Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN-THẠCH THẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN THI: TỐN 11 Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) Giải phương trình cos x = 2sin x + 4cos x Câu (4,5 điểm) xy + x + y = x − y a Giải hệ phương trình : x y − y x − = x − y b Tính giới hạn I = lim x →1 2020(2021 − x ) − 2020 x −1 Câu (3,0 điểm) 15 3 a Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niu-tơn 2x − x b Cho đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 A30 Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh ( H ) Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) u1 = Câu (3,0 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi: (n ) u + un+1 = n 2un + u −2 a Gọi ( ) dãy số xác định = n Chứng minh dãy số ( ) un + cấp số nhân lùi vơ hạn b Tính giới hạn dãy số ( un ) Câu (5,0 điểm) a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, ( ) mặt phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC , SD M , N ( M khác S , C N khác S , D Gọi K AB BC − giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức T = có MN SK giá trị khơng đổi b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, mặt bên hình vng Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AA ', A ' C ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ ABC A ' B ' C ' mặt phẳng ( MNE ) Câu (2,0 điểm) ) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn xy yz zx + + xy + z yz + x zx + y Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh: ………………………………… … Số báo danh:…………… biểu thức: P = Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT - Câ u ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 NĂM HỌC: 2020-2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung Điể m Giải phương trình sau: cos x = 2sin x + 4cos x 2.5 cos x = 2sin x + 4cos x 2cos x − = 2(1 − cos x) + 4cos x 4cos x − 4cos x − = cos x = cos x = − + cos x = (vô nghiệm) 2 + k 2 , k + cos x = − x = 2 + k 2 , k xy + x + y = x − y a Giải hệ phương trình : x y − y x − = x − y 1.5 1.0 KL: Vậy phương trình có nghiệm x = 2.a (1) ( 2) 2.0 ĐK: x 1; y (1) xy + y + x + y = x − y y ( x + y ) + ( x + y ) = ( x − y )( x + y ) 0.5 ( x + y )( y + − x + y ) = x+ y =0 x = 2y +1 +) x + y = (Loại x 1; y ) +) x = y + vào (2) ta 0.5 (2 y + 1) y − y y = y + − y y ( y + 1) = y + ( y + 1)( y − 2) = y = −1 y = y = +) Với y = −1 ( L) +) Với y = x = (TM ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 5;2 ) 0.5 0.5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 2.b 2020(2021 − x ) − 2020 Tính giới hạn I = lim x →1 x −1 2,5 2020 ( 2021 − x ) − 2020 2020(2021 − x ) − 2020 I = lim = lim x→1 x→1 x −1 ( x − 1) 2020(2021 − x ) + 2020 1.0 ( = lim x→1 2020 (1 − x ) ( x − 1) ( 2020(2021 − x ) + 2020 ) = lim x→1 ( ) 2020 ( −1 − x ) 2020(2021 − x ) + 2020 ) = −2 1.5 = −1 15 3.a 3 Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niutơn 2x − x 15 15 15 − k 3 3 x − = C15k ( x ) − x k =0 x 15 1.5 k = C15k 215− k ( −3) x 30−3k 0.5 k k =0 Hệ số x khai triển tương ứng với k thỏa mãn: 30 − 3k = k = 0.5 15 3 Hệ số x khai triển 2x − là: C157 28.(−3)7 = −C157 28.37 x 0.5 Cho đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 A30 Gọi X tập hợp tam 1.5 3.b giác có đỉnh đỉnh ( H ) Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác ( H ) là: C303 = 4060 Số phần tử không gian mẫu n() = C4060 0.5 Gọi A biến cố: ’’Hai tam giác chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) ” +)Số tam giác có cạnh cạnh ( H ) : - Chọn cạnh đa giác ( H ) có C301 - Chọn 26 đỉnh không kề với đỉnh thuộc cạnh chọn ( H ) có C26 1 Số tam giác có cạnh cạnh ( H ) C30 C26 = 780 n( A) = C780 C780 247 P( A) = = C4060 6699 KL: Vậy xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) 247 6699 0.5 0.5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 3.0 u1 = Cho dãy số ( un ) xác định bởi: (n ) un+1 = 7un + 2un + u −2 a Gọi ( ) dãy số xác định = n Chứng minh dãy số un + ( ) cấp số nhân lùi vơ hạn b Tính giới hạn dãy số ( un ) Ta có: 7u n + −2 un +1 − 2un + 3u − un − +1 = = = n = = un +1 + 7un + + 9un + un + 2un + 1.0 u − 1.0 = Suy vn+1 = Vậy ( ) cấp số nhân với công bội q = , v1 = 3 u1 + Vì q nên ( ) cấp số nhân lùi vơ hạn +) = v1.q Ta có = n −1 1 1 = 3 1 = 3 un − 2 + un = un + 1 − Do lim un = lim 5a n −1 n lim = 0.5 0.5 + =2 − Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, ( ) mặt 2.0 phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC , SD M , N Gọi K giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức AB BC T= − có giá trị khơng đổi MN SK Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí K S N M A Ta có D C B ( ) AB +) MN = ( ) ( SCD ) MN AB CD AB CD 0.5 SK = ( SAD ) ( SBC ) +) SK AD BC AD BC 0.5 Từ suy ra: 0.5 AB CD CS = = MN MN MS BC CM = SK SM 0.5 AB BC CS CM MS − = − = =1 MN SK MS SM MS Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, 3.0 5b mặt bên hình vng Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AA ', A ' C ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ ABC A ' B ' C ' mặt phẳng ( MNE ) *) Dựng thiết diện I A C M H B N 0.5 E C' A' F B' J Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Trên ( ACC ' A ') gọi NE AC = I ; NE CC ' = J AI=C'J= Trên ( ABC ) gọi IM BC = H BH = Trên ( BCC ' B ') gọi a a HJ B ' C ' = F FC '= Thiết diện ngũ giác MNEFH Tính diện tích thiết diện 1.0 a 0.5 a 3a 3a 3a 3a 18a 2 IH = 3MH = = ; HJ = ( ) + ( ) = ; IJ = 4 4 HIJ vuông H S MNI IM IN 2 = = = ; S IHJ IH IJ 3 S MNEFH = S IHJ − S MNI − S JEF S EFJ JE.JF 1 = = = S HIJ JI JH 3 3a 3a 3a 15 = S HIJ = = 3 4 16 0.5 0.5 Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn 2.0 xy + xy + z biểu thức: P = yz zx + yz + x zx + y Ta có: xy = xy + z xy = xy + z ( x + y + z ) Đẳng thức xảy Tương tự : 1 x y + ( x + z )( y + z ) x + z y + z xy 0.5 x y = x= y x+z y+z yz 1 y z + yz + x y + x z + x Đẳng thức xảy y = z 0.5 zx 1 z x + Đẳng thức xảy z = x zx + y z + y x + y P= xy + xy + z yz zx 1 x+ y y + z z + x + + + = yz + x zx + y x + y y + z z + x Dấu xảy x = y = z = Vậy Pmax = x = y = z = 0.5 0.5 Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định ...Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT - Câ u ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 NĂM HỌC:... hành, ( ) mặt 2.0 phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC , SD M , N Gọi K giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức AB BC T= − có giá trị khơng đổi MN SK Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài... AB, AA '', A '' C '' Tính diện tích thi? ??t diện cắt lăng trụ ABC A '' B '' C '' mặt phẳng ( MNE ) *) Dựng thi? ??t diện I A C M H B N 0.5 E C'' A'' F B'' J Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập