Đề khảo sát học sinh giỏi môn: Toán học 848583

ĐỀ BÀI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2 điểm) : Cho biểu thức A = x  3x x4   x 1 x  x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh giá trị A dương với x ≠ - Câu (3 điểm): a) Chứng minh rằng: Với x  Q giá trị đa thức : M = x  x  x  x    16 bình phương số hữu tỉ b) Giải phương trình x   x( x  1) Câu (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= Hãy tính giá trị biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Câu4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Vẽ hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC Gọi E F giao điểm BN MQ; CM NP Chứng minh rằng: a) DE song song với AC b) DE =DF; AE =AF Câu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: a b c    Với a  b  c  ab bc ca -Hết ĐỀ BÀI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Câu (2 điểm) : Cho biểu thức A = x  3x x4   x 1 x  x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh giá trị A dương với x ≠ - Câu (3 điểm): a) Chứng minh rằng: Với x  Q giá trị đa thức : M = x  x  x  x    16 bình phương số hữu tỉ b) Giải phương trình x   x( x  1) Câu (1,5 điểm): Đa thức P(x) bậc có hệ số bậc cao Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= Hãy tính giá trị biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Câu4 (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Vẽ hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC Gọi E F giao điểm BN MQ; CM NP Chứng minh rằng: a) DE song song với AC b) DE =DF; AE =AF Câu5 (1 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: a b c    Với a  b  c  ab bc ca -Hết -ThuVienDeThi.com B HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN: Tốn Đáp án Câu   x x  x   x  13  x   x  x  3x x4 a/ A =   = x  x  x  x3  x  1 x  x        x3  x  x  x  1 x  x  x2  x    = x  1 x  x  x  1 x  x  x  x    Thang điểm 1,0 1  x    x  x 1  2 b/ Víi mäi x ≠ - th× A = = x  x 1  1 x   2  2 3 V×  x     0;  x     0, x  1  A  0, x  1  2  4 a/ Ta cã: M = x  10 x  16 x  10 x 24 16 Đặt a = x2 + 10x + 16 suy M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm) b/ x   x( x  1)  x( x  1)  x    x x   x    2 2 1,0 x  ( x  1)   x 1   x 1   x  1    x   x    x  1,0 0,5 Ta có: P(x)  (x-1), (x-3), (x-5) Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a) Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a) = -105.(-2+a) +105.(6+a) = 105.( –a +6 +a) = 840 a/ Vẽ hình a) Chứng minh được: ThuVienDeThi.com 0,5 1,0 0,5 1,0 0,25 BE BQ BQ AB BD     EN QP MQ AC DC  DE / / NC hay DE / / A C b) Do DE / / A C nên DE BD BD   DE  CN (1) CN BC BC Tương tự, DF  Từ (1) (2) suy CD BM (2) BC 0,5 DE BD CN  DF CD BM BD AB CN AC   Mà CD AC BM AB DE Nên  1 DE  DF DF ˆ  DAB ˆ  Dˆ  ADE  ADF Ta có Dˆ1  DAC 0,25 0,5  AE =AF Gọi vế trái A, ta có:  a 1  b 1  c 1         ab 2 bc 2 ca 2 a b bc ca    2(a  b) 2(b  c) 2(c  a ) a b ca (b  a )  (a  c)    2(a  b) 2(b  c) 2(c  a ) A  ac 1  a b         ab bc  bc ca a b ca ac a b   (a  b)(b  c) (b  c)(c a)  (a  b)(a  c)  1     2(b  c)  a  b c  a  (a  b)(a  c)(b  c)   ( Do a  b  c  0) 2(b  c)(b  c)(c a) Vậy A   ThuVienDeThi.com 1,0 ...B HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MƠN: Tốn Đáp án Câu   x x  x   x  13  x   x  x  3x x4 a/ A =  