Chuyên đề Góc nội tiếp

Microsoft Word HH9 C3 CD3 GÓC N?I TI?P docx GÓC NỘI TIẾP A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Góc BAC có đỉnh A nằm trên đường tròn và hai cạnh AB, AC là hai dây cung được gọi là góc nội tiếp Cung BC nằm bên trong[.]

GĨC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  có đỉnh A nằm đường tròn hai cạnh AB, AC hai dây cung gọi góc nội tiếp Góc BAC Cung BC nằm bên gọi cung bị chắn  sd BAC  sd BC (số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn) Tính chất: Trong đường trịn: * Các góc nội tiếp chắn cung * Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung * Góc nội tiếp (nhỏ 90°) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung * Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng B.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng 1: Chứng minh hai góc Tính số đo góc Bài 1: Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB dây AC N điểm cung CB Chứng minh   NAB  CAN Bài 2: Cho đường tròn  O  đường kính AB cung AM có số đo nhỏ 90  Vẽ dây   ADC  MC  AB, MD / /AB Chứng minh DMB   OAC  Bài 3: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  có đường cao AH Chứng minh BAH Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có đỉnh thuộc đường tròn  O  Biết AB / /DE, BC / EF chứng minh   DAF  ADC Bài 5: Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O), đường trung tuyến AM Lấy điểm D cung   CAM  Chứng minh   BC không chứa A cho BAD ADB  CDM   45 Tính số đo góc CBD  Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  đường kính BD Biết BAC   60 Vẽ đườn trịn đường kính BC tâm O cắt AB, AC D E Bài 7: Cho ABC nhọn có BAC  tính số đo góc ODE  A  Bài 8: Cho ABC nội tiếp  O  Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx cho xBA  Tính sơ đo góc OBx   90 , dó I tâm đường trịn nội Bài 9: Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích Bài 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Clà trung điểm OB Gọi D, E điểm thuộc nửa   90 Biết CD  CE  a Tính DE theo a đường tròn cho  ACD  BCE   45o , C   15o Tính dộ dài AC , BC , AB Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có bán kính 1dm , B diện tích tam giác ABC Bài 3: Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Gọi K trung điểm OC Gọi M giao điểm thứ hai BK với đường tròn (O), I giao điểm MD AB Tính diện tích : a)Tam giác MAB; b)Tam giác MIK Dạng 3: Bài toán dựa hệ góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 1: Cho đường trịn  O  đường kính AB cung AM có số đo nhỏ 90  Vẽ dây MC  AB, MD / /AB Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng Bài 2: Cho đường tròn  O  đường kính AB Vẽ đường trịn  K  tiếp xúc với đường tròn  O  C Các dây CA, CB cắt đường tròn  K  E F Chứng minh E, K, F thẳng hàng Bài 3: Cho đường trịn  O  đường kính AB Điểm M chuyển động  O  , M  A, M  B Kẻ MH  AB Kẻ đường trịn  O1  đường kính MH cắt đường thẳng MA MB C D Chứng minh C, D, O thẳng hàng   45 nội tiếp đường tròn  O  Các đường cao BH, CK cắt đường tròn  O  Bài 4: Cho ABC nhọn có BAC D E Chứng minh D, O, E thẳng hàng Dạng 4: Bài tốn dựa vào định lí, tính chất góc nội tiếp chứng minh hai đường thẳng vng góc Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm thứ hai củaAH với đường tròn (O) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt BC ởI Chứng minh IK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  , trực tâm H Gọi I trung điểm AH, M trung điểm BC AKH  90 Tia phân giác góc BAC cắt IM K Chứng minh  Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác góc Acắt BCởD cắt đường trịn (O) M (khác A) Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn  M ; MB  ,K tiếp điểm Chứng minh DK vng góc với AM Bài 4: Cho hai đường tròn  O   O’ cắt A B , O nằm đường tròn  O’ Dây AC  O  cắt  O’ D, dây OE  O’ cắt  O  F hình Chứng minh rằng: OD ⊥ BC  cắt đường tròn  O  D đường tròn  D, DB cắt Bài 5: Cho ABC nội tiếp  O  Tia phân giác góc BAC đường thẳng AB Q (khác B), cắt đường thẳng AC P (khác C) Chứng minh AO  PQ Bài 6: Trong đường trịn  O  có dây AC BD vng góc với E Gọi M trung điểm BC Chứng minh IM  AD Bài 7: Cho đường tròn  O  , đường kính AB S điểm nằm bên ngoiaf đường tròn SA SB cắt đường tròn M , N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH  AB Dạng 5:Nâng cao phát triển tư Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC, K giao điểm thứ hai AH với đường tròn (O) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt BC I Chứng minh IK tiếp tuyến đường tròn (O) Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai đường tròn tiếp xúc với (O) A, tiếp xúc với (O’) B tiếp tuyến đường tròn (O) P cắt (O’) điểm thứ hai D khác P, đường thẳng AP cắt đường thẳng BD R Chứng minh rằng:   QBR ; a) QAR b) Tam giác BPR cân; c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB Bài Từ điểm M ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD Gọi I giao điểm AB CD Chứng minh rằng: IC MC  ID MD Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), BE CF đường cao Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt S, đường thằng BC OS cắt M a) Chứng minh rằng: AB BS  AE ME b) Chứng minh rằng: AEM ∽ ABS c) Gọi N giao điểm AM EF, P giao điểm AS BC Chứng minh NP vng góc với BC Bài Cho ABC vuông A, đường cao AH đường tròn (O) ngoại tiếp HAC Gọi D điểm đối xứng B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) E Chứng minh: a) CH tia phân giác góc ACE b) HO //EC Bài Cho hình vng ABCD; M điểm tùy ý thuộc cạnh CD Hai đường tròn đường kính CD AM cắt N (khác D) Gọi K giao điểm DN BC Chứng minh AC vng góc KM Bài Gọi CA, CB tiếp tuyến đường tròn (O; R) với A, B tiếp điểm Vẽ đường tròn tâm I qua C tiếp xúc với AB B Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) M Chứng minh đường thẳng AM qua trung điểm BC Bài Cho (O; R) tiếp tuyến xy A (O; R) Trên tiếp tuyến lấy điểm C (Khác A) Gọi B trung điểm AC Qua C vẽ đường thẳng cắt (O) E, M (theo thứ tự C, E, M) Tia BE cắt (O) F tia CF cắt (O) N Chứng minh: MN //AC Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Dựng CD tiếp tuyến chung (O) (O’) cho C thuộc (O), D thuộc (O’) B nằm tam giác CDA Đường thẳng CB cắt (O’) M Chứng minh tia AD phân giác góc CAM Bài 10 Cho hình bình hành ABCD, góc A < 90o Đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC E Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB Bài 11 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến B C cắt điểm P Trên cung nhỏ BC, lấy điểm K (K khác B C) Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hại Q  cắt KQ I Phân giác góc KBQ ; a) Chứng minh CI tia phân giác KCQ b) Giả sử đường thẳng AK qua trung điểm M cạnh BC Chứng minh AQ //BC Bài 12 Chứng minh từ 2015 điểm phân biệt nằm đường trịn ln chọn 1008 điểm mà điểm đỉnh tam giác tù Bài 13 Cho hình vng ABCD với tâm O Gọi M trung điểm AB Các điểm N, P thuộc BC, CD cho MN //AP Chứng minh rằng:   45o Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP NOP Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy Bài 14 Cho đoạn thẳng AC có độ dài a Trên đoạn AC lấy điểm B cho AC = 4AB Tia Cx vuông góc với AC điểm C, gọi D điểm thuộc tia Cx (D không trùng với C) Từ điểm B kẻ đường thẳng vng góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K, E a) Tính giá trị DC, CE theo a b) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ c) Chứng minh điểm D thay đổi tia Cx đường trịn đường kính DE ln có dây cung cố định HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Chứng minh hai góc Tính số đo góc Bài 1: Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB dây AC N điểm cung CB Chứng minh   NAB  CAN Lời giải: ( h 1.1)   NB  ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) NAB N C   CN  ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có CAN A B O   NB  Lại có CN   NAB   CAN hình 1.1 Bài 2: Cho đường trịn  O  đường kính AB cung AM có số đo nhỏ 90  Vẽ dây   ADC  MC  AB, MD / /AB Chứng minh DMB Lời giải: ( h 1.2)   AC  ( đường kính vng góc Ta có AB  MC  MA M D với dây)   DB  ( hai cung chắn hai Ta lại có: MD / /AB  MA A O dây song song)   DB   MA   ADC   DMB  ( góc nội tiếp chắn  AC hai cung nhau) C hình 1.2 B   OAC  Bài 3: Cho ABC nhọn nội tiếp đường trịn  O  có đường cao AH Chứng minh BAH Lời giải: ( h 1.3) A Dựng đường kính AD   CBD    DC   ( góc nội tiếp chắn Ta có CAD     cung ) O   DBC  ( hai góc có cạnh tương ứng vng Lại có BAH góc ) H C B   DAC   BAH   OAC   BAH D hình 1.3 Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có đỉnh thuộc đường tròn  O  Biết   DAF  AB / /DE, BC / EF chứng minh ADC E Lời giải: ( h 1.4) D   FAB   EAC   BDF  Do BC / /EF  EDC   BCD   BFD   ACE  AB / /ED  AEF Do BFD ECA  g.g  O F C   AEC   DEF   ABC   ABC   DAF  Suy DBF A Bài 5: Cho tam giác ABC  AB  AC  nội tiếp đường B hình 1.4   CAM  Chứng minh tròn (O), đường trung tuyến AM Lấy điểm D cung BC không chứa A cho BAD   ADB  CDM Lời giải A O B M C D    , lại có  ABM   ADC (góc nội tiếp) nên ABM  ADC (g.g) A1   A2  B AM  DAC  BA BM MC   AD DC CD  suy BAD  MCD (c.g.c)    Kết hợp với  A1  C ADB  CDM Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O  đường   45 Tính số đo góc CBD  kính BD Biết BAC C D Lời giải: (h 1.5)   45   CAB    CB    CDB Ta có: CDB     O   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Lại có DCB B A   180  CDB   DCB   45  CBD hình 1.5   60 Vẽ đường trịn đường kính BC tâm O cắt AB, AC D E Bài 7: Cho ABC nhọn có BAC  tính số đo góc ODE C Lời giải: ( h1.6) E   90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường Ta có BDC O trịn)   90 ADC vng D suy  ADC    30  EOD   60 ( EOD   2ECD   ED  ACD Mà ta lại có EOD cân O   60 Suy EOD  EDO  A B D hình 1.6 Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp  O  Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx cho  A  Tính sơ đo góc OBx  xBC B x Lời giải: ( h 1.7)   90 Dựng đường kính BD DCB   CDB   90  DBC O   CAB    CB  Mà BDC     A C   CBx   DBC   CBx   90  DBx   90 Lại có BAC D hình 1.7   90 , dó I tâm đường trịn nội Bài 9:Tính góc Acủa tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), biết IOK tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc A Lời giải A N I O B C D K Gọi D giao điểm đoạn IK đường tròn (O)  ; BID   BID   BDI cân D  DB  DI   sđ DN   sđ BD   sđ  AN  DBI DBI 2 IBK vuông B có DB  DI nên DI  DK DB  IOK vng O có DI  DK nên OD  IK IK (1) (2) Từ (1) (2) suy BD  OD  OB   60  BAC   60 BOD  BOD Dạng 2: Tính độ dài, tính diện tích Bài 1: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Gọi Clà trung điểm OB Gọi D, E điểm thuộc nửa   90 Biết CD  CE  a Tính DE theo a ACD  BCE đường tròn cho  Lời giải Trên CDlấy Ksao cho CK  CE DK  CD  CK  CD  CE  a Kéo dài DCcắt đường tròn (O) I D  (1)  C  C   E đối xứng với Iqua AB EOB   sđ EI Ta có C l o    180  C4  C   DKE   OCE  (bù với hai góc trên) (2) ECK cân  K 2 Từ (1) (2) suy DKE  OCE (g.g) DE OE OB    Vậy DE  DK  2a DK OC OC   45o , C   15o Tính dộ dài AC , BC , AB Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có bán kính 1dm , B diện tích tam giác ABC Lời giải A B M 45° 15° C H O 1dm   45o   B AOC  90o  AC  OC   dm   Kẻ OM  BC  C  C   45o  15o  30o Ta có C  MC  OC.cos 30o   BC   dm   Kẻ AH  BC Đặt HC  x, HB  y x  y  Ta có HC  HB  HC  HA2  AC  nên x  y    Từ (1) (2) suy xy   x  y   x  y    (1) (2) (3) Từ (2) (3) suy  x  y   x  y  xy     x  y  Từ (1) (4) suy y   S ABC  (4) 1 6  dm  Do AB  y   dm  2 1 1 3  BC AH  dm   2 Bài 3: Cho đường trịn (O; R), hai đường kính AB CD vng góc với Gọi K trung điểm OC Gọi M giao điểm thứ hai BK với đường tròn (O), I giao điểm MD AB Tính diện tích : a) Tam giác MAB; b) Tam giác MIK Lời giải C M K A I B O D   90 nên MA  tan B  OK  AMB  90, BOK a)  MB OB  MB  2MA 2R 4R 4R2 MA , MB , S    Từ  dễ dàng tính (1)  MAB 2 5  MA  MB  R b) MI đường phân giác MAB  S KIB  AI  1 4R R R2 IB.KO   2 3 IA MA 4R   Lại có IA  IB  R nên dễ dàng tính IB  IB MB (2) 1 4R2 4R2 AB  S MAI  S MAB   3 15 (3) Từ (1), (2) (3) suy S MIK  S MAB  S KIB  SMAI 4R2 R2 4R2 R2     15 Dạng 3: Bài toán dựa hệ góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 1: Cho đường trịn  O  đường kính AB cung AM có số đo nhỏ 90  Vẽ dây MC  AB, MD / /AB Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng Lời giải ( h 1.8) M D   90 Ta có MD / /AB mà AB  MC nên MC  MD  DMC  góc nội tiếp mà 90  nên phải chắn nửa đường tròn, CMD A O suy CD đường kính, ba điểm C, O, D thẳng hàng C hình 1.8 B