chu de 2 ham so mu va ham so ly thua

chơng - ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số A Kiến thức cần nhớ I tính đơn điệu hàm số điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số y = f(x) xác định khoảng I thì: a Hàm số f(x) đồng biến khoảng I vµ chØ víi x t ý thc I, ta cã: > , víi mäi Dx ¹ x + Dx ẻ I b Hàm số f(x) nghịch biến khoảng I víi x tuú ý thuéc I, ta cã: < , với Dx x + Dx ẻ I Từ đó, ta có kết quả: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu hàm số f(x) đồng biến khoảng I f '(x) 0, "x ẻ I b Nếu hàm số f(x) nghịch biến khoảng I f '(x) Ê 0, "x ẻ I điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Định lí (Định lí Lagrange): Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a; b] có đạo hàm (a; b) tồn điểm c ẻ (a; b) cho: f(b) - f(a) = f '(c).(b - a) hay f '(c) = ý nghĩa định lí Lagrăng: Xét cung AB đồ thị hàm số y = f(x) víi A(a; f(a)) vµ B(b; f(b)) HƯ sè gãc cđa cát tuyến AB là: Đẳng thức: f '(c) = cã nghÜa lµ hƯ sè gãc cđa tiÕp tun cđa cung AB điểm (c; f(c)) hệ số góc cát tuyến AB Vậy, giả thiết định lí Lagrăng đợc thoả mÃn tồn ®iĨm C cđa cung AB cho tiÕp tun t¹i song song với cát tuyến AB Định lí 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu f '(x) > 0, "x ẻ I f(x) đồng biến khoảng I b Nếu f '(x) < 0, "x ẻ I f(x) nghịch biến khoảng I c Nếu f '(x) = 0, "x ẻ I f(x) không đổi khoảng I Ta có mở rộng định lí nh sau: Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng I a Nếu f '(x) 0, "x ẻ I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) đồng biến khoảng I b Nếu f '(x) Ê 0, "x ẻ I, đẳng thức xảy số hữu hạn điểm khoảng I, f(x) nghịch biến khoảng I Ta tóm tắt định lí bảng biến thiên sau: x -¥ a b + ¥ b + ¥ y' + y x -¥ y' a - y II Cùc trị hàm số khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập hợp D (D è ) x0 ẻ D a x0 gọi điểm cực đại hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ẻ D và: f(x) < f(x0) , với x ẻ (a; b)\{x0} Khi f(x0) đợc gọi giá trị cực đại hàm số f(x) b x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x) tồn khoảng (a; b) chứa điểm x0 cho (a; b) ẻ D và: f(x) > f(x0) , víi mäi x Ỵ (a; b)\{x0} Khi f(x0) đợc gọi giá trị cực đại hàm số f(x) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu đợc gọi chung cực trị điều kiện cần để hàm số có cực trị Xét hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a, b) x0 ẻ (a; b) Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f(x) có đạo hàm điểm x0 f'(x0) = điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng (a ; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0) (x0; b) Khi đó: a NÕu f '(x) < víi mäi x Ỵ (a; x0) f '(x) > với x ẻ (x0; b) hàm số f(x) đạt cực tiểu ®iĨm x0 b NÕu f '(x) > víi mäi x ẻ (a; x0) f '(x) < với x ẻ (x0; b) hàm số f(x) đạt cực đại điểm x0 Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị Ta tóm tắt định lí bảng biến thiên sau: x -¥ a x0 b + ¥ y' + y x y' y CT -Ơ a x0 + CĐ b + Ơ - Từ định lí ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số y = f(x) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: TÝnh f’(x) Bớc 2: Tìm điểm xi (i = 1, 2, ) đạo hàm hàm số hàm số liên tục nhng đạo hàm Bíc 3: XÐt dÊu f'(x) NÕu f'(x) ®ỉi dÊu x qua điểm x i hàm số đạt cực trị xi Định lí 3: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm x0, f '(x0) = f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a Nếu f''(x0) < hàm số đạt cực đại điểm x0 b Nếu f''(x0) > hàm số đạt cực tiểu điểm x0 Từ định lí ta có quy tắc tìm cực trị sau đây: Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số y = f(x) ta thực theo bớc: Bớc 1: Tính f(x) Bớc 2: Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, ) phơng trình f'(x) = Bớc 3: Với i ta tính f"(xi), dó: Đ Nếu f''(xi) < hàm số đạt cực đại điểm xi Đ Nếu f''(xi) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi III Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D a Nếu tồn điểm x0 ẻ D cho: f(x) Ê f(x0) với x ẻ D số M = f(x0) đợc gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) trªn tËp D nÕu, kÝ hiƯu M = b Nếu tồn điểm x0 ẻ D cho: f(x) ³ f(x0) víi mäi x Ỵ D số m = f(x0) đợc gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tËp D nÕu, kÝ hiƯu m = IV ®å thị hàm số Phép tịnh tiến hệ toạ độ phép tịnh tiến hệ toạ độ công thức chuyển hệ tọa độ Cho điểm I(x0; y0) ®iĨm M(x; y) hƯ to¹ ®é Oxy, ®ã hệ toạ độ IXY điểm M(X; Y) có toạ độ: phơng trình đờng cong hệ tọa độ Phơng trình đờng cong y = f(x) hệ toạ độ IXY có dạng: Y = f(X + x0) - y0 V đờng tiệm cận đồ thị hàm số đờng tiệm cận đứng đờng tiệm cận ngang Định nghĩa 1: Đờng thẳng y = y0 đợc gọi đờng tiệm cận ngang (gọi tắt tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f(x) nếu: f(x) = y0 f(x) = y0 Định nghĩa 2: Đờng thẳng x = x0 đợc gọi đờng tiệm cận đứng (gọi tắt tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f(x) nếu: = Ơ = Ơ đờng tiệm cận xiên Định nghĩa 3: Đờng thẳng y = ax + b đợc gọi đờng tiệm cận xiên (gọi tắt tiệm cận xiên) đồ thị hµm sè y = f(x) nÕu: [f(x) - (ax + b)] = hc [f(x) - (ax + b)] = Quy tắc: Giả sử x đ Ơ f(x) đ Ơ Ta tìm a = (1) Đ Nếu giới hạn (1) không tồn đồ thị tiệm cận xiên Trái lại ta tìm tiếp b = [f(x) - ax] (2) Đ Nếu giới hạn (2) không tồn đồ thị tiệm cận xiên Trái lại ta kết luận đồ thị nhận đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b làm tiệm cận xiên VI Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Đờng lối tổng quát để khảo sát vẽ đồ thị hàm số Phơng pháp Ta tiến hành theo bớc sau: Bớc 1: Tìm tập xác định hàm số Bớc 2: Xét biến thiên hàm số: a Tìm giới hạn vô cực giới hạn vô cực (nếu có) hàm số Tìm ®êng tiƯm cËn cđa ®å thÞ (nÕu cã) b LËp bảng biến thiên hàm số, bao gồm: Đ Tìm đạo hàm hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên tìm cực trị hàm số (nếu có) Đ Điền kết vào bảng biến thiên: x y' y Bớc 3: Vẽ đồ thị hàm số: a Vẽ đờng tiệm cận đồ thị (nếu có) b Xác định số điểm đặc biệt thờng giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trờng hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) c Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng tâm đối xứng đồ thị (nếu có, không yêu cầu chứng minh) F Chú ý: Khi vẽ đồ thị em học sinh cần lu ý "Dáng đồ thị tơng ứng với mũi tên bảng biến thiên" B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 tính đơn điệu hàm số Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu hàm số Phơng pháp Để xét tính đơn điệu hàm số y = f(x), ta thực bớc sau: Bớc 1: Tìm tập xác định hàm số Bớc 2: Tính đạo hàm y', tìm điểm tới hạn (thông thờng việc giải phơng trình y' = 0) Bớc 3: Tính giới hạn (nếu cần) Bớc 4: Lập bảng biến thiên hàm số Từ đó, đa lời kết luận F Chú ý: Trong trờng hợp phơng trình f'(x) = vô nghiêm, tức hàm số đồng biến nghịch biến, ta bỏ qua việc lập bảng biến thiên Thí dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = 2x3 + 3x2 + ? Giải Miền xác định D = Đạo hàm: y' = 6x2 + 6x, y' = Û 6x2 + 6x = Û Giíi hạn: y = -Ơ Bảng biến thiên: x -Ơ y' y + y = +¥ -1 - + ¥ + + ¥ -¥ VËy, ta có kết luận: Đ Hàm số đồng biến khoảng (-Ơ; -1) (0; +Ơ) Đ Hàm số nghịch biến khoảng (-1; 0) F Nhận xét: Qua thí dụ em học sinh đà biết cách trình bày dạng toán "Khảo sát biến thiên hàm số" Và với dạng toán em cần đặc biệt ý tới tập xác định hàm số chắn nhận đợc bảng biến thiên F Nhận xét: Hàm đa thức bậc ba tổng quát có dạng: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, víi a ¹ Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = Đạo hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c, Giíi h¹n: y' = Û 3ax2 + 2bx + c = Bảng biến thiên: Dấu y' phơ thc vµo dÊu cđa a (a > hay a < 0) vµ dÊu cđa D' = b2 - 3ac (D' > hay D' £ 0), ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Thí dụ Khảo sát biến thiên hàm sè y = x4 - 2x2 - ? Gi¶i Miền xác định D = Đạo hàm: y' = 4x3 - 4x, y' = Û 4x3 - 4x = Û 4x(x2 - 1) = Û Giới hạn: y= Bảng biến thiên: x -Ơ y ' y + [x4(1 - + -1 0 + ) = + ¥ - -5 -6 -6 +¥ + + ¥ ¥ VËy, ta cã kÕt luËn: Đ Hàm số nghịch biến khoảng (-Ơ; -1) (0; 1) Đ Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +Ơ) F Nhận xét: Hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng có phơng trình: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, víi a Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = Đạo hàm: y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = 2x(2ax2 + b) = Do đó, phơng trình y' = có nghiệm (a.b 0) có ba nghiệm phân biệt , ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Giới hạn: = ax4(1 + + )= Bảng biến thiên: DÊu cđa y' phơ thc vµo dÊu cđa a (a > hay a < 0) vµ dÊu cđa a.b, ta có bốn trờng hợp biến thiên khác Và bắt dầu từ đây, việc đa lời kết luận dựa theo bảng biến thiên đợc dành cho bạn đọc Thí dụ Khảo sát biến thiên hàm số ? Giải Miền xác định D = Đạo hàm: y'= \{1} < "x ẻ D ị hàm số nghịch biến D Giới hạn: y= y = Bảng biến thiên: x -Ơ y ' y y = -¥ , y = +¥ +Ơ - +Ơ -Ơ F Nhận xét: Hàm phân thức bậc bậc có dạng: (H): y = , víi c ¹ 0, D = ad - bc Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta có: Miền xác định D = Đạo hàm: y' = \{- } , NÕu D = ad - bc > ị hàm số đồng biến D Nếu D = ad - bc < ị hàm số nghịch biến D Thí dụ Khảo sát biến thiên hàm số y = x + ? Giải Miền xác định D = Đạo hàm: y' = - , \{0} Û x2 - = Û x = ± y' = Û - Giới hạn: y = -Ơ , y = +Ơ ; Bảng biến thiên: x -Ơ y' + y - y = +¥ - +¥ - -2 -¥ y=-¥, +¥ -¥ + +¥ F NhËn xÐt: Hàm phân thức bậc hai bậc có dạng: (H): y = , víi ad ¹ 0, tư, mẫu nghiệm chung Khi đó, sử dụng đạo hàm để khảo sát biến thiên hàm số, ta thờng lại hàm số dới dạng: y = f(x) = ax + b + Miền xác định D = \{- Đạo hàm: y' = a - , = } Dấu đạo hàm dấu tam thøc g(x) = a(dx + e)2 - gd Giíi h¹n y = Ơ y = Ơ Bảng biến thiên: Ta có trờng hợp: Trờng hợp a > Phơng trình y' = có hai nghiệm x1 < x2 x x1 - e/d x2 + ¥ ¥ y ' + - - CĐ y -Ơ +Ơ -Ơ + +Ơ CT Phơng trình y' = vô nghiƯm x -e/d + ¥ -¥ y ' + + +Ơ +Ơ y -Ơ -Ơ Trờng hợp a < Phơng trình y' = có hai nghiệm x1 < x2 x -Ơ x1 -e/d x2 + Ơ Miền xác định D = \ {0, 2} Viết lại hàm số dới dạng: y=x+2+ Từ đó, ta nhận đợc kết luận: Đ Đờng thẳng x = tiệm cận đứng y = Ơ Đ Đờng thẳng x = tiệm cận đứng Đ Đờng thẳng y = x + tiệm cận xiên y = ¥ [y - (x + 2)] = VËy, đồ thị hàm số có ba đờng tiệm cận F Chú ý: Thí dụ minh hoạ yêu cầu thờng dc đặt với tiệm cận hàm phân thức hữu tỉ chứa tham số Thí dụ Cho hµm sè a b Chøng tá r»ng víi m đồ thị hàm số có hai tiệm cận Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ c Tìm m để khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị hàm số đến gốc toạ độ nhỏ d Tìm m để hai đờng tiệm cận đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ hình chữ nhật có diện tích ? Giải a Đồ thị hàm số tiệm cËn TS vµ MS cã nghiƯm chung, tøc lµ: Û m2 - m + = 0, v« nghiƯm Vậy, với m đồ thị hàm số có hai tiệm cận là: Đ Đờng thẳng (d1): x = m - tiệm cận đứng Đ Đờng thẳng (d2): y = m tiệm cận ngang b Với tâm đối xứng I(m - 1; m), ta cã: OI = Û (m - 1)2 + m2 = Û 2m2 - 2m = Û m = hc m = VËy, víi m = m = thoả mÃn điều kiện đầu c Với tâm đối xứng I(m - 1; m), ta cã: OI2 = (m - 1)2 + m2 = 2m2 - 2m + suy d , đạt đợc Vậy, với m = m = thoả mÃn điều kiện đầu Ta có: Đ (d1) cắt Ox điểm A(m - 1; 0) Đ (d2) cắt Oy điểm B(0; m) Khi đó, từ giả thiết ta có: OA.OB = ẵm - 1½.|m½ = Û ½m2 - m½ = VËy, víi m = -1 hc m = thoả mÃn điều kiện đầu Thí dụ Cho hàm số: (Cm): y = Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 18 ? Giải Viết lại hàm số dới dạng: y=x+m+1+ Trớc tiên, để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên điều kiện m (*) Khi đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên (d): y = x + m + Gäi A, B theo thứ tự giao điểm (d) với trục Ox, Oy, ta đợc: A(-m - 1; 0) B(0; m + 1) Để tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích 18 điều kiện lµ: S DOAB = 18 Û 18 = OA.OB = ½-m - 1½.½m + 1½ = (m + 1)2 Û (m + 1)2 = 36 , thoả mÃn điều kiƯn (*) VËy, víi m = hc m = -7 thoả mÃn điều kiện đầu F Nhận xét: Qua thí dụ trên, em học hinh cần ghi nhận việc xác định điều kiện để đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc có tiệm cận xiên Dạng toán 2: Tiệm cận đồ thị hàm vô tỉ Phơng pháp Sử dụng định nghĩa quy tắc tìm tiệm cận hai phía Với hàm sè: (C): y = , víi A > vµ B2 - 4AC để tìm đờng tiệm cËn cđa (C) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Giả sử (d): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta cã: a= = = =- Khi ®ã, ta đợc tiệm cận xiên bên phải đồ thị (C) là: (d1): y = x Bớc 2: Giả sử (d): y = ax + b tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: a= = = = Khi đó, ta đợc tiệm cận xiên bên trái đồ thị (C) là: (d2): y = x+ Phơng pháp đợc mở rộng cho lớp hµm sè: y = cx + d ± ; Thí dụ Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số ? Giải a Miền xác định D = Đ Giả sử (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: a1 = = = = - 1, b1 = [y - ax] = = =- [ + x] Vậy, đờng thẳng (d1): y = -x - tiệm cận xiên bên phải (C) Đ Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta cã: a2 = = = = 1, b2 = [y - ax] = = Vậy, đờng thẳng (d2): y = x + b = tiệm cận xiên bên trái (C) Miền xác định D = (-Ơ; 1] ẩ [3; +Ơ) Đ Giả sử (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: a1 = = = = -1, b1 = [y - a1x] = [ + x] = = Vậy, đờng thẳng (d1): y = - x + tiệm cận xiên bên phải (C) Đ Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hµm sè, ta cã: a2 = b2 = = = [y - a2x] = = 1, = = -2 VËy, đờng thẳng (d2): y = x - tiệm cận xiên bên trái (C) F Hoạt động: Qua thí dụ trên, em học hÃy giải thích cần có điều kiện A > hàm số Thí dụ Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số ? Giải a Miền xác định D = Đ Giả sử (d1): y = a1x + b1 tiệm cận xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: a1 = = = =0 b1 = (y - ax) = = =0 VËy, đờng thẳng (d1): y = tiệm cận ngang bên phải (C) Đ Giả sử (d2): y = a2x + b2 tiệm cận xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: a2 = = = =2 b2 = (y - ax) = ( = = Vậy, đờng thẳng (d2): y = 2x tiệm cận xiên bên trái (C) b Điều kiện: x2 - ẵxẵ ị D = (-Ơ; - 1] ẩ [1; +Ơ) Miền xác định D = (-Ơ; - 1] ẩ [1; +Ơ) Đ Giả sư (d1): y = a1x + b1 lµ tiƯm cËn xiên bên phải đồ thị hàm số, ta có: a1 = b1 = = = (y - ax) = =0 = =0 Vậy, đờng thẳng (d1): y = tiệm cận ngang bên phải (C) Đ Giả sư (d2): y = a2x + b2 lµ tiƯm cËn xiên bên trái đồ thị hàm số, ta có: a2 = = = =2 b2 = (y - ax) = ( = = Vậy, đờng thẳng (d2): y = 2x tiệm cận xiên bên trái (C) F Hoạt động: Qua thí dụ trên, em học hÃy giải thích hai hàm số lại có tiệm cận F Chú ý: Với đồ thị hàm số vô tỉ dạng khác, để xác định đờng tiệm cận ta thực theo bớc: Bớc 1: Tìm miền xác định D miền giá trị I (nếu có thể) hàm số, D I có chứa Ơ thực bớc trái lại kết luận đồ thị hàm số tiệm cận Bớc 2: Dựa vào D I tìm tiệm cận đồ thị hàm số Nếu hàm số chứa bậc chẵn, nói chung ta thờng phải tìm tiệm cận bên trái bên phải Thí dụ Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: ? Giải a Điều kiện: - x2 ẵxẵ Ê ị D = [- ; ] ị D không chứa Ơ Miền giá trị I hàm số đợc xác định nh sau: - x2 £ Þ Û I = [0; ] ị I không chứa Ơ Vậy, đồ thị hàm số tiệm cận b Ta có ®iỊu kiƯn: Û Û Þ D = (-∞; 1] Ta có: Vậy, đồ thị hàm số tiệm cận F Chú ý: Với đồ thị hàm số vô tỉ dạng phân thức hữu tỉ, đánh giá đợc tồn tiệm cận xiên tiệm cận ngang dựa việc đánh giá bËc cđa tư sè vµ mÉu sè ThÝ dơ Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số: ? Giải a Điều kiện: x2 - > ẵxẵ > ị D = (-Ơ; -1) ẩ (1; +Ơ) Ta lần lợt: Đ Vì nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên phải x = -1 Đ Vì nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên trái x = Đ Tiệm cận ngang bên phải, ta có: = = = = -1 Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên phải y = -1 Đ Tiệm cận ngang bên tr¸i, ta cã: = = = = b VËy, đồ thị (C) có tiệm cận ngang bên trái y = Điều kiện ị D = (-Ơ; -1) ẩ [0; +Ơ) Ta lần lợt: Đ Vì nên đồ thị (C) có tiệm cận đứng bên phải x = Đ Tiệm cận xiên (d): y = ax + b, ta cã: = = = = = = = Vậy, đồ thị (C) có tiệm cận xiên Đ6 khảo sát biến thiên vẽ đồ thị số hàm đa thức Dạng toán 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm đa thức bậc ba Phơng pháp Với hàm số: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a ta lần lợt có: a Tập xác định D = b Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực: = Đ Bảng biến thiên: y' = 3ax2 + 2bx + c, Lập bảng biến thiên: x y' y -¥ +¥ y' = Û 3ax2 + 2bx + c = Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số c Đồ thị: § §iÓm uèn: y'' = 6ax + 2b, y'' = Û 6ax + 2b = Û x = Vì y" đổi dấu x qua điểm - điểm uốn U nên đồ thị hàm số có Đ Giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trờng hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng Do có bốn trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm bậc ba có bốn dạng sau đây: Với a > Có hai cực Không có cực trị trị Thí dụ a b c d ? Gi¶i a Víi a < Có hai cực Không có cực trị trị Cho hàm số: y = x3 + 3x2 - Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Tuỳ theo giá trị m hÃy biện luận số nghiệm phơng trình: -x3 - 3x2 + + m = Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn Chứng minh điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực: y= [x3(1 + - = Đ Bảng biến thiên: y' = 3x2 + 6x, x -Ơ y' y )] + -2 CĐ y' = Û 3x2 + 6x = Û - 0 -4 CT +¥ + +¥ -¥ Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến khoảng (-Ơ; -2) (0; +Ơ) Hàm số đồng biến khoảng (-2; 0) Hàm số đạt cực đại điểm (-2; 0) cực tiêu điểm (0; -4) Đồ thị hàm số: Đ Điểm uèn: y'' = 6x + 6, y'' = Û 6x + = Û x = -1 V× y" đổi dấu x qua điểm -1 nên đồ thị hàm số có điểm uốn I(-1; -2) Đ Giao đồ thị hàm số với trục tung A(0; -4) Đ Giao đồ thị hàm số víi trơc hoµnh: x3 + 3x2 - = Û (x - 1)(x2 + 4x + 4) = ị B(1; 0) b Viết lại phơng trình dới dạng: x3 + 3x2 - = m Khi đó, số nghiệm phơng trình số giao điểm đồ thị hàm số với đờng thẳng y = m, ta có kết luận: Đ Với m < -4 m > phơng trình có nghiệm Đ Với m = -4 m = phơng trình có hai nghiệm phân biệt Đ Với -4 < m < phơng trình có ba nghiệm phân biệt c Phơng trình tiếp tuyến đồ thị điểm uốn I có dạng: (dI): y + = y'(-1)(x + 1) Û (dI): y = -3x - d Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ là: hệ tọa độ IXY (C) có phơng trình: (C): Y - = (X - 1)3 + 3(X - 1)2 - Û (H): Y = X3 - 3X Nhận xét rằng, hệ tọa độ IXY hàm số Y = X3 - 3X hàm số lẻ dó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng Vậy, điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Thí dụ Cho hàm số: y = (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2) a T×m giá trị m để đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt b Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = -1 ? Giải a Phơng trình hoành ®é giao ®iÓm: (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2) = Để đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt điều kiện là: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biƯt kh¸c -1 Û Û Û (*) VËy, víi m thỏa mÃn (*) đồ thị hàm số đà cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt b Bạn đọc tự giải Dạng toán 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm trùng phơng Phơng pháp Với hàm số: y = f(x) = ax4 + bx2 + c, với a ta lần lợt có: a Tập xác định D = b Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực: y= ax4(1 + + Đ Bảng biÕn thiªn: )= y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b), y' = Û 2x(2ax2 + b) = Lập bảng biến thiên: x -Ơ +Ơ y' y Dựa vào bảng biến thiên đa kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số c Đồ thị: Đ Điểm uốn: y'' = 12ax2 + 2b (1) NÕu (1) cã hai nghiÖm phân biệt đồ thị hàm số có hai điểm uốn: U1(x1; f(x1)) U2(x2; f(x2)) Đ Giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trờng hợp đồ thị không cắt trục tọa độ việc tìm tọa độ giao điểm phức tạp bỏ qua phần này) Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng Do có bốn trờng hợp khác chiều biến thiên nên đồ thị hàm bậc ba có bốn dạng sau đây: Với a > Víi a < Cã mét cùc Cã ba cùc trÞ Cã mét cùc Cã ba cùc trÞ trị trị Thí dụ ? Giải a Với a Cho hµm sè: y = x4 - 2mx2 + 2m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số với b ơng trình tiếp tuyến đồ thị haiđiểm uốn Tìm giá trị m cho hàm số có ba cực trị hàm số cã d¹ng: y = x4 - x2 + Ta lần lợt có: Viết ph- Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực: = Đ Bảng biến thiên: y' = 4x3 - x, y' = Û 4x3 - 2x = x = x y ' y -Ơ + ¥ + + CT 3/4 - CĐ + CT 3/4 + Ơ Ơ Bạn đọc tự kết luận dựa theo bảng biến thiên Đồ thị hàm số: Đ Điểm uốn: y'' = 12x2 - 2, y'' = Û 12x2 - = x = Vì y" đổi dấu x qua điểm điểm uốn nên đồ thị hàm số có hai Đ Ta tìm thêm vài điểm đồ thị A(-1; 1), B(1; 1) Bạn đọc tự vẽ hình Ta lần lợt nhận đợc hai tiếp tuyến là: (d1): y = (d2): y = b Miền xác định D = Đạo hàm: y' = 4x3 - 4mx, (1) y' = Û 4x3 - 4mx = Û 4x(x2 - m) = Để hàm số có ba cực trị điều kiện là: Phơng trình (1) có ba nghiệm ph©n biƯt Û m > VËy, víi m > thỏa mÃn điều kiện đầu Thí dụ a b Cho hµm sè y = x4 - (m + 1)x2 + m Khảo sát vẽ đồ thị cđa hµm sè víi m = -1 Chøng minh r»ng đồ thị hàm số đà cho qua hai điểm cố định với giá trị m ? Giải a Bạn đọc tự giải b Giả sử M(x0; y0) điểm cố định họ (Cm) Khi đó: y0 = - (m + 1) + m, "m Û (1 )m + Û Û - - y0 = 0, "m Vậy, họ (Cm) qua hai điểm cố định M1(-1; 0) M2(1; 0) Thí dụ a b Cho hµm sè: f(x) = x4 - x2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số đà cho Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy cách vẽ đồ thị hàm số y = ẵf(x)ẵ ? Giải a Ta lần lợt có: Hàm số xác định D = Sự biến thiên hàm số: Đ Giới hạn hàm số vô cực: y= [x4(1 )] = +Ơ Đ Bảng biÕn thiªn: y' = 4x3 - 2x, y' = Û 4x3 - 2x = Û x y ' -¥ - - 0 + + ¥ - + y + Ơ CT -1/4 CĐ CT -1/4 + ¥ ... sin2(x ) + sin2x + sin2(x + ) ? Giải Xét hàm số A = sin2(x - ) + sin2x + sin2(x + ) Ta cã: = 2sin(x - + ).cos(x - ) + 2sinx.cosx + 2sin(x + ).cos(x ) = sin(2x - = 2sin2x.cos ) + sin2x + sin(2x... = Đ Đạo hàm: y'' = x2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2, y'' = Û x2 - 2mx + 2m2 - 3m + = Hµm số có cực trị phơng trình y = có nghiệm đổi dấu qua nghiệm đó: Dy > Û m2 - 2m2 + 3m - > Û m2 - 3m + < Û < m < VËy,... = (x2 - 2mx)(x - m) - 2m2x + 4m3, nªn nÕu M(x0; y0) điểm cực trị hàm số thì: y0 = -2m2x0 + 4m3 ị A(xA; -2m2xA + 4m3) B(xB; -2m2xB + 4m3) Gọi I trung điểm AB, ta cã: Þ yI = -2m2xI + 4m3 = 2m3