Lưu ý : Thí sinh có thể bỏ qua một vài bước trung gian (đơn giản) thì vẫn đạt điểm tối da Thí sinh có lời giải khác nhưng đúng thì vẫn đạt điểm tối đa.[r]
(1)PHÒNG GD – ĐT ĐỨC CƠ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học: (2009 – 2010)
Môn thi: TỐN
Thời gian: 150 phút (khơng kể phát đề) ĐỀ BÀI
Bài (3 điểm):
Tìm n Z cho: n2 n 17 bội n +5.
Bài (2 điểm):
Cho a > 0, b > thoả mãn: 2a2
+ 2b2
= 5ab Tính giá trị biểu thức: A =
a b a b
.
Bài (4 điểm):
a) Vẽ đồ thị hàm số: y = - x2 2x1 b) Giải phương trình: x =
1
1
x
x x
Bài (3 điểm):
Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: abc(
1 1
a b c ) a b c.
Bài (2 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình:
100
5 100
3
x y z z x y
Bài (6 điểm):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Một điểm C nằm đường trịn (C khác A, B) Tiếp tuyến Cx đường tròn (O; R) cắt AB I Đường phân góc I cắt OC điểm O’
a) Gọi D, E theo thứ tự giao điểm thứ hai CA,CB với đường tròn (O’; O’C) Chứng minh: D, O’, E thẳng hàng
b) Chứng minh IC2 = IA IB.
c) Tìm vị trí điểm C cho AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác OCI
- Hết
(2)PHÒNG GD- ĐT ĐỨC CƠ ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: (2009 – 2010) Mơn: TỐN
Bài (3 điểm): Ta có: n2 + n - 17 bội n + => (n2+ n17) (n5)……… 0,25đ Xét phép tính:
2 17 ( 5)( 4) 3 3
( 4)
5 5
n n n n
n
n n n
……… 1đ
Để (n2
+ n - 17) (n + 5)
5
n Z………0,25đ
=> (n + 5) Ư(3) => (n + 5) { 1; 3}……… 0,25đ + Với n + = -1 => n = - ……… 0,25đ + Với n + = => n = - ………0,25đ + Với n + = -3 => n = - ……… 0,25đ + Với n + = => n = -2 ……….………0,25đ Vậy, ta tìm được.n = - 6; n = - 4; n =- 8; n = - ……….0,25đ Bài (2 điểm):
Ta có: A =
a b a b
Bình phương hai vế ta được: A2 =
2 (a b)
a b
=
2
2
2
a ab b
a ab b
……….0,5đ
=đ
2 2
2
2
a b ab
a b ab
………0,5đ
=
5
5
ab ab
ab ab
……… ….0,5đ
A =
……….0,5đ
Bài (4 điểm): a) y = -
2
1 2
3
(
1)
2x
x
x
= - x1……….0,25đ
4 x x
Nếu x <
Vẽ đường thẳng (d1): y = - x + với x 1
Và đường (d2): y = x + với x < ta đồ thị: Hình (P) y
Đồ thị điểm, nhánh 0,5 điểm
_ _ _
I I I I I I x -2 -1
Nếu x
= ………0,5đ
(3)
b) Điều kiện:
x -
1
x 0
1 -
1
x ……… ………0,25đ
x 0
Xét hai trường hợp:
* x -1 vế trái phương trình âm cịn vế phải khơng âm
Phương trình vơ nghiệm……… 0,25đ * x phương trình x =
1
1
x
x x
1
x
x
=
1
x x
……… 0,25đ
2 1
x
x
= x –
1
x ………0,25đ
x2 - 2x
1
x
+ - x =
2
2 (1 )
x x x
x
+ = ……….0,25đ
x(x - 1) –
2 x
x x
+ = ……… 0,25đ
x(x - 1) – 2 x x( 1) + = ( x x( 1) 1) 2= 0……… 0,25đ
x x( 1) = ……… 0,25đ
x2 – x – = x =
2
(vì x 1) ……….0,25đ
Bài (3 điểm): Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên a > 0, b > 0, c > … 0,25đ Ta có:
1 1
2
a b ab ……… 0,5đ
1 1
2
a c ac ……… 0,5đ
1 1
2
b c bc ………0,5đ
1 1 1
2( ) 2(
a b c ab ac bc
(cộng vế theo vế)……… 0,5đ
(d1)
x1
(4)1 1 1
( ( )
abc abc
a b c ab ac bc
= a b c (nhân vế với abc) ……0,5đ
Đẳng thức xảy a= b = c hay ABC đều………0,25đ
Bài (2 điểm):
100
15
9
300
x y z
x
y z
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được: 14 x +8 y = 200
7x + 4y = 100 ……….0,25đ
4y = 100 – 7x y =
100
25
4
x x
x
……… 0,25đ
vì x, y nguyên 4 25
x
t z x t y t
……….0,25đ
Vì x, y dương
4 25
25
0
1;2;3
7
t
t
t
t
……… 0,25đ Khi t = x = 4, y = 18, x = 78
Khi t = x = 8, y = 11, z = 81.
Khi t = x = 12, y = 4, z = 84 ……….0,5đ
Vậy nghiệm nguyên dương hệ phương trình là:
(x; y; z) {( 4; 8; 78); ( 8; 11; 81); ( 12; 4; 84)}……….0,25đ C
Bài (6 điểm):
Vẽ hình 0,5đ D O’ E
A
O B K I X
a) AB đường kính (O,
AB
)
ACB 900
hay DCE900 ……… 0,5đ
DE đường kính (O’; O’C) ……….0,5đ
D, O’, E thẳng hàng ……… 0,5đ
b) Xét ACI CBI
có: A ICB (cùng
1
2 số đo cung CB)……….0,5đ
I chung
ACIđồng dạng CBI ……….0,5đ
IA IC
IC IB ….………0,5đ
IA IB = IC2 (đpcm) ……… 0,5đ
c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp OIC, OIC 900 nên K trung điểm OI 0,25đ
Để AC tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp OIC AC CK ……….0,25đ
ACO ICK
(cặp góc có cạnh tương ứng vng) ……… 0,5đ
(1) (I)
(5)Mà
ACO
A ICB
ICK
ICB
K
B
……… 0,5đ
KC =1
2 OI = OB = R
Vậy, điểm C nằm đường trịn cho BC = R AC tiếp tuyến đường tròn
ngoại tiếp OIC……….0,5đ