SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/11/2009 Câu 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 4 4 4 . y x x z y y x z z Câu 2. (4,0 điểm) Cho hai dãy số n a và n b được xác định như sau: 1 n + 1 2 n n n a n n và 1n n n b a a với * n ( trong đó x là phần nguyên của số thực x ). Chứng minh rằng dãy số n b có vô số số hạng dương và vô số số hạng âm. Câu 3. (4,0 điểm) Cho đa thức với hệ số thực 1 1 1 0 ( ) n n n n P x a x a x a x a có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng 2 1 1 2 1 . . , 1;2; ; 1 . 2 2 k k k k a a a k n k Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ( )ABC AB AC có các đường cao ,AD BE và CF . Gọi P giao điểm của hai đường thẳng EF và BC . Kẻ đường thẳng d đi qua điểm D và song song với đường thẳng .EF Đường thẳng d cắt hai đường thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm Q và R . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của cạnh .BC Câu 5. (4,0 điểm) Gọi n S là tập hợp tất cả các hoán vị 1 2 ( , , , ) n a a a của tập hợp 1,2, ,n sao cho trong mỗi hoán vị có đúng một phần tử lớn hơn tất cả các phần tử đứng trước nó. Tìm số phần tử của tập hợp n S và tính giá trị trung bình cộng của các số 1 a trong các hoán vị thuộc tập hợp . n S Hết Họ và tên: Số báo danh: §Ò chÝnh thøc . SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2 010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 18 0 phút Ngày thi: 03 /11 /2009 Câu 1. (4,0 điểm) Giải. đó x là phần nguyên của số thực x ). Chứng minh rằng dãy số n b có vô số số hạng dương và vô số số hạng âm. Câu 3. (4,0 điểm) Cho đa thức với hệ số thực 1 1 1 0 ( ) n n n n P x a x a. n P x a x a x a x a có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng 2 1 1 2 1 . . , 1; 2; ; 1 . 2 2 k k k k a a a k n k Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ( )ABC