Đường tròn và sự xác định của đường tròn

1 CHUYÊN ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRÒN Tiết 21: XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG TRÒN. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN * Định nghĩa đường tròn, hình tròn: - Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, ký hiệu (O ; R), hoặc (O) * Định nghĩa hình tròn: - Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đường tròn đó. + Tính chất của đường tròn: - Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. - Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. Ví dụ: Cho hình vẽ: Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn. Giải: - O là tâm đối xứng. - AB, CD là trục đối xứng của đường tròn. * Cung và dây cung: - Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O. Hai điểm này chia đường tròn thành hai phần mỗi phần gọi là một cung tròn (Gọi tắt là cung). - Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung. - Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất. * Sự xác định đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác: - Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó. O R R O DC O A D B C A A A B O Hình.1 Hình. Hình. 3 Hình. 4 Hình. 5 2 Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B Vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó. Giải: Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB => (O; 2 AB ) Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Vẽ một đường tròn đi qua ba điểm đó. Giải: Vẽ các đường trung trực ba cạnh của ∆ABC O là giao của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác => O là tâm của đường tròn đi qua đi qua ba điểm A, B, C. - Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một đường tròn. Nói cách khác qua ba đỉnh của một tam giác ABC bao giờ cũng dựng được một đường tròn xác định. Ta nói đường tròn đó ngoại tiếp tam giác, hay tam giác đó nội tiếp đường tròn. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm của hai đường chéo. OA = 2 cm. Vẽ (A; 2cm). Trong 5 điểm: A, B, C, D, O điểm nào nằm trên đường tròn ? Điểm nào nằm trong đường tròn ?. Điểm nào nằm ngoài đường tròn ?. Giải: OA = 2 < 2 => O và A nằm trong đường tròn tâm A. AB = AD = 2 => B và D nằm trên đường tròn tâm A. AC = 2 2 > 2 => C nằm ngoài đường tròn tâm A. Bài 2: Cho (O), dây AB. Biết M là trung điểm của AB, cho OA = 5cm, OM = 3cm . Tính AB ? Giải: Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông OAM ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OA AM OM AM OA OM AM OA OM 5 3 4 = + ⇒ = − ⇒ = − = − = Vậy AB = 2AM = 8 cm. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Chứng minh: Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC => OB = OC Nối O với A => OA là đường trung tuyến C O B A 5 3 O M B A A B C O 2 2 A B D C O Hình. 6 Hình. 7 Hình. 9 Hình. 8 3 Do đó OA = 1 2 BC => OA = OB = OC => O là tâm đường tròn đi qua A, B, C Vậy tâm của (O) ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC Tiết 22: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Tâm đối xứng: A’ đối xứng với A qua O. Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn. O A' A b) Trục đối xứng: C’ đối xứng với C qua đường kính thẳng AB. Do đó đường kính AB là một trục đối xứng của (O) I O C' C B A Vậy, bất kỳ đường kính nào cũng là một trục đối xứng của đường tròn; đường tròn có vô số trục đối xứng. c) Đường kính và dây của đường tròn. Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. AB ≥ CD; AB ≥ EF F E D C O B A d) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây. Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây Hình.1 0 Hình.1 1 Hình.1 2 O R 4 Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. AB là đường kính, CD là một dây của (O); Nếu AB ⊥ CD tại I thì IC = ID I D C O B A Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. AB là đường kính, CD là một dây khác đường kính của (O); Nếu AB ∩ CD = I Và IC = ID thì AB ⊥ CD I D C O B A Ví dụ: Đường kính AB đi qua trung điểm của dây CD nhưng không vuông góc với CD. (Vì dây CD đi qua tâm O) O D C B A II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình vẽ, tìm điểm M’ đối xứng với M qua O? M O Học sinh dựng đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M’, khi đó M’ là điểm đối xứng với M qua O (Vì OM’ = OM) M' M O Bài 2: Hình.1 3 Hình.1 4 Hình.1 5 Hình.1 6 Hình.1 7 5 Cho hình vẽ, tìm điểm C’ đối xứng với C qua đường thẳng AB? C O B A Giải: Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại I, cắt (O) tại C’, khi đó C’ là điểm đối xứng với C qua AB (Vì AB ⊥ CC’ và IC = IC’) I C' C O B A Bài 3: Cho hình vẽ, biết OA = 5 cm; OM = 3 cm. Tính AB =? Hướng dẫn: Đường kính OM ⊥ AB nên M là trung điểm của AB ⇒ AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM từ đó tính AB. M B A O 3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH và BC. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A,B, H, K cùng thuộc một đường tròn. b) AB > HK Hướng dẫn: a) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABH (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là trung điểm I của AB) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABK (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK là trung điểm I của AB) + (I) đường kính AB có đi qua bốn điểm A, B, H, K không? ( Đường tròn (I) đi qua bốn điểm A, B, H, K ) b) AB là gì của (I)? ( AB là đường kính của (I) ) HK là gì của (I)? ( HK là dây của (I) ) So sánh đường kính AB và dây HK trong ( O ) Bài 5: Cho hình vẽ, biết OA = 10 cm; OM = 6 cm. Tính AB =? Hướng dẫn: Dây AB không đi qua tâm, đường kính OM đi qua trung điểm M của AB nên OM ⊥ AB ⇒ AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM ⇒ AB = 2AM M B A O TIẾT 23: DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Hình.1 8 Hình.1 9 Hình.2 0 Hình.2 1 6 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Dây cung và khoảng cách đến tâm + Định lý : Trong một đường tròn Định lí 1: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm - Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lí 1: - Dây lớn hơn thì gần tâm hơn - Dây gần tâm hơn thì lớn hơn H K O A B D C +Ví dụ : Cho AB và CD là 2 dây khác đường kính của đường tròn ( O ; R ) gọi OH,OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB ,CD - dây AB = CD ⇔ OH = OK - dây AB > CD ⇔ OH < OK 2. Vị trí tương đối của dường thẳng và đường tròn : Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. OH là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng a; (OH = d). + Đường thẳng và đường tròn cắt nhau. Ta có: A B + Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Ta có: a + Đường thẳng và đường tròn không giao nhau. Ta có: a VD1: d = 3cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn cắt nhau ) VD2: d = 7cm , R = 7cm ( Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau ) VD3: d = 6cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn không giao nhau ) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Cho hình vẽ, trong đó hai dây MN ; PQ bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. IM = 2cm ; IN = 14cm . Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây. Hình.2 2 d < R H d R d = R H d R d > R H O O O Hình.2 3 Hình.2 4 Hình.2 5 7 Giải Kẻ OH ⊥ MN OK ⊥ PQ MN = MI + IN = 2 + 14 = 16 (cm) MH = 1 2 MN = 8(cm) IH = MH – MI = 8 – 2 = 6(cm) Do MN = PQ nên OH = OK I K H O Q P NM Tứ giác OHIK là hình chữ nhật lại có OH = OK nên OHIK là hình vuông . Do đó OH = OK = IH = 6(cm) Bài 2 : Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng) : R d Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5cm 7cm 6cm 3cm …… 8cm ………………. Tiếp xúc nhau ………… Giải R d Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5 cm 7 cm 6 cm 3 cm 7 cm 8 cm Đường thẳng cắt đường tròn Tiếp xúc nhau Đường thảng và đường tròn không giao nhau III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Cho (O; 12cm) đường kính CD vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho  NID = 30 o . Tính độ dài dây MN. Hướng dẫn - Kẻ OH ⊥ MN - Xét tam giác vuông HOI Có :  HIO = 30 o do đó OH = 0 2 I = 3 (cm) - Xét tam giác vuông HON có : HN 2 = NO 2 – OH 2 ⇒ HN = 3 15 (cm) Vì MN = 2 HN vậy MN = 6 15 (cm) H I M O N D C Bài 2. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 6 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 10cm. a. Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn tâm O ? Vì sao ? b. Gọi B và C là giao điểm của đường thẳng a và đường tròn O. Tính độ dài BC. Hướng dẫn a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) vì OH = 6 cm, OB = 10 cm; OH < OB Hình.2 5 Hình.2 6 8 hay d < R b) HC = 22 OHOB − = 22 610 − = 8 (cm) BC = 16 cm Tiết 24: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Ba vị trí tương đối của đường tròn. * Hai đường tròn cắt nhau: + Hai đường tròn có 2 điểm chung A và B + Hai điểm chung A và B được gọi là 2 giao điểm. + Đoạn thẳng nối 2 giao điểm AB gọi là dây chung. + OO’ gọi là đoạn nối tâm. + R - R’ < OO' < R + R’ * Hai đường tròn tiếp xúc nhau: + Hai đường tròn có 1 điểm chung A + Điểm chung A được gọi là giao điểm. a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài: OO' = R + R’ b) Hai đường tròn tiếp xúc trong: OO' = R – R’ * Hai đường tròn không giao nhau: + Hai đường tròn không có điểm chung. a) Nếu (O) và (O’) ở ngoài nhau thì: OO’ > R + R’ b) Nếu (O) đựng (O’) thì: OO’ < R + R’ c) (O) và (O’) đồng tâm thì: OO’ = 0 B C A R R' O O' B a) O R R' O' A b) O O' A a) O R R' O' b) O R O' R' c) O O' a) d 1 Hình.2 6 Hình.2 7 Hình.2 8 1 0 6 O H 9 * Tiếp tuyến chung của hai đường tròn. + d1, d2 là hai tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn (O) và (O’) + m1 và m2 là 2 tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn (O) và (O’) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình vẽ, hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại điểm A. Chứng minh rằng OC // OD Chứng minh: Xét ∆ OAC có OA = OC (cùng là bán kính của (O)) Suy ra ∆ OAC cân tại O do đó  C =  1 A (1) Chứng minh tương tự ta có: ∆ O’AD cân tại O’. Do đó  2 A =  D (2) Mặt khác: Â1 = Â2 (đối đỉnh) (3) Từ (1); (2); (3) suy ra:  C =  D Vậy OC // O’D vì có hai góc so le trong bằng nhau. 3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. a) Hãy xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn. b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng AD = CD. Chứng mính: a) Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA. Vì OO’ = OA – O’A nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong. b) Các tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ở đỉnh A nên  ' ACO =  D , suy ra O’C // OD. Tam giác AOD có AO’ = O’O và O’C // OD nên AC = CD. C O R R' O' A D C D C A O O' Hình.3 0 Hình.3 1 10 100 o Tiết 25: GÓC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Góc ở tâm , số đo cung 1.Góc ở tâm : + Định nghĩa : Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. VD:  AOB ( hình 32) là góc ở tâm - Cung AB được ký hiệu là:  AB ,  AmB là cung nhỏ,  AnB là cung lớn. - Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn VD:  AmB là cung bị chắn bởi  AOB A B O m n 2. Số đo cung: + Định nghĩa : Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 0 và số đo của cung nhỏ Số đo của nửa đường tròn bằng 180 0 + Kí hiệu : Số đo của cung AB được kí hiệu Sđ  AB VD: Hình 39 cung nhỏ  AmB có Sđ là 100 0 cung lớn Sđ  AnB = 360 0 - 100 0 Sđ  AnB = 260 0 A B O m n 100 3. So sánh hai cung + Khái niệm : Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. + VD: - Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là  AB =  CD - Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là  EF <  GH hay  GH >  EF 2. Liên hệ giữa cung và dây 2. 1. Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau GT (0); A,B,C,D ∈ (0) Hình.3 3 Hình.3 2 [...]... TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I KIẾN THỨC CƠ BẢN Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn + Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung + Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn + Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn Ví dụ 1: Hình 38 Đường thẳng... hay tứ giác ABIO nội tiếp đường tròn Bài tập 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB Trên nửa đường tròn đó lấy 2 điểm C và D sao cho AC = CD = DB , các tiếp tuyến kẻ từ C và D của đường tròn cắt nhau tại I, kẻ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại K a) CM : KIBC là tứ giác nội tiếp b) CM : CIB = CKB và CBK = CIK a) Ta có 1 KCI = 2 K AC (đối đỉnh với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AC ) M (1)... NGHỊ Bài 1 Cho hai đường tròn (o) và (o,) cắt nhau tại A và B Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng C B D Hướng dẫn : O Chỉ ra ABD = 1V; ABC = 1V => CBD = 1800 => đpcm 0 A Bài 2 Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn (o) Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC Gọi giao điểm của MN và AC là S Chứng minh SM = SC và SN = SA Hình.52... tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn (B, BA) và đường tròn (C, CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B) Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB (Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt By ở N a, Tính số đo... một đường tròn b/ Tứ giác ABDE nội tiếp B D C M Ta có : AEB = 900 (AD là đường cao) Hình.76 ADB = 900 (BE là đường cao) Mà AEB và ADB cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABDE nội tiếp c) Chứng minh ∆ MCN cân tại C ⇒ CM = CN Tiết 31: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN- DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 Độ dài đường tròn R là bán kính của đường tròn tâm O thì: C = 2 π R d là đường kính của tròn. .. điểm C của đường tròn (0) và vuông góc với bán kính OC ⇒ đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (0) O y x C Hình.3 8 - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (hình 39) + A cách đều hai tiếp điểm B và C + Tia AO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến AB, AC +Tia OA là tia phân giác tạo bởi hai bán kính OB, OC Hình 39 Ví dụ 2: Trên hình 43 ta có: BA và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (0)... : Cho ∆ ABC nội tiếp trong một đường tròn tâm O Vẽ hai đường cao AD và BE của tam giác lần lượt cắt đường tròn (O) tại M và N ; Gọi H là giao điểm của AD và BE Chứng minh a/ Tứ giác HECD nội tiếp trong một đ /tròn b/ Tứ giác ABDE nội tiếp trong một đường tròn c/ CM = CN Hướng dẫn giải a/ Tứ giác HECD nội tiếp A N Ta có E HEC = 900 (BE là đường cao) HDC = 900 (AD là đường cao) O H vậy HEC + HDC =1800... APO và PBT O 2 P T B Hình.63 TIẾT 29: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN CUNG CHỨA GÓC I KIẾN THỨC CƠ BẢN D A F * Góc đỉnh có ở bên trong đường tròn : n B m O C 18 1) Đặc điểm: - Đỉnh ở bên trong đường tròn - Hai cạnh là 2 cát tuyến 2) Định lí : Số đo của một góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn Nối AD ta có DFB là góc ngoài của. .. chia đường tròn làm ba phần bằng nhau => AB = BC = AC = 360 = 1200 3 1200 1 Áp dụng công thức ở mục 1 ta có Sđ xAC = Sđ AC = = 600 2 2 III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Cho đường tròn tâm 0 đường kính AB Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn, Gọi T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn Chứng minh: APO = PBT A Hướng dẫn: Kéo dài P0 cắt (0) tại Q Nhận xét hai góc 01 và 02 So sánh hai cung nhỏ QA và. .. là bán kính của đường tròn) Tiết 27 : GÓC NỘI TIẾP VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA GÓC NỘI TIẾP VÀ CUNG BỊ CHẮN I KIẾN THỨC CƠ BẢN + Định nghĩa góc nội tiếp : Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó - Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn Ví dụ : - 13 A A C B O B C O Hình.42.a Hình.42.b A Hình 42 (a;b) : BAC là góc nội tiếp + Tính chất của góc nội . ĐỀ NGHỊ: Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. a) Hãy xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn. b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng. một trục đối xứng của đường tròn; đường tròn có vô số trục đối xứng. c) Đường kính và dây của đường tròn. Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. AB ≥ CD;. trí tương đối của dường thẳng và đường tròn : Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. OH là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng a; (OH = d). + Đường thẳng và đường tròn cắt nhau.