Đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 Trường THPT Nguyễn Gia Thiều26249

C M TR TR NG THPT GIA LÂM – LONG BIÊN THI H C SINH GI I MƠN TỐN Ngày thi 17 – 03 – 2012 NG THPT NGUY N GIA THI U Đ CHÍNH TH C Th i gian làm 120 phút Câu (4,0 m) Cho tam giác ABC có góc tho mãn cosA  cosB  cosC   cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA  Ch ng minh r ng tam giác ABC đ u Câu (4,0 m) Cho s t nhiên k tho mãn k  2000 Ch ng minh r ng k k 1 1000 1001 C2001  C2001  C2001  C2001 Câu (4,0 m) Cho dãy s  un  đ u1  2011  c xác đ nh b i  2011 n v i  n  2011 u    uk  n 1 n k 1  Hãy tính giá tr c a t ng u1  u2  u3   u2011 Câu (4,0 m) Ch ng minh ph ng trình x3   3x ln có ba nghi m th c phân bi t x1 , x2 , x3 Gi s x1  x2  x3 , ch ng minh x2   x32 Câu (4,0 m) Cho t di n ABCD, g i G tr ng tâm tam giác BCD, M m n m mi n tam giác BCD ng th ng qua M song song v i AG c t m t ph ng (ABC), (ACD), (ABD) theo th t t i m P, Q, R a Ch ng minh MP + MQ + MR không đ i M ch y mi n tam giác BCD AG b Tìm v trí m M đ MP.MQ.MR đ t giá tr l n nh t H t Cán b coi thi khơng gi i thích thêm H tên thí sinh: …………………………………………………………………………… ThuVienDeThi.com S báo danh: ……………………… ỄP ÁN BI U Câu (4,0) (4,0) (4,0) I M i m Yêu c u  cos A  cos B  cosC > Suy (cos A  cos B  cosC)  (cos A  cos B  cosC) 2 L i có (cos A  cos B  cosC)2  3(cos A.cos B  cos B.cosC + cosC.cos A) 1,0 T suy u ph i ch ng minh k k 1 1000 1001 k 1 1001 (1) C2001  C2001  C2001  C2001  C2002  C2002 1,0 1,0 Có 1,0 1,0 Ta ch ng minh (1) v i m i s t nhiên k : k  1000 (vì Cnr  Cnn  r , (1) c ng v i m i s t nhiên k :1000  k  2000 ) k 1 1001 Xét dãy s h u h n  uk  v i uk  C2002 , k  1000 Suy u1000  C2002 1,0 Ch ng minh dãy s h u h n  uk  t ng, t c ch ng minh uk  uk 1 1,0 T suy uk  u1000 suy u ph i ch ng minh 1,0 T gi thi t có n.un 1   2011.(u1  u2   un ) (n  1).un   2011.(u1  u2   un 1 ) 1,0 Suy n.un 1  (n  1).un   2011.un hay un 1    2011  (n  1) u n n Ta có u1  2011 1,0   2011  (1 1) u1  u2    n n 1 (1) n 2011 A2011 ( 1) n 1.2011 A2011 2011  (2 1)  n 1 u2   un 1   un   (1) n 1.2011.C2011 u3    ! ( 1)! n n    2011  (n 1)  un    un  n 2010  C2011  C2011   C2011 u1  u2  u3   u2011 = 2011  C2011  2010 2011 2011  = 2011  C2011  C2011   C2011  C2011 = 2011  C2011   C2011  (4,0) (4,0) Ch ng minh ph 1,0 1,0 ng trình x3   3x (2), có ba nghi m phân bi t thu c kho ng (–2 ; 2) 1,0 8 4 2 ,t ,t 9 8 4 2 Do x1  x2  x3 , nên ba nghi m c a (2) x1  2.cos , x2  2.cos , x3  2.cos 9 Ch ng minh đ c x2   x3 1,0 a V hình xác đ nh m P, Q, R 3SMBC  3SMCD  3SMBD MP + MQ + MR Ch ng minh đ c = =3 AG SBCD 1,0 2,0 b Áp d ng k t qu câu a, tìm đ 1,0 t x  2.cos t v i  t   , tìm đ c nghi m ph ng trình t  c MP.MQ.MR đ t giá tr l n nh t b ng AG3 M  G 1,0 1,0 Các cách gi i khác mà v n ch m m H c sinh l p lu n đ y đ ch t ch m i cho m t i đa ThuVienDeThi.com ... l n nh t b ng AG3 M  G 1,0 1,0 Các cách gi i khác mà v n ch m m H c sinh l p lu n đ y đ ch t ch m i cho m t i đa ThuVienDeThi.com ... h n  uk  t ng, t c ch ng minh uk  uk 1 1,0 T suy uk  u1000 suy u ph i ch ng minh 1,0 T gi thi t có n.un 1   2011.(u1  u2   un ) (n  1).un   2011.(u1  u2   un 1 ) 1,0 Suy n.un