de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 truong thpt phung khac khoan ha noi

Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN-THẠCH THẤT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN THI: TỐN 11 Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Đề thi gồm: 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) Giải phương trình cos x = 2sin x + 4cos x Câu (4,5 điểm)  xy + x + y = x − y a Giải hệ phương trình :   x y − y x − = x − y b Tính giới hạn I = lim x →1 2020(2021 − x ) − 2020 x −1 Câu (3,0 điểm) 15 3  a Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niu-tơn  2x −  x  b Cho đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 A30 Gọi X tập hợp tam giác có đỉnh đỉnh ( H ) Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H )   u1 = Câu (3,0 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  (n   ) u + un+1 = n 2un +  u −2 a Gọi ( ) dãy số xác định = n Chứng minh dãy số ( ) un + cấp số nhân lùi vơ hạn b Tính giới hạn dãy số ( un ) Câu (5,0 điểm) a Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, ( ) mặt phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC , SD M , N ( M khác S , C N khác S , D Gọi K AB BC − giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức T = có MN SK giá trị khơng đổi b.Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, mặt bên hình vng Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AA ', A ' C ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ ABC A ' B ' C ' mặt phẳng ( MNE ) Câu (2,0 điểm) ) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn xy yz zx + + xy + z yz + x zx + y Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên học sinh: ………………………………… … Số báo danh:…………… biểu thức: P = Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT - Câ u ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 NĂM HỌC: 2020-2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung Điể m Giải phương trình sau: cos x = 2sin x + 4cos x 2.5 cos x = 2sin x + 4cos x  2cos x − = 2(1 − cos x) + 4cos x  4cos x − 4cos x − =  cos x =   cos x = −  + cos x = (vô nghiệm) 2 + k 2 , k  + cos x = −  x =  2 + k 2 , k   xy + x + y = x − y a Giải hệ phương trình :   x y − y x − = x − y 1.5 1.0 KL: Vậy phương trình có nghiệm x =  2.a (1) ( 2) 2.0 ĐK: x  1; y  (1)  xy + y + x + y = x − y  y ( x + y ) + ( x + y ) = ( x − y )( x + y ) 0.5  ( x + y )( y + − x + y ) =  x+ y =0  x = 2y +1 +) x + y = (Loại x  1; y  ) +) x = y + vào (2) ta 0.5 (2 y + 1) y − y y = y + − y  y ( y + 1) = y +  ( y + 1)( y − 2) = y = −1    y =  y = +) Với y = −1 ( L) +) Với y =  x = (TM ) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 5;2 ) 0.5 0.5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 2.b 2020(2021 − x ) − 2020 Tính giới hạn I = lim x →1 x −1 2,5 2020 ( 2021 − x ) − 2020 2020(2021 − x ) − 2020 I = lim = lim x→1 x→1 x −1 ( x − 1) 2020(2021 − x ) + 2020 1.0 ( = lim x→1 2020 (1 − x ) ( x − 1) ( 2020(2021 − x ) + 2020 ) = lim x→1 ( ) 2020 ( −1 − x ) 2020(2021 − x ) + 2020 ) = −2 1.5 = −1 15 3.a 3  Tìm hệ số x khai triển nhị thức Niutơn  2x −  x  15 15 15 − k  3  3 x − = C15k ( x )  −     x k =0   x 15 1.5 k =  C15k 215− k ( −3) x 30−3k 0.5 k k =0 Hệ số x khai triển tương ứng với k thỏa mãn: 30 − 3k =  k = 0.5 15 3  Hệ số x khai triển  2x −  là: C157 28.(−3)7 = −C157 28.37 x  0.5 Cho đa giác lồi ( H ) có 30 đỉnh A1 A2 A30 Gọi X tập hợp tam 1.5 3.b giác có đỉnh đỉnh ( H ) Chọn ngẫu nhiên tam giác X Tính xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác ( H ) là: C303 = 4060 Số phần tử không gian mẫu n() = C4060 0.5 Gọi A biến cố: ’’Hai tam giác chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) ” +)Số tam giác có cạnh cạnh ( H ) : - Chọn cạnh đa giác ( H ) có C301 - Chọn 26 đỉnh không kề với đỉnh thuộc cạnh chọn ( H ) có C26 1  Số tam giác có cạnh cạnh ( H ) C30 C26 = 780  n( A) = C780 C780 247  P( A) = = C4060 6699 KL: Vậy xác suất để chọn tam giác tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) 247 6699 0.5 0.5 Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí  3.0  u1 =  Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  (n  ) un+1 = 7un + 2un +  u −2 a Gọi ( ) dãy số xác định = n Chứng minh dãy số un + ( ) cấp số nhân lùi vơ hạn b Tính giới hạn dãy số ( un ) Ta có: 7u n + −2 un +1 − 2un + 3u − un − +1 = = = n = = un +1 + 7un + + 9un + un + 2un + 1.0 u − 1.0 = Suy vn+1 = Vậy ( ) cấp số nhân với công bội q = , v1 = 3 u1 + Vì q  nên ( ) cấp số nhân lùi vơ hạn +) = v1.q Ta có = n −1 1 1 =   3  1 =  3 un − 2 +  un = un + 1 − Do lim un = lim 5a n −1 n  lim = 0.5 0.5 + =2 − Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, ( ) mặt 2.0 phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC , SD M , N Gọi K giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức AB BC T= − có giá trị khơng đổi MN SK Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí K S N M A Ta có D C B  ( )  AB  +)  MN = ( )  ( SCD )  MN AB CD  AB CD  0.5  SK = ( SAD )  ( SBC ) +)   SK AD BC AD BC  0.5 Từ suy ra: 0.5 AB CD CS = = MN MN MS BC CM = SK SM 0.5 AB BC CS CM MS − = − = =1 MN SK MS SM MS Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, 3.0  5b mặt bên hình vng Gọi M , N , E trung điểm cạnh AB, AA ', A ' C ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ ABC A ' B ' C ' mặt phẳng ( MNE ) *) Dựng thiết diện I A C M H B N 0.5 E C' A' F B' J Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Trên ( ACC ' A ') gọi NE  AC = I ; NE  CC ' = J  AI=C'J= Trên ( ABC ) gọi IM  BC = H  BH = Trên ( BCC ' B ') gọi a a HJ  B ' C ' = F  FC '=  Thiết diện ngũ giác MNEFH Tính diện tích thiết diện 1.0 a 0.5 a 3a 3a 3a 3a 18a 2 IH = 3MH = = ; HJ = ( ) + ( ) = ; IJ = 4 4  HIJ vuông H S MNI IM IN 2 = = = ; S IHJ IH IJ 3  S MNEFH = S IHJ − S MNI − S JEF S EFJ JE.JF 1 = = = S HIJ JI JH 3 3a 3a 3a 15 = S HIJ = = 3 4 16 0.5 0.5 Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn 2.0 xy + xy + z biểu thức: P = yz zx + yz + x zx + y Ta có: xy = xy + z xy = xy + z ( x + y + z ) Đẳng thức xảy  Tương tự : 1 x y    + ( x + z )( y + z )  x + z y + z  xy 0.5 x y = x= y x+z y+z yz 1 y z    +  yz + x  y + x z + x  Đẳng thức xảy  y = z 0.5 zx 1 z x    +  Đẳng thức xảy  z = x zx + y  z + y x + y  P= xy + xy + z yz zx 1 x+ y y + z z + x  +   + + = yz + x zx + y  x + y y + z z + x  Dấu xảy x = y = z = Vậy Pmax = x = y = z = 0.5 0.5 Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định  ...Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT PHÙNG KHẮC KHOAN - THẠCH THẤT - Câ u ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 11 NĂM HỌC:... hành, ( ) mặt 2.0 phẳng thay đổi qua AB cắt cạnh SC , SD M , N Gọi K giao điểm hai đường thẳng AN BM Chứng minh biểu thức AB BC T= − có giá trị khơng đổi MN SK Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài... AB, AA '', A '' C '' Tính diện tích thi? ??t diện cắt lăng trụ ABC A '' B '' C '' mặt phẳng ( MNE ) *) Dựng thi? ??t diện I A C M H B N 0.5 E C'' A'' F B'' J Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập