Tài liệu Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

tai lieu, CHUYÊN document1ĐỀofMỘT 66 SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Định lí Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề; • Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề Trong hình bên thì: b  a sin B  a cos C ; c  a sin C  a cos B b  c tan B  c cot C ; c  b tan C  b cot B II Giải tam giác vng Là tìm tất cạnh góc tam giác vuông B biết hai yếu tố (trong có yếu tố độ dài) B MỘT SỐ DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO    Tính giá trị  để BH = 3CH Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, B Giải Đặt AH = h Xét ABH vuông H ta có: BH = AH.cot B = h.cot  Xét ACH vng H ta có: CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan  BH  3CH  h.cot   3h.tan   tan    tan  tan   tan    tan 30    30 3 Nhận xét: Trong giải ta biểu diễn BH CH theo AH theo tỉ số lượng giác góc  Từ mối quan hệ BH CH ta tìm giá trị    35, C   50 đường cao AH = 5,0cm Ví dụ Giải tam giác ABC biết B Giải A , AB, AC BC Ta phải tìm    A  180  B  C   95 • Xét ABH vng H ta có: AH  AB.sinB  AB  AH 5,   8,  cm  sinB sin 35 BH  AH cotB  5, 0.cot 35  7,1 cm  luan 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document2 • Xét ACH vng of H66 ta có: AH  AC.sin C  AC  AH 5,   6,5  cm  sin C sin 50 CH  AH cot C  5, 0.cot 50  4,  cm  Do BC  BH  CH  7,1  4,  11,3  cm  A  95; AB  8, 7cm; AC  6,5cm; BC  11,3cm Vậy  Lưu ý: Sau tính AB AC, tính BH CH theo AB AC: BH  AB.cos B; CH  AC cos C Tuy nhiên, ta nên tính BH CH theo số đo cho đề để kết xác Ví dụ Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH  AD CK  AD Xét ABH vuông H, ACK vng K, ta có: BH  AB.sin Vậy BH  CK   AB  AC  sin A A ; CK  AC sin 2 A A  8sin 2 Mặt khác , BH  CK  BD  CD  BC   cm  nên 8sin Do A A   sin   sin 30 2  A  30   A  60 A  60 D, H, K trùng  ABC đểu max  Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD đường thẳng BH, CK vng góc với AD mà ta tìm liên hệ AB, AC với BH, CK; liên hệ BH, CK với BC Do AB, AC BC có liên hệ với nhau, từ tìm số đo góc A Ví dụ Chứng minh định lí cơsin: Trong tam giác nhọn, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với cơsin góc xen chúng Giải luan 2. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document3 of HBC 66 vng H ta có: Vẽ đường cao BH Xét BC  HB  HC  HB   AC  AH   HB  AC  AC AH  AH   HB  AH   AC  AC AH  AB  AC  AC AH 1 Xét ABH vng H ta có : AH = AB cosA Thay vào (1) ta BC  AB  AC  AC AB.cosA Nhận xét: Trong tam giác nhọn, biết hai cạnh góc xen nhờ định lí cơsin ta tính cạnh thứ ba C BÀI TẬP TỰ LUYỆN • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính toán Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AA', BB', CC’ Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA '  A ' B.B ' C.C ' A  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Bài Cho đường thẳng xy điểm A cố định cách xy 2cm Gọi M điểm di động xy Vẽ tam giác ABM vuông M cho  ABM    0    90  Tính độ dài ngắn AB Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định BC  3cm Điểm A di động cho AB + AC = 6cm Tính giá trị lớn góc A   40 Tính độ dài BC Bài Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm B   70 Tính độ dài BC Bài Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm B Bài Cho tam giác ABC cân A, góc đáy  < 90° Vẽ đường cao AH BK Biết BK = h, tính AH   40, C   65 Bài Cho tam giác ABC, B a) Tính số đo góc tạo thành đường cao AH đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet) Bài Tam giác ABC tam giác nhọn hay tam giác tù có: a)  A  50 , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; b)  A  55 , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A,  A  64 , AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác ABC tam giác tù Bài 11 Cho tam giác nhọn ABC, AB = 4cm, BC = 6cm Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác với D  AB, E  AC ; F, G  BC Chứng minh diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ 6cm2 luan 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document4 of 66 Bài 12 Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC  39cm CA = 7cm Tính số đo góc A Bài 13 Giải tam giác ABC, biết:   62; C   53 a) BC  6,8cm; B   40; C   35 b) BC  6,8cm; B Bài 14 Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm trịn đến độ) Bài 15 Giải tam giác ABC, biết:  A  68 , AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất, làm tròn số đo góc đến độ) A  50 , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm trịn số đo góc đến độ, làm tròn Bài 16 Giải tam giác ABC, biết:  độ dài đến hàng phần mười) HƯỚNG DẪN • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính tốn Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AD, BE, CF Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải a) ACD vng D, có AD = ACsin C ABE vng E, có BE = ABsin A BCF vng F, có CF = BCsin B Suy AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C b) ABE vuông E, có AE = ABcos A BCF vng F, có BF = BCcos B ACD vng D, có CD = ACcos C Suy AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường cao AA', BB', CC’ Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA '  A ' B.B ' C.C ' A  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Giải ABB' vuông B', có AB' = ABcos A BCC’ vng C', có BC' = BCcos B CAA' vng A', có CA' = ACcos C Suy AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Chứng minh tương tự ta được: A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C Do AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A luan 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document5A.cos of 66 = AB.BC.CA.cos B.cos C Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác qua điểm nên đề yêu cầu chứng minh A ' B B 'C C ' A AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A theo định lí Xê-va ta có  từ suy đpcm A ' C B ' A C 'B Bài Cho đường thẳng xy điểm A cố định cách xy 2cm Gọi M điểm di động xy Vẽ tam giác ABM vuông M cho  ABM    0    90  Tính độ dài ngắn AB Giải ABM vng M, có AM  AB.sin   AB  AM sin  Do AB ngắn  AM ngắn  M  H  AM  2cm Vậy AB  M  H sin  Bài Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định BC  3cm Điểm A di động cho AB + AC = 6cm Tính giá trị lớn góc A Giải Vẽ đường phân giác AD Vẽ BH  AD, CK  AD Ta có BH  BD, CK  CD Suy BH  CK  BD  CD  BC ABH vng H, có: BH  AB.sin A ACK vng K, có: CK  AC.sin A Do BH  CK   AB  AC  sin Do sin A A A  sin mà BH  CK  BC  3cm nên sin  3 2  A 3 A    sin 60 Suy  60   A  120 2 Vậy max  A  120 H  K  D  ABC vuông cân A   40 Tính độ dài BC Bài Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm B Giải * Tìm cách giải luan 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document6 ofvận 66 Vẽ đường cao AH để dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng Tính HB HC từ tính BC * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH  AB.sin B  14sin 40  9.0  cm  BH  AB.cos B  14.cos 40  10,  cm  Xét AHC vng H có: HC  AC  AH  112  92  6,3  cm  • Nếu H nằm B C BC  BH  HC  10,  6,3  17  cm  • Nếu C’ nằm B H BC '  BH  HC '  10,  6,3  4,  cm    70 Tính độ dài BC Bài Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm B Giải Vẽ đường cao AH Xét ABH vng H có: AH  AB.sin B  3, 2sin 70  3,  cm  BH  AB.cos B  3, 2.cos 70  1,1 cm  Xét AHC vng H có: HC  AC  AH  5, 02  3, 02  4,  cm  Điểm C nằm H B tia HB có HC > HB Chỉ cịn trường hợp điểm H nằm B C Ta có BC  BH  HC  1,1  4,  5,1 cm  Bài Cho tam giác ABC cân A, góc đáy  < 90° Vẽ đường cao AH BK Biết BK = h, tính AH Giải Xét KBC vng K, có: BK  BC sin   BC  Vì ABC cân A nên HB  HC  BK h  sin  sin  h sin  Xét AHC vuông H có: AH  HC.tan   h sin  h  sin  cos  cos    40, C   65 Bài Cho tam giác ABC, B a) Tính số đo góc tạo thành đường cao AH đường trung tuyến AM (làm trịn đến độ); luan 6. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, of 66 b) Chodocument7 biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet) Giải   Đặt MAH a) Xét ABH AHC vng H ta có: BH  AH cot B; CH  AH cot C ; MH  AH tan  Ta có BH  CH   BM  MH    CM  MH   2MH Do AH cot B  AH cot C  AH tan  Suy cot B  cot C  tan  Hay tan   cot B  cot C cot 40  cot 65   0,3627 2 tan   tan1956'    20 b) Ta có BH + CH = BC hay AH cot B  AH cot C  45  AH  cot B  cot C   45 Suy AH  45 45   27  cm  cot B  cot C cot 40  cot 65 Bài Tam giác ABC tam giác nhọn hay tam giác tù có: a)  A  50 , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; b)  A  55 , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm Giải a) Vẽ CH  AB Xét ACH vng H, ta có: AH  AC.cos A  6, 2.cos 50  4,  cm  Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm A H   90 ABC  H Suy  Vậy ABC tam giác tù b) Vẽ CH  AB, BK  AC Xét ACH vng H, ta có: AH  AC.cos A  4,5.cos 55  2,  cm  Xét ABK vng K, ta có: AK  AB.cos A  3,5.cos 55  2,  cm  • Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm A B   90 nên HBC  nhọn Xét HBC có H • Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm A C luan 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document8 of 66    90  nên ACB nhọn Xét KBC có K Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn A  64 , AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A,  ABC tam giác tù Giải Vẽ CH  AB, BK  AC AHC vuông H, ta có: AH  AC.cos A  4,5.cos 64  2,  cm  AKB vng K, ta có: AK  AB.cos A  c.cos 64  tù C  tù ABC tù  B  tù • Xét trường hợp B   90  AH  AB   c hay c  c  Ta có B  tù • Xét trường hợp C   90  AK  AB  c.c os64o  4,5  c  Ta có : C 4,5  10,3 cos64o Tóm lại, ABC tù  c  2cm c  10, 3cm Bài 11 Cho tam giác nhọn ABC, AB = 4cm, BC = 6cm Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác với D  AB, E  AC ; F, G  BC Chứng minh diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ 6cm2 Giải    ; AD  x DB   x Ta đặt B Ta có DE / / BC suy Do DE  DE AD (hệ định lí Ta-lét)  BC AB AD.BC x.6 x   AB Xét DBG vuông G, ta có DG  DB.sin     x  sin  Diện tích hình chữ nhật DEFG S  DE.DG  x   x  sin  2  x4 x  ab Vận dụng bất đẳng thức Cô-si hai số không âm ab    4  ta x   x        (dấu “=” xảy x = 4-x  x = 2) luan 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document9 of 66 Do S  sin   6sin  Vì  sin   nên S   cm  D trung điểm AB Bài 12 Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC  39cm CA = 7cm Tính số đo góc A Giải Xét ABC có CA cạnh lớn nên góc B góc lớn Ta thấy AC  BA2  BC (vì  52    39 ) nên góc B góc nhọn (xem 1.18) Do ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin ta có: BC  AB  AC  AB AC.cosA   39   52   2.5.7.cos A A  60 Suy cos A  ,  Bài 13 Giải tam giác ABC, biết:   62; C   53 a ) BC  6,8cm; B   40; C   35 b) BC  6,8cm; B Giải  C   65 a) Ta có  A  180  B Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có: a b c   sin A sin B sin C Do 6,8 b c   sin 65 sin 62 sin 53 Suy b  6,8.sin 62 6,8.sin 53  6,  cm  ; c   6,  cm  sin 65 sin 65 Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin  C   105 b) Ta có  A  180  B Vậy ABC tam giác tù, không vận dụng đính lí sin Vẽ đường cao AH Vì góc B C nhọn nên điểm H nằm B C Ta có BH  AH cot B, CH  AHcotC Mà BH  CH  BC nên AH  cot B  cot C   6,8 luan 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document10 6,8 of 66  AH  cot 40  cot 35  2,  cm  ABH vng H, có AH  AB.sin B Suy AB  AH 2,   4,  cm  sin B sin 40 ACH vng H, có AH  AC.sin C Suy AC  AH 2,   4,5  cm  sin C sin 35 Bài 14 Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm trịn đến độ) Giải Xét ABC, cạnh BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC  AB  AC (vì  52  62 ) nên góc A góc nhọn (xem 1.18) Vậy ABC tam giác nhọn Theo định lí cơ-sin, ta có: • BC  AB  AC  AB AC cos A Do  52   2.5.6.cos A A  78 Suy cos A  ,  • AC  AB  BC  AB.BC cosB Do  52   2.5.7.cos B Suy cos B  19   57 , B 35   180   78  57   45 •C Nhận xét: Để giải tam giác biết ba cạnh ta thường sử dụng định lí cơ-sin A  68 , AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn độ dài đến chữ số thập Bài 15 Giải tam giác ABC, biết:  phân thứ nhất, làm trịn số đo góc đến độ) Giải Vẽ CH  AB Xét ACH vuông H, ta có: CH  AC.sin A  5, 7.sin 68  5,3  cm  AH  AC.cos A  5, 7.cos 68  2,1 cm  Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm A B Do BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm) luan 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 10 of 66   tai lieu, document11 of 66 Xét HBC vng H, ta có: BC  CH  BH  5,32  2,92  6,  cm  Xét ABC có BC cạnh lớn nên góc A góc lớn Ta có BC  AB  AC (vì 62  52  5, ) nên góc A góc nhọn, suy ABC nhọn Do 5,  5, 02  6, 02  2.5, 0.6, 0.cos B   62 Suy cos B  0, 4752  B   180   68  62   50 Từ C Bài 16 Giải tam giác ABC, biết:  A  50 , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm trịn số đo góc đến độ, làm trịn độ dài đến hàng phần mười) Giải Vẽ BH  AC ABH vng H, ta có: AH  AB.cos A  4, 6.cos 50  3,  cm  BH  AB.sin A  4, 6.sin 50  3,5  cm  HBC vng H, ta có: HC  BC  BH  3,  3,52  1,  cm  • Nếu H nằm A C AC  AH  HC  3,  1,  4,  cm    90 sin C  BH  3,5  sin 71 Khi C BC 3,   71 B   180   50  71   59 Suy C • Nếu C’ nằm H A AC '  AH  HC '  3,  1,  1,8  cm  Khi  AC ' B  90    71   Ta có BC 'C  C AC ' B  180  71  109  AB ' C  180   50  109   21 C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu 1: Cho tam giác MNP vuông N Hệ thức sau đúng? A MN = MP sin P B MN = MP cos P C MN = MP tan P D MN = MP cot P Câu 2: Cho tam giác MNP vuông N Hệ thức sau đúng? luan 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 11 of 66   tai lieu, document12 of 66 M N P A NP = MP cos P B NP = MN cos P B NP = MN tan P D NP = MP cot P Câu 3: Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c Chọn khẳng định sai? A b = a sin B = a cos C B a = c tan B = c cot C C a = b + c D c = a sin C = a cos B  = 50 Câu 4: Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c, ABC Chọn khẳng định đúng? A b = c sin 50 B b = a tan 50 C b = c cot 50 D c = b cot 50 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A có AC = 10 cm,C = 30 Tính AB; BC A AB = 20 ; BC = 3 B AB = 10 14 ; BC = 3 C AB = 10 ; BC = 20 D AB = 10 20 ; BC = 3 Câu 6: Cho tam giác ABC vng A có AC = 20 cm,C = 60 Tính AB; BC A AB = 20 3; BC = 40 B AB = 20 3; BC = 40 C AB = 20; BC = 40 D AB = 20; BC = 20  = 40 Tính AC ;C (làm trịn đến chữ số thập Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A có BC = 12 cm; B phân thứ hai) A AC » 7, 71;C = 40 B AC » 7, 72;C = 50 C AC » 7, 71;C = 50 D AC » 7, 73;C = 50  = 55 Tính AC ;C (làm trịn đến chữ số thập Câu 8: Cho tam giác ABC vng A có BC = 15 cm, B phân thứ hai) A AC » 12, 29;C = 45 B AC » 12, 29;C = 35 C AC » 12, 2;C = 35 D AC » 12, 92;C = 40  Câu 9: Cho tam giác ABC vng A có BC = 15 cm, AB = 12 cm Tính AC ; B  » 3652¢ A AC = 8(cm); B  » 3652¢ B AC = 9(cm); B  » 3752¢ C AC = 9(cm); B  » 3655¢ D AC = 9(cm); B  (làm tròn đến độ) Câu 10: Cho tam giác ABC vng A có BC = 26 cm, AB = 10 cm Tính AC ; B luan 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 12 of 66   tai lieu, document13 of 66  A AC = 22;C » 67 B AC = 24;C » 66 C AC = 24;C » 67 D AC = 24;C » 68 Câu 10: Cho tam giác ABC vng A có AC = 7cm, AB = 5cm Tính BC ;C A BC = 74(cm);C » 3532¢ B BC = 74(cm);C » 3632¢ C BC = 74(cm);C » 3533¢ D BC = 75(cm);C » 3532¢  = 60 Tính BC Câu 11: Cho tam giác ABC có AB = 16, AB = 14 B A BC = 10 B BC = 11 C BC = D BC = 12  = 60 Tính Câu 12: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15 B BC A BC = 3 + B BC = 13 + C BC = D BC =  = 60,C  = 50,CA = 3, cm Diện tích tam giác ABC gần với Câu 13: Cho tam giác ABC có B giá trị đây? A B C D  =D  = 90,C  = 40, AB = cm, AD = cm Câu 14: Cho tứ giác ABCD có A Tính diện tích tứ giác ABCD (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A 17, 34cm B 17, 4cm C 17, 54cm D 17, 54cm  =D  = 90,C  = 45, AB = 6cm, AD = 8cm Tính diện tích tứ giác Câu 15: Cho tứ giác ABCD có A ABCD A 60cm B 80cm C 40cm D 160cm  = 40 ACB  = 30 Gọi Cho tam giác ABC có BC = 11cm, ABC N chân đường vng góc hạ từ A xuống cạnh BC A B N C Câu 16: Độ dài AN gần với giá trị đây? A B C D Câu 17: Độ dài AC gần với giá trị đây? A B C D Câu 18: Diện tích tam giác ABC gần với giá trị đây? luan 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 13 of 66   tai lieu, A 27 document14 of B 66 23 C 22 D 21  = 50  = 35 Gọi ACB Cho tam giác ABC có BC = 9cm, ABC N chân đường vng góc hạ từ A xuống cạnh BC A B C N Câu 19: Độ dài AN gần với giá trị đây? A B C D Câu 20: Độ dài AC gần với giá trị đây? A B C D Câu 21: Diện tích tam giác ABC gần với giá trị đây? A 13 B 15 C 16 D 25 HƯỚNG DẪN Lời giải: M N Ta có sin P = P MN  MN = MP sin P MP Đáp án cần chọn A Lời giải: Ta có cot P = NP  NP = MN cot P MN Đáp án cần chọn B Lời giải: Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c Ta có: + Theo định lý Pytago ta có a = b + c nên C + Theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: luan 14. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 14 of 66   tai lieu, document15 b = a.cinB = a cos C ;of c = 66 a sin C = a cos B; b = c tan B = c cotC ; c = b tan C = b cot B Nên A, D Đáp án cần chọn B Lời giải: A C B Cho tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c + Theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: b = a sin B = a sin 50; c = a cos B = a cos 50;b = c tan 50; c = b cot 50 Nên D Đáp án cần chọn D Lời giải: A B Xét tam giác ABC vuông A có: tan C = cos C = C AB 10  AB = AC tan C = 10 tan 30 = ; AC AC AC 10 20 10 20  BC = = = Vậy AB = ; BC = BC cos C 3 3 Đáp án cần chọn D Lời giải: A B luan 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 15 of 66   C tai lieu, document16 of 66 Xét tam giác ABC vuông A có: tan C = cos C = AB  AB = AC tan C = 20 tan 30 = 20 ; AC AC AC 20  BC = = = 40 Vậy AB = 20 3; BC = 40 BC cos C Đáp án cần chọn A Lời giải: A C B Xét tam giác ABC vng A có + sin B = AC  AC = BC sin B = 12 sin 40 » 7, 71 BC  +B  +C  = 180  C  = 180 - 40 - 90 = 50 +A Vậy AC » 7, 71;C = 50 Đáp án cần chọn C Lời giải: Xét tam giác ABC vng A có + sin B = AC  AC = BC sin B = 15 sin 55 » 12, 29 BC  +B  +C  = 180  C  = 180 - 55 - 90 = 35 +A Vậy AC » 12, 29;C = 35 Đáp án cần chọn B Lời giải: A C luan Xét tam giác ABC vng A có: 16. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 16 of 66   B tai lieu, 2document17 of 66 2 + BC = AB + AC  AC = BC - AB2 = 152 - 122 = 9(cm) + sin B = AC  = =  B » 3652¢ BC 15  » 3652¢ Vậy AC = 9(cm); B Đáp án cần chọn B 10 Lời giải: Xét tam giác ABC vng A có: + BC = AB2 + AC  AC = BC - AB2 = 262 - 102 = 24(cm) + sin B = 24 12 AC  » 67 = = B 26 13 BC Vậy AC = 24;C » 67 Đáp án cần chọn C 10 Lời giải: Xét tam giác ABC vng A có: + BC = AB + AC = 52 + 72 = 74  BC = 74(cm) + tan C = AB  » 3532¢ = C AC Vậy BC = 74(cm);C » 3532¢ Đáp án cần chọn A 11 Lời giải: A 60° B H C Kẻ đường cao AH Xét tam giác vng ABH , ta có: BH = AB cos B = AB cos 60 = 16 = AH = AB sin B = AB sin 60 = 16 luan =8 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 17 of 66   tai lieu, document18 of vào 66.tam giác vng AHC ta có: Áp dụng định lý Pytago HC = AC - AH = 142 - (8 3)2 = 196 - 192 = Suy HC = Vậy BC = CH + HB = + = 10 Đáp án cần chọn A 12 Lời giải: A 60° B H C Kẻ đường cao AH Xét tam giác vng ABH , ta có: BH = AB cos B = AB cos 60 = 12 = AH = AB sin B = AB sin 60 = 12 =6 Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng AHC ta có: HC = AC - AH = 152 - (6 3)2 = 117 Suy HC = 13 Vậy BC = CH + HB = 13 + Đáp án cần chọn B 13 Lời giải: A B D C Kẻ đường cao AD Xét tam giác vng ACD , ta có: AD = AC sin C = 3, sin 50 » 2, 68 cm CD = AC cos C = 3, cos 50 » 2, 25cm luan 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 18 of 66   tai lieu, document19 ofBD 66 Xét tam giác ABD , có = AD cot B » 2, 68 cot 60 » 1, 55 cm Suy BC = BD + CD = 3, Do S ABC = AD.BC » 5, 09 cm Đáp án cần chọn B 14 Lời giải: A D B E C  =D  = 90  AD  BC Vì A hay ABCD hình thang vng A, D Kẻ BE ^ DC E  =D  =E  = 90 nên ABED hình chữ nhật Tứ giác ABED có ba góc vuông A Suy DE = AB = cm; BE = AD = cm Xét tam giác BEC vng E có EC = BE cot 40 » 3, 56 (cm )  DC = DE + EC » 7, 56 (cm ) Do S ABCD = (AB + CD ).AD » 17, 34 cm Đáp án cần chọn A 15 Lời giải:  =D  = 90  AD  BC hay ABCD hình thang vng A, D Vì A Kẻ BE ^ DC E  =D  =E  = 90 nên ABED hình chữ nhật Tứ giác ABED có ba góc vuông A Suy DE = AB = cm; BE = AD = cm  = 45 Xét tam giác BEC vng E có BCE nên BEC vuông cân E  EC = BE = 8cm  DC = DE + EC = + = 14cm Do S ABCD = (AB + CD ).AD (6 + 14).8 = = 80 cm 2 Đáp án cần chọn B luan 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 19 of 66   tai lieu, of 66 16 Lờidocument20 giải: Đặt BN = x (0 < x < 11)  NC = 11 - x Xét tam giác ABN vuông N có AN = BN tan B = x tan 40 Xét tam giác ACN vuông N có AN = CN tan C = (11 - x ) tan 30 Nên x tan 40 = (11 - x ) tan 30  x » 4, 48 (thoả mãn) Khi AN = BN tan B = 4, 48 tan 40 » 3, 76 (cm ) Đáp án cần chọn B 17 Lời giải: Theo câu trước ta có AN » 3, 76 Xét tam giác ACN vng N có sin C = AN AN  AC = = 7, 52 AC sin C Đáp án cần chọn A 18 Lời giải: Theo kết câu trước ta có AN » 3, 76 nên S ABC = AN BC = 20, 68 cm Đáp án cần chọn D 19 Lời giải: Đặt BN = x (0 < x < 9)  NC = - x Xét tam giác ABN vng N có AN = BN tan B = x tan 50 Xét tam giác ACN vng N có AN = CN tan C = (9 - x ) tan 35 Nên x tan 50 = (9 - x ) tan 35  x » 3, 33 (thoả mãn) Khi AN = BN tan B = 3, 33 tan 35 » 2, 79 Đáp án cần chọn D 20 Lời giải: Theo câu trước ta có AN » 2, 79 Xét tam giác ACN vuông N có sin C = AN AN  AC = » 4, 87 AC sin C Đáp án cần chọn C 21 Lời giải: luan 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 20 of 66   tai lieu, document21 of 66 Theo kết câu trước ta có AN » 2, 79 nên S ABC = AN BC = 12, 555 cm Đáp án cần chọn A ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Tốn Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐  luan 21. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 21 of 66   ... Nhận xét: Trong tam giác nhọn, biết hai cạnh góc xen nhờ định lí cơsin ta tính cạnh thứ ba C BÀI TẬP TỰ LUYỆN • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính tốn Bài Cho tam giác nhọn... (làm trịn số đo góc đến độ, làm trịn Bài 16 Giải tam giác ABC, biết:  độ dài đến hàng phần mười) HƯỚNG DẪN • Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để chứng minh tính tốn Bài Cho tam giác nhọn... ACB nhọn Xét KBC có K Tam giác ABC có ba góc nhọn nên tam giác nhọn A  64 , AB = c, AC = 4,5cm Xác định giá trị c để tam giác Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A,  ABC tam giác tù Giải Vẽ CH 