chơng - hàm số luỹ thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit A Kiến thức cần nhớ I luỹ thừa Định nghĩa 1: (Luỹ thừa với số mũ nguyên): Với a 0, n = n số nguyên âm, luỹ thừa bậc n a số an xác định bởi: a0 = 1, an = với n nghuyên âm Định nghĩa 2: (Căn bậc n): Với n nguyên dơng bậc n sè thùc a lµ sè thùc b (nÕu cã) cho bn = a Ta thừa nhận hai khẳng định sau đây: Đ Khi n số lẻ, số thực a có bậc n, kí hiệu Đ Khi n số chẵn, số thực dơng a có hai bậc n hai số đối Căn có giá trị dơng kí hiệu (còn gọi số học bậc n a), có giá trị âm kí hiệu Định nghĩa 3: (Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ): Cho a số thực dơng r số hữu tỉ Giả sử r = , m số nguyên n số nguyên dơng Khi đó, luỹ thừa a với với sô mũ r số ar xác định bởi: ar = = Tõ ®ã = TÝnh chÊt cđa l thõa: Víi a > 0, b > 0, ta cã: an.am = an + m (ab)n = an.bn = an - m (a ) = am.n m n = Định lí 1: Cho m, n số nguyên Khi đó: Với a > am > an chØ m > n Víi < a < am > an m < n II lôgarit Định nghĩa1: Cho < a 1, b > 0, ta định nghĩa a = logab Û b = aa, a = lgb Û b = 10a, a = lnb Û b = ea, từ định nghĩa ta đợc: loga1 = 0, logaaa = a; logaab = b, víi mäi b; So s¸nh hai lôgarit số Định lí 1: Cho số dơng b c = b với b > (1) Khi a > th× logab > logac Û b > c HƯ qu¶: Khi a > th× logab > Û b > (2) Khi < a < th× logab > logac Û b < c HƯ qu¶: Khi < a < th× logab > Û b < (3) logab = logac b = c Các quy tắc tính lôgarit Định lí 2: Với a dơng khác số dơng b, c, ta có: (1) logab + logac = loga(bc), Trêng hỵp chØ cã bc > loga(xy) = logaẵbẵ + logaẵcẵ (2) logab - logac = loga , trêng hỵp chØ cã bc > loga = logaẵbẵ - logaẵcẵ a (3) logab = alogab, Trờng hợp b ẻ a = 2k, k ẻ Z logaba = alogaẵbẵ Hệ quả: Với n nguyên dơng loga = -logab; loga = logab Đổi số lôgarit Định lí 3: Với a, b dơng khác số dơng c, ta có: logbc = HƯ qu¶: Ta cã: hay logab.logbc = logac Đ Với a, b dơng khác logab = Đ Với a dơng khác 1, c số dơng a 0, ta có = logac Trờng hợp a ẻ , a a = 2k, k ẻ = log|a|c III Hàm số mũ Định nghĩa: Hàm số mũ số a (0 < a 1) có dạng y = ax Đạo hàm hàm số mũ: Ta ghi nhận kết sau: a b c = Víi mäi x Ỵ , ta cã (ex)' = ex vµ (ax) = ax.lna Nếu u = u(x) hàm số có đạo hàm J với x ẻ J, ta có (eu)' = u'.eu vµ (au) = u'.au.lna XÐt hµm sè y = ax, < a ¹ 1, ta cã tính chất sau: Liên tục Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với x Đ Với a > > Đ Với < a < th× Û x1 > x2, tức hàm số đồng biến > x1 < x2, tức hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số có dạng và: Đ Luôn cắt trục Oy A(0; 1) Đ Nằm phía trục hoành Đ Nhận trục hoành làm tiệm cân ngang IV Hàm số lôgarit Định nghĩa: Hàm số logarit sè a (0 < a ¹ 1) cã d¹ng y = logax Đạo hàm hàm số mũ: Ta ghi nhận kết sau: a b c = Với x ẻ (0; +Ơ), ta có (lnx)' = vµ (logax)' = NÕu u = u(x) lµ hµm số có đạo hàm J với x Î J, ta cã (lnu)' = vµ (logau)' = XÐt hµm sè y = logax, víi < a 1, ta có tính chất sau: Hàm số liên tục D = (0, + Ơ) tập giá trị I = Sự biến thiên: Hàm số đơn điệu với x Đ Với a > th× logax1 > logax2 Û x1 > x2, tức hàm số đồng biến Đ Với < a < th× logax1 > logax2 Û x1 < x2, tức hàm số nghịch biến Đồ thị hàm số có dạng và: Đ Luôn cắt trục Oy A(1; 0) Đ Nằm bên phải trục tung Đ Nhận trục tung làm tiệm cân đứng V Hàm số luỹ thừa Định nghĩa: Hàm số lũy thừa hàm số xác định công thức y = x a, víi a lµ h»ng sè tïy ý Tập xác định (0; +Ơ), trừ trờng hợp sau: Đ Nếu a nguyên dơng hàm số có tập xác định * Đ Nếu a nguyên âm a = hàm số có tập xác định Đạo hàm hàm số lũy thừa: Ta ghi nhận kết sau: a Hàm số y = xa có có đạo hàm ®iĨm x > vµ: (xa)' = a.xa - b Nếu u = u(x) hàm số có đạo hàm u(x) > J thì: (ua)' = a.u'.ua - 1, víi mäi x Ỵ J F Chó ý: Với n số nguyên tùy ý, ta cã (x n)' = n.xn - víi mäi x ¹ 0; vµ nÕu u = u(x) lµ hµm sè có đạo hàm u(x) J (un)' = n.u'.un - 1, víi mäi x Ỵ J Ta cã: ( )' = , víi mäi x > n chẵn, với x n lẻ Nếu u = u(x) hàm số có đạo hàm J thỏa mÃn điều kiƯn u(x) > víi mäi x thc J n chẵn, u(x) với x thuộc J n lẻ thì: ( )' = VI Các dạng phơng trình, bất phơng trình mũ lôgarit Phơng trình mũ có dạng ax = m, a > m số đà cho Khi đó: Đ Nếu m Ê phơng trình vô nghiệm Đ Nếu m > phơng trình có nghiệm x = logam Ta có kết quả: af(x) = ag(x) f(x) = g(x) Víi a > th× af(x) > ag(x) Û f(x) > g(x) Víi < a < th× af(x) > ag(x) Û f(x) < g(x) Phơng trình lôgarit có dạng logax = m, m số đà cho Ta phải có điều kiện x > < a Với m phơng trình có nghiệm x = am Ta có kết quả: logaf(x) = logag(x) Û f(x) = g(x) > Víi a > th× logaf(x) > logag(x) Û f(x) > g(x) > Víi < a < th× logaf(x) > logag(x) Û < f(x) < g(x) mét sè phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình mũ lôgarit a b c Phơng pháp đa số Phơng pháp đặt ẩn phụ Phơng pháp lôgarit hóa: Ta giải phơng trình có hai vế dơng cách lấy lôgarit hai vế theo số thích hợp d Phơng pháp sử dụng tính chất đồng biến hay nghịch biến hàm số B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 hàm số mũ hàm số lôgarit Dạng toán 1: Giới hạn hàm số mũ lôgarit Phơng pháp Chúng ta có dạng giới hạn đặc biệt sau: a = b c (1 + d = )x = e = e F Më réng:: Ta cã: , F Quy tắc Lôpitan: Nếu f(x), g(x) khả vi lân cận x0 trừ điểm x0, thì: f(x) = đồng thời: g(x) = Ơ g'(x) lân cận x0, = A = A Quy tắc với xđ Ơ Thí dụ Tìm giới hạn sau: a b ? Giải a Ta biÕn ®ỉi: b = Ta biÕn ®ỉi: = -3e2 = = - = -1 = - F Nhận xét: Qua thí dụ trên: Đ câu a), để làm xuất dạng giới hạn thực nhóm nhân tử chung e2 Đ câu b), tách giới hạn ban đầu thành hai giới hạn việc thêm bớt Đ Với quy tắc Lôpitan, ta có: = = -3e2 = ThÝ dô = - = -1 Tìm giới hạn sau: a b ? Gi¶i a Ta cã: = b = Ta cã: = = Thí dụ Tìm giới hạn ? Giải Ta biến đổi: = = =- ln Tìm giới hạn sau: a ? Giải a Ta biến đổi: b = Ta biÕn ®ỉi: = ThÝ dơ = ThÝ dô = b = 2.1 = = 0.1 = Tìm giới hạn sau: a ? Giải a Ta biến đổi: b , víi x > -1 = - = b - = Ta biến đổi: = = = Dạng toán 2: Thí dụ = = -1 Tập xác định hàm số mũ lôgarit Tìm tập xác định hàm số: ? Giải a Điều kiện: -1 < x Vậy, ta đợc tập xác định D = (-1; +)\{0} b Điều kiện: x > Vậy, ta đợc tập xác định D = (1; +) Thí dụ Tìm tập xác định hàm số y = lg ? Giải Hàm số g(x) = 21 - x - 2x + nghÞch biến, có g(1) = 0, nên: Đ g(x) > Û g(x) > g(1) Û x < § g(x) < Û g(x) < g(1) Û x > Hàm số có nghĩa khi: >0 Vậy, ta đợc tập xác định D = (0; 1) < x < Dạng toán 3: Xét tính liên tục hàm số mũ lôgarit Phơng pháp Ta thực theo bớc sau: Bớc 1: Khẳng định hàm số xác định điểm x0, tính f(x0) Bớc 2: Xác định Bớc 3: Bớc 4: Kiểm nghiệm f(x0) = KÕt ln ThÝ dơ X¸c định a để hàm số sau liên tục f(x) = ? Giải Điều kiện cần đủ nã liªn tơc trªn f(0) = Ta cã: f(0) = a - : liên tục điểm x0 = 0, tøc: (*) = = = Khi ®ã, ®iỊu kiƯn (*) trë thµnh: a = = Û a = VËy, víi a = thỏa mÃn điều kiện đầu = Dạng toán 4: Tính đạo hàm hàm số luỹ thừa, mũ, lôgarit hàm số hợp chúng Phơng pháp Sử dụng kết phần kiến thức cần nhớ Thí dụ Chứng minh hàm số y = ln e y ? Giải Trớc tiên, ta cã: y = ln Khi ®ã: = - ln(1 + x) Þ y' = - xy' + = ThÝ dơ a ? Gi¶i +1= = = ey, đpcm Tính đạo hàm hàm số sau: tho¶ m·n hƯ thøc xy' + = b a Ta cã: b Ta cã: = D¹ng toán 5: ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số mũ lôgarit Các toán liên quan Thí dụ Cho hàm số (Cm): y = xemx Víi m = -2: a T×m khoảng tăng, giảm cực trị hàm số (C) b BiƯn ln theo a sè nghiƯm cđa ph¬ng trình xe-2x = a c Tìm b để phơng trình sinx.e-2sinx = b có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng [0; p] d Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hòanh độ x = Tìm m để: a Hàm số đồng biến b Hàm số có cực trị c Hàm sè cã cùc tiĨu ? Gi¶i Víi m = -2 hàm số có dạng (C): y = xe-2x a Ta lần lợt có: (1) Hàm số xác định D = (2) Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực Đ Bảng biến thiên: y = -Ơ, y = y' = e-2x - 2xe-2x = e-2x(1 - 2x), y' = Û e-2x(1 - 2x) = Û x = x -¥ 1/ + ¥ y + ' C 1/ y Đ e2 -Ơ 1/ e Kết luận: Đ Hàm số đồng khoảng biến khoảng nghịch biến Đ Đồ thị hàm số đạt cực đại điểm b Số nghiệm phơng trình xe-2x = a số giao điểm đồ thị (C) với đờng thẳng y = a Ta cã: § Víi a ≤ 0, phơng trình có nghiệm Đ Với < a < Đ Với a = , phơng trình có hai nghiệm phân biệt , phơng trình có nghiệm x = Đ Với a > , phơng trình vô nghiệm Đặt t = sinx, Ê t Ê 1, phơng trình có dạng te -2t = (1) Nhận xét với t0ẻ[0; 1) thì: sinx = t0 phơng trình có nghiệm thuộc khoảng [0; p] Vậy, điều kiện đờng thẳng y = b cắt đồ thị (C) phần [0; 1] ®iÓm: c b d a b c tõ Û0£m< Phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hòanh độ x = là: (d): y - y(1) = y’(1)(x - 1) Û (d): y = x+ Trớc tiên, ta có: (1) Hàm số xác định D = (2) Đạo hàm: y' = emx + mxemx = emx(1 + mx), y' = Û emx(1 + mx) = Û mx + = (2) Hàm số đồng biến khi: y' ≥ víi mäi xỴ Û mx + ≥ với xẻ m = Hàm số có cực trị khi: Phơng trình (1) có nghiệm m Hàm số có cực tiểu (1) có nghiệm qua y' ®ỉi dÊu - sang +, tøc m > §2 Phơng trình mũ lôgarit Dạng toán 1: Phơng pháp đa số giải phơng trình mũ lôgarit Phơng pháp Dạng 1: Phơng trình: a Đặt t = 2x (điều kiện t > 0), phơng trình đợc biến đổi dạng: 22x - 5.2x + = Û t2 - 5t + = Û Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = log23 x = b Biến đổi phơng trình d¹ng: Û log2(5x - 1).log2[2(5x - 1)] =1m Û log2(5x - 1).[1 + log2(5x - 1)] = §iỊu kiÖn: 5x - > Û 5x > x > Đặt t = log2(5x - 1), phơng trình có dạng: t(1 + t) = Û t2 + t - = Û Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = log53, x = log5 F Chó ý: Trong số trờng hợp ta không thấy đợc xuất a.b = toán tử phơng trình, cần có đánh giá tinh tế Ví dụ 11: Giải phơng trình sau: a (7 + b (3 + )x - 3(2 )x + (3 - )x + = )x = ? Gi¶i a NhËn xÐt r»ng: 7+4 = (2 + )2 (2 + Do đó, đặt t = (2 + ).(2 - ) = )x, điều kiện t > 0, thì: (2 )x = (7 + )x = t2 Khi đó, phơng trình tơng đơng với: t2 - + = t3 + 2t - = Û (t - 1)(t2 + t + 3) = Û t = Û (2 + )x = Û x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = F Nhận xét: Nh vậy, câu a) việc đánh giá: 7+4 = (2 + )2 (2 + ).(2 - ) =1 ta đà lựa chọn đợc ẩn phụ t = (2 + ) cho phơng trình câu b) miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng a.b = 1, là: x a.b = c2 = 1, tức với phơng trình có dạng A.ax + B.bx + C.cx = Khi ®ã ta thùc hiƯn phép chia hai vế phơng trình cho cxạ0, ®Ĩ nhËn ®ỵc: A b + B + C = 0, tõ ®ã thiÕt lËp Èn phơ t = , t > vµ suy Chia hai vÕ cđa phơng trình cho 2x > 0, ta đợc: + = NhËn xÐt r»ng = (*) = = 1, đó, đặt t = , điều kiện t > 0, Khi đó, phơng trình (*) tơng ®¬ng víi: = Û t2 - 3t + = Vậy, phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 12: Giải phơng trình sau: a + = ? Giải a Biến đổi phơng trình dạng: + = b = + 0, ta đợc: (1) Đặt t = , điều kiện t x2 + t = Khi đó, phơng trình (1) tơng đơng với: f(t) = t2 - t - = Û - 11 = Chia c¶ hai vế phơng trình cho 2+ x = ±1 Ût=2Û ³ =2 = Ûx=± Û x2 + = b Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = Điều kiện x > Đặt u = log2x ị x = 2u, phơng trình (1) có dạng: + - 11 = + - 11 = (2) Đặt t = , ®iỊu kiƯn t ³ Khi ®ã, phơng trình (2) có dạng: 4t2 - 11t + = Û Û Û Û Û Û VËy, phơng trình có ba nghiệm x = 1, x = Ví dụ 13: (Đề thi đại học khối D - 2003): Giải phơng trình: = ? Giải Biến đổi phơng trình dạng: Đặt t = = , với t > ta chuyển phơng trình d¹ng: t= Û t2 - 3t - = Û Û = = 22 2 Û x - x = Û x - x - = Û x = - vµ x = Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = - vµ x = F Chó ý: TiÕp theo chóng ta sÏ quan t©m tíi viƯc sư dơng phép biến đổi đại số để làm xuất ẩn phụ sử dụng ẩn phụ cho tổ hợp đối xứng Ví dụ 14: Giải phơng trình - ? Giải Chia hai vế phơng trình cho - Û +1=0Û - + = + = 0, ta đợc: - +1=0 Đặt t = , điều kiện t > Khi đó, phơng trình tơng đơng với: 2t2 - 9t + = Û Û Û VËy, ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x = -1, x = Ví dụ 15: Giải phơng trình: log2(x ? Giải §iỊu kiƯn: NhËn xÐt r»ng: ) log3(x + ) = log6|x - log2(x + ) - log3(x + ) = (x + ) = log6(x + Û log2(x + ) log3(x + Sử dụng phép đổi số: log2(x + ) = log26.log6(x + log26.log6(x + ) ); ) ) log36.log6(x + Đặt t = log6(x + )-1 )-1 ) = log6(x + vµ log3(x + ) = log36.log6(x + Khi phơng trình đợc viết lại dới dạng: ) = log6(x + ) (1) ) Khi ®ã (1) có dạng: t(log26.log36.t - 1) = Đ Với t = log6(x + )=0Ûx+ § Víi log26.log36.t - = log26.log36 log6(x + Û log3(x + | Û x ³ (x )(x + ) = ị (x Khi phơng trình đợc viết lại díi d¹ng: Û Û =1Û ) - = Û log26.log3(x + ) = log62 Û x + Ûx= Û x = ( )=1 = + VËy, ph¬ng trình có nghiệm x = x = ) ( + ) Ví dụ 16: (ĐHY Hà Nội - 2000): Giải phơng trình 23x - 6.2x ? Giải Viết lại phơng trình dới dạng: (23x - ) - 6(2x - Đặt t = 2x - + ) = (1) , suy ra: 23x = (2x )3 + 3.2x (2x Khi đó, phơng trình (1) có dạng: ) = t3 + 6t t3 + 6t - 6t = t = 2x = Đặt u = 2x, u > 0, phơng trình (2) cã d¹ng: u= Û u2 - u - = Vậy, phơng trình có nghiệm x = VÝ dô 17: = (2) Û u = Û 2x = Û x = (Đề thi đại học khối A - 2002): Cho phơng trình: a + - 2m - = Giải phơng trình với m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm thuộc [1; ] ? Giải Điều kiện x > , với t 1, ta đợc: f(t) = t + t - 2m - = Víi m = phơng trình (2) có dạng: t2 + t - = t = -3 (loại) t = Với t = 2, ta đợc: Đặt t = (1) =2Û =3Ûx= VËy, víi m = 2, phơng trình có nghiệm phân biệt x = Tõ ®iỊu kiƯn: 1£x£ Û £ log3x £ Û1£ +1£4 Û1£ £ Û £ t £ Tới ta lựa chọn ba cách trình bày nh sau: Cách 1: Phơng trình ban đầu có nghiệm thuộc đoạn [1; ] phơng trình (3) có nghiệm thuộc [1; 2] đờng thẳng y = 2m + cắt phần đồ thị hàm số y = t + t lấy đoạn [1; 2] điểm Ta xét hàm số: y = t2 + t Đ Miền xác định D = [1; 2] Đ Đạo hàm: y' = 2t + 1, y' = Û 2t + = t = Đ Bảng biến thiên: t -Ơ - 2+ / ¥ y ' + +Ơ y Vậy điều kiện là: £ 2m + £ Û £ m Ê Cách 2: (Tối u hoá cách 1): Phơng trình ban đầu có nghiệm thuộc đoạn [1; ] phơng trình (3) có nghiệm thuộc [1, 2] đờng thẳng y = 2m + cắt phần đồ thị hàm số y = t + t lấy đoạn [1, 2] điểm Ta xét hàm số: y = t2 + t Đ Miền xác định D = [1; 2] Đ Đạo hàm: y' = 2t + > 0, "tẻD ị hàm số đồng biến D Vậy ®iỊu kiƯn lµ: y(1) £ 2m + £ y(2) Û £ 2m + £ Û Ê m Ê Cách 3: Phơng trình ban đầu có nghiệm thuộc đoạn [1, phơng tr×nh (3) cã Ýt nhÊt nghiƯm thc [1, 2] phơng trình (3) có nghiệm thoả mÃn: ] f(1).f(2) £ Û - 2m(4 - 2m) £ Û £ m £ VÝ dô 18: a b (ĐHKT - 1998): Cho phơng trình: = 9(x - 2)m Giải phơng trình với m = Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn: 3x1x2 - 6(x1 + x2) + 11 = (1) ? Giải Điều kiÖn x - > Û x > Lấy logarit số hai vế, ta đợc: log3[ ] = log3[9(x - 2)m] Û [log3[9(x - 2)].log3(x - 2) = + log3(x - 1)m Û [2 + log3(x - 2)].log3(x - 2) = + mlog3(x - 1) (1) Đặt t = log3(x - 2) Khi (1’) cã d¹ng: (2 + t)t = + mt Û t2 - (m - 2)t - = a Với m = 3, ta đợc: t2 - t - = Û b Û Û VËy, víi m = phơng trình có hai nghiệm x = Xét điều kiện: (2) x = 11 3(x1 - 2)(x2 - 2) - = Û (x1 - 2)(x2 - 2) = Û log3[(x1 - 2)(x2 - 2)] = log3 Û log3(x1 - 2) + log3(x2 - 2) = - Û t1 + t2 = -1 Vậy, để phơng trình có nghiệm thoả mÃn 3x1x2 - 6(x1 + x2) + 11 = Û (2) cã nghiƯm t1, t2 tho¶ m·n t1 + t2 = - Û Û Û m = VËy, víi m = thoả mÃn điều kiện đầu F Chú ý: Phơng pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ chuyển phơng trình ban đầu thành phơng trình với ẩn phụ nhng hệ số chứa x Phơng pháp thờng đợc sử dụng phơng trình lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức biểu thức lại không biểu diễn đợc triệt để qua ẩn phụ biểu diễn đợc công thức biểu diễn lại phức tạp Khi đó, thờng ta đợc phơng trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số D số phơng Ví dụ 19: Giải phơng trình 9x + (x - 3).3x - 2x + = (1) ? Giải Đặt t = 3x, điều kiện t > Khi đó, phơng trình tơng đơng với: t2 + (x - 3).t - 2x + = ta cã D = (x - 3)2 - 4(-2x + 2) = (x + 1)2 nên phơng trình có nghiệm: Khi đó: Đ Với t = 3x = Û x = log32 § Víi t = - x Û 3x = - x, ta có nhận xét: ị Phơng trình có nghiệm nghiệm Nhận xét x = nghiệm phơng trình Vậy, phơng trình cã hai nghiÖm x = log32, x = Ví dụ 20: Giải phơng trình ? Giải Điểu kiện x > Biến đổi phơng trình dạng Nhận xét rằng: Đ Vế trái phơng trình hàm đồng biến Đ Vế phải phơng trình hàm nghịch biến Do vậy, phơng trình có nghiệm nghiệm Nhận xét x = nghiệm phơng trình vì: = 2, Vậy, phơng trình có nghiệm nhÊt x = F NhËn xÐt: Nh vËy, vÝ dơ trªn b»ng viƯc chun vÕ chóng ta thấy tính đồng biến nghịch biến hàm số hai vế phơng trình, để từ ®ã kÕt ln vỊ tÝnh nhÊt nghiƯm (nÕu cã) phơng trình Tuy nhiên, hầu hết phơng trình đợc giải phơng pháp dạng ban đầu không đa đợc nhận xét "VT đồng biến VP hàm nghịch biến" Khi đó, cần thực vài phép biến đổi đại số, thí dụ với phơng trình: Ví dụ 21: ? Giải A.af(x) + B.bg(x) = C.ch(x) A Giải phơng trình + 3x/2 = 2x + B = C Chia hai vế phơng trình cho 2x 0, ta đợc (1) Nhận xét rằng: Đ Vế trái phơng trình hàm nghịch biến Đ Vế phải phơng trình hàm Do vậy, phơng trình có nghiệm nghiệm Nhận xét x = nghiệm phơng trình vì: , Vậy, phơng trình có nghiệm x = F Chú ý: Nhiều toán cần sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để chuyển chúng dạng f(u) = k Từ đó, áp dụng đợc phơng pháp hàm số để giải Ví dụ 22: ? Giải Giải phơng trình = x §iỊu kiƯn x + > Û x > -1 a Nếu -1 < x Ê 0, phơng trình vô nghiệm VT > VP b Xét x > 0, đặt y = log3(x + 1) Ta đợc hệ phơng trình: + = (1) Nhận xét rằng: Đ Vế trái phơng trình hàm nghịch biến Đ Vế phải phơng trình hàm Do vậy, phơng trình có nghiệm nghiệm Nhận xét y = nghiệm phơng trình, suy ra: y = Û log3(x + 1) = Û x + = Û x = Vậy, phơng trình có nghiệm x = Ví dụ 23: ị 2y + = 3y (Đề thi đại học khối B - 2005): Giải hệ phơng trình: ? Giải Điều kiện: Biến đổi phơng trình thứ hai hệ: 3(1 + log3x) - 3log3y = Û log3x = log3y Û x = y Khi đó, hệ có dạng: (*) Vậy, hệ phơng trình có hai cặp nghiệm (1, 1) (2, 2) Ví dụ 24: (Đề thi đại học khối A - 2004): Giải hệ phơng trình: ? Giải Điều kiện: Biến đổi phơng trình thứ nhÊt cđa hƯ vỊ d¹ng: - log4(y - x) + log4y = Û log4y = log44(y - x) Û y = 4(y - x) Û x = (*) (**) Thay (**) vào phơng trình thứ hai hệ: + y2 = 25 Û y2 = 16 VËy, hÖ cã nghiƯm (3; 4) VÝ dơ 25: y = ị x = (ĐHMĐC - 2000): Giải biện luận hệ phơng trình: ? Giải Biến đổi hệ dạng: Thế (1) vào (2), ta đợc: 4x + (1 - a - x) - x(1 - a - x) = Û Û 2x2 + 2(a - 1)x + (a - 1)2 = 0, ta cã D' = -(a - 1)2 £ = (3) Khi ®ã: Đ Với a D' < phơng trình (3) vô nghiệm hệ vô nghiệm Đ Với a = D' = phơng tr×nh (3) cã nghiƯm x = 0, suy y = VËy, a = hÖ cã nghiÖm x = y = VÝ dơ 26: Gi¶i hƯ phơng trình: Giải Lấy logarit có số hai vế hai phơng trình, ta đợc: Ta có D=1- 0, hệ phơng trình có nghiện nhÊt Dx = - , Suy hÖ cã nghiÖm Dy = - VËy, hÖ phơng trình có nghiệm (2; 1) Ví dụ 27: Giải hệ phơng trình: ? Giải Viết lại hệ phơng trình dới dạng: (I) Đặt: , điều kiện u v > Khi đó, hệ (I) đợc biến đổi dạng: Để giải hệ (II) ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: Cách 1: Khử số hạng tự từ hệ ta đợc: 4u2 - 13uv + 3v2 = Đặt u = tv, ®ã: (3) Û v2(4t2 - 13t + 3) = Û § Víi t = ta đợc u = 3v đó: (2) - 8v2 = vô nghiệm Đ Với t = (II) (3) ta đợc u = v v = 4u ®ã: (2) Û 4u = Û u = Þ Û Û Û VËy, hƯ phơng trình có hai cặp nghiệm (1, 2) ( - 1, 2) C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng nÕu (u, v) nghiệm hệ u Từ (2) ta đợc u = Thay (4) vào (1), ta đợc 2v4 - 31v2 - 16 = Đặt t = v2, t > 0, ta đợc: (5) 2t2 - 31t - 16 = Û (4) (5) Û v2 = 16 Û v = Þ Û Vậy, hệ phơng trình có hai cặp nghiƯm (1; 2) vµ (-1; 2) VÝ dơ 28: a Giải bất phơng trình sau: < c 2.2x + 3.3x > 6x - ? Gi¶i b 32x - d 4x - 2x + + - £ > a NhËn xÐt r»ng: ( + 3)( - 3) = Þ -3=( + 3)-1 Khi đó, bất phơng trình đợc viết lại dới d¹ng: < Û b + Û 0, ta đợc: - > (1) , t > 0, bất phơng trình (1) có dạng: t - 8t - > Û (t - 9)(t + 1) > Û t - > Û t > Û >9 Ûx>2Û Chia hai vế bất phơng trình cho 6x > 0, ta đợc (2) + + > Xét hàm số y = + + , hàm nghịch biÕn Ta cã: § Víi x ³ 2, f(x) £ f(2) = bất phơng trình (2) vô nghiƯm § Víi x < 2, f(x) > f(2) = bất phơng trình (2) nghiệm Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (-Ơ; 2) d Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Đặt t = 2x, điều kiện t > Khi đó, bất phơng trình có dạng: t2 - 2t + £0 (3) ta cã D' = - £ 0, ®ã: (3) Û Û Û Û Û x = Vậy, bất phơng trình có nghiệm x = Cách 2: Biến đổi bất phơng trình có dạng: (*) Nhận xét rằng: ị VT(*) ³ Do ®ã: (*) Û Û Û Û x = Vậy, bất phơng trình có nghiệm nhÊt x = F NhËn xÐt: Nh vËy, th«ng qua ví dụ em học sinh đà đợc ôn tập lại phơng pháp để giải bất phơng trình mũ Và đó: Đ Với câu a) việc đa bất phơng trình dạng có số Đ Với câu b) có tổng hợp cao, bắt đầu việc sử dụng vài phép biến đổi đại số để làm xuất ẩn phụ, tiếp tới công việc đơn giản phải giải bất phơng trình bậc hai Tuy nhiên, cuối gặp dạng bất phơng trình chứa Đ Với câu c) d) chúng toán khó cần phải sử dụng tới kiến thức hàm số biết cách đánh giá biểu thức chứa hàm số mũ Ví dụ 29: Giải bất phơng trình: + 9log2 ? Giải Điều kiện x > Biến đổi phơng trình dạng: + 9log2 Coi (1) bất phơng trình b©c theo Èn x, ta cã: D = (log2x - 2)2 - 4(log2x - 3) = Do ®ã, bÊt phơng trình (1) có dạng: (*) - 8log2x + 16 = (log2x - 4)2 (x + 1)(x + log2x - 3) > x + log2x - > Û log2x > - x NhËn xÐt r»ng: § Hàm số y = log2x hàm đồng biến Đ Hàm số y = - x hàm nghịch biÕn § Víi x > 2, ta cã: VT > VP < ị x > nghiƯm cđa (2) § Víi < x £ 2, ta có: VT < VP > ị < x Ê không nghiệm (2) Vậy, tập nghiệm bất phơng trình (2; +Ơ) Ví dụ 31: (2) (Đề thi đại học khối B - 2002): Giải bất phơng trình: logx(log3(9x - 72)) Ê ? Giải Trớc hết ta xác định điều kiÖn: Û 9x > 73 Û x > log973 Û x > log3 (*) Với điều kiện trên, bất phơng trình đợc biến đổi dạng: log3(9x - 72) £ x Û 9x - 72 £ 3x (2) x Đặt t = > 0, ta đợc: (2) t2 - t - 72 £ Û - £ t £ Û 3x £ Û x Ê Kết hợp với (*), suy bất phơng tr×nh cã nghiƯm log3 < x £ VÝ dơ 32: (Đề thi đại học khối D - 2003): Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y= , [1; e3] ? Giải Xét hàm số y = y' = , trªn [1, e3], ta cã: , y' = Û 2lnx - ln2x = Do đó, giá trị lớn nhỏ hàm số [1, e3] đợc cho bëi: a ymax = Max{y(1), y(e2), y(e3)} = Max{0, , }= , đạt đợc x = e b ymin = 0, đạt đợc x = Ví dụ 33: (Đề thi đại học khối B - 2005): Chøng minh r»ng víi mäi x Ỵ R, ta cã: ³ 3x + 4x + 5x + + Khi nµo đẳng thức xảy ? ? Giải Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta lần lợt có: + = 2.3x (1) + ³2 = 2.4x (2) + ³2 = 2.5x Cộng theo vế (1), (2) (3) ta đợc: (3) + + DÊu "=" x¶y khi: = = DS_C1_TIEM CAN.html 2_Mu va Logarit.html 1_Ung dung dao ham 2.html DS_C7_THE TICH KHOI CHOP.html ³ 3x + 4x + 5x, ®pcm Û x = ... trình lg2x - lgx.log2(4x) + 2log2x = ? Giải Điều kiện x > Biến đổi phơng trình dạng: lg2x - (2 + log2x)lgx + 2log2x = Đặt t = lgx, phơng trình tơng đơng với: t2 - (2 + log2x).t + 2log2x = ta... (x1 - 2) (x2 - 2) = Û log3[(x1 - 2) (x2 - 2) ] = log3 Û log3(x1 - 2) + log3(x2 - 2) = - Û t1 + t2 = -1 Vậy, để phơng trình có nghiệm thoả mÃn 3x1x2 - 6(x1 + x2) + 11 = Û (2) cã nghiƯm t1, t2 tho¶... x3 - 4x2 + 2x + > Thí dụ a Giải phơng trình sau: 6x - 3x - 2x + + = b log4{2log3[1 + log2(1 + 3log2x)]} = ? Giải a Phơng trình đợc biến đổi dạng: (2. 3)x - 3x - 2. 2x + = Û 3x(2x - 1) - 2( 2x - 1)