SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MƠN: TỐN – NĂM HỌC 2017-2018 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm: 01 trang Câu (1,0 điểm) Giải phương trình cos 2 x cos x 0 sin x sin x cos x Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y = x3 - 3x +1 có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2(1 cos x )(1 cot x ) thị (C ), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng D : x + y = x 5x x x x 1 x3 x2 x Câu (1,0 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn 1 Cn3 Tìm hệ số số hạng chứa x8 Câu (1,0 điểm) Tính giới hạn: I lim n nx khai triển nhị thức Niu-tơn ,x 14 x x 1 x y 3 y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 4 x y x Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm ABM ; điểm D(7; -2) nằm đoạn MC cho GA = GD Viết phương trình đường thẳng AB, biết hồnh độ A nhỏ AG có phương trình 3x y 13 Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vng góc mặt phẳng (ABCD) Tính độ dài đoạn thẳng SD b) Mặt phẳng qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O D) song song với đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Câu (1,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un n 1 un1 n 2n n n 1 , n * Tìm cơng thức số hạng tổng qt un theo n HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 MƠN: TỐN – NĂM HỌC 2017-2018 Đáp án gồm: 06 trang I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm (1,0 điểm) cos x PT 0,5 cos x L 2x k 2 x k , k 0,5 (1,0 điểm) x k sin x ĐK: , k x k sin x cos x sin x Pt 2(1 cos x) sin x sin x cos x sin x sin x cos x sin x.cos x cos x sin x cos x 0,25 0,25 Đặt t sin x cos x sin( x ), t 2, Phương trình trở thành: t 1 t t 1 x k 2 x k 2 (tm) 4 Với t 1, ta có sin( x ) x 5 k 2 x k 2 (l ) 4 Vậy phương trình có họ nghiệm x 0,25 0,25 k 2 (1,0 điểm) Đạo hàm y ' = 3x - x Gọi M (a; a - 3a + 1) Î (C ) Phương trình tiếp tuyến (C ) M 0,25 y = f '(a )( x - a ) + a - 3a + Tiếp tuyến vng góc với đường x + y = nên 0,25 é a = -1 æ 1ử f '(a ).ỗỗ- ữữữ = -1 3a - 6a = ỗố ứ ëê a = Với a = -1, phương trình tiếp tuyến y = x + 0,25 Với a = 3, phương trình tiếp tuyến y = x - 26 0,25 Ta có : x 5x x x x 1 x x 0.5 x x x x 1 x 1 x x2 x 5x3 x x lim x 1 x x1 x x x1 Vậy I I lim 0.5 (1,0 điểm) Ta có 5Cnn 1 Cn3 5n x2 1 n n 1 n n2 3n 28 x2 1 7 1 Xét khai triển C7k 14 x x k 0 1 C7k 2 k 0 7k 1 k n n 4 ktm 7k 1 k 0,25 x14 k x k 0,5 x143k Ứng với x8 suy 14 3k k 21 1 Vậy hệ số x khai triển là: C 32 2 x 1 x y 3 y b)Giải hệ phương trình 2 4 x y x Câu (1,0 điểm) y Điều kiện: Sau đặt x 0,25 1 2 a x a x b2 b y y Phương trình (1) trở thành 8a 2a b3 b 2a b 4a 2ab b 1 2a b 2 4a 2ab b l 0,25 x Với 2a b x y x2 y 0,25 Thay vào (2) ta có pt 16 x 24 x x x x 1 x 1 4x 16 x 1 x x 10 x 0 4x 0,25 2 x 16 8 x x 10 x * 4x Ta có * x x 3 x x 3 x x Với x 16 0 4x 16 có x x 3 x x 3 x x 0 4x Vậy (*) nghiệm thỏa mãn x 1 2 0,25 Kết luận hệ có nghiệm x; y ; Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm ABM ; điểm D(7; -2) nằm đoạn MC cho GA = GD Viết phương trình đường thẳng AB, biết hồnh độ A nhỏ AG có phương trình 3x y 13 1.0 Gọi I trung điểm AB, dễ thấy GA GB GD G tâm đường tròn ngoại tiếp ABD AGD 2ABD 900 AG DG C 0.25 D M G A I B DG d A; AG 10 AD Giả sử A a;3a 13 , AD=2 a 3a 11 20 a (do a 0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC S Q P E I B C O N M A G D 8a) Gọi I trung điểm BC nên tứ giác ADCI hình thoi cạnh a nên IA = IB = IC = a tam giác ABC vuông A, suy AC vuông góc DI 0,25 0,25 AC ID ID || AB , AC SD AC SID AC SI Do AC SI , BC SI SI ABCD ( ABCD) SBC 0,25 0,25 Ta có : SD SI ID 2a 8b) Từ M kẻ hai đường thẳng song song với SD, AC chúng cắt theo thứ tự SB Q AB G, AC N Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA E,từ N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC P Ta thiết diện ngũ giác GNPQE x Ta có BD a nên tính EG NP a x , QM a , GN x 3 Tứ giác EGMQ MNPQ hai hình thang vuông đường cao GM NM nên 0,5 0,25 S MNPQE x 3a x 0,25 Max S MNPQE (1 điểm) 3 a a x Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un n 1 un1 n 2n n n 1 , n * Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n un n 1 un 1 n 2n n n 1 , n nun n 1 un 1 * 0,25 2n n n n 1 , n * ( n 1) 2(n 1) nun n 1 un1 , n * 2 n 1[(n 1) 1] 1 ( n 1)un1 [nun ] (1) ( n 1) n 1 1 1 Đặt nun Khi (1) vn1 ( v1 n 2 n 1 1 Vậy un ( n) n n 1 0,25 0,25 0,25 ... trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương... C 0.25 D M G A I B DG d A; AG 10 AD Giả sử A a;3a 13 , AD=2 a 3a 11? ?? 20 a (do a