ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 180 phút) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO Tháng Câu 1( 4,0 điểm) 1) Cho hàm số y x x có đồ thị (P1) hàm số y x x có đồ thị (P2) Giả sử đường thẳng (d): y = m cắt (P1) hai điểm phân biệt A, B cắt (P2) hai điểm C, D Tìm m để AB 2CD 2) Giải bất phương trình x x 3x 1 x2 x Câu 2( 4,0 điểm) x 1) Giải phương trình 4cos3 x cos x 2cos x 4cos x tan tan x y y y x xy x 2) Giải hệ phương trình x 25 y 19 x x 35 y Câu 3( 4,0 điểm) 1) Cho số thực dương x, y, z Chứng minh x2 y 3z 2) Cho dãy số un y2 z 3x z2 1 1 x 3y u1 , un 1 xác định sau un 2n 1 u n 1 n Tính tổng 2019 số hạng dãy số un Câu 4( 4,0 điểm) 1) Xung quanh bờ ao gia đình bác Nam trồng 20 chuối Do khơng cịn phù hợp bác muốn thay để trồng bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên Tính xác suất để bác Nam chặt khơng có hai gần 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm I Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, H hình chiếu vng góc C đường thẳng BI Các đường thẳng AC KH có phương trình x + y + = x + 2y - = Biết điểm B thuộc đường thẳng y - = điểm I thuộc đường thẳng x + = Tìm tọa độ điểm C Câu 5( 4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 3a AD = a Cạnh bên SA = 2a SA vng góc với mặt đáy (ABCD ) Gọi H , K hình chiếu vng góc ( ) đỉnh A lên cạnh SB SD Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng AHK VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB ,OC đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (ABC ) P điểm tam giác ABC Chứng minh PA PB PC PH + + = + OA OB OC OH HẾT VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA Tháng Câu 1a ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 180 phút) ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2019 - 2020 Đáp án Xét phương trình: x x m (1) x x m (2) Điểm m ĐK: m2 m AB 2CD AB 2CD ( x x 2) 2( x x 4) ( x1 x2 ) x1 x2 2[( x3 x4 ) x3 x4 ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m = 1b (2 điểm) 2.0 ĐS: m = + Điều kiện x 1 + Ta có x x x nên x x 2 Do bất phương trình x x x x x x x x x 3x + Nếu x bất phương trình trở thành (vô lý) 1 + Nếu x bất phương trình x x x x + Đặt x t với t , bất phương trình trở thành t t x 13 t 1 t 13 13 105 13 105 13 4x 12x x + Với t x x 8 13 105 13 105 x + Vậy bất phương trình có nghiệm 8 2a x (2 điểm) + Với điều kiện cos cos x 1 phương trình tương đương với cos x cos x x sin sin x cos x cos x cos x cos x 2 0 x cos cos x 0.5 0,5 0.5 0.5 0.5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí x x sin sin x cos cos x 2 cos x cos x cos x cos x 1 x cos cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x 0,5 cos x cos x cos x 2 cos x 0.5 x k cos x cos x 1 cos x cos x x k 2 x k + So sánh với điều kiện ta k x k 2 2b (2 điểm) 9 y y y x 7 x 25 y 19 xy 0; y 2; x 5 x Từ PT đầu hệ kết hợp với điều kiện xác định suy x 7, y 0.5 Do (1) y y y x x xy x y y y x x y y y x x xy x xy x 9 x y 2y y x y y y x x x y + Thế vào (2), ta được: xy x 4x x 25 x 19 x x 35 x x 11x 22 x x x x x 14 x x x x 14 Đặt a x 5x 14 ;b x a 0, b Khi phương trình trở thành 3a 4b ab a b 3a 4b Với a b x (thỏa mãn) x (loại) 61 11137 61 11137 (thỏa mãn) x (loại) 18 18 Kết luận: Hệ có nghiệm hệ là: Với 3a 4b x 0.5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 61 11137 61 11137 ; 7;3 18 18 3 3.a (2 điểm) + Đặt P x2 y3 3z y2 z3 3x2 z2 x3 y x a, y b, z c với a, b, c + Ta có y 1 y 1 y y y2 y2 1 y + Theo cô-si 1 y 1 y y 2 2 1 x 1 x a + Suy 2 2 1 y 1 z 2b 3c y 3z + Hoàn toàn tương tự ta có y2 y2 b 2 2 z x 2 1 z 1 x 2c 3a z2 x3 y z2 c 2 1 x 1 y 2a 3b 1 0.5 3 + Cộng bất đẳng thức 1 , , theo vế ta a b c 2b 3c 2c 3a 2a 3b a2 b2 c2 P 2ab 3ca 2bc 3ab 2ca 3bc P 0,5 a b c ab bc ca ab bc ca P đpcm ab bc ca 0.5 + Dấu “=” xảy x y z 0.5 P 3.b (2 điểm) u1 , un 1 Cho dãy số un xác định sau un 2n 1 u n 1 2019 số hạng dãy số un Ta có n Tính tổng 2n 1 un 1 1 1 4n n n 1 un un 1 un 1 un 1 0,5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 1 2 2n n n 1 2n n 1 un un 1 un 1 1 2 Tương tự ta có n 1 n un 1 un u1 1 1 4n Suy 2n un u1 2 un 2 1 un 2n 1 2n 1 2n 2n 2019 i 1 ui 2019 i 1 2i 2i 4038 1 1 1 1 1 1 4039 4039 3 3 5 5 4037 4039 4.a + n() C 204 4845 (2 điểm) Trường hợp 1: Cả chặt gần có 20 cách + Trường hợp 2: Trong chặt có gần - Chặt gần có 20 cách - Mỗi gần có 15 khơng gần Vậy trường hợp có: 20 X 15 = 300 cách Trường hợp 3: Trong chặt có gần nhau: - Chặt gần có 20 cách - Với gần có 16 không gần hai Trong 16 lại có 15 cặp gần Chọn hai khơng gần 16 có: C162 15 105 Vậy trường hợp có: 20.105 = 2100 cách + Trường hợp 4: Trong chặt có hai cặp gần - Chọn cặp gần có 20 cách - Mỗi cách chọn cặp gần lại có 15 cặp gần chọn từ 16 20.15 150 cách Vậy trường hợp có Vậy n( A) 4845 (20 300 2100 150) 2275 2275 455 Suy ra: P ( A) 4845 969 0.5 0,5 0.5 0.5 Bài b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm I Gọi K hình chiếu vng góc B đường thẳng AC, H hình chiếu vng góc C đường thẳng BI Các đường thẳng AC KH có phương trình x + y + = x + 2y - = Biết điểm B thuộc đường thẳng y - = điểm I thuộc đường thẳng x + = Tìm tọa độ điểm C Hướng dẫn VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí K giao điểm HK AC nên có tọa độ K(-3; 2) Đường thẳng BK vng góc với AC nên có phương trình: x - y + = Vì B thuộc đường thẳng y - = nên tọa độ B(0; 5) 7÷ ÷ trung điểm BK, M trung điểm BC EM // AC nên phương trình EM là: x + y - Gi E ỗ ỗ ỗ- ; 2÷ ÷ = Suy tọa độ M là: M (m;2 - m ) Do MH = MK nên tam giác HMK cân M, có MD trung ìï x = m + t tuyến trung trực, nên phương trình đường thẳng MD có dạng: ïí , thay vào phương ïï y = - m + 2t ỵ trình HK ta có: 6m - - 3m ÷ m- ÷ ; m + t + 2(2 - m + 2t ) - = Û t = , suy ta ca D l: D ỗ ỗ ữ ỗ 5 ữ uuur 12m + - - 6m ÷ ÷ ; BH Từ tọa độ D K suy tọa độ H ỗ Suy ta vộc t l: ç ÷ ÷ ç 5 uuur uur uuur 12m + - 27 - 6m ÷ ÷ BH = ç ; I 1; n BI = 1; n Mặt khác gọi , ta có hướng với nờn BH ỗ ( ) ( ) ữ ỗ ÷ (n - 5)(12m + 9) = 27 + 6m Û (n - 5)(4m + 3) = + 2m Þ n = 22m + 24 (1) 4m + uuur uuur Ngoài BM I M = nên ta có: m (m + 1) - (m + 3)(2 - m - n ) = Û 2m + 2m - + n (m + 3) = (2) Thế (1) vào (2) ta được: 11m + 12 (m + 3) = Þ m2 + m - (4m + 3) + (11m + 12)(m + 3) = 4m + 3 Þ 4m + 18m + 36m + 27 = Û (2m + 3)(2m + 6m + 9) = Þ m = - 7 Khi tọa độ M - ; º E - ; Þ C (- 3;2) º K (- 3;2) nên tam giác ABC vuông C 2 2 Câu m2 + m - + ( ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 3a AD = a Cạnh 2,0 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí ( ) bên SA = 2a SA vng góc với mặt đáy ABCD Gọi H , K hình chiếu vng góc đỉnh A lên cạnh SB SD Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng (AHK ) ìï BC ^ SA Þ BC ^ (SAB ) Þ BC ^ AH Ta có AH ^ SB , mà ïí ïï BC ^ BA ỵ Suy ra: AH ^ (SBC ) Þ AH ^ SC (1) 0,50 (2) = SC Ç (AHK ) , từ (1) (2) suy ra: SC ^ (AHI K ) Tương tự: AK ^ SC Gọi I 0,50 S I H K D A B C = ASC Do đó: AC , (AHK ) = CAI 0,25 Ta có: AC = 0,25 ( ) AB + AD = 2a = AC = Þ ASC = 60 Mà: t an ASC AS KL: AC , (AHK ) = 600 ( 0,25 ) 0,25 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA,OB ,OC đơi vng góc với O Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (ABC ) P điểm tam giác PA PB PC PH ABC Chứng minh + + = + OA OB OC OH A 2,0 0,25 H P O VnDoc.com - Tải tài liệu,Cbiểu mẫu, vbpl miễn phí Ta có: OP = xOA + yOB + zOC (1) Do điểm P nằm tam giác ABC nên x + y + z = OP + OA - PA OP + OA - PA Từ (1) ta có: x OA = OP OA = Þ x= 2OA ( ) OP PA ÷ ữ Suy ra: x = ỗỗỗ1 + ữ 2ỗ OA OA ữ Tng t: y = ỗ OP PB ữ 1ỗ OP PC ữ ữ ữ , z = + ỗỗ1 + ç ÷ ÷ ç OB OB ÷ ỗỗ OC OC ữ M ta cú: x + y + z = Þ 2 0,50 0,25 OP PA OP PB OP PC 1+ + + + + = 2 OA OA OB OB OC OC OP OP OP PA PB PC + + = + + + OA OB OC OA OB OC 1 ÷ PA PB PC 2ỗ ữ + OP ỗỗ + + + + ÷= OA OB OC ÷ OA OB OC Û 3+ OA PA PB Do đó: + OA OB PA PB KL: + + OA OB Mặt khác ta có: 1 + = OP = OH + PH 2 2 OB OC OH PC OP OH + HP PH + = + = + = + OC OH OH OH PC PH (đpcm) = 2+ OC OH + 0,50 0,25 0,25 Mời bạn đọc tham khảo https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 10 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí ... (loại) 61 111 37 61 111 37 (thỏa mãn) x (loại) 18 18 Kết luận: Hệ có nghiệm hệ là: Với 3a 4b x 0.5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 61 111 37 61 111 37 ; 7;3... ĐÀO TẠO THANH HÓA Tháng Câu 1a ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2019 -2020 MƠN: TỐN (Thời gian làm bài: 180 phút) ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG 2019 - 2020 Đáp án Xét phương trình: x x ... PC PH (đpcm) = 2+ OC OH + 0,50 0,25 0,25 Mời bạn đọc tham khảo https://vndoc.com/tai-lieu -hoc- tap -lop- 11 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 10 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu,