AB Chứng minh DMB Lời giải: ( h 1.2)   AC  ( đường kính vng góc Ta có AB  MC  MA M D với dây)   DB  ( hai cung chắn hai Ta lại có: MD / /AB  MA A O dây song song)   DB   MA   ADC   DMB  ( góc nội tiếp chắn  AC hai cung nhau) luan van, khoa luan of 66 C hình 1.2 B tai lieu, document6 of 66   OAC  Bài 3: Cho ABC nhọn nội tiếp đường trịn  O  có đường cao AH Chứng minh BAH Lời giải: ( h 1.3) A Dựng đường kính AD   CBD    DC   ( góc nội tiếp chắn Ta có CAD     cung ) O   DBC  ( hai góc có cạnh tương ứng vng Lại có BAH góc ) H C B   DAC   BAH   OAC   BAH D hình 1.3 Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có đỉnh thuộc đường tròn  O  Biết   DAF  AB / /DE, BC / EF chứng minh ADC E Lời giải: ( h 1.4) D   FAB   EAC   BDF  Do BC / /EF  EDC   BCD   BFD   ACE  AB / /ED  AEF Do BFD ECA  g.g  O F C   AEC   DEF   ABC   ABC   DAF  Suy DBF A Bài 5: Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường B hình 1.4   CAM  Chứng minh tròn (O), đường trung tuyến AM Lấy điểm D cung BC không chứa A cho BAD  ADB  CDM  Lời giải A O B M C D    , lại có  A1   A2  B AM  DAC ABM   ADC (góc nội tiếp) nên ABM  ADC (g.g) luan van, khoa luan of 66 tai lieu, BAdocument7 BM MCof 66  AD  DC  CD  suy BAD  MCD (c.g.c)    Kết hợp với  A1  C ADB  CDM Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  đường   45 Tính số đo góc CBD  kính BD Biết BAC C D Lời giải: (h 1.5)   45   CAB    CB    CDB Ta có: CDB     O   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Lại có DCB B A   180  CDB   DCB   45  CBD hình 1.5   60 Vẽ đường trịn đường kính BC tâm O cắt AB, AC D E Bài 7: Cho ABC nhọn có BAC  tính số đo góc ODE C Lời giải: ( h1.6) E   90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường Ta có BDC O trịn)   90 ADC vng D suy  ADC    30  EOD   60 ( EOD   2ECD   ED  ACD Mà ta lại có EOD cân O   60 Suy EOD  EDO luan van, khoa luan of 66  A B D hình 1.6 tai lieu, document8 of 66 Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp  O  Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx cho  A  Tính sơ đo góc OBx  xBC B x Lời giải: ( h 1.7)   90 Dựng đường kính BD DCB   CDB   90  DBC O   CAB    CB  Mà BDC     A C   CBx   DBC   CBx   90  DBx   90 Lại có BAC D hình 1.7   90 , dó I tâm đường trịn nội Bài 9:Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A Lời giải A N I O B C D K Gọi D giao điểm đoạn IK đường tròn (O)  ; BID   BID   BDI cân D  DB  DI   sđ DN   sđ BD   sđ  AN  DBI DBI 2 IBK vuông B có DB  DI nên DI  DK DB  IOK vng O có DI  DK nên OD  IK IK (1) (2) Từ (1) (2) suy BD  OD  OB   60  BAC   60 BOD  BOD Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích Bài 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Clà trung điểm OB Gọi D, E điểm thuộc nửa   90 Biết CD  CE  a Tính DE theo a ACD  BCE đường trịn cho  luan van, khoa luan of 66 tai lieu, document9 of 66 Lời giải Trên CDlấy Ksao cho CK  CE DK  CD  CK  CD  CE  a Kéo dài DCcắt đường tròn (O) I D  (1)  C  C   E đối xứng với Iqua AB EOB   sđ EI Ta có C l o    180  C4  C   DKE   OCE  (bù với hai góc trên) (2) ECK cân  K 2 Từ (1) (2) suy DKE  OCE (g.g) DE OE OB    Vậy DE  DK  2a DK OC OC   45o , C   15o Tính dộ dài AC , BC , AB Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 1dm , B diện tích tam giác ABC Lời giải A B M 45° H O 15° C 1dm   45o   B AOC  90o  AC  OC   dm   Kẻ OM  BC  C  C   45o  15o  30o Ta có C  MC  OC.cos 30o   BC   dm   Kẻ AH  BC Đặt HC  x, HB  y x  y  Ta có HC  HB  HC  HA2  AC  nên x  y    Từ (1) (2) suy xy   x  y   x  y    (1) (2) (3) Từ (2) (3) suy  x  y   x  y  xy     x  y  Từ (1) (4) suy y   S ABC  (4) 1 6  dm  Do AB  y   dm  2 1 1 3  BC AH  dm   2 luan van, khoa luan of 66 tai lieu, of(O; 66 Bài 3: document10 Cho đường trịn R), hai đường kính AB CD vng góc với Gọi K trung điểm OC Gọi M giao điểm thứ hai BK với đường tròn (O), I giao điểm MD AB Tính diện tích : a) Tam giác MAB; b) Tam giác MIK Lời giải C M K A I B O D   90 nên MA  tan B  OK  AMB  90, BOK a)  MB OB  MB  2MA 2R 4R 4R2    MA , MB , S dễ dàng tính (1) Từ   MAB 2 5  MA  MB  R b) MI đường phân giác MAB  S KIB  AI  1 4R R R2 IB.KO   2 3 IA MA 4R   Lại có IA  IB  R nên dễ dàng tính IB  IB MB (2) 1 4R2 4R2  AB  S MAI  S MAB  3 15 (3) Từ (1), (2) (3) suy S MIK  S MAB  S KIB  SMAI  4R2 R2 4R2 R2    15 Dạng 3: Bài tốn dựa hệ góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 1: Cho đường tròn  O  đường kính AB cung AM có số đo nhỏ 90  Vẽ dây MC  AB, MD / /AB Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng Lời giải ( h 1.8) M D   90 Ta có MD / /AB mà AB  MC nên MC  MD  DMC  góc nội tiếp mà 90  nên phải chắn nửa đường tròn, CMD A O suy CD đường kính, ba điểm C, O, D thẳng hàng C luan van, khoa luan 10 of 66 hình 1.8 B tai lieu, document37 of 66  +) Xét đường trịn đường kính BD có góc BED góc nội tiếp chắn nửa đường trịn  BED = 900    Xét DABC DBED ta có: DBE chung DEC + DAC = 900 + 900 = 1800  phương án A   +) Xét tứ giác ADEC có: DEC + DAC = 900 + 900 = 1800  Tứ giác ADEC tứ giác nội tiếp (dhnb)  Đáp án B +) Chứng minh tương tự ta tứ giác AFBC tứ giác nội tiếp  phương án C sai +) Gọi giao điểm BF AC H Xét tam giác BHC có hai đường cao CF BA cắt D  D trực tâm tam giác BHC Mà DE ^ AB  DE đường cao tam giác BHC hay H , E , D thẳng hàng  DE , AC BF đồng quy H  phương án D Câu 26 Đáp án A   Theo đề ta có: M điểm cung AB nên AM = MB Xét đường tròn (O) có:  = sđDM  (1)  +) MCD góc nội tiếp chắn cung DM  MCD  góc có đỉnh nằm đường trịn chắn cung MB cung AD +) AED  = ổỗsAD + sMB ửữ = MCD ữứ ỗ ố 1ổ (2) ữử = sDM ỗỗsAD + sMA ữứ ố 2  = AED  = sđDM  Từ (1) (2)  MCD   Xét tứ giác DEPC có: MCD = AED (cmt )  PEDC nội tiếp (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) luan van, khoa luan 37 of 66 tai lieu, document38 Câu 27 Đáp án D of 66   +) Vì NEO = NMO = 90  NEMO tứ giác nội tiếp nên bốn điểm O, E , M , N thuộc đường tròn  Phương án A  = CBE  = số đo cung CE  DNEC ∽ DNBE (g - g )  NE = NC +) NEC NB NE  NB.NC = NE  Phương án B +) Hai tam giác vuông DNCH ∽ DNMB(g - g )   NC NH = NM NB NC NH =  NC NB = NH NM NM NB  = EMN   Phương án C Từ DNEH ∽ DNME (c - g - c)  NEH  = NOE   = EON  (tứ giác NEMO nội tiếp)  NEH +) EMN Mà góc ENO phụ với góc EON nên góc EON phụ với góc NEH  EH ^ NO  DOEF cân có ON phân giác  = NOF   NEF  = NOF  nên tứ giác NEOF nội tiếp  EON  = 180 - NEO  = 90  Phương án D sai  NFO Câu 28 Đáp án A  = AGC  = 900 Theo giả thiết ta có OC ^ AB,CG ^ AG nên ta suy AOC Nói cách khác O,G nhìn AC góc vng  = OCA  Do tứ giác ACGO nội tiếp đường trịn đường kính AC nên OGA luan van, khoa luan 38 of 66 tai lieu, document39 of 66  = 450 Suy OGA  = 450 Ta lại có Mà DOAC vuông cân O nên OCA  + OGA  = HGA  = AGC  = 900  OGH  = 900 - OGA  = 900 - 450 = 450 OGH  = 450 Do OGH Câu 29 Đáp án B Do tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O, nên ta có  = CBD  (cùng chắn cung CD ) CAD  = 400 Tổng ba góc tam giác 1800 Do ta có CAD  + ACD  + ADC  = 1800 Nên: CAD  = 1800 - (CAD  + ACD  ) = 1800 - (400 + 600 ) = 800  ADC Câu 30 Đáp án A 0 ˆ ˆ = 600  Bˆ = Cˆ = 180 - A = 180 - ¶ = 900 - ¶ Xét tam giác ABC cân A A 2 Ta có tứ giác AMCB tứ giác nội tiếp (4 điểm A, M , B,C thuộc (O ) ) = 1800 - ABC = 1800 - ổỗ900 - ả ửữữ = 900 + ả DMA = ABC = 900 - ả AMC ỗỗ ÷ ø÷ 2 è (tính chất tứ giác nội tiếp) Gọi I giao điểm AM BD  DDMI vuông I  = 900 - AMD = 900 - ổỗ900 - ả ửữữ = ả BDM ỗ ỗố ữữứ Câu 31 Đáp án A  = BDC  = 900 nhìn đoạn BC Xét tứ giác ACBD ta có: BAC  Tứ giác ACBD tứ giác nội tiếp (dhnb) luan van, khoa luan 39 of 66 tai lieu, document40 of  66    BDA + BCA = 180  = 1800 - BCA  = 1800 - 300 = 1500  BDA  BDA  kề bù nên HDA  = 1800 - BDA  = 300 Có góc HDA Câu 32 Đáp án C  góc nội tiếp chắn cung BI Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI ta có: BAI  góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BI BIN  = BIN  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BI )  BAI  = BAC  (hai góc nội tiếp chắn cung BC ) Xét đường tròn (O ) ta có: BDC  = BDC  (= BAC  ) Lại có hai góc vị trí đồng vị  BIN  IN / /CD hay MN / /CD (dpcm )  đáp án A  = BIN  (cmt )  tứ giác ABNM tứ giác nội tiếp (góc ngồi +) Xét tứ giác ABNM ta có: BAI đỉnh góc đỉnh đối diện)  Đáp án B +) Ta có: IN / /CD (cmt )  INCD hình thang  đáp án D Câu 33 Đáp án B Vẽ đường kính CE đường trịn (O )   Ta có EAC = 900 ,EDC = 900 (góc nội tiếp chắn đường kính EC ) Từ ta có AE ^ AC Mặt khác theo giả thiết AC ^ BD Kéo theo AE / /BD Vậy AEDB hình thang luan van, khoa luan 40 of 66 tai lieu, document41 66 Do hình thang AEDBofnội tiếp (O ) nên nói phải hình thang cân Kéo theo AB = DE (các cạnh bên hình thang cân) Từ ta có AB + CD = DE + DC = EC = (2a )2 = 4a (do DEDC vuông D ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (AB , BD ) ta có AB + BD ³ 2AB.CD  2(AB + BD ) ³ AB + BD + 2AB.CD = (AB + CD )2 Kéo theo (AB + CD )2 £ 2(4a ) = 8a  AB + CD £ 2a Đẳng thức xảy AB = CD  = ACD  (góc nội tiếp chắn cung AD ), Xét tam giác DABI , DDCI có AB = CD, ABD  = DCB  BAC (góc nội tiếp chắn cung BC ) Do DABI = DDCI (g c.g ) Kéo theo AI = ID,IB = IC Suy AC = AI + IC = ID + IB = BD Câu 34 Đáp án A Gọi M trung điểm AC Do E điểm cung AC nên EM ^ AC  = 900 , nên Do EM qua tâm đường tròn (O ) Giả sử DFE  = 900 , hay GE đường kính (O ) Suy G , M , E thẳng hàng GFE  = 900  = 900 , mà GMD Vì GBE Kéo theo tứ giác BDMG tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính GD    Vì MBD = DGM = FGE (1) (cùng chắn cung DM )   Lại có tứ giác BFEG tứ giác nội tiếp nên FBE = FGE (2) ( chắn cung FE )  = FBE  Do BF BM đối xứng qua BD Vì M º N Từ (1) (2) ta suy MBD hay N trung điểm AC nên AN = NC D.PHIẾU BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hai đường tròn (O ) (O ¢) cắt A B Vẽ đường kính AC AD luan van, khoa luan 41 of 66 tai lieu, document42 of 66 B,C , D thẳng hàng a) Chứng minh b) Đường thẳng d di động qua A cắt (O ),(O ¢) E , F ( E , F khác A , A nằm E , F ) 1) Chứng minh DBEF ∽ DACD 2) Xác định vị trí d để chu vi tam giác BEF lớn nhất, diện tích tam giác BEF lớn Bài 2: AB, BC ,CA ba dây cung đường tròn (O ) Từ trung điểm M cung AB ta vẽ dây MN  BC Gọi S giao điểm MN AC Chứng minh SM = SC SN = SA Bài 3: Cho đường trịn (O ) , hai đường kính AB , CD vng góc M điểm cung AC , tiếp tuyến M cắt CD E  = 2MBA  Chứng minh MED Bài 4: Cho điểm A ngồi đường trịn (O; R) Vẽ cát tuyến ABC , ADE đến đường trịn (B,C , D, E Ỵ (O )) Chứng minh AB.AC = AD.AE = OA2 - R Bài 5: Cho điểm A nằm đường tròn (O; R) ( A khác O ) BC , DE hai dây cung qua A Chứng minh rằng: AB.AC = AD.AE = R - OA2 Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có đường cao AH đường phân giác AD cắt đường trịn (O ) E Vẽ đường kính AF I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: a) DHAB ∽ DCAF b) S ABC = AB.AC BC 4R c) AB BC AC = = sin C sin A sin B d) EB = EI = EC e) AB.AC - DB.DC = AD Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) M điểm nằm cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D cho MD = MB a) Chứng minh DMBD b) Chứng minh MA = MB + MC c) Xác định vị trí điểm M để MA + MB + MC lớn nhất, nhỏ Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) D, E , F cung AB, BC ,CA DE EF cắt AB AC M , N Chứng minh rẳng: a) MN  BC b) MN qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC luan van, khoa luan 42 of 66 tai lieu, ofở 66 Bài 9: document43 Từ điểm A ngồi đường trịn (O ) kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O ) Qua điểm X thuộc dây BC , kẻ đường thẳng KL vng góc XO ( K L lần lượt) nằm AB AC ) Chứng minh KX = LX Bài 10: Trên cạnh CD hình vng ABCD , lấy điểm M , vẽ đường tròn tâm O đường kính AM Gọi E giao điểm đường trịn tâm (O ¢) đường kính CD Hai đường tròn cắt điểm thứ hai N Tia DN cắt BC P Chứng minh rằng: a) Ba điểm E , N ,C thẳng hàng b) CA ^ MP Bài 11: Cho đường tròn (O ) , M điểm (O ) , hai tiếp tuyến MA MB ( A , B hai tiếp tuyến), C điểm đường tròn tâm M bán kính MA nằm đường trịn (O ) Các tia AC BC cắt đường tròn (O ) E D Chứng minh ba điểm D,O, E thẳng hàng Bài 12: Cho tam giác ABC , đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M hạ MP ^ AB MQ ^ AC Gọi O trung điểm AM a) Chứng minh năm điểm A, P, M , H ,Q thuộc đường tròn b) Tứ giác OPHQ hình gì? Chứng minh c) Xác định vị trí điểm M BC để PQ nhỏ Bài 13: Cho đường tròn (O ) điểm P cố định bên đường tròn (khác O ) Hai dây AD CD thay đổi qua P vng góc với M N trung điểm AD BC Chứng minh rằng: MN qua điểm cố định Bài 14: Trên cạnh AB, BC tam giác ABC dựng phía ngồi tam giác hình vng ACA1A2 BCB1B2 Chứng minh đường thẳng AB1, A1B, A2B2 đồng quy Bài 15: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AC , dây AB cố định, M điểm thuộc cung AB Gọi K trung điểm đoạn MB Từ K hạ KB ^ AM a) Chứng minh rằng: M di động AB đường thẳng KP ln qua điểm cố định b) Tìm quỹ tích điểm K M di động cung AB HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a)  = 900 ABC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  AB ^ BC Tương tự có AB ^ BD E  = ACD  BEF (hai góc nội tiếp chắn cung AB luan van, khoa luan 43 of 66 O' O Suy B,C , D thẳng hàng b) 1) Xét DBEF DACD có: d F A C B D tai lieu, document44 đường tròn (O ) ) of 66  = ACD  (hai góc nội tiếp chắn cung BEF AB đường tròn (O ¢) ) Do DBEF ∽ DACD 2) * DBEF ∽ DACD  CV (BEF ) BE = CV (ACD ) AC CV (ACD ) CV (ACD ) không đổi BE , AC AC  CV (BEF ) = Do đó: CV (BEF ) lớn  BE lớn  BE đường kính đường trịn (O )  = 900  d ^ AB A  BAE Vậy d vng góc với AB A chu vi tam giác BEF lớn * DBEF ∽ DACD   S BEF = S ACD AC BE , S BEF S ACD S ACD AC ổ BE ửữ = ỗỗỗ ữữ è AC ÷ø khơng đổi S BEF lớn  BE lớn  BE lớn  BE đường kính đường trịn (O )  = 900  d ^ AB A  BAE Vậy d vng góc với AB A diện tích tam giác BEF lớn Bài 2: A Ta có: MN  BC (gt)  = NC   MB S M  = MB  (gt) Mà AM N O  = NC  Do đó: AM B C  = NMC  (hai góc nội tiếp chắn hai cung Suy ra: ACM nhau) Do DSMC cân S  SM = SC Chứng minh tương tự có SN = SA A Bài 3: M   £ 900 MBA góc nội tiếp; MBA luan van, khoa luan 44 of 66 E C O D tai lieu, document45 of 66 =  MBA  MOA  = 2MBA   MOA  = MED  (hai góc phụ với góc Mà MOA EOM )  = 2MBA  Do đó: MED Bài 4:  DABE  có Xét DACD  CAD chung  = AEB  ) ACD (Hai góc nội tiếp chắn cung BD C Do DACD ∽ DAEB  AC AD = AE AB B A M O N D  AB.AC = AD.AE OA cắt đường tròn (O ) M , N ( M nằm O A ) E Chứng minh tương tự có: AB.AC = AM AN Mà AM AN = (OA - MA).(OA + ON ) = (OA - R)(OA + R) = OA2 - R Bài 5: M Xét DACD DAEB có:  = AEB  ) ACD (Hai góc nội tiếp chắn cung BD  = EAB  ACD (đối đỉnh) B D C A O Do DACD ∽ DAEB  AC AD = AE AB E N  AB.AC = AD.AE AO cắt đường tròn (O ) M , N ( A nằm O M ) Chứng minh tương tự có: AB.AC = AM AN Mà AM AN = (OM - OA).(ON + OA) = (R - OA)(R + OA) = R - OA2 A Bài 6: a)  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ACF O Xét DHAB DCAF có:  = ACF  (= 900 ) AHB  = CFA  HBA (Hai góc nội tiếp chắn cung AC ) luan van, khoa luan 45 of 66 B C H D E F tai lieu, of 66 Do document46 DHAB ∽ DCAF b)  DHAB ∽ DCAF AB AH E = AF AC  AH = AB.AC AB.AC = 2R AF S ABC = AB.AC BC AH BC = 4R a)  DACF vuông C , ta có: AC = AF sin AFC   AC = 2R sin B (vì AFC = B )  AC = 2R sin B Chứng minh tương tự có: AC BC = = 2R sin C sin A Do đó: AC BC AC = = sin C sin A sin B b)  = EAC   BEB  = EC  EB = EC BAE  = BAI  + BAI  ( BIE góc ngồi tam giác ABI ) Mặt khác: BIE  = EBC  + CBI  IBE  = EBC , ABI  = CBI IBE  = IBE   DEIB  cân E  EB = EI Do đó: BIE Do đó: EB = EI = EC c) Xét DABD DAEC có:  = EAC , ABD  = AEC  ) BAD (Hai góc nội tiếp chắn cung AC Do DABD ∽ DAEC  AB AD =  AB.AC = AD.AE AE AC Xét DDAB DDCE có:  = CDE  ABD (đối đỉnh)  = DCE  ) DAB (Hai góc nội tiếp chắn cung BE Do DDAB ∽ DDCE  AD DB =  DB.DC = AD.DE DC DE Do AB.AC - DB.DC = AD.AE - AD.DE = AD(AE - DE ) = AD luan van, khoa luan 46 of 66 tai lieu, Bài 7: document47 of 66 a) A  = 600 DBMD = BCA ) (Hai góc nội tiếp chắn cung AB DMBD cân M (vì MB = MD ) (gt) O  = 600  DMBD Có BMD b) D B  DMND  MB = BD = MD, MBD = 600 C M Xét DMBC DDBA có: MB = BD , BC = BA ( DABC đều)  = DBA (= 600 - ABC ) MBC Do đó: DMBC = DDBA (c.g.c)  MC = DA Ta có: MA - MC = MD + DA = MA c) MA = MB + MC Do MA + MB + MC = 2MA MA + MB + MC lớn  MA lớn  MA đường kính đường trịn (O )  M trung điểm BC Vậy M trung điểm BC thì: MA + MB + MC lớn Mặt khác, xét ba điểm M , B,C có: MB + MC ³ BC Do đó: MA + MB + MC = 2(MB + MC ) ³ 2BC , không đổi Dấu “=” xảy  M º B M º C Vậy M trùng B M º C MA + MB + MC nhỏ Bài 8: a) A  = BED   (gt)  AED  = DB AD F Xét DEAB có EM đường phân giác nên: D MA AE = MB BE Tương tự: (1) NA AE = NC CE M (2) Mà BE = CE (vì BE = CE ) (3) Từ (1), (2) (3) có: MA NA = MB NC luan van, khoa luan 47 of 66 I O B N C E tai lieu, document48 ofNA 66 MA Xét DABC có b) MB = NC , theo định luật Ta-lét đảo có MN  BC Gọi I giao điểm BF CD ta có I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC DEBI cân E có ED đường phân giác nên đường trung trực BI    MI = MB  DMBI cân M  MIB = MBI  = IBC  Mà MBI  = IBC   MI  BC Nên MIB Ta có MI  BC , MN  BC  M , I , N thẳng hàng Vậy MN qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 9:  = 900  = 900 Ta có: ABO ( AB tiếp tuyến (O ) ) KXO (gt)  X B nằm đường tròn đường kính OK  = OKX  (góc nội tiếp chắn cung)  OBX B K A O Chứng minh tương tự: X  = OCX  OLX lại có DOBC cân (OB = OC ) C  = OCX   OBX L  = OLX  Vậy: OKX  DOKL cân có OX đường cao đường trung tuyến Vậy KX = LX Bài 10: a) Ta có D giao điểm thứ (O ) (O ¢) Dễ thấy AEMD hình chữ nhật ED đường kính (O )  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa cung đường tròn) Nên END E A B Mặt khác CD đường kính (O ¢)  = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên DNC O N  + DNC  = 1800 hay ba điểm  END E , N ,C thẳng hàng D Ta có AEMD hình chữ nhật  AECM hình chữ nhật  = CM   EB (1) Xét DCBE DCDP có BCE = CDP (hai góc phụ với góc DPC ) CB = DC ; B = C = 900 (gt) luan van, khoa luan 48 of 66 O' M P C tai lieu, of 66 Do đó:document49 (g.c.g) DCBE = DDCP  EB = CP (2) Từ (1) (2)  CM = CP hay DPCM cân có CA đường phân giác  CA đồng thời đường cao Vậy CA ^ MP Bài 11:  = AOD  Trong đường trịn (O ) ta có: ABD Mặt khác đường trịn (M ) có:  = AMC  (góc nội tiếp nửa góc tâm ABC A chắn cung)  = AOD   AMC D cO (1)  = BOE  Tương tự ta có: BMC M (2) B E Do MA MB tiếp tuyến (O ) nên:  = MBO  = 900 MAO  = MBO  = 1800 Hay MAO  + AOB  = 1800  AMB  + BMC  + AOB  = 1800 Hay AMC (3) Từ (1), (2) (3) ta có: AOD + BOE + AOB = 1800 Vậy ba điểm D,O, E thẳng hàng Bài 12: a)  = AHM  = AQM  = 900 Ta có: APM  Ba điểm P, H ,Q nằm đường tròn đường kính AM hay năm điểm A, P, M , H , P thuộc đường tròn b) A DAPM vng có PO đường trung tuyến  PO = AO = MO O DAQM có QO đường trung tuyến  QO = AO = MO  PO = QO Trong DAHM vng có: HO đường trung tuyến  HO = AO = MO luan van, khoa luan 49 of 66 P B K M H Q C tai lieu, of 66 Từ đó:document50 HO = PO Do A, P, M , H thuộc đường tròn tâm O  = 2PAH  (góc nội tiếp nửa góc tâm) Nên POH  = 300 ( Mà PAH DABC đều, AH đường cao nên vừa đường phân giác)  = 2.300 = 600 Do đó: POH  DPOH có PO = HO POH = 600 Nên DPOH  PO = PH Chứng minh tương tự ta có: DQOH QO = QH Tứ giác OPQH có cạnh liên tiếp OP = PH = HQ = QO nên hình thoi c) Nối P Q ta có: PQ ^ OH K KP = KQ = KO = KH = PQ OH (Do tính chất đường chéo hình thoi) DPKO vng theo định lí Py-ta-go ta có: 2 ỉ AM ÷ư ỉ AM ÷ư ữữ - ỗỗ ữữ PK = PO - KO = ççç è ÷ø çè ÷ø = 2 1 AM - AM = AM 16 16  PK = 3 AM  PQ = AM ³ AH không đổi 2 Dấu “=” xảy  M º H Vậy PQ nhỏ M º H Bài 13: C Giả sử PM cắt CB M ¢  = BDA  ) (góc nội tiếp chắn BD Ta có: BCD  =P  ( DAMP cân MP = MA = MD ) PAM P A O M  =P  Do đó: BCD  =P  (đối đỉnh) Ta cịn có: P  +P  = 1v  C  +P  = 900 hay MP ^ CB Mà P Mặt khác: ON ^ CB (đường kính qua trung điểm dây cung) Vậy MP  ON luan van, khoa luan 50 of 66 N D B tai lieu, Tươngdocument51 tự: NP  OM of 66 Do tứ giác PMON hình bình hành  OP MN cắt trung điểm I PO hay MN qua I cố định Bài 14:   B1 Trường hợp 1: C = 900 Rõ ràng AB1, A1B, A2B2 đồng quy C A2 Trường hợp 2: C ¹ 900 C B2 Các đường trịn ngoại tiếp hình vng ACA1A2 BCB1B2 Có điểm chung c cắt M (khác C ) A2 A  = 450 Ta có: AMA B (góc nội tiếp chắn cung phần tư đường tròn)   A MC = A AC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 2  = 450 Tương tự: CMB Vì tia MA2 nằm hai tia MA MC , tia MC nằm hai tia MB MA2  +A   = 450 + 900 + 450 = 1800 MC + CMB nên AMA 2 hay A, M , B thẳng hàng Chứng minh tương tự A1, M , B A2 , M , B2 thẳng hàng Vậy AB1, A1B A2B2 qua M Hay AB1, A1B A2B2 đồng quy Bài 15: a)  CM ^ AM ( MAC = 900 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) P KP ^ AM (gt)  KP  CM M K B Gọi I giao điểm PK BC I Ta có: PI  CM mà KB = KM Vậy KI đường trung bình DMBC  IB = IC B,C cố định  I cố định Vậy PK qua điểm I cố định b)  = 900 ,O, B Ta có: OKB cố định M di động cung AB  K thuộc phần cung tròn đường kính OB / luan van, khoa luan 51 of 66 A O C ... 900 (tính chất góc  góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính MC  MDC +) Ta có: MDC nội tiếp) Xét tứ giác ABCD ta có: Góc BAC góc BDC nhìn đoạn BC góc 900 ⇒ ABCD tứ giác nội tiếp (dhnb) ... 32 Đáp án C  góc nội tiếp chắn cung BI Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI ta có: BAI  góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BI BIN  = BIN  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây... AB E kẻ HF vng góc với AC F Chọn câu A Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp B Tứ giác BEFC không nội tiếp C Tứ giác AFHE hình vng D Tứ giác AFHE không nội tiếp  Câu Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn