Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 trường THPT Nguyễn Huệ, Phú Yên năm học 2016 2017

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ Tổ : Toán ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN  KHỐI 12 Thời gian 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề : Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình sau : a) 2x  2x   2x  x  =x+2 b) 2x2 4x4 = x  +  x x2 , đồ thị (C) đường thẳng (dm): y=mx3 x 1 ( với m ≠0 m tham số ) a) Chứng minh đồ thị (C) cắt đường thẳng (dm) hai điểm phân biệt A B b) Tìm giá trị m để độ dài đoạn AB = 17 Câu 2: (3 điểm) Cho hàm số y= Câu 3: ( điểm)  =600, AB=3, AC=4 Phân giác góc A cắt a) Cho tam giác ABC có góc BAC đường thẳng BC D Tính độ dài AD ? b) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm BC, M(3;1) ; H hình chiếu A lên BD, H( ; ); N trung điểm DH, đường 5 thẳng AN có phương trình : x7y+24=0 Tìm tọa độ điểm A D Câu 4: (4 điểm) a) Giải phương trình : 2.cos4x ( 2)cos2x= sin2x + b) Trong hộp chứa 20 thẻ, đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp Tính xác suất để số ba thẻ lấy có tổng số chia hết cho Câu 5: ( điểm) a) Giải phương trình : x=  x  x +  x  x +  x  x  2x  y  6z   b) Giải hệ phương trình :  2y  z  6x    2z  x  6y  1 1 + + = ab bc ca 2 a  b  c2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = + + 4b 4c 4a Câu 6: ( điểm) Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn :  Hướng dẫn đáp án : Câu 1: điểm 2x  2x   2x  x  =x+2 Đk : 2x2 +x1 ≥ x ≤ 1  x ≥ 2 Đặt a= 2x  2x  ; b= 2x  x  với a, b ≥ Đề : ab =x+2 2 Ta có : a b = 3(x+2) (ab)(a+b)=3(x+2) (x+2)(a+b) =3(x+2) x    a  b  TH1: x+2=0 x=2 a) TH2: a+b=3 , ab =x+2 => 2a= x+5 hay 2x  2x  =x+5 x  x   x      2  4(2x  2x  5)  x  10x  25 7x  2x    x  1  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S={2;1; } b) 2x 4x4 = x  +  x Phương trình : 2(x2 +2x) 4 = x  +  x Đk : 1 ≤ x ≤ ; Đặt t= x  +  x , t ≥ t2  2 => t =4+2  x  2x  =>  x  2x  = 2  t   x2 +2x = t  8t  Suy : t2 4 ≥ => t ≥2 ; x2 +2x+3= 4  t  8t   Khi phương trình trở thành : 2   4 =t t 8t +2t+12=0   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (t2)(t3 +2t2 4t6) =0 t2=0 t=2 Vì t3 +2t2 4t6 = t3 8 +2t(t2) +2 ≥ với t ≥2  x  2x  =0 x=1  x=3 x2 Cho hàm số y= , đồ thị (C) đường thẳng (dm): y=mx3 x 1 ( với m ≠0 m tham số ) a)Chứng minh đồ thị (C) cắt đường thẳng (dm) hai điểm phân biệt A B b) Tìm giá trị m để độ dài đoạn AB = 17 x2 a) Phương trình hoành độ : =mx3 x+2 =mx2 3x mx +3 ( x≠ 1) x 1 mx2 (m+4)x +1=0 (*) Ta có :  = (m+4)2 4m =(m+2)2 +12 >0 ,  m => phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Hay đồ thị (C) cắt (dm) hại hai điểm phân biệt A B Khi t= => Câu 2: (3 điểm) 0,5 0,5 0,5 Câu 3: ( điểm) b) Giả sử nghiệm pt (*) x1, x2 ( x1 ≠ x2) m4 Theo Viét : x1 +x2 = ; x1.x2 = m m Hai giao điểm A(x1; mx13) ; B(x2; mx2 3) ; AB2 =(x2 x1)2 +m2(x2x1)2 =(m2 +1)(x2x1)2 =(m2 +1)[(x2+x1)2 4x1x2] m2  4m  16   = (m +1) m2 m2  4m  16   Vì AB= 17 => (m +1) =17 (m+4)(m3 +4) =0 m m=4  m=  =600, AB=3, AC=4 Phân giác góc A cắt a) Cho tam giác ABC có góc BAC đường thẳng BC D Tính độ dài AD ?    =6 Ta có : AB AC =AB.AC.cos BAC BD AB = = DC AC       => BD = DC AD  AB = ( AC  AD ) 4   AD =4 AB +3 AC   12 Bình phương hai vế : 49.AD2 =16AB2 +9AC2 +24 AB AC =432 => AD= b) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm BC, M(3;1) ; H hình chiếu A lên BD, H( ; ); N trung điểm DH, đường 5 thẳng AN có phương trình : x7y+24=0 Tìm tọa độ điểm A D 0,5 0,5 0,5 Tính chất phân giác : Gọi I trung điểm AD => AIMB hình chữ nhật Ta có IN //AH ; AH  DB => IN  DB A Điểm N nhìn đoạn IB góc vuông => N nhìn đoạn AM góc vuông => N hình chiếu M lên AN + Đường thẳng MN : 7(x3) +1(y1) =0 7x+y 22=0 B 13 19 + MN  AN ={N} => N( ; ) 1 I D N H M C N trung điểm HD => D(5;7) + Đường thẳng BD qua D,H có phương trình : 4x3y+1=0 A  AN => A(7a24;a) ta có MA=MD (7a27)2 +(a1)2 =22 +62 a   => a  23  0,5  A(3;3)  41 23  A( ; )  5 Vì A, M hai phía đường thẳng BD => A(3;3) thỏa mãn Câu (4 điểm) a) Giải phương trình : 2.cos4x ( 2)cos2x= sin2x + 2(cos4x+cos2x)  (cos2x+1) 2sinx.cosx =0 4cos3x.cosx 2 cos2x 2sinx.cosx=0 2cosx (2cos3x  cosx sinx) = cos x   cos x    cos3x  cos  x     2cos 3x  cos x  s inx  6      x   k    x    k , k  Z  12   x    k 24  b) Trong hộp chứa 20 thẻ, đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp Tính xác suất để số ba thẻ lấy có tổng số chia hết cho Chọn ngẫu nhiên ba thẻ , không gian mẫu  = C320 =1140 Gọi A: “ thẻ chọn , có tổng số chia hết cho “ + Ta có thẻ mang số chia hết cho thẻ mang số chia cho dư thẻ mang số chia cho dư Số cách chọn : A = C36 + C37 + C37 + C16 C17 C17 =384 Xác suất : P(A) = Câu ( điểm) a) Giải phương trình : x=  x  x +  x  x +  x  x Điều kiện : x≤ Đặt a=  x ; b=  x ; c=  x với a,b,c ≥ Suy : x=2a2 =3b2 =6c2   a  ab  bc  ca (a  b)(a  c)    Theo đề ta có hệ : 3  b  ab  bc  ca (b  c)(b  a)  6  c2  ab  bc  ca (c  a)(c  b)    => (a+b)(a+c)(b+c) =6 a  b   Thay vào ta : a  c  => x=2 b  c    2x  y  6z   b) Giải hệ phương trình :  2y  z  6x    2z  x  6y  + Cộng ba phương trình : 3(x+y+z)= 6z  + 6y  + 6x  (*) 6z   1 Mặt khác : 6z  ≤ =3z Dấu xảy z= Tương tự 6x  ≤ 3x 6y  ≤ 3y 6z  + 6y  + 6x  ≤ 3(x+y+z) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 A 32 =  95 Cộng ba bất đẳng thức : 0,5 (**) 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 Từ (*) (**) suy : x=y=z= Câu 6: ( điểm) 1 + + = ab bc ca 2 a  b2  c2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = + + 4b 4c 4a a  b  c  2a 2b 2c P= + + ≥ + + 4b 4c 4a 4b 4c2 4a 1 a 1 1 b  1 c 1 11 1 P ≥   +   +         2b a  2c b 2a c 2a b c 1 11 1 P ≥ + +      a b c 2a b c 1 1 1 1 4 P ≥ ( + + + + + ) ≥ ( + + )= a b b c c a ab bc ca Min P = a=b=c =1 0,25 Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn :  ( Học sinh giải cách khác cho đủ số điểm ) 0,5 0,5 0,5 0,5 ... Min P = a=b=c =1 0,25 Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn :  ( Học sinh giải cách khác cho đủ số điểm ) 0,5 0,5 0,5 0,5 ... 4 ≥ => t ≥2 ; x2 +2x+3= 4  t  8t   Khi phương trình trở thành : 2   4 =t t 8t +2t +12= 0   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (t2)(t3 +2t2 4t6) =0 t2=0 t=2 Vì t3 +2t2 4t6... =mx3 x+2 =mx2 3x mx +3 ( x≠ 1) x 1 mx2 (m+4)x +1=0 (*) Ta có :  = (m+4)2 4m =(m+2)2 +12 >0 ,  m => phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Hay đồ thị (C) cắt (dm) hại hai điểm phân