ð THI H C SINH GI I MƠN TỐN L P 12 THPT T NH THANH HÓA NĂM H C 2016 – 2017 Câu I (4,0 ñi m) Cho hàm s y = x +1 x −1 Kh o sát s bi n thiên v ñ th (C ) c a hàm s M i ñư ng th ng c t ñ th (C ) t i hai ñi m phân bi t b n giao m b n ñ nh c a m t hình ch nh t Vi t phương trình hai đư ng th ng Cho hai ñư ng th ng ñi qua ñi m I (1;1), có t ng h s góc b ng Câu II (4,0 m) x x π Gi i phương trình cos x + cos x = 2 sin sin + 2 4 2 x(4 x − y + 2) + x ( y − 1) = y − − x + y − y + 2 Gi i h phương trình ( x, y ∈ ℝ) ( y − − 1) x + = x − 13( y − 2) + 82 x − 29 Câu III (4,0 ñi m) Cho x, y, z s th c dương th a mãn xyz + x + z = y Tìm giá tr l n nh t c a bi u 2 4z 3z th c P = − − + x +1 y +1 z + ( z + 1) z + Tìm giá tr c a tham s m đ h b t phương trình sau có nghi m log 32 ( x + 7) + ( x − 3) log ( x + 7) + x − ≥ mx( x + + x + 2) + 27 m ≤ x + x + Câu IV (4,0 ñi m) G i S t p h p c s nguyên dương c a s 43200 L y ng u nhiên hai ph n t! thu c S Tính xác su t l y ñư c hai ph n t! hai s không chia h t cho Trong m"t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho hình ch nh t ABCD G i G ñi m thu c ño n BD cho BD = BG , M ñi m ñ i x ng c a ñi m A qua G Hình chi u vng góc c a m M ñư ng th ng BC , CD l n lư t H (10;6) K (13; 4) Tìm t a đ đ nh c a hình ch nh t ABCD bi t r ng ñư ng th ng BD ñi qua ñi m E (1; 2) Câu V (4,0 ñi m) Cho lăng tr$ ñ ng ABC A ' B ' C ' có AB = 6, BC = 12, ABC = 600 Th tích c a kh i chóp C ' ABB ' A ' b ng 216 G i M ñi m n m tam giác A ' B ' C ' cho t ng di n tích t t c m"t c a hình chóp M ABC ñ t giá tr nh nh t Ch ng minh r ng M tâm đư ng trịn n i ti p tam giác A ' B ' C ' Tính cosin c a góc gi a hai đư ng th ng B ' M AC ' Trong khơng gian v i h t a đ Oxyz , cho ñi m A(2; 2; 0) m"t c u ( S ) có phương trình x + y + z − x − y − z = Vi t phương trình m"t ph ng (OAB ) bi t ñi m B thu c ( S ) tam giác OAB ñ%u - H T ThuVienDeThi.com NHĨM TỐN THPT THANH HÓA L I GI I ð THI H C SINH GI I MƠN TỐN L P 12 THPT T NH THANH HÓA NĂM H C 2016 – 2017 M i ñư ng th ng c t ñ th (C ) t i hai ñi m phân bi t b n giao m b n đ nh c a m t hình ch nh t Vi t phương trình hai đư ng th ng L i gi i: Cách 1: Do I tâm ñ i x ng c a (C) nên hai ñư ng th ng qua I c t (C) s t o thành m t hình bình hành, hình bình hành hình ch nh t ch ñ dài hai ñư ng chéo b ng G i d ñư ng th ng ñi qua m I có h s góc k ⇒ d : y = k ( x − 1) + Hồnh đ giao m c a d (C ) nghi m c a phương trình x +1 = k ( x − 1) + ⇔ kx − 2kx + k − = (*) x −1 ði%u ki n ñ d c t (C ) t i hai ñi m phân bi t (*) ph i có hai nghi m phân bi t k ≠ ⇔ ⇔ k > ∆ ' = k − k (k − 2) > Câu I.2 Cho hai ñư ng th ng qua m I (1;1), có t ng h s góc b ng G i A, B giao c a (C) d suy A( x1 , kx1 − k + 1), B ( x2 , kx2 − k + 1) , ñó x1 , x2 x1 + x2 = nghi m c a (*), theo ñ nh lí Viet ta có k −2 x1 x2 = k AB = ( x2 − x1 ) + (kx2 − kx1 )2 = (1 + k )[( x1 + x2 ) − x1 x2 ] k − 8(1 + k ) 8(1 + k ) =(1 + k ) − AB = ⇒ = k k k +) G i k1 , k2 (k1 ≠ k2 ) h s góc c a hai đư ng th ng c n tìm hai đư ng chéo c a hình bình hành l n lư t có đ dài Do hai ñư ng chéo b ng nên 8(1 + k12 ) k1 8(1 + k22 ) k2 8(1 + k12 ) 8(1 + k22 ) = ⇔ k2 (1 + k12 ) = k1 (1 + k22 ) k1 k2 ⇔ (k1 − k2 )(1 − k1k2 ) = ⇔ k1k2 = Theo ta có k1 + k2 = ⇒ k1 = 2, k2 = ho"c ngư c l i 2 1 V y hai ñư ng th ng c n tìm y = x − y = x + 2 Cách 2: Ta có I tâm đ i x ng c a (C) nên ñư ng th ng qua I c t (C) t i hai ñi m M, N I trung m c a MN Gi s! hai ñư ng th ng qua I c t (C) t i A, B C, D T giác ABCD hình ch nh t nên IA = IB = IC = ID Khơng m t tính t ng quát, gi s! A, D thu c m t nhánh c a đ th ' góc ph n tư th nh t Ta s ch ng minh A, D ñ i x ng qua ñư ng th ng (d): y = x 2 Gi s! A(a;1 + ), D(d ;1 + ) v i a > 1, d > 1, a ≠ d a −1 d −1 4 = (d − 1) + Ta có: IA = ID ⇔ IA2 = ID ⇔ (a − 1) + (a − 1) (d − 1)2 ThuVienDeThi.com NHĨM TỐN THPT THANH HĨA ) = ⇒ (a − 1)2 (d − 1) = (a − 1) (d − 1) 2 ⇒ a −1 = ⇒ a = 1+ d = + (do a > 1, d > 1, a ≠ d ) d −1 d −1 a −1 ⇒ x A = yD , y A = xD ⇒ A D ñ i x ng qua ñư ng th ng (d): y = x ðư ng th ng IA ñi qua I, h s góc m > có phương trình: mx – y – m + = ðư ng th ng ID qua I, h s góc n > có phương trình: nx – y – n + = Do ñư ng th ng (d): y = x đư ng phân giác c a góc AID nên: cos(d ; IA) = cos(d ; ID) m +1 n +1 ⇒ = m2 + n2 + m +1 n +1 = n2 + m +1 m = m = Ta có h phương trình: m + n = ⇒ 2; (trư ng h p m = n = lo i) n = n = m ≠ n m > 0; n > 1 V y có đư ng th ng c n tìm là: y = x − y = x + 2 ⇔ [(a − 1) − (d − 1)2 ](1 − x x π Câu II.1 Gi i phương trình cos x + cos x = 2 sin sin + 2 4 L i gi i: ði%u ki n: cos x ≥ x x x x PT ⇔ cos x + cos x = sin sin + cos ⇔ cos x + cos x = 2sin + sin x 2 2 ⇔ cos x + cos x = sin x + sin x (*) Cách 1: 2 cos x = sin x (1) 1 1 (*) ⇔ cos x + = sin x + ⇔ 2 2 cos x = − sin x − (2) sin x ≥ sin x ≥ sin x ≥ ⇔ ⇔ (1) ⇔ −1 + cos x = sin x cos x + cos x − = cos x = −1 −1 ⇔ x = arccos + k 2π (k ∈ ℤ) (lo i x = − arccos + k 2π ) 2 Do cos x ≥ − sin x − ≤ nên (2) ⇔ cos x = − sin x − = ⇔ x = − π + k 2π (k ∈ ℤ) −1 π + k 2π , x = − + k 2π (k ∈ ℤ) 2 2 Cách 2: (*) ⇔ sin x − ( cos x ) + sin x − cos x = ⇔ (sin x − cos x )(sin x + cos x + 1) = V y phuơng trình có nghi m: x = arccos cos x = sin x (1) ⇔ (Ti p t$c gi i trên) = − − cos sin (2) x x ThuVienDeThi.com NHĨM TỐN THPT THANH HĨA Cách 3: (*) có VT ≥ nên đ (*) có nghi m sin x + sin x ≥ ⇔ sin x(sin x + 1) ≥ π + k 2π x nghi m c a (*) - N u sin x + ≠ ⇒ sin x + > ⇒ sin x ≥ Xét hàm f (t ) = t + t v i t ∈ [0;1] , có f '(t ) = 2t + > 0, ∀t ∈ [0;1] suy f (t ) ñ ng bi n - N u sin x + = ⇔ x = − ño n [0; 1], (*) ⇔ f ( cos x ) = f (sin x) ⇔ cos x = sin x (ti p t$c gi i trên) 2 x(4 x − y + 2) + x ( y − 1) = y − − x + y − y + (1) Câu II.2 Gi i h phương trình ( y − − 1) x + = x − 13( y − 2) + 82 x − 29 (2) L i gi i: ði%u ki n: x ≥ − , y ≥ 2 T( (2) ta có y − 2 x + + 13( y − 2) − x + = x3 + 82 x − 29 (3) N u − ≤ x ≤ −1 ≤ − x + ≤ suy (3) có VT ≥ −1 VP ≤ −29 nên (3) vơ nghi m, n u x th a mãn h cho x > (1) ⇔ x(4 x − y + 2) + x ( y − 1) − ( y − 2)( y − 1) = y − − x ⇔ (4 x − y + 2)(2 x + y − 1) = y − − x2 y − + 2x ⇔ (4 x − y + 2) x + y − + = ⇔ x − y + = y − + 2x 1 (Vì x + y − + = (2 x + 1) + ( y − 2) + > 0, ∀x > 0, y ≥ ) y − + 2x y − + 2x ⇔ y − = x (Do x > ) Thay x = y − vào (2) ñư c (2 x − 1) x + = x − 52 x + 82 x − 29 ⇔ (2 x − 1) x + = (2 x − 1)(4 x − 24 x + 29) = x 2 x + − x + 24 x − 29 = ⇔ x + − x + 24 x − 29 = 0(4) ⇔ (2 x − 1) ( +) Khi x = y = 2 ) +) Gi i (4) Cách 1: 121 1 11 (4) ⇔ x + + x + + = x − 22 x + ⇔ 2x + + = 2x − 4 2 2 x + = x − (5) ⇔ x + = − x (6) x ≥ x ≥ 13 + 29 103 + 13 29 (5) ⇔ ⇔ ⇔x= ⇒y= 2 2 x + = (2 x − 6) 4 x − 26 x + 35 = 5 x ≤ x ≤ (6) ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇒ y = 11 2 2 x + = (5 − x)2 4 x − 22 x + 24 = ThuVienDeThi.com NHĨM TỐN THPT THANH HĨA 13 + 29 103 + 13 29 V y ( x; y ) = ;3 , ;11 , ; 2 2 Cách 2: ð"t x + = t ( t ≥ ) (4) tr' thành t − 14t − t + 42 = ⇔ ( t + 3) ( t − 3t − 5t + 42 ) = t = ⇔ ( t + 3)( t − ) ( t − t − ) = ⇒ + 29 t = +) Khi t = x = , y = 11 + 29 13 + 29 103 + 13 29 x = +) Khi t = ,y= 13 + 29 103 + 13 29 V y ( x; y ) = ;3 , ;11 , ; Câu III.1 Cho x, y, z s th c dương th a mãn xyz + x + z = y Tìm giá tr l n nh t c a bi u 2 4z 3z th c P = − − + x +1 y +1 z + ( z + 1) z + L i gi i: Cách 1: Có: xyz + x + z = y ⇔ x + z = y (1 − xz ) ⇔ y = x+ z − xz 2 1 (1 − xz ) − = − = − 2 2 2 x2 + y + x + ( x + z) x + ( x + 1)( z + 1) + (1 − xz ) z + x − x2 z z z (1 − x ) + x z (1 − x ) + ( x ) z + 2z = = 2z ≤ = 2 2 ( x + 1)( z + 1) ( x + 1)( z + 1) z2 +1 ( x + 1)( z + 1) 2z 4z 3z −2 z 3z ⇒P≤ − + = + 2 2 2 z +1 z + ( z + 1) z + z + ( z + 1) z + z ð"t t = z2 +1 (t > 0) ⇒ t2 z2 +1 1 = = + ⇒ z + = +1 = ⇒ P ≤ t − 3t 2 2 t z z 1− t 1− t f (t ) = t − 3t (liên t$c v i t > ) L p b ng bi n thiên ta ñư c max f (t ) = f ( ) = (0; +∞ ) z = z = z +1 x+z ⇔ x = Do P đ t giá tr l n nh t b ng ch y = xz − − x2 y = z = 2x Xét hàm s π Cách 2: ð"t x = tan A, y = tan B, z = tan C v i A, B, C ∈ 0; ⇒ < A + C < π 2 ThuVienDeThi.com NHĨM TỐN THPT THANH HÓA tan A + tan C = tan( A + C ) ⇒ B = A + C − tan A tan C Ta có P = cos A − cos B − 4sin C + 3sin C.cos C = −2sin( A + B) sin( A − B) − sin C − 3sin C = sin( A + B).sin C − sin C − 3sin C ≤ sin C − 3sin C T( xyz + x + z = y ⇒ tan B = D u "=" x y A + B = π f (t ) = t − 3t ta ñư c sin C − 3sin C ≤ D u "=" x y sin C = ⇒ tan C = π tan A A + B = ⇒ 2 = cot C = cot( B − A) = tan A = T( tan C = − tan A ⇒ tan A = , tan B = 2 2 2 V y P ñ t giá tr l n nh t b ng t i ( x; y; z ) = ; 2; Xét hàm s Câu III.2 Tìm giá tr c a tham s m đ h b t phương trình sau có nghi m log 32 ( x + 7) + ( x − 3) log ( x + 7) + x − ≥ (1) (2) mx( x + + x + 2) + 27 m ≤ x + x + L i gi i: ði%u ki n: x ≥ −2 (1) ⇔ [ log ( x + 7) + 1][ log ( x + 7) + x − 4] ≥ ⇔ log ( x + 7) + x − ≥ (3) ( Do log3 ( x + 7) + > 0, ∀x ≥ −2 ) + > 0, ∀x ≥ −2 ( x + 7) ln Suy f ( x) ñ ng bi n [ − 2; +∞) Do (3) ⇔ f ( x) ≥ f (2) ⇔ x ≥ Xét hàm s f ( x) = log ( x + 7) + x − ⇒ f '( x) = ð"t t = x + x + (t ≥ x ≥ 2) ⇒ t = x + x + x x + + t B t phương trình (2) bi u th theo t m(t + 25) ≤ t ⇔ m ≤ t + 25 1 t t ð"t g (t ) = ⇒ g (t ) ≤ = , d u "=" x y t = ⇒ max g (t ) = g (5) = [4; +∞ ) 10 t + 25 t 25 10 Yêu c u c a tốn tr' thành tìm m đ m ≤ g (t ) có nghi m t ∈ [4; +∞ ) 1 ⇔ max g (t ) ⇔ m ≤ V y m ≤ [4; +∞ ) 10 10 (Ta có th tìm max g (t ) b ng cách l p b ng bi n thiên c a hàm s g (t ) n!a [4; +∞ ) kho ng [4;+∞) Câu IV.1 G i S t p h p c s nguyên dương c a s 43200 L y ng u nhiên hai ph n t thu c S Tính xác su t l y đư c hai ph n t hai s không chia h t cho L i gi i: Ta có 43200 = 26.33.52 M i c nguyên dương c a s 43200 m t s có d ng 2i.3 j.5k , i ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6}, j ∈ {0;1; 2;3}, k ∈ {0;1; 2} Suy có 7.4.3 = 84 c, nên s ph n t! c a S 84 ThuVienDeThi.com NHĨM TỐN THPT THANH HĨA M i c ngun dương khơng chia h t cho c a s 43200 m t s có d ng 2i.3 j.50 Suy s c c a 43200 không chia h t cho t p S 7.4 = 28 C2 Suy P = 282 = C84 83 Câu IV.2 Trong m!t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình ch nh t ABCD G i G ñi m thu c ño n BD cho BD = BG , M ñi m ñ i x ng c a ñi m A qua G Hình chi u vng góc c a ñi m M ñư ng th ng BC , CD l n lư t H (10;6) K (13; 4) Tìm t a đ đ nh c a hình ch nh t ABCD bi t r ng ñư ng th ng BD ñi qua ñi m E (1; 2) L i gi i: A B G I M H E C K D G i I giao ñi m c a AC BD suy AIMB hình bình hành Suy MB = IA = CI ⇒ IBMC hình bình hành, mà IB = IC nên IBMC hình thoi, suy hình chi u H c a M BC trung m c a BC IM 17 Do MK = HC = BH ⇒ KH = MB = CI = HG ⇒ G ; 17 BD ñi qua E (1; 2) G ;7 nên BD có phương trình x − y + = G i B (3b + 1; 2b + 2) ∈ BD ⇒ C (19 − 3b;10 − 2b) ñ i x ng v i B qua H (10; 6) Suy HC (9 − 3b; − 2b), KC (6 − 3b;6 − 2b) Ta có HC ⊥ KC ⇔ HC.KC = ⇔ b − 5b + = ⇔ b = 2; b = +) V i b = ⇒ B (7; 6) ⇒ C (13; 6) I (10;8) ⇒ A(7;10) ⇒ D (13;10) +) V i b = ⇒ B (10;8) ⇒ C (10; 4) I (7; 6) ⇒ A(4;8) ⇒ D (4; 4) V y A(7;10), B (7; 6), C (13;6), D (13;10) ho"c A(4;8), B (10;8), C (10; 4), D (4; 4) Câu V.1 Cho lăng tr# ñ ng ABC A ' B ' C ' có AB = 6, BC = 12, ABC = 600 Th tích c a kh i chóp C ' ABB ' A ' b ng 216 G i M ñi m n m tam giác A ' B ' C ' cho t ng di n tích t t c m!t c a hình chóp M ABC ñ t giá tr nh nh t Ch ng minh r ng M tâm đư ng trịn n i ti p tam giác A ' B ' C ' Tính cosin c a góc gi a hai ñư ng th ng B ' M AC ' L i gi i *) Ch ng minh M tâm đư ng trịn n i ti p tam giác A ' B ' C ' G i I hình chi u c a M (ABC); D, E, F l n lư t hình chi u c a I AB, BC, CA ð"t x = ID, y = IE , z = IF , 2a = AB, 2b = BC , 2c = CA, h = AA ' = MI Khi S ABC = S IAB + S IAC + S IBC = ax + by + cz Di n tích tồn ph n c a hình chóp M ABC nh nh t ch S = S MAB + S MBC + S MCA nh nh t Có MD = MI + ID2 = h + x ⇒ SMAB = AB.MD = a h + x = (ah)2 + (ax)2 Tương t ta ñư c S = (ah)2 + (ax)2 + (bh) + (by ) + (ch) + (cz ) ThuVienDeThi.com NHĨM TỐN THPT THANH HĨA S! d$ng b t ñ ng th c u + v + w ≥ u + v + w v i u = (ah; ax), v = (bh; by ), w = (ch; cz ) ta ñư c S ≥ (ah + bh + ch) + (ax + by + cz )2 = (a + b + c)2 h + S ABC = const ax by cz = = ⇔ x = y = z ah bh ch Suy I tâm đư ng trịn n i ti p tam giác ABC, nên M tâm ñư ng tròn n i ti p tam giác A ' B ' C ' D u b ng x y ch C' B' M K A' *) Tính cosin c a góc gi a hai ñư ng th ng B’M AC’ S A ' B 'C ' = S ABC = BA.BC.sin ABC = 18 2 2 A ' C ' = AC = AB + BC − AB.BC cos 600 = 108 ⇒ A ' C ' = 3 Do Vlăng tr$ = VC ' ABB ' A ' = 324 ⇒ AA '.S ABC = 324 ⇒ AA ' = Cách 1: G i K chân ñư ng phân giác c a tam giác A ' B ' C ' k* t( B, t( K k* ñư ng th ng song song v i AC ' c t AA ' t i H, H C B I D A ϕ = ( B ' M , AC ') = ( B ' K , KH ) ⇒ cos ϕ = cos B ' KH 18 B ' K ( B ' A '+ B ' C ')sin 300 ⇒ 18 = B ' K ⇒ B ' K = 4 A' K A' B ' 1 = = ⇒ A ' K = A'C ' = Ta có C 'K C 'B' A' H A' K = = ⇒ A' H = Do KH / / AC ' nên A ' A A'C ' S B ' A 'C ' = S B ' KC ' + S B ' KA ' = ⇒ KH = A ' H + A ' K = , B ' H = A ' B '2 + A ' H = cos B ' KH = B ' K + HK − B ' H 2 V y cos ϕ = = 2.B ' K HK 4 Cách 2: Ta th y BC = AB + AC nên tam giác ABC vng t i A Do ta có th ch n h tr$c t a Oxyz cho A(0;0;0), B(6;0;0), C (0;6 3;0), A' (0;0;6 ) , suy B ' (6;0;6 ), C ' (0;6 3;6 ) , g i K = B ' M ∩ A' C ' ⇒ KC ' = −2 KA' ⇒ K (0;2 3;6 ) ⇒ B ' K = (−6;2 3;0), AC ' = (0;6 3;6 ) Do cos( B' M , AC ' ) = B' K AC ' B' K AC ' = + 36 + 36 + 12 + 0 + 108 + 108 = Câu V.2 Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho ñi m A(2; 2; 0) m!t c u ( S ) có phương trình x + y + z − x − y − z = Vi t phương trình m!t ph ng (OAB ) bi t ñi m B thu c ( S ) tam giác OAB ñ$u L i gi i Cách 1: (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R = Ta th y O, A thu c (S) Tam giác OAB đ%u, có bán kính đư ng trịn ngo i ti p r = d ( I ;(OAB)) = R − r = ThuVienDeThi.com OA 2 = 3 NHĨM TỐN THPT THANH HĨA M"t ph ng (OAB) qua O (0; 0;0) có phương trình d ng ax + by + cz = (*) v i a + b + c > Do A ∈ (OAB ) nên 2a + 2b = ⇔ b = − a a+b+c d ( I ; (OAB )) = = ⇒ 3c = 2a + c ⇒ c = ± a 2 a +b +c Theo (*) suy phương trình (OAB) là: x − y + z = ho"c x − y − z = a + b + c − 2a − 2b − 2c = B ∈ ( S ) Cách 2: G i B (a; b; c) , theo ta có OB = AB ⇔ a + b + c = (a − 2) + (b − 2) + c a + b + c = OB = OA a + b + c = c = a = a = ⇔ a + b = ⇔ b = − a ⇔ b = ho"c ⇔ b = c = c = 2 2 a + b + c = a + ( a − 2) + = +) N u B(0;2;2) (OAB ) có vtpt OA ∧ OB = (4;−4;4) ⇒ (OAB ) : x − y + z = +) N u B (2;0;2) (OAB ) có vtpt OA ∧ OB = (4;−4;−4) ⇒ (OAB ) : x − y − z = V y phương trình (OAB) là: x − y + z = ho"c x − y − z = ThuVienDeThi.com ...NHĨM TỐN THPT THANH HĨA L I GI I ð THI H C SINH GI I MƠN TỐN L P 12 THPT T NH THANH HÓA NĂM H C 2016 – 2017 M i ñư ng th ng c t ñ th (C )... hình bình hành l n lư t có ñ dài Do hai ñư ng chéo b ng nên 8(1 + k12 ) k1 8(1 + k22 ) k2 8(1 + k12 ) 8(1 + k22 ) = ⇔ k2 (1 + k12 ) = k1 (1 + k22 ) k1 k2 ⇔ (k1 − k2 )(1 − k1k2 ) = ⇔ k1k2 = Theo... −1 d −1 4 = (d − 1) + Ta có: IA = ID ⇔ IA2 = ID ⇔ (a − 1) + (a − 1) (d − 1)2 ThuVienDeThi.com NHĨM TỐN THPT THANH HÓA ) = ⇒ (a − 1)2 (d − 1) = (a − 1) (d − 1) 2 ⇒ a −1 = ⇒ a = 1+ d = + (do a >