SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 =========***========= ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút Câu1: (6 điểm) Cho hàm số y= x 3 + 4x 2 + 4x +1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Cho M(x 0 ;y 0 ) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M 1 và M 2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M 1 M 2 . c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các tiếp điểm là M 3 và M 4 . Viết phương trìng đường thẳng chứa M 3 và M 4 . Câu 2: ( 5 điểm) Giải các phương trình sau: a) tgxsin 2 x - 2sin 2 x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1) b) 2 4 X = (2x 2 – x +1)2 x (2) Câu 3: ( 4 điểm) Tính tích phân sau: I = dx xx x 2 0 33 cossin sin Câu 4: ( 5 điểm) Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách đều điểm O. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 MÔN: TOÁN Câu 1: ( 6 điểm) a) ( 2 điểm) TXĐ: D =R (0,25đ) Chiều biến thiên: y’ = 3x 2 + 8x + 4 y’ = 0 <=> x = -2; x= - 3 2 Hàm số đồng biến (- ; -2) ); 3 2 ( , nghịch biến ) 3 2 ;2( (0.25). Cực đại, cực tiểu: Cực đại tại :) x CĐ = -2; y CĐ = 1. Cực tiểu tại: x CT = - 3 2 ; y CT = - 27 5 Giới hạn x ylim ; y x lim (0.25đ) Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 8 = 0 <=> x= - 3 4 Hàm sô lồi từ (- 3 4 ; ), lõm (- 3 4 ; + ) Điểm uốn: I(- 27 11 ; 3 4 ) (0.25đ) Bảng biến thiên: (0,5đ) x - -2 - 3 4 - 3 2 + y’ + 0 - - 0 + y 1 + 27 11 - 27 5 Đồ thị (0,5 đ) b) ( 2điểm) Gọi d qua M có hệ sô gọc k : d: y=k(x-x 0 ) + y 0 (0,25đ) Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng d là nghiệm của phương trình: x 3 + 4x 2 + 4x +1 = k(x-x 0 ) + x 0 3 + 4x 0 2 + 4x 0 +1 <=> x=x 0 (0, 5 đ) 4 2 -2 -4 -6 -5 5 A x 2 + ( 4 + x 0 )x + x 0 2 + 4x 0 + 4 – k = 0 (1) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình (1) => x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ của M 1, M 2 => x I = - 2 4 0 x (0,75 đ) y I = y 0 + k( 2 43 0 x ) I x = 2 4 0 x Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt <=> 0 f(x 0 ) 0 k > 4 83 0 2 0 xx (0,5) k 48 0 2 0 xx c) ( 2đ) Để thỏa mãn YCBT: <=> y’ = 3x 2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25đ) <=> a> - 3 4 (0,25đ) Nhận xét: x 3 + 4x 2 + 4x + 1 = (3x 2 + 8x +4)( 9 4 8 x )- 9 78 x (0,5đ) Gọi M 3 (x 3 ; y 3 ), M 4 (x 4 ; y 4 ) y 3 = a( 9 78 ) 9 4 8 33 xx (0,5đ) y 4 = a( 9 4 8 4 x )- 9 78 4 x Vậy phương trình đường thẳng đi qua M 3 ; M 4 là: y= a( 9 4 8 x ) + 9 78 x (0,5đ) Câu 2: (4 đ) Đ/K : x )( 2 zkk (0,25đ) Chia 2 vế của phương trình cho cos 2 x (1) <=> tg 3 x -2tg 2 x = 3(1-tg 2 x+tgx) (1đ) <=> tgx=-1 <=> x=- k 4 (k z ) (0,5đ) tgx= 3 x= k 3 (k z ) (0,5đ) Vậy nghiệm của phương trình : x=- k 4 (k z ) x= k 3 (k z ) (0,25đ) a) (2) <=> 122 22 2 xx xx (0.5đ) Đặt 2x 2 – x = t (t 8 1 ) (0.25đ) Phương trình trở thành: 12 t t <=> 012 t t Khảo sát f(t) = 12 t t (0.25đ) f’(t) = 2 t ln2 – 1 =0 <=> 2 t = 2 ln 1 = t f’(t) - 0 + f(t) Quan sát bản bíên thiên nhận thấy phương trình có tối đa 2 nghiệm t. (1đ ) Mặt khác f(0) = f(1) = 0 Phương trình có 2 nghiệm t = 0; t= 1 (0.25đ) x= 0 ; x= 2 1 ; x=1 (0.25đ ) Câu 3: (4 đ) Xét J= dx xx x 2 0 33 cossin cos (0.25đ) Ta CM được I = J (đặt x= t 2 ) (0.75đ) I+J = 2 0 x x x x dx 22 cos cos sin sin = 2 4 2 4 0 2 1cotcot cot 1 gxxg gxd tgxxtg dtgx (0.75đ) Đặt tgx(cotgx) = t I + KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút TRƯỜNG THPT GIA VIỄN B ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 07 câu, 01 trang) Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: sin x 3cos x sin x 2sin x b) Cho hàm số y x3 3mx x , có đồ thị Cm , với m tham số Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d m : y x 10 3m cắt đồ thị Cm điểm phân biệt A, B, C Gọi k1 , k2 , k3 hệ số góc tiếp tuyến Cm A, B, C Tìm giá trị m để k1 k2 k3 15 Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x 1 3 x x x 1 x x x y 56 b) Giải hệ phương trình 3 x x y y 10 Câu (3,0 điểm) 1 khai triển nhị thức Niu-tơn x , biết n số x n a) Tìm hệ số số hạng chứa x 26 nguyên dương thỏa mãn 4Cn1 6Cn2 An3 490 b) Chứng minh phương trình x x 1 có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 ( x1 x2 x3 ) thỏa mãn hệ thức x22 x1 x32 x2 Câu (2,0 điểm) Giải bất phương trình x x 1 20 x 96 x 1 Câu (2,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh a , mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N trung điểm cạnh SB CD Chứng minh AM vuông góc với BN Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SMN Câu (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có AC BD đường 2 tròn nội tiếp hình thoi có phương trình x 1 y 1 Biết đường thẳng AB qua điểm M 1;5 Tìm tọa độ đỉnh A , biết điểm A có hoành độ âm Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F a 6ab 5b 3a 10ab 5b 7b 6bc 5c 3b 10bc 5c -HẾT - 7c 6ca 5a 3c 10ca 5a TRƯỜNG THPT GIA VIỄN B ĐỀ THI CHÍNH THỨC (HDC gồm 05 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN Câu Đáp án Điểm Điều kiện 2sin x Phương trình cho tương đương với: sin x 2sin x sin x 3cos x 2sin x 1a (2,5 điểm) 3sin2x 3cos x 3 sin x 2sin x cos x sin x 2 k 2 x k 2 , với k 3 4 +) cos x sin x tan x x k 2 x k 2 , k 3 Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm phương trình là: 2 x k 2 x k 2 , với k 3 +) 2sin x x 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Hoành độ giao điểm đồ thị Cm đường thẳng d m nghiệm phương trình x 3mx x x 10 3m x x 3m x 1 0,5 x 1 x2 13m x 93m * x x2 13m x 3m ** Đường thẳng d m cắt đồ thị Cm điểm phân biệt phương trình * có nghiệm phân biệt hay phương trình ** có nghiệm phân biệt khác 1b (2,5 điểm) 1 3m2 9 3m 12 1 3m.1 3m 9m 6m 35 11 11 m m m 11 6m 3 6 Gọi hoành độ điểm A, B, C x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 0,5 0,5 hai nghiệm phương trình ** Theo định lý Viet, ta có x2 x3 3m 1 x2 x3 3m 0,5 Ta có k1 k2 k3 12 6m 3 x x 6m x2 x3 18 2 k1 k2 k3 9m 21 k1 k2 k3 15 9m 21 15 m m ; 2 2; Kết hợp với điều kiện trên, ta có giá trị cần tìm m 7 m ; 2; 3 Điều kiện x 2a (1,5 điểm) 0,5 Với điều kiện phương trình cho tương đương với 2 x3 x 10 x 3 x x x 1 0,5 2 x 2 x2 2x 1 3x x 2 x 1 x 2 2x2 3x 2x 1 x x (tmđk) x x x 1 x * Ta có * x 3x x 1 2 x 1 0,5 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 (do x x 1 ) 2 x 1 x x x x (tmđk) 0,5 Vậy phương trình cho có ba nghiệm x 2; x Hệ phương trình xác định với x, y x y 56 x y 56 Ta có 3 x x y y 10 9 x 27 x y y 30 Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: 2b (1,5 điểm) 0,5 x x 27 x y y y 26 x 3 y 1 x y 3 Thay x y vào phương trình thứ hai hệ ban đầu ta được: 3 y 2 y 2 y y 10 y y y y 4 0,5 Với y x ; với y 4 x 2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm x; y 4; 2 ; x; y 2; 4 0,5 Điều kiện n n Với điều kiện này, ta có 4Cn1 6Cn2 An3 490 4n 3n n 1 n n 1n 2 490 0,5 n 6n 9n 490 n 10n 4n 49 n 10 (tmđk) 2 1 Với n 10 , ta có khai triển nhị thức Niu-tơn x x 10 3a (1,5 điểm) 10k 1 Số hạng tổng quát khai triển C x k 10 x k k 11k 40 10 C x 0,5 ( k , k 10 ) Số hạng chứa x 26 11k 40 26 k (tmđk) Vậy hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Niu-tơn cho là: C106 210 0,5 Chứng minh phương trình x x 1 có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 ( x1 x2 x3 ) thỏa mãn hệ thức x22 x1 Xét hàm số f x x 3x 1 Hàm số f x liên tục Ta có f 2 1; f 1 3; f 1 1; f 2 3b (1,5 điểm) Hàm số f x liên tục nên liên tục đoạn 2; 2 0,5 Mặt khác f 2 f 1 0; f 1 f 1 0; f 1 f 2 nên f x có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng 2; 2 Lại f x hàm bậc ba ...THPT Qu¶ng X¬ng 3 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT MÔN THI TOÁN BẢNG A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1 (4 điểm) 1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số 1 2 x x y hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45 0 . 2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi: xy 2 log ; x + y = 3; y = 0. Bài 2 (4 điểm) 1. Tìm m để hệ 077 022 2 2 mxmx mxmx có nghiệm. 2. Giải phương trình 332 2 xxx . THPT Qu¶ng X¬ng 3 2 Bài 3 (4 điểm) 1. Giải phương trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0. 2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng: 6 13 cos cos cos 1 coscoscos C B A CBA . Bài 4 (4 điểm) 1. Giải phương trình 23log5log3 53 xxxx . 2. Tính x xx x 13121 lim 3 0 . Bài 5 (4 điểm) 1. Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đường thẳng 0122 0322 zyx zyx có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu. 2. Với a, b, c dương và 1 ≤ R, chứng minh rằng: 11 1 11 1 11 1 b a c a c b c b a b a c a c b c b a Hết THPT Qu¶ng X¬ng 3 3 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh số báo danh THPT Qu¶ng X¬ng 3 4 SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN – BẢNG A Thời gian: 180 phút Bài1: ( 4 điểm) Cho hàm số 222 2 xxmxy 1. Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi m = 3 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại một điểm x o <-2 Bài 2: ( 4điểm) 1. Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn 2;1 0 13 2 13 2 2 xx xxm 2. Giải bất phương trình: 64264264 222 )1()1()2( xxxxxx mmm Với 0 < m < 1 Bài 3: ( 4điểm) 1. Giải phương trình: x x ãgonx x xx coslog sinlog )sin1()cos1( cos 2. Cho ABC. Tìm giá trị lớn nhất của sinC biết: sin 2 A + sin 2 B = k sin 2 C Với k > 2 1 Bài 4: ( 2 điểm) Tìm các đa thức f(x) thoả mãn: x.f(x-1) = (x-3) f(x) Bài 5: ( 6 điểm) 1. Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) và đỉnh S(2;1). 2. Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi H là hình chiếu của O lên đáy ABC. Chứng minh rằng: a) 2222 1111 OC OB OA OH b) OABOACOBCABC SSSS 2222 1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT BỈM SƠN Đề đề nghị: BẢNG A ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH MÔN TOÁN LỚP 12 NĂM HỌC 2005 - 2006 (Thời gian làm bài 180 phút) Bài 1: (4 điểm) 1) (Đề 48 I 2 trong 150 đề tuyển sinh Đại học) Tìm trên đồ thị hàm số y = 1 2 x x hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x -1 2) (Tự sáng tác) Cho a, b, c R với a 0 và m N * thoả mãn: 0 2 4 m c m b m a . Chứng minh rằng: 2 Đồ thị hàm số: y = ax 4 + bx 2 + c luôn cắt trục ox tại ít nhất một điểm thuộc khoảng (0;1). Bài 2: (5 điểm) 1) (Tự sáng tác) Tìm tổng tất cả các nghiệm x [1;100] của phương trình: Sin 4 x + Sin 4 ( x + 4 ) + Sin 4 (x + xSinx 4 2 3 ) 4 3 (sin) 2 44 2) ( Toán học tuổi trẻ năm 2003) Cho tam giác ABC không có góc tù thoả mãn hệ thức: 6 5 coscos)2cos2(cos 2 1 )3cos3(cos 3 1 BABABA Hãy tính các góc của tam giác đó. Bài 3: (4 điểm) 1) (Toán Bồi dưỡng giải tích tổ hợp của Hàn Liên Hải - Phan Huy Khải) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 23 24 5 xx x 2) (Tự sáng tác) Giải phương trình: 3x 2 + 1 + log 2006 6 26 2 1 24 x xx x Bài 4: (4 điểm) 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy 1) ( Đề thi tuyển sinh vào ĐHXD - Hà Nội năm học 2000-2001) Cho điểm A(4;0) và đường thẳng : 4x - 9 = 0. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M có tỷ số khoảng cách từ đó đến điểm A và từ đó đến đường thẳng bằng 3 4 là một Hypebol. Hãy viết phương trình của Hypebol đó. 2) ( Chuyên đề về hình học giải tích của Cam Duy Lễ - Trần Khắc Bảo) Cho Parabol y 2 = 2px (p > 0) và đường thẳng d di động nhưng luôn đi qua tiêu điểm F của Parabol. Gọi M, N là các giao điểm của parabol với đường thẳng d. Chứng minh rằng đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Bài 5: (3 điểm) (500 Bài toán về bất đẳng thứccủa Phan Huy Khải -Tập II) 4 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V 1 , V thứ tự là thể tích của khối chóp SAMKN và khối chóp SABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tỷ số V V 1 . 5 6 SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT Bảng A (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề). Bài1: (4 điểm) Cho hàm số f(x)=x 3 - 6x 2 +9x-1 (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). (Đại học ngoại thương khối A năm 2000). Bài2: (4 điểm). 1. Tính I= 3 0 23 xx2x dx. 2. Cho f(x) = 2x + m + log 2 mx 2 - 2(m – 2)x+ 2m- 1. Tìm m để f(x) có tập xác định là R. Bài3: (4 điểm). Giải phương trình: ln(sinx+1) = e sinx-1 . Bài4: (2 điểm). Giải hệ phương trình: 1xz 1zy 1 yx Bài5: (4 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD ' , N trong đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a 2 ). 1. Chứng minh với x= 3 2a thì MN ngắn nhất. 2. Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD ' và DB. Bài6: (2 điểm). Cho x,y,z 2 ; 6 Chứng minh: 2 2 1 1 ysin xsinzsin xsin zsinysin zsin ysinxsin