Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 trường THPT Nguyễn Duy Thì, Vĩnh Phúc năm học 2016 2017 (Lần 1)

Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: y  2x  (1) x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho AB  IB , với I (2, 2) Câu (2 điểm):  x  y   2x 1  2y 1  Giải hệ phương trình:   x  y x  2y  3x  2y   Giải phương trình: (x, y ) sin 2x  3tan 2x  sin x  tan x  sin x Câu 3(1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có, điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x  y   Đường thẳng qua D trung điểm đoạn AB có phương trình: x  y  23  Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hoành độ dương Câu (2 điểm): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng ( SCD ) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA DB theo a Câu 5(1 điểm) : Cho a, b, c ba số dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P a2  b2  c2    a  1  b  1  c  1 Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN Câu Ý Lời giải 2x  Cho hàm số: y  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) x2 hàm số Điểm 1,5 TXĐ: D  R \ 2 0,5  phương trình đường TCN: y = lim y  x  lim y  ;lim y   x  2 y/  x  2 1  x  2  phương trình đường TCĐ: x = 0,25  x  D  Hàm số nghịch biến khoảng xác định Hàm số cực trị Bảng biến thiên: x -∞ y ’ y 2 - 0,25 +∞ +∞ -∞ Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị: 0,5 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho 1,5 AB  2IB , với I(2;2)  x0   Gọi M  x0 ;   (C ) x    PTTT (C) M: y   0,55  x0   x x02  x0   x0   0,5 Do AB  IB tam giác AIB vuông I  IA = IB nên hệ số góc 1  nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = k = -1 y /   x  2 tiếp tuyến k = -1  1  x0  1 0,25  x0   1    x0   có hai phương trình tiếp tuyến: y  x  ; y   x  Giải hệ phương trình:  x  y   2x 1  2y 1    x  y x  2y  3x  2y   (1) 0,25 1,0 x, y  (2)   x   Đk:  y    0,25 x  y 1  Pt(2)  x   y  3 x  y  y      x  y   (loai ) 0,25 Pt(1)  x    x  y y 1  0,25  xy   x  y 2  xy    x  y    xy   x  y           xy    xy  3 xy  5 4 xy     xy  5 xy   (loai) (do   x  y   xy  xy   0)   x  x  y  x       Hệ cho tương đương:   3  xy   y  y     2 0,25  3 3 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm:   ;  ,  ;    2 2 2 Giải phương trình: sin 2x  3tan 2x  sin 4x 2 tan 2x  sin 2x cos x  Đk:  (*)  tan x  sin x  Pt tương đương: sin x  tan x  sin x   3sin x cos x  sin x  sin x cos x  0,25 0,25   cos x  1 sin x  sin x       x   k cos x  1  cos x       sin x    x  k  sin x  sin x    cos x    x     k   Nghiệm x    3 0,25  k thỏa mãn (*) Phương trình có họ nghiệm: x   0,25   k Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x  y   Đường thẳng qua D trung điểm đoạn AB có phương trình: x  y  23  Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hoành độ dương Gọi C  c; c    d1 , M trung điểm AB, I giao điểm AC d2: 3x – 4y – 23 = Ta có  AIM đồng dạng CID    c  10 c  10   CI  AI  CI  IA  I  ;    c  10 c  10 4  23   c  Mà I  d nên ta có: 3 Vậy C(1;5) 3t    3t  23   Ta có: M  d  M  t ;   B  2t  5;        3t     3t  19  AB   2t  10;  , CB   2t  6;      t    Do AB.CB    t   t  3   3t   3t  19     29 t   1,0 0,25 0,25 0,25 0,25  B (3; 3) (loai )  33 21     33 21   B ;  B  ;   5   5  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác 1,0 SAB cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc mặt phẳng ( SCD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a H, M trung điểm AB CD SH  AB  Ta có:  SH   ABCD   SAB    ABCD  a SH  Góc (SCD) mặt đáy SMH  600 SH a Ta có HM   tan 600 a a a3  VS ABCD   2 12 2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA DB theo a Kẻ đường thẳng d qua A d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng  qua H ,   d  cắt d J,  cắt BD I (SHI) kẻ HK vuông góc với SI K Khi đó: d BD ,SA  d I ,( S ,d )   2d H ,( S ,d )   2d H ,( SBD )   HK IH BH BH AD a   IH   AD BD BD 10 1 a Xét SHI vuông H, ta có:    HK  2 HK HS HI a Vậy d BD ,SA  Cho a, b, c ba số duơng Tìm giá trị lớn biểu thức: Ta có  BIH đồng dạng  BAD  0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,5 1,0 P a2  b2  c2   a  b 1    a  1  b  1  c  1 c  1  1 2   a  b   c  1    a  b  c  1  2 2 3  a 1 b 1 c 1  a  b  c    a  1 b  1 c  1      3     54 Vậy P   a  b  c   a  b  c  3 a b c 2 = f / (t )   t 54   f (t ) t  t  3 + + - 1/4 f(t) 0,25 0,25 (t  1) t  162  ; f / (t )    t t  2 t  1(loai ) f’(t) với t  a  b  c  0,25 a  b  c    a  b  c 1 Vậy giá trị lớn P  a  b  c c   0,25 .. .Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016- 2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN Câu Ý Lời giải 2x  Cho hàm số: y  Khảo sát biến thi n vẽ đồ...  y x  2y  3x  2y   (1) 0,25 1,0 x, y  (2)   x   Đk:  y    0,25 x  y 1  Pt(2)  x   y  3 x  y  y      x  y   (loai ) 0,25 Pt (1)  x    x  y y 1  0,25... trình đường TCĐ: x = 0,25  x  D  Hàm số nghịch biến khoảng xác định Hàm số cực trị Bảng biến thi n: x -∞ y ’ y 2 - 0,25 +∞ +∞ -∞ Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hoành: