ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn Tốn - Thời gian : 120 phút Sở GD&ĐT Thừa Thiên - Huế Trường THCS Nguyễn Tri Phương Câu 1/ (1đ) Cho x = 3 9 125 27 3 125 Chứng minh x số 27 nguyên Câu 2/ (1,5đ) Cho x > , y > , t > Chứng minh : NÕu xy y yt t xt x th× x= y= t hc x.y.t =1 Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m Chứng minh đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) có nghiệm dương x = n thỏa mãn m + n Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Lấy A E hai điểm thuộc đường tròn (O; r) , A di động , E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ đường thẳng vng góc với AE cắt đường trịn (O; R) B C Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 khơng phụ thuộc vị trí điểm A b/ (1,5đ) Chứng minh điểm A di động đường tròn (O; r) A≠ E đường thẳng CM ln qua điểm cố định ( gọi tên điểm cố định K ) c/ (1đ) Trên tia AK đặt điểm H cho AH = AK Khi A di động đường trịn (O;r) điểm H di động đường ? Chứng minh nhận xét ? ThuVienDeThi.com Đáp án biểu điểm chấm Tốn Nội dung Câu Câu1 Điểm 125 125 vµ b = 3 27 27 Th× a b3 vµ a.b = 3 3 x a b x a b 3ab(a b) a 3 9 (1đ) 0,25 đ 0,25 đ x = - 5x (x 1)(x x 6) 0,25 đ Mµ x x 0(do ).Suy x 1.VËy x Z Câu (1,5đ) Từ đẳng thức với điều kiện đề cho suy : 1 x y z (1) y z x x y (1) y z z x (2) Từ (3) Câu 0,25 đ z x y y z x 0,25 đ y z zy z x (2) xz 0,5 đ x y xy x y y z z x y z z x x y zyzxxy (3) x y z Häc sinh chøng minh ®ỵc r»ng xyz b c 1 a + b( ) c( ) = (2) m m2 m m Đẳng thức chứng tỏ x= nghiệm m ®a thøc g(x) = cx bx a VËy x= n = > (do m > ) (3) m 1 (do ) Ta cã m+n = m + m m m Hay m n (1) a + Câu (2đ) 0,5 đ Ta có : x = m nghiệm đa thức f(x)= ax2 + bx + c Suy am bm c (1), mµ m > (gt) (1,5đ) 0,25 đ Nếu m =1 d(1) đường thẳng y= -1 nên khoảng cách từ O đến d(1) Nếu m =2 d(2) đường thẳng x = nên khoảng cách từ O đến d(2) (1) ThuVienDeThi.com 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 0,25đ 0,25đ ;0 cắt trục tung Nếu m ≠1 m≠ d(m) cắt trục hồnh A m 1 B0 ; Gọi OH khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có : m2 1 (m 1)2 (m 2)2 2 OH OA OB 3 1 2m 6m m OH 2 2 0,25đ 0,25đ (2) 2 suy khoảng cách lớn từ O đến d(m) VËy OH OH OH lín nhÊt m Từ (1) (2) < 0,25đ Khi đường thẳng d có cơng thức x - y- = 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu A M B K O E G D C Câu a (1,5đ) Gọi G trung điểm BC OG BC GB = GC GE = GD (đl) (đl) suy AE hay AE = 2OG Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 Suy EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) Áp dụng định lý Pi ta go vào tam giác vuông OGE OGB ta có : OG2+GE2= r2 OG2+GB2= R2 Do EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2+OG2) = 2R2 +2r2 ( khơng đổi) OG đường trung bình ADE nên OG= 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ B M A O GE D C Trường hợp đặc biệt : G E D Thì chứng minh Câu b Hai tam giác ABC ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm (1,5đ) ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,5đ Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM ABC qua trọng tâm ADE Câu c (1đ) AK nên H trùng với G ( trung điểm chung hai đoạn thẳng DE BC ) Mà OGE vuông E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo gt) ) Vậy A di động đường trịn (O; r) H di động đường trịn đường kính OE Do H thuộc tia AK, mà K trọng tâm ADE AH ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ ...Đáp án biểu điểm chấm Toán Nội dung Câu Câu1 Điểm 125 125 vµ b = 3 27 27 Th× a b3 vµ a.b = 3 3 x a b x a b 3ab(a b) a 3 9? ?? (1đ) 0,25 đ 0,25 đ x = - 5x (x... xz 0,5 đ x y xy x y y z z x y z z x x y zyzxxy (3) x y z Học sinh chứng minh xyz b c 1 a + b( ) c( ) = (2) m m2 m m Đẳng thức chứng tỏ x= nghiệm... 0,25đ 0,25đ B M A O GE D C Trường hợp đặc biệt : G E D Thì chứng minh Câu b Hai tam giác ABC ADE có chung trung tuyến AG nên có chung trọng tâm (1,5đ) ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,5đ Mà tam giác