PHềNG GD&T Đề thi khảo sát hsg lớp Môn : Toán Thời gian: phút (không kể thời gian giao đề) Ngày:./ Bi 1: (8 im) a) Phõn tớch đa thức thành nhân tử: a1) A = x2 – x – y2 – y a2) B = x2 – 5x + b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số phương c) Cho a = 11 ; b = 100 05 n 1cs0 ncs1 Chứng minh rằng: C = ab + số phương Bài 2: (8 điểm) a) Cho xy = a; Tính: D = x2 + y2 + z2 zx = c (trong a, b, c khác 0) yz = b; b) Cho abc = Tính giá trị biểu thức sau: E a b 2c ab a bc b ac 2c c) Cho a + b + c = a, b, c khác Rút gọn biểu thức: F a2 b2 c bc ca ab Bài 3: (4 điểm) a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Chứng minh: SABM = SACM b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp H Chứng minh rằng: HA ' HB' HC ' 1 AA ' BB' CC ' Hết HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com Bài : (8 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử : a1) A = (x2 – y2) – (x + y) 0.50 = (x + y)(x – y) – (x + y) 0.75 = (x + y)(x – y – 1) 0.75 a2) B = x – 2x – 3x + 0.50 = (x2 – 2x) – (3x – 6) 0.50 = x(x – 2) – 3(x – 2) 0.50 = (x – 2)(x – 3) 0.50 b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ viết dạng hiệu hai số phương Gọi số lẻ có dạng 2k + (k N) 0.50 2 Ta có : 2k + 1= k + 2k + – k 1.00 2 = (k + 1) – k 0.50 c) Cho a 11 ; b 100 05 n 1cs0 ncs1 Chứng minh : C = ab + số phương Ta có : 9a + = 10n 0.50 0.25 b 100 00 5 ncs0 10n = + = 9a + 0.25 C = ab + = a(9a + 6) + 0.25 2 C = 9a + 6a + = (3a + 1) 0.50 C = 33 34 0.25 n 1cs3 Bài : (8 điểm) a) Cho xy = a ; yz = b ; zx = c Tính : D = x2 + y2 + z2 Ta có : xy = a ; yz = b ; zx = c Suy : x2y2z2 = abc x2y2 = a2 0.25 2 yz =b 0.25 2 zx =c 0.25 2 Do : x b = abc 0.25 2 a z = abc 0.25 2 y c = abc 0.25 ac ab 2 Hay : x ; y ; z bc 0.25 Vậy x b c a ac ab bc a b b c c a y z b c a abc 0.25 b) Cho abc = Tính giá trị biểu thức sau: a b 2c a ab 2c ab a bc b ac 2c ab a abc ab a ac 2c abc a ab 2c 1.00 ab a 2 ab a c(a ab) E a ab ab a ab a ab a ab a 1 ab a 0.50 0.50 c) Cho a + b + c = a, b, c khác http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 1.00 Rút gọn biểu thức : F a2 b2 c2 bc ca ab a3 b3 c3 abc abc abc 0.75 a3 b3 c abc 0.50 Mà : a + b + c = Suy : a3 + b3 + c3 = 3abc a b c 3abc 0.50 3 1.00 abc abc 0.25 3 Bài : (4 điểm) a) Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM Chứng minh: SABM = SACM Kẻ AH BC 0.25 Ta có : 0.50 SABM AH.BM A SACM AH.CM 0.50 C B H M Mà : BM = CM (AM trung tuyến) Vậy : SABM = SACM 0.25 b) Cho tam giác ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp H Chứng minh : HA ' HB' HC ' A AA ' Ta có : S BB' CC ' C' BC.AA ' 0.25 CA.BB ' 0.25 AB.CC ' 0.25 H B S = SHBC + SHCA + SHAB Mà : 0.25 SHBC BC.HA ' 0.25 SHCA CA.HB ' 0.25 SHAB AB.HC ' 0.25 Nên : B' = SABC 1 BC.HA ' CA.HB ' AB.HC ' S 2 1 BC.HA ' CA.HB ' AB.HC ' 2 1 S S S 0.25 BC.HA ' BC.AA ' CA.HB ' CA.BB ' AB.HC ' 1 AB.CC ' 0.25 HA ' HB ' HC ' 1 AA ' BB ' CC ' 0.25 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com A' C ... 1 ab a 0.50 0.50 c) Cho a + b + c = a, b, c khác http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com 1.00 Rút gọn biểu thức : F a2 b2 c2 bc ca ab a3 b3 c3 abc abc abc... ' 1 AB.CC ' 0.25 HA ' HB ' HC ' 1 AA ' BB ' CC ' 0.25 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com A' C