SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019 - 2020 MƠN TỐN 11 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (6,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) sin x 2sin x sin x cos x sinx 20 x 17 y 3x x y y b) ( x3 y 8) x 5x x3 y 12 x Câu (5,0 điểm) a) Gọi S tập tất số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tập S Tính xác suất để số chọn chia hết cho 45 u1 b) Cho dãy số (un) xác định (n 1)u n n 2n 2n , n N * un 1 n Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Câu ( 5,0 điểm) a) Cho tứ diện ABCD, hai cạnh AD BC lấy điểm M N cho AM CN EF Hai điểm E, F thuộc BM DN cho EF / / AC Tính tỉ số MD NB AC b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AD / / BC AD BC Gọi O giao điểm AC BD, điểm M thay đổi nằm hình thang cho OM khơng song song với cạnh hình thang Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắt mp(SAB), (SBC), (SCD) (SDA) điểm E, F, G H Chứng minh rằng: MF 2(ME MG ) 4MH 9SO Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có M (3; 1) trung điểm cạnh BC, đường thẳng AC qua điểm E(1;3) Điểm D(4; 2) đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm C thuộc đường thẳng d: x y có hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Câu (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b3 ac(a c) bc(b c) 5abc a b c … Hết … Học sinh không sử dụng tài liệu ……… Giám thị khơng giải thích thêm VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí Câu 1a) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đáp án gồm trang) Nội dung sin x 2sin x sin x cos x sinx Ta có (1) 1.0 sin x (2sin x 1) 2cos x sin x cos x sin x (2sin x 1) cos x(2sin x 1) 2sin x 2sin x 1 sin x cos x sin x cos x x k 2 * 2sin x sinx x 5 k 2 1 sin x cos x 2 * x k 2 6 sin x sin 6 6 x 7 k 2 6 sin x cos x Vậy PT cho có nghiệm x 1b) Điểm 3.0 k 2 , x k , x k , k Z 6 20 x 17 y 3x x y y (1) (2) ( x y 8) x 5x x3 y 12 x 6 x ĐK: 5 y Đặt 2 x x x k x k 0.5 0.5 0.75 0.25 3.0 a x x a y b b y 1.0 Thay vào (1) ta có 20a 17b 3(6 a ) a 3(5 b )b 3a 2a 3b3 2b ( a b) 3( a ab b ) ab ( Do 3(a ab 3b ) 0) VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí x y y x vào (2) ta có ( x x 8) x x x 5( x 1) 12 x 0,25 ( x x 5) x x x x x ( x x 5) x 3x 5 x x x3 x x 2x2 5x 2x 5x 0,5 x (2 x x 1) 2x 5x x 3x x 2x 5x x 5 33 9 33 y x 4 2x 5x (thỏa mãn) 5 33 9 33 y x 4 x 3x x 2x 5x x x (2x 5) x x (2x 5) (3) với x Đặt a x x , b x 0.5 0.5 ta có a b ab a b vô nghiệm Đặt a x x , b 2x 5 ta có a b ab a b vô nghiệm với x Câu a) Có A97 1632960 số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Phép thử Chọn ngẫu nhiên số tập S nên số phần tử không gian mẫu n() 1632960 Một sô chia hết cho 45 số chia hết cho chia hết cho Ta có 45 chia hết để tạo số có chữ số đơi khác ta lấy chữ số 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mà tổng chữ số chia hết cho Suy phải bỏ hai chữ số có tổng Tức bỏ 0;9 , 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5 Mặt khác số cần tìm chia hết phải chứa TH1 Chỉ chứa hai số - Loại 0;9 Chữ số cuối nên có 7! = 5040 số 3.0 0.5 0.75 0.75 - Loại 4;5 Chữ số cuối nên có 7! = 5040 số VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí TH2 Có hai 0;9 4;5 0.5 Trong TH ta loại ba 1;8 , 2;7 , 3;6 Chẳng hạn loại 1;8 ta lập 7! + 6.6! = 9360 Vậy TH có 3.9360 = 28080 Vậy hai TH có 28080 + 2.5040 = 38160 Xác suất cần tìm b) 0.5 38160 53 1632960 2268 u1 (n 1)u n n 2n 2n , n N * un 1 n 2.0 Từ hệ thức truy hồi ta có 0.25 (n 1)u n 3(n 1)(n n 1) n u u n 1 n 3( n n 1) n 1 n u u u u n 1 n 3n 3n n 1 n ( n 1)3 n3 n 1 n n 1 n u u n 1 (n 1) n n n 1 n u Xét dãy số (vn) với n n n un 1 0.5 0.5 Ta có 1 suy dãy số (vn) cấp số cộng có số hạng đầu u1 với công sai d = v1 (n 1).d (n 1).2 2n v1 Suy un n 2n un n 2n n n 0.25 0.5 Câu a) 2.0 điểm VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí 0.25 Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD K Ta có AC //(BMK) mà E thuộc (BMK) EF//AC nên EF nằm mp(BMK), F giao điểm DN (BMK) F BK DN Trong mp(BKM), từ F kẻ đường thẳng song với MK cắt BM E Ta có hai điểm E, F cần tìm Do AM CK CN KF NK CK nên NK//BD Suy MD KD NB FB BD C D EF BF MK EF EF MK mà Do MK BK AC AC MK AC 0.5 0.5 0.75 b) 3.0 điểm VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí Kẻ đường thẳng OM cắt AB, BC, CD AD I, K, L N Ta có mp (SMO) cắt mp(SAB), (SBC), (SCD), (SDA) theo giao tuyến SI, SK, SL, SN Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt đường thẳng SI, SK, SL, SN điểm E, F, G H điểm cần dựng Ta có ME IM S MAB SO IO S OAB Tương tự MF S MBC MG S MCD MH S MAD , , SO S OBC SO S OCD SO S OAD Ta có SOAD 4SOBC 2SOAB 2SOCD 4S 0.5 0.5 0.5 0.5 Suy MF ME MG MH S MBC S MAB 2SMC D 4SMAD 2 2 4 SO SO SO SO S OBC S OAB S OCD S OAD 1.0 S MBC S MAB 2SMC D 4SMAD S ABCD 9 S1 2S1 2S1 4S1 S1 Vậy MF 2(ME MG ) 4MH 9SO Câu 2.0 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí Gọi H trực tâm tam giác ABC Ta có BH song song với CD vng góc với AC Tương tự CH song song với BD nên BDCH hình bình hành Do M trung điểm BC nên M trung điểm DH Vậy H(2; 0) Gọi C(3-2c; ; -c-2) c) suy B(3+2c Ta có BH 2c 1; c , EC 2c; c BH EC ( 2c 1).(2 2c ) (c 2).(c 3) 5c 2 3c c 1 BH EC nên BH EC c 3c c Câu a b c ,y ,z abc abc abc Ta có x, y, z khơng âm x + y + z = P x y xz ( x z ) yz ( y z ) 5xyz Đặt x x y z ( x y 5xy) z ( x y) Ta có (x y) (1 z) 3 x y3 , x y 5xy x y (1 z) 4 4 1 z z z z (1 z) z z P 4 4 z x y z 0.25 0.5 0.5 Do C có hồnh độ dương nên C(5; -1), B(1; -1) PT AH : x – = PT AC : x + y = suy tọa độ A(2 ; 2) x y z 1 P x y 0.5 0.25 2.0 0.5 0.5 0.5 0.5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí Vậy GTNN P a b c Hết Mời bạn đọc tham khảo https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí ... M kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD K Ta có AC //(BMK) mà E thuộc (BMK) EF//AC nên EF nằm mp(BMK), F giao điểm DN (BMK) F BK DN Trong mp(BKM), từ F kẻ đường thẳng song với MK cắt BM... biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí Gọi H trực tâm tam giác ABC Ta có BH song song với CD vng góc với AC Tương tự CH song song với BD nên BDCH hình bình hành Do M trung điểm BC nên M trung điểm... … Hết … Học sinh không sử dụng tài liệu ……… Giám thị khơng giải thích thêm VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, văn pháp luật miễn phí Câu 1a) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG