Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán 9 Trường THCS Tự Cường16512

TRƯỜNG THCS TỰ CƯỜNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Mơn Tốn Thời gian làm 180 phút a bc bc a c  a b   c a b b c a Tính giá trị biểu thức: P = 1   1   1    a  b  c  1 Bài 2( 1,5 điểm): Chứng minh    a + b + c = abc ta có a b c 1   2 a b2 c2 Bài 1( 1,5 điểm): Cho a, b, c thoả mãn: x2  y  z  x  y  z  Bài 3( 1,5 điểm): Cho ba số x, y, z tuỳ ý Chứng minh   3   Bài 4( 1,5 điểm): Cho a, b, c ba số dương thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: ab  16 abc Bài 5( điểm): Cho hình vng ABCD Qua A vẽ cát tuyến cắt canh BC CD ( đường thẳng chứa cạnh đó) điểm E F Chứng minh rằng: 1   2 AE AF AD Bài 6( điểm): Cho ∆ ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA = cm, IB = 3cm Tính độ dài AB Hướng dẫn giải: Bài 1: Từ gt ta suy abc bca c  a b abc bca cab 2 2 2    c a b c a b Xét hai trường hợp */ Nếu a + b + c =  a + b = -c b+c=-a c + a = -b b c a a  b  b  c  c  a  (c) (a ) (b) abc Khi P = 1   1   1   =  = =1    =  a  b  c   a  b  c  Nếu a + b + c   a = b = c  P = 2.2.2 = a b c 1 1 1 1 1 1 Bài 2: Từ                   a b c a b c  ab bc ca  a b c 1 abc  abc      2 1   theo giả thiết a + b + c = abc  a b c abc  abc  1 1 1          (đpcm) a b c a b c Bào 3: Áp dụng BĐT Cơsi ta có x2 + y2  2xy (1) ThuVienDeThi.com abc y2 + z2  2yz (2) z2 + x2  2zx (3) Cộng vế ba BĐT ta 2( x2 + y2 + z2 )  2( xy + yz + zx )  2( x2 + y2 + z2 ) + ( x2 + y2 + z2 )  ( x2 + y2 + z2 ) + 2( xy + yz + zx )  3( x2 + y2 + z2 )  ( x + y + z )2 chia hai vế cho ta x  y  z ( x  y  z )2 x2  y  z  x  y  z   hay   9   Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y  xy ta có ( a + b) + c  (a  b)c   (a  b)c   4( a + b)c nhân hai vế với a + b > ta được: A + b  4(a + b)2c mà ta chứng minh (a + b)2  4ab Do a + b  4(4ab)c hay a + b  16abc từ suy đpcm Bài 5: Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AF cắt DC G Chứng minh ∆ ABR = ∆ ADG ( g.c.g)  AE = AG Xét ∆ AGF vuông A có AD đường cao nên ta có 1   thay AG = AE ta 2 AG AF AD 1   (đpcm) 2 AE AF AD Bài 6: Kẻ AM  AC M thuộc tia CI Chứng minh ∆ AMI cân M  MI = AI = Kẻ AH  MI  HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > ) Xét ∆ AMC vuông A ta có AM2 = MH.MC  (2 )2 = x.(2x + 3)  2x2 + 3x – 30 =  ( 2x – 5)(x + 4) =  x = 2,5 x = -4 ( loại x > 0) Vậy MC = 8cm Ta có AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (2 )2 = 64 – 20 = 44  AC = 44 = 11 cm  AB = 11 cm ThuVienDeThi.com A B E G D F C A M H I B C ... ( x + y + z )2 chia hai vế cho ta x  y  z ( x  y  z )2 x2  y  z  x  y  z   hay   9   Bài 4: Áp dụng BĐT Côsi x + y  xy ta có ( a + b) + c  (a  b)c   (a  b)c   4( a + b)c