CHUYEN DE VEC tơ

C h ủ đề VECTƠ Vấn đề cần nắm: Định nghĩa phép toán vectơ Các quy tắc kết ứng dụng vectơ Trục hệ trục tọa độ mặt phẳng Trong chương trình học lớp 10 sách giáo khoa học sinh bắt đầu quen kiến thức vectơ tọa độ Đây mơ hình cụ thể khơng gian vectơ, cấu trúc đại số quan trọng dùng nhiều ngành toán học Học chủ đề vectơ việc chuẩn bị cho học sinh công cụ nghiên cứu số vấn đề hình học phẳng hệ thức lượng tam giác, giải tam giác, nghiên cứu đường thẳng, đường tròn elip Qua chủ đề em dễ dàng tiếp thu kiến thức học chương trình THPT, đồng thời sở lý thuyết để mở rộng phương pháp tọa độ từ mặt phẳng sang khơng gian §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TỐN VECTƠ A Lý thuyết Các định nghĩa • Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B uuu r AB + Ta cịn sử dụng kí hiệu r r để biểu diễn vectơ a, b, • Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ • Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, STUDY TIP - Độ dài vectơ số không âm - Vectơ đơn vị vectơ có độ dài 1, vectơ quy ước để so sánh - Khi nhắc đến vectơ ta nói tới điểm đặt, giá, phương, chiều, độ lớn vectơ độ dài vủa vectơ uuu r kí hiệu uuu r AB AB • Hai vectơ r r gọi phương giá chúungsong a b song trùng + Hai vectơ phương hướng ngược hướng • Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu r + Vectơ r phương, hướng với vectơ + Mọi vectơ r r 0 =0 + Giá vectơ-khơng đường thẳng qua • Hai vectơ r r gọi chúng hướng có a b độ dài, kí hiệu r r a=b + Khi cho trước vectơ r điểm O, ta ln tìm điểm A a cho uuu r r OA = a Các phép toán vectơ a Tổng hai vectơ • Quy tắc cộng: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: uuur uuur uuur AB + BC = AC + Quy tắc mở rộng cho n điểm A1 , A2 , A3 , , An ta có: uuuur uuuur uuuur uuuuuur A1 An = A1 A2 + A2 A3 + + An−1 An + Quy tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: uuur uuur uuur AB + AD = AC • STUDY TIP - Có thể phân tich vectơ tổng nhiều vectơ cách chèn điểm theo quy tắc phép cộng uuur uuu r uuur OB − OA = AB chung điểm đầu dồn phía trước uuur uuur uuur AO − BO = AB chung điểm cuối dồn phía Tính chất: với ba vectơ r r r tùy ý a , b, c + r r r r (tính chất giao hốn); a+b = a+b + r r r r r r (tính chất kết hợp); a+b +c = a+ b+c ( ) ( ) + r r r r r (tính chất vectơ – không) a+0 = 0+a = a b Hiệu hai vectơ • Vectơ đối: vectơ r vectơ đối r r r r r hai vectơ a, b b a b=a ngược hướng Kí hiệu r r b = −a + Vectơ đối r r 0 + r r r r a − b = a + −b ( ) +r r r r r a + −a = −a + a = ( ) ( ) • Quy tắc trừ: Với ba điểm O, A, B tùy ý, ta có: uuu r uuu r uuur OB − OA = AB c) Tích vectơ với số • Cho vectơ r số r vectơ xác định sau: k ∈ ¡ a ka + , r ngược hướng với vectơ r r hướng với vectơ r k ≥ ka a ka a k Do uuuu r uuuu r (xem thêm ví MN = 3MG uuur uuur ⇒ MA = −k MB + uuur uuur ngược hướng ⇒ MA, MB uuur uuur uuu r r uuur uuu MB = MA + AB = − AD + AB r uuur uuu r uuu AB + AC + AB r uuur uuu = AB − AC 4 ( =− ⇒ ) = = = ⇒ Câu 41: Đáp án C uuu r r uuuu r uuu r uuuu AB = − CM ⇒ CM = −2 AB uuuu r uuur ⇔ CM = −2CD Giả sử G trọng tâm uuur uuur uuu r uuur Khi uuur uuur uuu r GN + GQ + GS ( AC + BD ) = ( uuur uuur uuur AC + BD + BC ) r uuur uuur uuu BA + BD + BD r uuur uuu r uuur uuu = − BA + BD = AB + BC 4 =− ( ( ) (III) Câu 40: Đáp án A ⇒ ) ) ( Câu 44: Đáp án A ) ( ) ( ) ( ) G trọng tâm D trung điểm CM Từ giả thiết r uuur uuur uuur uuu GB + GC + GD + GE 2 r uuur uuu + GF + GA u u u r u u u r 1 uuur uuur = GA + GB + GC + GD 2 uuur uuur + GE + GF uuur uuu r uuu r r = GH + GP + GR = ( (II) ∆MPR ( AB + AC ) + 14 ( BA + BD ) uuur uuur M tâm Câu 43: Đáp án A đoạn AB ⇒ uuur uuur uuur r uuur uuuu ND = BN + BD = − BM + BD ⇒ ⇒M ⇒ đường tròn ngoại tiếp tam giác (I) + uuuu r uuur AM + BN + dụ dạng trước) NQS Câu 42: Đáp án B Nếu G trọng tâm tam giác uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC = 3MG uuur uuuu r uuur uuuu r ⇔ MA − MC + MB − MC uuur uuuu r = MB + MC uuu r uuu r uuur uuuu r ⇔ CB + CA = MB + MC uuu r uuu r ⇔ CJ = MI ⇔ MI = CJ ( ) ( ( ) ) (với I, J trung điểm BC, AB) Vậy tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính CJ Câu 45: Đáp án A 22  m = 19 ⇔ ⇒ m+n = n = −  Câu 48: Đáp án D Gọi I trung điểm AC uuuur uuur uuur uuur uur MH = MB + BH = − BC + BI r uuur uuur uuu = − BC + BA + BC r uuur uuu r uuu r uuur uuu = − BA + BC + BA + BA + AC u u u r u u u r 5 uuur uuur = BA − AC = − AB − AC 6 6 ⇒ m = − ,n = − 6 ( ( ) ( Chọn điểm I thỏa mãn uu r uur uur uur r IA + IB + 3IC − ID = uu r uur uur uur ⇔ IA = IB + 3IC − ID ( Nên ) C ( 4; −1) D ( a ; a ) ⇒ B ( − a; − a ) uuur uuu r AK ( 1; −1) , AB ( − 2a; −1 − a ) Suy uuur uuur uuur AG = AB + AC 18 Câu 50: Đáp án D Vì uuur uuu r phương nên AK , AB − 2a −1 − a = ⇒ a =1 −1 ⇒ D ( 2;1) , B ( 0;1) Câu 49: Đáp án C Từ giả thiết ta xác định hình thoi mặt phẳng tọa độ Oxy Suy uuur uuur uuuu r uuuu r MA + 2MB + 3MC − 4MD uuu r uu r uuu r uur = MI + IA + MI + IB uuu r uuu r uur uuu r +3 MI + C − MI + ID = MI ) ( ) ( Gọi ) Câu 46: Đáp án B ( I trung điểm AC nên Vì G trọng tâm tam giác MNB nên uuur uuuu r uuur uuu r AG = AM + AN + AB r  uuur uuu r  uuu r uuu = AB +  AC − AB ÷+ AB   u u u r u u u r = AB + AC ) ) k =2 Câu 47: Đáp án C Ta có: r r r 7 = 2m + 3n c = m.a + n.b ⇔   = m + 4n Gọi I tâm hình thoi ta có: a · BI = AB sin BAI = a sin 30° = , Ta có: uuur uuur uuur uuur uuu r AN = AC + CN = AC − AB uuuu r uuur uuur MN = MA + AN r uuur uuu r uuu = − AB + AC − AB u u u r u u u r = − AB + AC AI = AB − BI = a − a2 a = ... 2: Cho hai vectơ khơng phương r r Mệnh đề sau a b A Khơng có vectơ phương với hai vectơ r r a b B Có vô số vectơ phương với hai vectơ r r a b C Có vectơ phương với hai vectơ r r , vectơ r a b... STUDY TIP - Hai vectơ chúng chiều độ dài - Hai vectơ chiều phương hai vectơ phương chưa chiều Lời giải Vì vectơ r phương với vectơ Nên có vectơ phương với hai vectơ r r , vectơ r a b Đáp án... AB c) Tích vectơ với số • Cho vectơ r số r vectơ xác định sau: k ∈ ¡ a ka + , r ngược hướng với vectơ r r hướng với vectơ r k ≥ ka a ka a k