Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán Góc và tứ giác nội tiếp

PHỊNG GD&ĐT HUYỆN BÌNH XUN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG CHUN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN:TỐN I Tác giả chun đề, chức vụ đơn vị công tác: - Họ tên: Nguyễn Thị Thu Huyền - Chức vụ: Giáo viên - Đơn vị công tác: Trường THCS Thanh Lãng, TT Thanh Lãng, huyện Bình Xun, tỉnh Vĩnh Phúc II Tên chun đề:GĨC VÀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP III Thực trạng chất lượng thi tuyển sinh vào 10 trường THCS Thanh Lãng năm học 2021-2022: Trong kì thi vào 10 năm học 2021 - 2022, trường THCS Thanh Lãng có điểm xét tuyển xếp thứ 36/145 tỉnh xếp thứ 2/14 huyện (sau trường Lý Tự Trọng) Có thể nói với kết đáng tự hào với em học sinh khóa vừa qua Tuy nhiên, xét riêng mơn Tốn xếp thứ 53/145 trường tồn tỉnh thứ 2/14 trường huyện Bình Xuyên Thứ tự so với trường THCS huyện, thành phố lân cận Yên Lạc, Phúc Yên, Vĩnh n, … top cuối Ngun nhân học sinh chưa xác định rõ mục tiêu học tập, chưa cố gắng để giành điểm với lực nên cịn bị rơi rớt điểm số phần kiến thức kĩ IV Đối tượng, dự kiến số tiết dạy: - Đối tượng: Học sinh lớp - Dự kiến số tiết dạy:12 tiết V Hệ thống (phân loại, dấu hiệu nhận biết đặc trưng) dạng tập đặc trưng chuyên đề: Dạng 1: Tính số đo góc– số đo cung Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, đẳng thức…thông qua chứng minh góc Dạng 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp VI Hệ thống phương pháp bản, đặc trưng để giải dạng tập chuyên đề Dạng 1: Tính số đo góc – số đo cung Cần nhận diện góc cần tính thuộc loại góc nào, mối quan hệ loại góc với số đo cung bị chắn a) Góc tâm: có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm  Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Chú ý: Góc bẹt chắn nửa đường trịn   đó) A n O m (số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung B b) Góc nội tiếp:  có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh hai dây cung gọi góc nội tiếp  Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn  chắn) B O A (số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị C Tính chất: Trong đường trịn:  Các góc nội tiếp chắn cung  Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung  Góc nội tiếp (nhỏ ) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung  Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng c) Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung:  có đỉnh tiếp điểm, cạnh tia tiếp tuyến cạnh cịn lại dây cung gọi góc tạo tia tiếp tuyến dây cung  Cung Cung gọi cung bị chắn gọi cung bị chắn  (số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn)  Tính chất: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung d) Góc có đỉnh bên đường trịn:  có đỉnh nằm đường trịn bên đường tròn  chắn hai cung C , gọi góc có đỉnh A E n m O  (số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn) e) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: D B  có đỉnh nằm ngồi đường trịn đỉnh bên ngồi đường trịn  chắn hai cung , gọi góc có E Am D O  (số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo B hai cung bị chắn) n Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, đẳng thức…thông qua chứng minh gócC nhau: - Chứng minh góc dựa mối quan hệ loại góc với đường trịn, mối quan hệ hai đường thẳng song song, tam giác cân, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, … để chứng minh cặp tam giác đồng dạng hay đẳng thức đoạn thẳng, … Dạng 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp: Dựa vào dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:     + Tứ giác có tổng hai góc đối 180°     + Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện     + Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác + Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α   Chú ý: Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta chứng minh tứ giác hình sau: Hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân VII Hệ thống ví dụ, tập cụ thể lời giải minh họa cho chuyên đề Dạng 1: Tính số đo góc – số đo cung Ví dụ 1: Cho hình vẽ sau, tính số đo góc cung nhỏ AB, biết trung điểm Giải: Tam giác vng có trung tuyến ứng với cạnh huyền nên Do nhỏ là tam giác Suy số đo cung Ví dụ 2: Cho hình vẽ sau: Tính số đo cung nhỏ Giải: Xét tam giác từ so sánh hai đoạn thẳng vng có nên góc ngồi tam giác cân nên Xét có Ví dụ 3: Cho đường trịn (O; R) điểm M nằm ngồi đường trịn Gọi MA, MB hai tiếp tuyến với đường tròn A B Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA OB nếu: a) Giải: b) c) Vì MA MB tiếp tuyến đường tròn (O) A B nên: Suy a) Xét tứ giác MAOB có: Vậy số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB 110° b) Xét ∆MAO có: ∆MAO vuông cân A Do MA, MB hai tiếp tuyến cắt M nên Vậy số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB 90° c) Xét ∆MAO vng A có: Do MA, MB hai tiếp tuyến cắt M nên Vậy số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB 120° Ví dụ 4: Xem hình vẽ (hai đường trịn có tâm B, C điểm B nằm đường tròn tâm C) a) Biết b) Nếu Giải: Tính = 1360 a) Đường trịn tâm B có có số đo bao nhiêu? góc nội tiếp chắn cung MN; góc tâm chắn cung MN nên Đường trịn tâm C có   là góc nội tiếp chắn cung PQ;  là góc tâm chắn cung PQ nên: b) Ta có: nên = : = 1360 : = 340 Dạng 2: Chứng minh tam giác đồng dạng, đẳng thức…thông qua chứng minh góc Ví dụ 1: Cho đường trịn (O) điểm M nằm bên ngồi đường trịn Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB.Chứng minh MT2 = MA.MB Giải: góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AT đường tròn (O); hay AT đường trịn (O), đó: góc nội tiếp chắn cung có (g - g) hay chung nên (đpcm) Ví dụ 2: Giả sử hai điểm phân biệt đường tròn cắt điểm cắt đường tròn Do Từ kẻ đường thẳng song song với Chứng minh Giải: nên Các tiếp tuyến đường tròn Các tia và cắt đường tròn cắt (hai góc so le trong) Ta lại có (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn Do ) Xét có: (chứng minh trên); chung Suy (đpcm) Ta thấy (1) (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn Từ ) (2) Từ (1) (2) suy nghĩa Ví dụ 3: Trong tam giác trịn tiếp xúc với điểm thứ hai a) Chứng minh b) Chứng minh hệ thức (đpcm) , đường phân giác qua điểm Gọi , giao điểm cắt cạnh giao điểm thứ hai Giả sử đường , giao Giải: a) Gọi giao điểm thứ hai với đường tròn Do phân giác Ta có Hay b) Xét (đpcm) có: (chứng minh trên) chung Suy (đpcm) Ví dụ 4: Từ điểm M nằm ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) A B Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn C Nối C với M cắt đường tròn (O) D Nối A với D cắt MB E Chứng minh rằng: a) ∆ABE ∆BDE; ∆MEA ∆DEM b) E trung điểm MB Giải: a) Xét ∆ABE ∆BDE có: chung (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BD) ∆ABE ∆BDE (g.g) Vì AC // MB nên (so le trong) Mà (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AD) Suy Xét ∆MEA ∆DEM có: chung; ∆MEA ∆DEM (g.g) Vậy ∆ABE ∆BDE; ∆MEA ∆DEM b) Theo chứng minh phần a) ta có: ∆ABE ∆BDE ∆MEA ∆DEM (chứng minh trên) Do hay Vậy E trung điểm MB Ví dụ 5: Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O) Điểm I chuyển động cung nhỏ BC AB cắt CI M, AC cắt BI N Chứng minh rằng: a) b) Góc có số đo khơng đổi Giải: a) Vì ∆ABC nên Ta có góc có đỉnh ngồi đường trịn (O) nên (1) Lại có (góc nội tiếp (O) chắn cung ) (2) Từ (1) (2) ta có: Tương tự ta có: (3) (4) Từ (3) (4) suy ∆BCM ∆CNB Vậy b) Ta có: khơng đổi Vậy góc có số đo không đổi Dạng 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp: Ví dụ 1: Cho đường trịn tâm đường kính Vẽ dây cung vng góc với ( nằm ) Lấy điểm cung nhỏ ( khác ), cắt Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn Giải: Ta có: (giả thiết); (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Tứ giác có: Suy tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính Ví dụ 2: Cho tam giác đường cao Gọi trung điểm Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh tứ giác nội tiếp qua trung điểm Giải: Theo giả thiết ta có BMEH, CNEH tứ giác nội tiếp Ta có: Suy hay Do tứ giác tứ giác nội tiếp - Kẻ , giả sử cắt cát tuyến hai đường trịn ngoại tiếp tam giác Lại có Hay (tính chất trung tuyến tam giác vng) Suy tam giác ln qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác suy Tương tự, tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác Từ (1) (2) suy Vậy qua trung điểm Ví dụ 3: Cho tam giác Phân giác góc Chứng minh Giải: vng cắt Kẻ đường cao cân (1) suy (2) phân giác góc Ta có mà phụ với góc , từ suy hay tứ giác nội tiếp Ví dụ 4: Cho hình thang Chứng minh bốn điểm Giải: có thuộc đường trịn Gọi trung điểm , ta có: bình hành (1) Tương tự hình bình hành nên hình thang có thang cân (3) Từ (1), (2) (3) ta có: nên hình (2) hình tam giác hay hay bốn điểm thuộc đường tròn Ví dụ 5: Cho đường trịn tâm Kẻ đường kính cung nhỏ cắt , cắt a) Các tam giác tam giác gì? b) Chứng minh bốn điểm vng góc với Gọi thuộc đường trịn tâm điểm Giải: a) Vì nên: góc có đỉnh nằm bên đường trịn (1) Góc góc nội tiếp chắn cung (2) Vì hai đường kính vng góc với nên điểm cung nhỏ (3) Từ (1), (2) (3) suy Tương tự ta có b) Theo câu a) cân hai tam giác cân nên Do Vậy bốn điểm Ví dụ 6: Trên cạnh ta lấy điểm cắt đường thẳng a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh điểm Giải: thuộc đường trịn tâm hình vng Đường thẳng a) Các đỉnh cân Lại có tương ứng điểm cho nội tiếp nằm đường trịn nhìn đoạn thẳng góc Vì tứ giác Tương tự ta suy tứ giác b) Do nên nội tiếp nội tiếp tứ giác nội tiếp nên Tương tự tứ giác nội tiếp suy Tứ giác tứ giác nội tiếp có hai đỉnh nhìn cạnh góc Suy bốn điểm thuộc đường tròn (1) Tứ giác tứ giác nội tiếp Suy bốn điểm thuộc đường tròn (2) Từ (1) (2) suy điểm Ví dụ 7: Cho hình vng nằm đường trịn có hai đường chéo cắt Lấy thuộc cạnh cạnh cho a) Chứng minh ( không trùng với đỉnh hình vng) tứ giác nội tiếp b) Tính số đo góc , thuộc c) Gọi giao điểm tia giác nội tiếp Giải: a) Theo giả thiết có: Vậy tứ giác b) Tứ giác vuông) c) Xét (do tia nội tiếp đường trịn đường kính nội tiếp suy ra: (hai đỉnh nhìn cạnh hình Chứng minh tứ (do hình vng); hình vng); ) Do (hai cạnh tương ứng) nên theo định lí Ta-lét, ta có: Lại có Suy nên tia có: (do phụ với Vì ; giao điểm Suy (do (định lí Ta-lét đảo) hình vng) Tứ giác có hai đỉnh tứ giác nội tiếp kề nhìn cạnh góc Ví dụ 8: Cho đường tròn dây cố định, điểm di động cung lớn ( khác ) cho tam giác nhọn Các đường cao tam giác cắt điểm Kẻ đường kính đường trịn a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh c) Chứng minh tứ giác , cắt điểm tứ giác nội tiếp hình bình hành d) Đường trịn ngoại tiếp tam giác ba điểm Giải: cắt đường tròn điểm thứ hai ( khác ) Chứng minh thẳng hàng a) Tứ giác có (giả thiết) Suy tứ giác tứ giác nội tiếp (hai góc kề nhìn cạnh góc nhau) b) Tứ giác nội tiếp suy tứ giác nội tiếp) Xét có: (góc ngồi (chứng minh trên); chung (hai cạnh tương ứng) c) Ta có: Do (vì vng góc với ) (vì vng góc với ) hình bình hành d) Ta thấy tứ giác Mà nội tiếp đường trịn đường kính nội tiếp đường trịn đường kính (1) (2) Từ (1) (2) suy ba điểm thẳng hàng Ví dụ 9: Cho tam giác ABC cân A Các đường cao AD, BE cắt H a) Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp b) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp Giải: a) Xét tứ giác CEHD ta có: (vì BE đường cao) (vì AD đường cao) Mà hai góc đối diện tứ giác CEHD Do CEHD tứ giác nội tiếp b) Theo giả thiết: BE đường cao AD đường cao Do E D nhìn AB góc 90°, suy E D nằm đường trịn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn hay tứ giác AEDB nội tiếp Ví dụ 10: Cho hình bình hành ABCD, có tâm O Gọi M, N, P hình chiếu vng góc C lên BD, AD, AB Chứng minh tứ giác NMOP tứ giác nội tiếp Giải: Ta có: (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp đường trịn (O) đường kính AC Suy Lại có (do AD // BC) Do (1) Mặt khác Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường trịn đường kính CD nên: Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường trịn đường kính BC nên: (2) Từ (1) (2) suy ra: tứ giác PMON nội tiếp Ví dụ 11: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt M, N Tiếp tuyến M (O) cắt (O’) B, tiếp tuyến M (O’) cắt (O) A Gọi P điểm đối xứng M qua N Chứng minh tứ giác MAPB nội tiếp Giải: Ta có: Nên ∆AMN Do ∆ANP ∆MBN (g.g) ∆PNB (c.g.c) (hai góc tương ứng) Từ suy Vậy tứ giác AMBP tứ giác nội tiếp BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho tam giác , vẽ đường tròn tâm qua tiếp xúc với song song với Gọi giao điểm với đường tròn Chứng minh và tiếp tuyến Chứng minh cắt đường tròn Tiếp tuyến cắt đường tròn Bài 3: Cho nửa đường trịn đường kính a) So sánh góc tam giác dây b) Gọi điểm cung Chứng minh tia tia phân giác góc Bài 4: Cho tam giác cân tại Chứng minh rằng: a) Tam giác Kẻ dây Bài 2: Cho hai đường tròn cắt cân.b) căng cung Hai dây có số đo cắt Vẽ đường trịn đường kính cắt , cắt Bài 5: Từ điểm nằm đường tròn ta vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn ( tiếp điểm) Trên cung nhỏ lấy điểm , vẽ a) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ Chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm đường kính tia tiếp tuyến phía với nửa đường tròn Từ điểm kẻ tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn ( tiếp điểm), cắt ; cắt nửa đường tròn giác nội tiếp đường tròn ( khác ) Chứng minh tứ Bài 7: Cho điểm thuộc cung nhỏ đường trịn góc với đường thẳng ; đường thẳng thuộc đường tròn Bài 8: Cho hai đường tròn hai đường tròn cắt tại và vuông Chứng minh Vẽ theo thứ tự đường kính a) Chứng minh ba điểm b) Đường thẳng cắt Một đường thẳng ngồi thẳng hàng cắt đường trịn Chứng minh bốn điểm ; đường thẳng cắt đường tròn ( khác nằm đường tròn c) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy điểm d) Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Bài 9: Cho tam giác a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh c) Chứng minh có ba góc nhọn , đường nội tiếp đường tròn đường phân giác d) Gọi trung điểm đoạn thẳng HƯỚNG DẪN: Bài 1: Ta có: nên Do Chứng minh (cùng chắn cung Mặt khác cắt ) (so le trong) Bài 2: Trong đường tròn có (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn Tương tự đường trịn Xét có ) ta có nên Bài 3: a) Tam giác đường trịn) có: (góc nội tiếp chắn nửa Vậy b) Vì điểm cung nên tia tia phân giác ) các góc Mà cắt tia phân giác góc Bài 4: nên đường phân giác thứ ba tam giác a) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) trung điểm (do cân A) Tam giác vng có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên Vậy tam giác cân D b) Ta có (2 góc nội tiếp chắn cung ) (1) Mà cân A, AD đường trung tuyến đồng thời đường phân giác, (2) Từ (1) (2) Bài 5: (đpcm) a) Ta có: (giả thiết), suy nên tứ giác đường kính nội tiếp đường trịn b) Tứ giác có (giả thiết), suy nên tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Bài 6: Vì tiếp tuyến nên Tứ giác tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Lại có: Suy (tính chất tiếp tuyến) đường trung trực Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh hai góc (và tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính ) suy có Bài 7: Kẻ đường kính cắt Ta có nên tứ giác nội tiếp, suy Mặt khác (hai góc nội tiếp chắn cung MB (O)), Tứ giác có hai đỉnh hay kề nhìn cạnh hai góc nên điểm đường tròn Bài8: a) tròn thuộc góc nội tiếp chắn nửa đường Suy thẳng hàng b) Xét tứ giác có: (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ); (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ) , suy c) Gọi giao điểm cắt , suy Do tứ giác nội tiếp Dễ thấy hai đường cao tam giác thẳng hàng d) Ta có Bài9: nội tiếp đường trịn a) Ta có kề tứ giác Suy tứ giác kính b) Xét (giả thiết) nhìn cạnh hai đỉnh góc nội tiếp đường trịntâm O đường có: chung (hai góc nội tiếp chắn (O)) Do hay c) Tứ giác Tứ giác Mà (đpcm) nội tiếp (do nội tiếp (do nên ) ) (cùng chắn ) Mặt khác: Do Vậy d) Ta có: tia phân giác góc (1) Tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung ) (*) Tứ giác nội tiếp (cùng chắn cung ) (**) Từ (*) (**) suy (2) Từ (1) (2) suy VIII Kết triển khai chuyên đề đơn vị nhà trường: Chưa triển khai học sinh chưa học đến nội dung kiến thức chuyên đề a) Trước học sinh chưa học chuyên đề TSKT Điểm giỏi TS % Điểm TS % Điểm TB TS % Điểm yếu TS % Ghi 204 b) Sau học sinh học chuyên đề TSKT Điểm giỏi TS % Điểm TS % Điểm TB TS % Điểm yếu TS % Ghi 204 Duyệt BGH nhà trường Thanh Lãng, ngày 11 tháng 11 năm 2021 Người viết chuyên đề Nguyễn Thị Thu Huyền ... suy tứ giác b) Do nên nội tiếp nội tiếp tứ giác nội tiếp nên Tương tự tứ giác nội tiếp suy Tứ giác tứ giác nội tiếp có hai đỉnh nhìn cạnh góc Suy bốn điểm thuộc đường tròn (1) Tứ giác tứ giác. .. khác ) Chứng minh thẳng hàng a) Tứ giác có (giả thi? ??t) Suy tứ giác tứ giác nội tiếp (hai góc kề nhìn cạnh góc nhau) b) Tứ giác nội tiếp suy tứ giác nội tiếp) Xét có: (góc ngồi (chứng minh trên);... vng) tứ giác nội tiếp b) Tính số đo góc , thuộc c) Gọi giao điểm tia giác nội tiếp Giải: a) Theo giả thi? ??t có: Vậy tứ giác b) Tứ giác vuông) c) Xét (do tia nội tiếp đường trịn đường kính nội tiếp