QSaNRTB de thi hoc sinh gioi mon toan lop 11 nam 2

ĐỀ THI HSG NĂM 2011- 2012 Mơn Thi : Tốn 11 Thời gian làm : 180 phút Câu I( điểm): Giải phương trình (sin x  sin x  4) cos x  0 2sin x  Câu II(2 điểm): 1/ Từ chữ số 1;2;3;4;5;6 lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho số chia hết cho 2/ Tìm số nguyên dương n cho: C n 1 n 1  2.2C 2n 1  3.22 C n1   (2n  1).22 n C n1  2011 Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: y   x3  x  (C) 1/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  9 x  2011 2/ Tìm tất điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị ( C ) Câu IV(2 điểm): 1/ Chứng minh phương trình : 2 x  mx3  nx  px  2011  có nghiệm với  m,n,p  R 2/ Tính : Lim x 1 x   2011x  2009 x 1 Câu V( điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD=600 ; SO vng góc với mặt phẳng (ABCD); SO  3a Gọi E trung điểm AD, F trung điểm DE 1/ Chứng minh (SOF)  (SAD) 2/ Tính khoảng cách từ O C đến mặt phẳng (SAD) 3/ Gọi   mặt phẳng qua BC vuông góc với mặt phẳng (SAD) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng   Tính diện tích thiết diện .Hết…………… Đáp án đề thi HSG mơn tốn lớp 11 lần (2010-2011) Câu I Nội dung Xét phương trình: Điều kiện: sin x   ( Sin2 x  sin x  4) cos x  2sin x   (1) Điểm 0,25 2 1  sin2x(cosx- )+4(cosx- )=0 2  (cosx- )(sin2x+4)=0   x=   k 2 Phương trình (1)  sin2x.cosx- sin2x+4cosx-2=0  Đối chiếu với điều kiện: x=  k 2 0,5 0,25  Vậy phương trình có nghiệm: x=  k 2 II Đặt A= {1;2;3;4;5;6} Các tập hợp A gồm có phần tử tổng phần tử chia hết cho là: {1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5}, {4;5;6}  Có tập Ứng với tập hợp ta lập 3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu toán Vậy có 8.6=48 số cần tìm Ta có (1  x) 2n1  c20n 1  c12 n1.x  c22n1.x  c23n1.x3   c22nn11.x 2n1 (1) Lấy đạo hàm hai vế (1) theo x ta 0,5 0,5 0,25 0,5 (2 n  1)(1  x) n ( 1)  c12 n 1  2c22n 1.x  3.c23n 1.x   (2n  1).c22nn11.x n  (2 n  1)(1  x) n  c12 n 1  2c22n 1 x  3.c23n 1.x   (2n  1).c22nn11.x n (2) Cho x=2 vào hai vế (2) ta được: n 1 2n   c   (2 n  1).c n 1 n 1 0,25 2n Khi đó: 2n+1=2011  n=1005 Vậy n=1005 Đường thẳng  song song với đường thẳng y=-9x+2011 có 0,25 phương trình dạng y= -9x+m (m  2011) Đường thẳng  tiếp tuyến (c )  hệ phương trình 0,25   x  x   9 x  m   3 x  x  9 có nghiệm  x  1 Giải (2):  x  Nếu x=-1 vào phương trình (1) ta m=-7 (thỏa mãn)  phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7 Nếu x=3 m=25( thỏa mãn)  phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25 Vậy có phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25 0,5 0,25 Goi M(x0,f(x 0)  (c ); f(x0)=  x03  x02  Đường thẳng  với hệ số góc k qua điểm M(x0,f(x0) có phương trình là: y= k(x-x0)+ f(x0) 0,25  tiếp tuyến (c )  hệ phương trình   x  x   k ( x  x0 )  f ( x0 ) có nghiệm   3 x  x   (x-x0)[-2x2+(x0+3)x+x02-3x0]=0  x  x0   2  g ( x)  2 x  ( x0  3) x  x0  x0  0,5 = (x0+3)2+8(x02-3x0)=9x02-18x0+9=9(x0-1)2>0 Yêu cầu tốn  g(x)=0 có nghiệm kép x=x0       x0   x 0=1 M(1;0)  4  x0 Vậy M(1;0) IV Xét phương trình: Xét hàm số: 2 x  mx3  nx  px  2011  (1) f ( x)  2 x  mx3  nx  px  2011 lim f ( x)  lim (2 x  mx  nx  px  2011)   x  x    b>0 cho f(b)