ĐỀ THI HSG NĂM 2011- 2012 Mơn Thi : Tốn 11 Thời gian làm : 180 phút Câu I( điểm): Giải phương trình (sin x sin x 4) cos x 0 2sin x Câu II(2 điểm): 1/ Từ chữ số 1;2;3;4;5;6 lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho số chia hết cho 2/ Tìm số nguyên dương n cho: C n 1 n 1 2.2C 2n 1 3.22 C n1 (2n 1).22 n C n1 2011 Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: y x3 x (C) 1/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 9 x 2011 2/ Tìm tất điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị ( C ) Câu IV(2 điểm): 1/ Chứng minh phương trình : 2 x mx3 nx px 2011 có nghiệm với m,n,p R 2/ Tính : Lim x 1 x 2011x 2009 x 1 Câu V( điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD=600 ; SO vng góc với mặt phẳng (ABCD); SO 3a Gọi E trung điểm AD, F trung điểm DE 1/ Chứng minh (SOF) (SAD) 2/ Tính khoảng cách từ O C đến mặt phẳng (SAD) 3/ Gọi mặt phẳng qua BC vuông góc với mặt phẳng (SAD) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng Tính diện tích thiết diện .Hết…………… Đáp án đề thi HSG mơn tốn lớp 11 lần (2010-2011) Câu I Nội dung Xét phương trình: Điều kiện: sin x ( Sin2 x sin x 4) cos x 2sin x (1) Điểm 0,25 2 1 sin2x(cosx- )+4(cosx- )=0 2 (cosx- )(sin2x+4)=0 x= k 2 Phương trình (1) sin2x.cosx- sin2x+4cosx-2=0 Đối chiếu với điều kiện: x= k 2 0,5 0,25 Vậy phương trình có nghiệm: x= k 2 II Đặt A= {1;2;3;4;5;6} Các tập hợp A gồm có phần tử tổng phần tử chia hết cho là: {1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5}, {4;5;6} Có tập Ứng với tập hợp ta lập 3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu toán Vậy có 8.6=48 số cần tìm Ta có (1 x) 2n1 c20n 1 c12 n1.x c22n1.x c23n1.x3 c22nn11.x 2n1 (1) Lấy đạo hàm hai vế (1) theo x ta 0,5 0,5 0,25 0,5 (2 n 1)(1 x) n ( 1) c12 n 1 2c22n 1.x 3.c23n 1.x (2n 1).c22nn11.x n (2 n 1)(1 x) n c12 n 1 2c22n 1 x 3.c23n 1.x (2n 1).c22nn11.x n (2) Cho x=2 vào hai vế (2) ta được: n 1 2n c (2 n 1).c n 1 n 1 0,25 2n Khi đó: 2n+1=2011 n=1005 Vậy n=1005 Đường thẳng song song với đường thẳng y=-9x+2011 có 0,25 phương trình dạng y= -9x+m (m 2011) Đường thẳng tiếp tuyến (c ) hệ phương trình 0,25 x x 9 x m 3 x x 9 có nghiệm x 1 Giải (2): x Nếu x=-1 vào phương trình (1) ta m=-7 (thỏa mãn) phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7 Nếu x=3 m=25( thỏa mãn) phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25 Vậy có phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25 0,5 0,25 Goi M(x0,f(x 0) (c ); f(x0)= x03 x02 Đường thẳng với hệ số góc k qua điểm M(x0,f(x0) có phương trình là: y= k(x-x0)+ f(x0) 0,25 tiếp tuyến (c ) hệ phương trình x x k ( x x0 ) f ( x0 ) có nghiệm 3 x x (x-x0)[-2x2+(x0+3)x+x02-3x0]=0 x x0 2 g ( x) 2 x ( x0 3) x x0 x0 0,5 = (x0+3)2+8(x02-3x0)=9x02-18x0+9=9(x0-1)2>0 Yêu cầu tốn g(x)=0 có nghiệm kép x=x0 x0 x 0=1 M(1;0) 4 x0 Vậy M(1;0) IV Xét phương trình: Xét hàm số: 2 x mx3 nx px 2011 (1) f ( x) 2 x mx3 nx px 2011 lim f ( x) lim (2 x mx nx px 2011) x x b>0 cho f(b)