Tài liệu Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

tai lieu, document1 of SỐ 66.HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG CHUYÊN ĐỀ MỘT A.LÝ THUYẾT B.DẠNG BÀI MINH HỌA I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Chứng minh hệ thức Phương pháp giải Sử dụng định lý Ta-lét hệ thức lượng học biến đổi vế, đưa dạng đơn giản để chứng minh Bài Cho ABC nhọn có đường cao AH Chứng minh AB  AC  BH  CH Bài Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD O Chứng minh AB  CD  AD  BC   AM  AB   2 Bài Cho tam giác ABC cân A A  900 , kẻ BM  CA Chứng minh   MC  BC  Bài Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a) AE  EK EG ; 1 b) ;   AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí qua A tích BK.DG có giá trị khơng thay đổi Bài Cho hình thang ABCD có AB  a, CD  b Qua giao điểm O hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD BC theo thứ tự E G Chứng minh 1 1    OE OG a b Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc Phương pháp giải Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc ẩn Bước 2: Thông qua giả thiết hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số Từ tính độ dài đoạn thẳng góc cần tìm Bài Cho ABC vng A có đường cao AH , có AB  15 cm, AH  12 cm Tính BH , BC , CH , AC Bài Cho hình thang ABCD , vẽ DE  AC  E  AC  Biết AB  cm, AC  17 cm, CD  15 cm a) Tính AD , BC , DE b) Tính S ABCD , S ABC AC , BC  30 cm Tính AB , AC Bài Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC) Bài Cho ABC vuông A , có AB  luan 1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, of biết 66.AB  c, BC  a a) Tínhdocument2 cạnh hình thoi 2ac với AB  c, BC  a ac c) Tính độ dài AB, BC, biết AD  m, DC  n, DE  d b) Chứng minh BD  Bài Cho tam giác ABC, PQ / / BC với P, Q điểm tương ứng thuộc AB, AC Đường thẳng PC QB cắt G Đường thẳng qua G song song với BC cắt AB E AC F Biết PQ  a, FE  b Tính độ dài BC Bài Trên cạnh BC hình vng ABCD cạnh 6, lấy điểm E cho BE  Trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF  Gọi M giao điểm AE BF Tính góc AMC Dạng Toán thực tế Bài 1: Một cột đèn có bóng mặt đất dài 7,5 m, tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 42 Tính chiều cao cột đèn Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C hai đầu cầu góc so với đường vng góc với mặt đất góc   37,   31 Tính chiều dài CD cầu Bài Một sợi dây treo từ thả xuống đất dư đoạn dây dài 0, m Nếu kéo căng sợi dây cho đầu dây chạm đất đo khoảng cách từ đầu dây đến gốc 2, m Tính chiều cao Bài Nhà An vị trí A , nhà Bảo vị trí B cách k m Quán Game vị trí C , biết AC  800 m AB  AC Vào ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game Biết An với vận tốc km/h Bảo xe đạp Hỏi Bảo phải với vận tốc để đến quán Game lúc với An luan 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document3 66.PHẢN XẠ II.TRẮC NGHIỆMofRÈN Câu 1: Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH (như hình vẽ) Hệ thức sau đúng? A B C H A AH = AB.AC B AH = BH CH C AH = AB.BH D AH = CH BC Câu 2: "Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền " Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là: A Tích hai cạnh góc vng B Tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền C Tích cạnh huyền cạnh góc vng D Tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Câu 3: Cho tam ABC vng A , đường cao AH (như hình vẽ) Hệ thức sau sai? A b c h c' B b' C H a A b = b ¢.c B 1 = + 2 h a b C a.h = b ¢.c ¢ D h = b ¢.c ¢ Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH (như hình vẽ) Hệ thức sau sai? A B A AB = BH BC B AC = CH BC H C AB AC = AH BC D AH = Câu 5: Tìm x , y hình vẽ sau: luan C 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   AB + AC AB AC tai lieu, document4 of 66 A 12 y x B C H 20 A x = 7, 2; y = 11, B x = 7; y = 12 C x = 7, 2; y = 12, D x = 7, 2; y = 12 Câu 6: Tính x , y hình vẽ sau: A 10 y x B C H 16 A x = 6, 5; y = 9, B x = 6, 25; y = 9, 75 C x = 9, 25; y = 6, 75 D x = 6; y = 10 Câu 7: Tìm x , y hình vẽ sau: A 10 x B A x = 3, 6; y = 6, y H B y = 3, 6; x = 6, C x = 4; y = C D x = 2, 8; y = 7, Câu 8: Tính x , y hình vẽ sau: A B A x = 3, 2; y = 1, B x = 1, 8; y = 3, x H C x = 2; y = Câu 9: Tìm x , y hình vẽ sau: luan y 4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   C D x = 3; y = tai lieu, document5 of 66 A B x C H y A x = 35 74 ; y = 74 74 B y = 35 74 ; x = 74 74 C x = 4; y = D x = 2, 8; y = 7, Câu 10: Cho tam giác ABC vuông A , chiều cao AH AB = 5; AC = 12 Đặt BC = y; AH = x Tính x , y 60 60 C x = 4, 8; y = 13 D x = ; y = 13 ; x = 13 13 13 Câu 11: Cho tam giác ABC vuông A, AH ^ BC ( H thuộc BC ) Cho biết AB : AC = : A x = 4; y = 119 B y = BC = 15cm Tính độ dài đoạn thẳng BH A BH = 5, B BH = 4, C BH = 5, D BH = Câu 12: Cho tam giác ABC vuông A, AH ^ BC ( H thuộc BC ) Cho biết AB : AC = : BC = 41 cm Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm trịn đến chữ số thập phân thứ nhất) A CH » 2, B CH » C CH » 3, D CH » 3, Câu 13: Tính x hình vẽ sau: A 13 12 B x C H A x = 14 B x = 13 C x = 12 D x = 145 Câu 14: Tính x hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A 20 15 B A x » 8, 81 B x » 8, 82 x H C x » 8, 83 C D x » 8, 80 Câu 15: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết: AB : AC = : AH = 6cm Tính độ dài đoạn thẳng CH A CH = B CH = C CH = 10 D CH = 12 Câu 16: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết AB : AC = : AH = 42cm Tính độ dài đoạn thẳng CH luan 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, ofB.66 A CH document6 = 96 CH = 49 C CH = 98 D CH = 89 Câu 17: Tính x , y hình vẽ sau: A y x B H C A x = 5; y = B x = 5; y = C x = 5; y = D x = 5; y = Câu 18: Tính x , y hình vẽ sau: A y x B C H A x = 14; y = 35 B x = 35; y = 14 C x = 24; y = D x = 6; y = 15 Câu 19: Tính x hình vẽ sau: M x x N A x = P D B x = C x = D x = Câu 20: Tính x hình vẽ sau: M x x N D P B x = C x = D x = 82 A x = Câu 21: Cho ABCD hình thang vng A D Đường chéo BD vng góc với BC Biết AD = 12cm , DC = 25cm Tính độ dài BC , biết BC < 20 B BC = 16cm C BC = 14cm D BC = 17cm A BC = 15cm Câu 22: Cho ABCD hình thang vng A D Đường chéo BD vng góc với BC Biết AD = 10cm , DC = 20cm Tính độ dài BC luan 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document7 of 66 A BC = 61 cm C BC = 15 cm B BC = 61 cm D BC = 61 cm Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB : AC = : 12 AB + AC = 34cm Câu 23: Tính cạnh tam giác ABC A AB = 5; AC = 12; BC = 13 B AB = 24; AC = 10; BC = 26 C AB = 10; AC = 24; BC = 26 D AB = 26; AC = 12; BC = 24 Câu 24: Tính độ dài đoạn AH , BH ,CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A AH » 9, 23; BH » 7, 69;CH » 18, 31 B AH » 9, 3; BH » 7, 7;CH » 18, C AH » 8, 23; BH » 8, 69;CH » 17, 31 D AH » 7, 69; BH » 8, 23;CH » 17, 77 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB : AC = : AB + AC = 21cm Câu 25: Tính cạnh tam giác ABC A AB = 9; AC = 10; BC = 15 B AB = 9; AC = 12; BC = 15 C AB = 8; AC = 10; BC = 15 D AB = 8; AC = 12; BC = 15 Câu 26: Tính độ dài đoạn AH , BH ,CH A BH = 7, 2; AH = 5, 4;CH = 9, B CH = 7, 2; BH = 5, 4; AH = 9, C AH = 7, 2; BH = 5, 4;CH = D AH = 7, 2; BH = 5, 4;CH = 9, Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi D E hình chiếu vng góc H AB, AC (hình vẽ) A E D B Câu 27: Tỉ số A A C N H AB với tỉ số sau đây? AC AB HC = HB AC Câu 28: Tỉ số M B AB HB = HC AC C AB HA = HB AC D AB HC = HA AC AB BD = ED AC D AB EC = BD AC AB với tỉ số sau đây? AC AB BD = EC AC B AB AD = EC AC C Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết BH = cm,CH = 16 cm Gọi D, E hình chiếu vng góc H cạnh AB AC Các đường thẳng vng góc với DE D E cắt BC M , N (hình vẽ) A E D B luan M 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   H N C tai lieu, document8 66.thẳng DE Câu 29: Tính độ dàiof đoạn A DE = 12 cm B DE = cm Câu 30: Tính độ dài đoạn MN ? A MN = 15 cm B MN = 13 cm C DE = 15 cm D DE = 16 cm C MN = 12, cm D MN = 12 cm Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết BH = 9cm,CH = 16cm Gọi D, E hình chiếu vng góc H cạnh AB AC Các đường thẳng vng góc với DE D E cắt BC M , N (hình vẽ) A E D B M N H C Câu 31: Tính diện tích tứ giác DENM A SDENM = 57 cm B S DENM = 150 cm C S DENM = 37, cm D SDENM = 75 cm Câu 32: Tính độ dài đoạn thẳng DE A DE = cm B DE = cm C DE = cm D DE = cm Câu 33: Kết luận sau đúng? A MN = BC B MN = BC C MN = BC D MN = BC Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Cho biết BH = 4cm,CH = 9cm Gọi D, E hình chiếu vng góc H cạnh AB AC Các đường thẳng vng góc với DE D E A cắt BC M , N (hình vẽ) E D B M H Câu 34: Tính diện tích tứ giác DENM A S DENM = 19, cm B S DENM = 20, cm C SDENM = 19 cm N C D S DENM = 21, cm Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu H lên CD, DE (hình vẽ) luan 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   tai lieu, document9 of 66 C N M D Câu 35: Tính CD CM bằng: A CH CE B CE CN luan H C CH CN 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan of 66   E D CD CN tai lieu, document10 66 III.PHIẾU BÀI TỰ of LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao, biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính BH , AH Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 5cm, BC = 13cm , đường cao AH Tính AH Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC AH đường cao, D, E hình chiếu H AB, AC Chứng minh rằng:  = ABC  AD.AB = AE AC b) ADE a) Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD CE hai đường cao Các điểm N , M đường thẳng   BD,CE cho AMB = ANC = 900 Chứng minh tam giác AMN cân Bài 5: Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh AB Gọi F giao điểm DE BC 1 = + 2 DA DE DF Bài 6:Cho đoạn thẳng AB = 4cm C điểm di động cho BC = 3cm Vẽ tam giác AMN vuông Chứng minh rằng: A có AC đường cao Xác định vị trí điểm C để 1 + đạt giá trị lớn AM AN  = 1200 Bài 7: Cho hình thoi ABCD với A Tia Ax tạo với tia BAx 150 cắt cạnh BC M , cắt đường CD N 1 + = 2 AM AN 3AB Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A , AH đường cao Cho biết BH = x , HC = y Chứng minh rằng: Chứng minh rằng: xy £ luan x +y 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 10 of 66   tai lieu, document15 DC 66  AB  of  AD  S ABCD   92  cm   8.15  AD.DC   60  cm  2  S ABC  S ABCD  S ADC  92  60 S ADC   S ABC  32  cm2  Bài Cho ABC vng A , có AB  AC , BC  30 cm Tính AB , AC Lời giải Gọi AC  x  cm   AB  3x  cm  với x  Xét ABC vuông A , có BC  AB  AC  900  9x2  x2 16  x  576  x  24 Vậy AC  24  cm  , AB  18  cm  Bài Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC) a) Tính cạnh hình thoi biết AB  c, BC  a 2ac với AB  c, BC  a ac c) Tính độ dài AB, BC, biết AD  m, DC  n, DE  d b) Chứng minh BD  Lời giải a) Gọi độ dài cạnh hình thoi x ED AE Vì ED / / BC nên (hệ định lý Ta-lét)  BC AB x cx    cx  a  c  x   cx  ac  ax a c ac   a  c  x  ac  x  ac ac Vậy x  ac b) Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho BK  BA   BAK 1 Ta có tam giác ABK cân B nên BKA ABC (tính chất góc ngồi tam giác)   DBF 1   BD / / AK  BD  CB (hệ định lý Ta-lét) Mà EBD ABC   AKB  DBF AK CK BD CB a (1)    AK BC  BK a  c Trong tam giác ABK có: AK  AB  BK  c  c  2c (định lý độ dài cạnh tam giác) (2) a 2ac 2c  Từ (1) (2) có: BD  ac ac luan 15. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 15 of 66   tai lieu, document16 of 66 2ac Vậy BD  ac d m  n d m ED AD (hệ định lý Ta-lét)    BC   BC AC BC m  n m d m  n c) Vì ED / / BC nên Tương tự có AB  n d m  n d m  n AB  m n Bài Cho tam giác ABC, PQ / / BC với P, Q điểm tương ứng thuộc AB, AC Đường thẳng PC Vậy BC  QB cắt G Đường thẳng qua G song song với BC cắt AB E AC F Biết PQ  a, FE  b Tính độ dài BC Lời giải Đặt BC  x Áp dụng kết Ví dụ - dạng - chủ đề ta có: 1 1 ax     GE  GF  GE GF a x ax ax 2ax 2ax  GE  GF   EF  b ax ax ax ab  ab  bx  2ax   x  2a  b ab Vậy BC  2a  b Bài Trên cạnh BC hình vng ABCD cạnh 6, lấy điểm E cho BE  Trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF  Gọi M giao điểm AE BF Tính góc AMC Lời giải Gọi H giao điểm CM AB, G giao điểm AM DF AB BE BE Vì AB / / CG nên     (hệ định lý Ta-lét) CG EC BC  BE  2  CG  AB  2.6  12  FG  CG  CF  12   BH CF Vì AH / / CG nên  AB FG BH 3    BH    BH  BE 9 Xét BAE BCH có:  BE  BH  theo treân      ABE  CBH  90  AB  BC tính chất hình vuông      BHC     BAE  BCH  c.g c   BEA AMC  MAH AHM  MAH AEB  90 Vậy  AMC  90 luan 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 16 of 66   tai lieu, document17 of 66 Dạng 3: Toán thực tế: Bài 1: Một cột đèn có bóng mặt đất dài 7,5 m, tia sáng mặt trời tạo với mặt đất góc xấp xỉ 42 Tính chiều cao cột đèn Lời giải   90 Gọi chiều cao cột đèn AB, bóng mặt đất AC Ta có: BAC   42 Theo giả thiết, ta có BCA Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác ABC vuông A, ta có:   AB  AB  AC.tan BCA   7,5 tan 42  6, 75  cm  tan BCA AC Vậy chiều cao cột đèn 6,75 (cm) Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C hai đầu cầu góc so với đường vng góc với mặt đất góc   37,   31 Tính chiều dài CD cầu Lời giải Gọi A vị trí trực thăng, B chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt đất C D hai điểm đầu cầu   BD Ta có: tan BAD AB   BD  AB.tan BAD  920.tan 37  920.0, 754  693, 68  m   Mặt khác: tan BAC BC AB   920.tan 31  920.0,  552  m   BC  AB.tan BAC Vậy chiều dài cầu là: CD  BD  BC  693, 68  552  141, 68  m  Bài Một sợi dây treo từ thả xuống đất dư đoạn dây dài 0, m Nếu kéo căng sợi dây cho đầu dây chạm đất đo khoảng cách từ đầu dây đến gốc 2, m Tính chiều cao Lời giải luan 17. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 17 of 66   tai lieu, 66.và chiều cao AB Đặt Gọidocument18 chiều dài dâyof AC AB  x  m  với x  0, Do dây treo từ thả xuống đất dư đoạn  0, m  AC  x  0,  m  Xét ABC vuông B , ta được: AC  BC  AB   x  0,5  2,52  x  x  x  0, 25  6, 25  x 2  x  Vậy cao m Bài Nhà An vị trí A , nhà Bảo vị trí B cách k m Quán Game vị trí C , biết AC  800 m AB  AC Vào ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game Biết An với vận tốc km/h Bảo xe đạp Hỏi Bảo phải với vận tốc để đến quán Game lúc với An Lời giải 800 m = 0,8 Km Xét ABC vng A , ta có: BC  AB  AC  2000  800  BC  2154  m   2,154  Km  Thời gian An từ nhà đến quán Game AC 0,8 t1    0,16  h  v1 Thời gian Bảo từ nhà đến quán Game BC 2,154 t2   h v2 v2 Do An Bảo đến lúc nên 2,154 t1  t2   0,16 v2  v2  13,5  Km/h  Vậy Bảo với vận tốc  13, Km/h luan 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 18 of 66   tai lieu, document19 66 II.TRẮC NGHIỆM of RÈN PHẢN XẠ Câu Lời giải: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi ta có hệ thức HA2 = HB.HC Đáp án cần chọn B Lời giải: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi ta có hệ thức HA2 = HB.HC Hay "Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền Tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền" Đáp án cần chọn B Lời giải: Nhận thấy ah = bc nên phương án C sai Đáp án cần chọn C Lời giải: Cho tam giác ABC vng A , đường cao AH Khi ta có hệ thức AC = CH BC ; AB = BH BC ; AB.AC = BC AH Nhận thấy phương án D: AH = AH = AB + AC AB + AC 1 = + sai 2 AB AC AB AC Đáp án cần chọn D Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có: AB = BH BC  BH = 144 AB = = 7,  CH = BC - BH = 20 - 7, = 12, 20 BC Vậy x = 7, 2; y = 12, Đáp án cần chọn C Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: AB = BH BC  BH = 100 AB = = 6, 25  CH = BC - BH = 16 - 6, 25 = 9, 75 16 BC Vậy x = 6, 25; y = 9, 75 Đáp án cần chọn B Lời giải: Theo định lý Pytago ta có BC = AB + AC  BC = 100  BC = 10 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: 62 AB = = 3, hay x = 3, 10 BC  CH = BC - BH = 10 - 3, = 6, hay y = 6, Vậy x = 3, 6; y = 6, AB = BH BC  BH = Đáp án cần chọn A Lời giải: Theo định lý Pytago ta có BC = AB + AC  BC = 25  BC = Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: AB 32 = = 1, hay x = 1, BC  CH = BC - BH = - 1, = 3, hay y = 3, AB = BH BC  BH = luan 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 19 of 66   tai lieu, = 1, 8; y = 3, of 66 Vậy x document20 Đáp án cần chọn B Lời giải: Theo định lý Pytago ta có BC = AB + AC  BC = 74  BC = 74 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có: 5.7 35 74 AB.AC 35 74 = = ; y = 74 Vậy x = 74 BC 74 74 AH BC = AB.AC  AH = Đáp án cần chọn A 10 Lời giải: A 12 B x C H y Theo định lý Pytago ta có BC = AB + AC  BC = 169  BC = 13 Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: AH BC = AB.AC  AH = AB.AC 5.12 60 60 Vậy x = ; y = 13 = = BC 13 13 13 Đáp án cần chọn D 11 Lời giải: A B Ta có: AB : AC = :  = H C AB AC AB AC AB + AC AB + AC =  = = = 16 + 16 25 BC 225 = =9 25 25 (Vì theo định lý Pytago ta có AB + AC = BC  AB + AC = 225 ) Nên AB AC =  AB = 9; =  AC = 12 16 Theo hệ thức lượng tam giác vuông ABC ta có: AB = BH BC  BH = 81 AB = = 5, Vậy BH = 5, 15 BC Đáp án cần chọn A 12 Lời giải: luan 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 20 of 66   tai lieu, document21 of 66 A B C H Ta có AB : AC = :  AB AC AB AC AB + AC 41 =  = = = = (vì theo định lý Pytago ta có: 16 25 16 + 25 41 AB + AC = BC  AB + AC = ( 41)2 = 41 ) AB AC =  AB = 16  AB = 4; =  AC = 16 25 Theo hệ thức lượng tam giác vuông ABC ta có: Nên AC = CH BC  CH = AC 25 = » 3, Vậy CH » 3, BC 41 Đáp án cần chọn D 13 Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: AH = AB + AC  AH = AB.AC AB + AC = 15.20 152 + 202 = 12 Vậy x = 12 Đáp án cần chọn C 14 Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ABC ta có: AH = AB  AH = + AC AB + AC AB AC 2 =  AH = AH AB AC AB + AC  AB.AC AB + AC 12.13 = » 8, 82 Vậy x » 8, 82 122 + 132 Đáp án cần chọn B 15 Lời giải: A B H C Ta có AB : AC = : , đặt AB = 3a, AC = 4a (a > 0) Theo hệ thức lượng AH  AB = 7, 5; AC = 10 = AB + AC  1 1 25 = +  =  a = (TM ) 2 36 9a 36 144a 16a Theo định lý Pytago cho tam giác vng AHC ta có: luan 21. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 21 of 66   tai lieu, document22 of 66 2 CH = AC - AH = 100 - 36 = Vậy CH = Đáp án cần chọn A 16 Lời giải: A B H C Ta có AB : AC = : , đặt AB = 3a; AC = 7a (a > 0) Theo hệ thức lượng 1 1 1 58 = +  = +  = 2 2 1764 441a AH AB AC 42 9a 49a  441a = 102312  a = 58 (TM )  AB = 58; AC = 14 58 Theo định lý Pytago cho tam giác vng AHC ta có: CH = AC - AH = (14 58)2 - 422 = 98 Vậy CH = 98 Đáp án cần chọn C 17 Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: AH = BH CH  AH = 1.4  AH = Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng AHB; AHC ta có: AB = AH + HB ; AC = AH + HC = Vậy x = 5; y = Đáp án cần chọn C 18 Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có: AH = BH CH  AH = 2.5  AH = 10 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng AHB; AHC ta có: AB = AH + HB = 10 + = 14 ; AC = AH + HC = 10 + 25 = 35 Vậy x = 14; y = 35 Đáp án cần chọn A 19 Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có  MD = MN + MP 1 1 = +  =  x = 128  x = Vậy x = 64 x x 64 x Đáp án cần chọn B 20 Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có: 1 1 1 = +  = +  =  x = 72  x = Vậy x = 2 36 x 36 x MD MN MP x luan 22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 22 of 66   tai lieu, Đáp ándocument23 cần chọn A.of 66 21 Lời giải: B A D C E Kẻ BE ^ CD E  =D  =E  = 90 Suy tứ giác ABED hình chữ nhật (vì A ) nên BE = AD = 12cm Đặt EC = x (0 < x < 25) DE = 25 - x Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng BCD ta có: BE = ED.EC  x (25 - x ) = 144  x - 25x + 144 =  x - 16x - 9x + 144 =  x(x - 16) - 9(x - 16) = éx = 16  (x - 16)(x - 9) =  êê (thỏa mãn) êë x = Với EC = 16 , theo định lý Pytago ta có: BC = BE + EC = 122 + 162 = 20 (loại) Với EC = , theo định lý Pytago ta có: BC = BE + EC = 122 + 92 = 15 (nhận) Vậy BC = 15cm Đáp án cần chọn A 22 Lời giải: Kẻ BE ^ CD E  =D  =E  = 90 Suy tứ giác ABED hình chữ nhật (vì A ) nên BE = AD = 10 cm Đặt EC = x (0 < x < 25) DE = 20 - x Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông BCD ta có: BE = ED.EC  x (20 - x ) = 100  x - 20x + 100 =  (x - 10)2 =  x = 10(tm ) Với EC = 16 , theo định lý Pytago ta có: BC = BE + EC = 122 + 102 = 61 Vậy BC = 61 cm Đáp án cần chọn B 23 Lời giải: A B H Theo giả thiết: AB : AC = : 12 luan 23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 23 of 66   C tai lieu, document24 of 66 Suy AB AC AB + AC 34 = = = = Do AB = 5.2 = 10 (cm ); AC = 2.12 = 24 (cm ) 12 + 12 17 Tam giác ABC vuông A , theo định lý Pytago ta có: BC = AB + AC = 102 + 242 = 676 , suy BC = 26 cm Đáp án cần chọn C 24 Lời giải: A B H C Theo câu trước ta có AB = 10; AC = 24; BC = 26  AH BC = AB.AC  AH = AB.AC 10.24 = » 9, 23 ; BC 26 AB 102 100 = = » 7, 69  CH = BC - BH = 26 - 7, 69 = 18, 31 BC 13 13 Vậy AH » 9, 23; BH » 7, 69;CH » 18, 31 AB = BH BC  BH = Đáp án cần chọn A 25 Lời giải: A B H C Theo giả thiết: AB : AC = : Suy AB AC AB + AC = = = Do AB = 3.3 = (cm ); AC = 3.4 = 12 (cm ) 3+4 Tam giác ABC vuông A , theo định lý Pytago ta có: BC = AB + AC = 92 + 122 = 225 , suy BC = 15 cm Đáp án cần chọn B 26 Lời giải: A B H Ta có AB = 9; AC = 12; BC = 15  AH BC = AB.AC  AH = luan 24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 24 of 66   C AB.AC 12.9 = = 7, BC 15 tai lieu, document25 of 66 AB 2 81 = = 5,  CH = BC - BH = 15 - 5, = 9, BC 15 Vậy AH = 7, 2; BH = 5, 4;CH = 9, AB = BH BC  BH = Đáp án cần chọn B 27 Lời giải: Xét tam giác vng ABC có AH đường cao nên AB = BH BC ; AC = CH BC Nên AB BH BC HB = = CH BC HC AC Đáp án cần chọn B 28 Lời giải: Tam giác vng AHB có BH = BD.AB  BD = Tam giác vuông AHC có HC = AC EC  EC = Từ BH AB HC AC AB HB BD HB HC HB AC : = = = mà theo câu trước nên 2 HC EC AB AC AC HC AB BD AB AC BD AB =  = EC EC AC AB AC Đáp án cần chọn A 29 Lời giải:  =E  =D  = 90 Tứ giác AEHD hình chữ nhật A nên DE = AH Xét D ABC vng A có AH = HB.HC = 9.16 = 144  AH = 12 Nên DE = 12cm Đáp án cần chọn A 30 Lời giải:  = HAE   = ABC   + AED  = 90 + Ta có: NEC mà AED (do AEHD hình chữ nhật) HAE (cùng phụ   = NEC   + ABC  = 90  + ABC  = 90 với ACB ) nên NEC mà ACB nên ACB hay D NEC cân N  EN = NC (1)  + HEN  = 90  = NCE   NCE  + HEN  = 90  + NHE  = 90 mà NEC Lại có NEC nên + NEC   NEH = NHE hay D NEH cân N hay NE = NH (2) Từ (1) (2) suy NH = NC 2 2 Tương tự ta có MH = MB nên MN = MH + NH = HB + HC = + 16 = 12, cm Đáp án cần chọn C 31 Lời giải:  =E  = 90 nên DENM hình thang vng Vì DM ^ DE , EN ^ DE  DM  EN ; D Theo câu câu trước ta có: DM = Nên S DENM = BH CH = 4, 5; EN = = 8; DE = 12 2 (DM + DN ).DE (4, + 8).12 = = 75 cm 2 Đáp án cần chọn D 32 Lời giải: luan 25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 25 of 66   tai lieu, document26 of 66  =E  =D  = 90 nên DE = AH Tứ giác AEHD hình chữ nhật A Xét D ABC vng A có AH = HB.HC = 4.9 = 36  AH = Nên DE = cm Đáp án cần chọn D 33 Lời giải:  = HAE   = ABC   + AED  = 90 + Ta có NEC mà AED (do AEHD hình chữ nhật) HAE (cùng phụ   = NEC   + ABC  = 90  + ABC  = 90 với ACB ) nên AEC mà ACB nên ACB hay D NEC cân N  EN = NC (1)  + HEN  = 90  = NCE   NCE  + HEN  = 90  + NHE  = 90 + NEC mà NEC Lại có NEC nên   NEH = NHE hay D NEH cân N hay NE = NH (2) Từ (1) (2) suy NH = NC 2 Tương tự ta có MH = MB nên MN = MH + NH = HB + HC = BC Đáp án cần chọn B 34 Lời giải:  =E  = 90 Vì DM ^ DE , EN ^ DE  DM  EN ; D nên DENM hình thang vng Theo câu câu trước ta có: DM = Nên S DENM = BH CH = 2; EN = = 4, 5; DE = 2 (DM + DN ).DE = 19, cm Đáp án cần chọn A 35 Lời giải: Tam giác CHD vuông H , ta có CH = CM CD Tam giác CHE vng H , ta có CH = CN CE Nên CM CD = CN CE Đáp án cần chọn B luan 26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 26 of 66   tai lieu, of 66 III.TỰdocument27 LUYỆN Bài 1: Tam giác ABC vuông A (gt), theo định lý Py-ta-go ta có: A BC = AB + AC BC = 62 + 82 BC = 36 + 64 B C H BC = 102 BC = 10cm Tam giác ABC vuông A , AH đường cao theo hệ thức liên hệ cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền Ta có: BH BC = AB BH 10 = 62 BH = 3, 6cm Theo hệ thức liên quan đến đường cao Ta có: AH BC = AB.AC AH 10 = 6.8 AH = 4, 8cm Bài 2: Ta có: AB + AC = 122 + 52 = 169 A BC = 132 = 169 DABC có AB + AC = BC , theo định lý đảo Py-ta-go ta có tam giác ABC vng A Mà AH đường cao tam giác ABC (gt) B H C Do theo hệ thức liên quan đến đường cao, Ta có: AH BC = AB.AC AH 13 = 12.5 AH = 60 (cm ) 13 Bài 3: a)  = 900 ) Ta có: DAHB(AHB A HD đường cao, theo hệ thức liên quan E đến đường cao, ta có: AD.AB = AH Tương tự có: AE AC = AH Do đó: AD.AB = AE AC b) D B A AE AD (vì AD.AB = AE AC ) = AB AC Do đó: DAED ∽ DABC  = ABC   AED Bài 4: Xét DABD DACE có:   = AEC  (= 900 ) BAD (chung); ADB luan 27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 27 of 66   C H  Xét DAED DABC có: EAD (chung) D E N B M C tai lieu, of 66 DABD ∽ DACE Do document28 AB AD = AC AE  AE AB = AD AC (1) DAMB vuông M (gt), ME đường cao (gt), theo hệ thức liên quan tới đường cao có:  AM = AE AB Tương tự có: AN = AD.AC Từ (1), (2) (3) có AM = AN 2 (2) (3)  AM = AN  DAMN cân A Bài 5:  Qua D dựng đường thẳng vng góc với DE , cắt BC P Trong tam giác vng DPF , có đường cao nên 1 = + 2 CD DP DF Trong CD = DA (cạnh hình vuông) DDCE = DDCP (g.c.g)  DP = DE Vậy: 1 = + 2 DA DE DF Nhận xét:  Khi E di động cạnh AB , ta ln ln có: F E A B C D P 1 + = 2 DE DF DA2 Kết toán phát biểu cách khác Chứng minh rằng: DE + DF không đổi M Bài 6: Xét DAMN vuông A, AC đường cao (gt) Theo hệ thức liên quan đường cao tam giác vuông, ta có: + AN = AC Xét ba điểm A, B,C ta có: AM A AC ³ AB - BC B AC ³ 1(cm ) 1 £1  £1 Do vậy: AC AC Dấu “=” xảy  C nằm A B Vậy C nằm A B cho BC = 3cm AM + AN lớn Bài 7: Vẽ AE ^ AN , E Ỵ DC AH ^ DC , H Ỵ DC luan C 28. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 28 of 66   N tai lieu, document29 of  66   = DAB (EAN + BAx ) = 150 Ta có: DAE Xét DABM DADE có:  = ADE  ABM AB = AD (vì ABCD hình thoi)  = DAE (= 150 ) BAM Do đó: DABM = DADE (c.g.c)  AM = AE DADH vng H có:  = 1800 - BAD  = 600 nên nửa tam giác ADH 2 Suy ra: DH = AD = AB  DADH có H = 900 , theo Định lí Py-ta-go ta có: ỉ1 AH + DH = AD  AH = AB - ỗỗ AB ữữữ = AB ữứ ỗố  = 3AB  DAEN có A = 900 , AH ^ DN , theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vng, ta có: AH 1 + = 2 AE AN AH  1 + = 2 AM AN 3AB A 15° B M x Bài 8: C D E H N Vẽ đường trung tuyến AM tam giác ABC Tam giác vuông A , AH đường cao, theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vng, Ta có: AH = BH HC ; BH = a (gt); HC = b (gt) A Nên AH = ab  AH = ab DABC vuông A có AM đường trung tuyến BC a +b = 2 Ta có: AH ^ HM nên AH £ AM Nên AM = Do đó: ab £ B H M a +b -Toán Học Sơ Đồ - luan 29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com    van, khoa luan 29 of 66   C ... Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi ta có hệ thức HA2 = HB.HC Đáp án cần chọn B Lời giải: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Khi ta có hệ thức HA2 = HB.HC Hay "Trong tam giác. .. hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông, ta có: AH 1 + = 2 AE AN AH  1 + = 2 AM AN 3AB A 15° B M x Bài 8: C D E H N Vẽ đường trung tuyến AM tam giác ABC Tam giác vuông A , AH đường cao, theo hệ. .. giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có  MD = MN + MP 1 1 = +  =  x = 128  x = Vậy x = 64 x x 64 x Đáp án cần chọn B 20 Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng