Thông tin tài liệu
Chủ đề Vấn đề cần nắm: Giá trị lượng giác góc từ 0 180 Tích vơ hướng hai vectơ Các hệ thức lượng tam giác TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Trong chủ đề này, chúng tơi xin giới thiệu chun đề hình học lớp 10 nữa, phép nhân vơ hướng hai vecto Phép nhân cho kết số, số gọi tích vơ hướng hai vecto Để xác định tính vơ hướng hai vecto ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác góc với 0 180 mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn biết lớp §1 Giá trị lượng giác góc từ 0 đến 180 A Lý thuyết Định nghĩa Với góc (0 180) ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn · vị cho xOM Tung độ điểm M sin góc , kí hiệu sin Hồnh độ điểm M cơsin góc , kí hiệu cos Giả sử điểm M có tọa độ STUDY TIP - Để nhớ định nghĩa giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot ta có câu sau: Cơ sin (cos) trục nằm ngang (trục hồnh) M x0 ; y0 Khi y0 sin , x0 cos y0 x 0 Khi , tỉ số x0 gọi tang góc , kí hiệu tan x0 y 0 Khi , tỉ số y0 gọi cotang góc , kí hiệu cot Song song với chàng tang (cot) Các số sin ,cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác góc Cịn sin đứng thẳng bang Nhận xét: Với định nghĩa này, ta thấy: Đối diện với có tang (tan) đứng chờ 0;1 + Góc từ 0 đến 180 có sin thuộc đoạn 1;1 + Góc từ 0 đến 180 có cosin thuộc đoạn + Với 0;90 sin ,cos , tan , cot : + Với 90;180 sin 0, cos , tan , cot : Các hệ thức lượng giác 2 sin cos tan sin (cos 0) cos cot cos sin sin tan cot 1 sin , cos tan cos cot sin 3.Tính chất a) Hai góc phụ sin cos 90 tan cot 90 cos sin 90 cot tan 90 tan tan 180 cot cot 180 b) Hai góc bù sin sin 180 cos cos 180 Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị lượng giác 0 30 45 60 90 sin 2 cos 2 2 tan 3 || cot || 1 Ghi nhớ: Cách 1: Quy tắc bàn tay trái - Bước 1: Ghi góc đặc biệt lên ngón tay hình vẽ (lịng bàn tay hứng vào trong) Tính giá trị lượng giác góc nào, ta quặp ngón tay lại hình vẽ - Bước 2: sin số ngón tay bên phải cos số ngón tay bên trái Cỏch 2: Đánh số vị trí cho góc 0,30, 45, 60,90 theo thứ tự 0, 1, 2, 3, sin sè vÞtrÝ sè vÞtrÝ , cos 2 Chú ý: Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: sin120 sin 180 60 sin 60 cos135 cos 180 45 cos 45 2 Góc hai vectơ a) Định nghĩa r r r uuu r r a b OA a Cho hai vectơ khác vectơ Từ điểm O ta vẽ uuu r r r OB b Góc ·AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a r r r r r r r a , b a , b 90 b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b Nếu ta nói r r r r r r a b vng góc với nhau, kí hiệu a b b a Lời giải STUDY TIP Trong định nghĩa O lấy tùy ý Tuy nhiên giải tốn ta chọn vị trí điểm O thích hợp, hay chọn điểm O trùng với điểm gốc r r vectơ a b cho đơn giản b) Nhận xét: r r r r a, b b, a Từ định nghĩa ta có r r r r a, b 0 a b + và hướng r r a, b 180 + r r a b và ngược hướng Dạng B Các dạng tốn điển hình Xác định tọa độ điểm M Với dạng toán này, học sinh cần nắm vững định nghĩa STUDY TIP Muốn xác định tọa độ điểm M nửa đường tròn đơn vị, ta xác định góc · xOM Khi điểm M cos ;sin có tọa độ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M điểm nửa đường tròn · đơn vị cho xOM (như hình vẽ) Tọa độ điểm M là: A sin ; cos B sin ;cos C cos ;sin D cos ;sin Lời giải Vì hồnh độ điểm M cos , tung độ điểm M sin nên tọa độ cos ;sin điểm M Đáp án C Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M điểm nửa đường tròn · đơn vị cho xOM 36 (như hình vẽ) Hồnh độ điểm M là: 1 A 1 B 1 C 1 D Phân tích: Dựa vào ví dụ 1, hồnh độ điểm M cos 36 Dùng máy tính cầm tay ta suy kết đáp án A Ta chuẩn xác lời giải cách sau: Lời giải Cách 1: (Dùng hình học) · · · Xét tam iacs ABC cân A, BAC 36, BC Khi ABC ACB 72 Dựng phân giác CD Suy tam giác ACD cân D, tam giác BCD cân C Do đó: DA DC CB Kẻ DH AC Đặt AH HC x AB AC x, BD x Khi STUDY TIP · Do 0 xOM 36 90 Nên cos 36 cos 36 AH x AD AD AC 2x ·ACB Do CD phân giác góc nên DB BC x 4x2 x 1 x Như ta thấy đáp án C, D bị loại Vậy cos 36 1 x 0 1 1 cos 36 Hoành độ điểm M Lưu ý: Từ toán ta tính sin18 cách làm tiếp từ toán sau: Kể CK AB , tam giác CDB cân C nên STUDY TIP Ở cách 2, ta cần biết công thức sau: DK DB BD x 2 DK x 1 sin18 cos 72 ·CDB 72 DC Mà nên sin 3 3sin 4sin sin 2 2sin cos Do 0 18 90 Cách 2: (Sau học xong công thức lượng giác) Nên sin18 4sin 18 2sin 18 3sin18 Ta có: cos 36 sin 54 2sin 18 4sin 18 sin18 1 4sin 18 2sin18 1 sin18 1 1 cos 36 4 Đáp án A Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, B hai điểm nửa · · xOA , xOB 0 180 đường tròn đơn vị cho (như hình vẽ) cos Giá trị bằng: A cos cos sin sin B cos cos sin sin C cos cos sin sin D sin sin cos cos Phân tích: Với tốn thi trắc nghiệm, với kiểu hỏi này, ta cho 60, 30 Từ ta cho kết đáp án B Lời giải Từ giả thiết, ta có: B cos ;sin , A cos ;sin · BOA · Dựng tam giác MON cho MON , N giao điểm nửa đường tròn với trục hồnh, M thuộc nửa đường trịn đơn vị Suy M cos ;sin Với cách dựng ta có: cos cos N 1; AOB NOM c.g c AB NM sin sin cos 1 sin 2 cos cos cos cos sin 2sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin Đáp án B STUDY TIP 0;90 -Với sin , cos , tan , cot 90;180 Với sin ; cos , tan , cot Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi A, A ' giao điểm nửa đường OA OM tròn đơn vị với trục Ox (A thuộc tia Ox), M thuộc trục Ox cho (như hình vẽ) Dựng điểm N nửa đường trịn đơn vị cho MN vng góc · với OA Khi tan NOA bằng: A 15 B C 15 D 15 15 Lời giải Do MN vng góc với OA nên hồnh độ điểm N hoành độ điểm M Do OA 1 OM xM xM nên Suy Tung độ điểm N dương giả thiết toán Do Dạng xN2 yN2 yN xN2 · tan NOA Khi 15 16 yN 15 xN Đáp án A Tính giá trị biểu thức lượng giác Với dạng toán này, ta sử dụng hệ thức lượng giác bản, giá trị lượng giác góc đặc biệt Bài toán 1: Biết cos , tính giá trị lượng giác cịn lại góc Phương pháp: 2 Ta có: sin cos sin cos Biết sin , cos ta tính tan , cot Bài tốn 2: Biết sin , tính giá trị lượng giác cịn lại góc Phương pháp: Trường hợp 1: Nếu 0;90 giá trị cos , tan ,cot Do ta tính đưuọc giá trị cos , tan , cot sau: - Tính cos cách sử dụng công thức: cos sin , suy hai giá trị cịn lại - Tính cot cách sử dụng cơng thức: hai giá trị cịn lại Trường hợp 2: Nếu 90;180 cot 1 cot , suy cos , tan , cot Do ta tính giá trị cos , tan , cot sau: - Tính cos cách sử dụng công thức: cos sin , suy hai giá trị lại - Tính cot cách sử dụng cơng thức: hai giá trị lại cot 1 sin , suy Bài tốn 3: Biết tan , tính giá trị lượng giác cịn lại góc (Trường hợp biết cot tính tương tự) Phương pháp: Trường hợp 1: Nếu 0;90 cos ,sin , cot Do ta tính giá trị cos ,sin , cot sau: - Tính cos cách sử dụng công thức: hai giá trị lại cos 1 tan , suy Trường hợp 2: Nếu 90;180 cos ,sin , cot Do ta tính giá trị cos ,sin , cot sau: - Tính cos cách sử dụng cơng thức: hai giá trị cịn lại cos 1 tan , suy Bài toán 4: Biết giá trị biểu thức lượng giác theo , tính giá trị lượng giác góc Phương pháp: - Biến đổi biểu thức lượng giác cho dạng chứa hàm lượng giác, tực phép đặt ẩn phụ (nếu cần) để giải phương trình đại số - Biến đổi biểu thức cho dạng tích - Sử dụng bất đẳng thức Bài toán 5: Biết giá trị biểu thức lượng giác, giả sử biểu thức A, tính giá trị biểu thức lượng giác B Phương pháp: - Biến đổi A thay vào B - Biến đổi B sử dụng A - Biến đổi đồng thời hai biểu thức A, B xuất biểu thức trung gian - Sử dụng phương pháp giải phương trình để tính giá trị Ví dụ 1: Biết cos 0 180 a) Tính giá trị lượng giác cịn lại b) Tính giá trị biểu thức: P tan cot tan cot Lời giải a) Ta có sin cos sin cos , tan 8, cot b) Với câu b, ta thay trực tiếp kết tính ý a, cho kết Ngoài ta làm sau: sin cos 2 2 tan cot sin 3sin cos cos 26 P cos sin cos tan cot sin cos cos cos sin Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có tan A 5 a) Tính sin A,cos A ? b) Tính giá trị biểu thức: P sin A cos3 A sin A.cos A 3sin A Lời giải µ a) Vì tan A 5 nên suy góc A tù Do cos A cos Ta co: 1 tan sin A tan A.cot A 26 , 26 b) Với ý b, ta thay trực tiếp kết từ ý a Sau nêu thêm cách sau: sin A cos A tan A 121 cos3 A P 2 sin A.cos A 3sin A sin A cos A tan A tan A tan A 365 cos3 A Ví dụ 3: Cho số m, n dương số m tan n cot mn 1 0;180 \ 90 thỏa mãn Tính sin , cos , tan , cot Lời giải Với tan , ta suy cot Khi mn m tan n cot (vơ lí) Vậy tan 0, cot 0,90 Cách 1: (sử dụng bất đẳng thức) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: m tan n cot mn tan cot mn n tan m m tan n cot mn cot m n Dấu xảy khi: Áp dụng hệ thức lượng giác ta có: tan 1 m cos 2 cos mn n tan 1 m n m n m mn mn sin tan cos Cách 2: Ta tính tan , cot sau: m tan n cot mn m tan n cot Cách 3: Đặt mt m tan n cot mn tan cot m tan n cot mn t tan t Khi (1) trở thành n mn mt 2t mn n t m n t 0t n m Ví dụ 4: a) Với giá trị , 0;180 0;180 b) Cho góc S n sin n cos n biểu thức thỏa mãn P sin cos xác định sin cos Lời giải a) Biểu thức P sin cos xác định sin cos tan 135 b) Ta có: sin cos 2sin cos sin cos n 1 n 1 Cách 1: Sn 1 sin cos sin n cos n sin cos sin cos sin n 1 cos n 1 S n 1 2S n S n 1 Từ dễ dàng tìm Sn 2n Tính 4S ABC .5.12 120 Câu 49: Đáp án A x, y, z Giả sử: nghiệm hệ thì: 1 x y xy 16 1 1 25 zy z y 36 x z xz m x y z Đặt 1 ,b ,c x y z (a,b,c>0) a Hệ trở thành: a b ab 16 2 b c bc 25 2 a c ac 36 a b c m Trong mặt phẳng ta vẽ ba đoạn thẳng MA a, MB b, MC c đôi hợp với góc 120 AB = 4, BC = 5, AC = Áp dụng công thức Herong ta có: S ABC 15 Tam giác ABC nhọn, suy M nằm tam giác ABC Khi đó: 25 x y2 y 2 z y x z S ABC S MAB S MAC S MBC ab bc ca sin1200 15 ab bc ca 21 Từ ba phương trình đầu ta có: Xét tam giác ABC vuông B, đường cao BD với AB , BC 2 Đặt BD y, AD x 1, CD z x, y, z thỏa a b c ab bc ca Rõ 77 ràng mãn điều kiện 77 21 Khi đó: a2 b2 c2 A y x 1 z a b c Vậy S ABC .2 2 a b c ab bc ca 2 Câu 77 21 77 15 2151: Đáp án C 10 21 2Xét tam giác vuông ABC B có 77 15 21 abc m BC 4, BA đường cao BD Đặt Câu 50: Đáp án D BD y, DA x, DC z Từ hệ phương trình Ta thấy x, y , z thỏa x 1, z suy mãn điều kiện Khi Hệ phương tương đương: trình đó: B y x z 2S ABC 3.4 12 Câu 52: Đáp án B Theo định lý hàm số cosin ta dễ dàng có Với x x 3x x x 16 Trường phương nghiệm hợp trình vơ Với x 0, xét tam giác ABC vuông A AB 4, AC có 2 b2 c2 a AG AA 3 uuu r uuu r 2a b c CA 2b a c CB 3 a b c 2 a c b2 Theo yêu cầu BG BB 3 toán: uur uur Do AG vng góc với IG IC GI CI BG nên uuu r uu 2a b c CA 2b a c C AB BG AG uuu r uuu r aCA bCB Gọi AD phân giác · góc BAC Trên tia AD lấy điểm M cho AM x b2 c2 a a c b2 c 9 4 b 2a b c a 2b a c 2 4b a c2 c2 uuu r uuu r 9 ab CB.CA Áp dụng định lý cosin tam giác ACM: CM x x r uuu r 5c a b 2ab cos C 4c uuu ab CB.CA Do sin A sin B cos C ab ab cos C Áp dụng định lý cosin tam giác ABM: BM x x 16 2sin A B sin C ab cos C 2sin A B cot C sin A.sin B nên cot C cot A cot B a b c a b 6ab Suy ra: CM BM BC Dấu xảy M trùng với D hay: 3.4 12 x AD 3 Phương trình có nghiệm BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ IX Câu 1: Đáp án A Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có: b 2a b c a 2b a c Câu 2: Đáp án D Câu 3: Đáp án C Ta có: uuur uuu r uuu r CG CA CB uuuu r uuur uuuu r uuur uuur AM AB CM AB AC 2 Lại có: uuu r b uuur c uuur Lại có: AL AB AC bc bc uu r uur uur r aIA bIB cIC uuu r uuuu r AL CM AL CM 0 uur uuur uur uuur uur r a IC CA b IC CB cIC c uuur b uuur uuu r uuu r AB AC uur aCA bCB bc cb IC abc r uuur uur uur uuur uuu AB AC GI CI CG 2 uuu r uuur uuu r uuur b AB c AC AB AC uuu r uuur c 2b AB AC bc c 2b giác ABC vng góc với đường thẳng giá vectơ uuu r uuur 2AB AC c 2b Khi đó: A Khi ta có: S ABC S ABD S ACD 1 bc bla sin 450 2 uuu r uuu r uuur AL AB AC 3 Câu 5: Đáp án C 8b cos A 8b2 AL c a a b4 c c b la · ·ABC , BAC nhọn Câu 7: Đáp án C 8b cos A Lại có: Và CM b2 b 2b cos A 2b cos A Theo giả thiết ta có: CM 52 AL CM 52 AL2 cos A 5 cos A 1 · BAC 720 Câu 4: Đáp án A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có: 3MA2 MB MC uuuur uuur uuur uuur 2MO 3OA 2OB OC uuuu r uuur uuur 2MO AB AC Vậy tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện đường thẳng qua tâm ngoại tiếp tam bc bc · Ta có: ADC 60 c a a b 2b a 2c b 2c Cách 1: Áp dụng định c a b c 2ab cos C lý sin hai tam giác ADC ABC ta cos C ·ACB có: nhọn CD CA Câu 6: Đáp án D ¼ sin 600 sin CAD Ta có: BC CA · sin 450 B c C b sin CAD 150 cos , cos lb lc · CD sin CAD 150 sin 450 Lại có: · sin 600 BC sin CAD bc sin B.sin C · sin CAD sin 450 a · sin 600 sin CAD 150 B C B C bc 4sin sin cos cos Từ dễ dàng tìm 2 2 a · B C l l CAD 45 sin sin b 2c 2 4a · Suy ACB 75 Áp dụng định lý hàm Cách 2: Gọi E sin tam giác đoạn AD cho IBC ta có: CE AD Xét tam IB IC a a giác CDE ta có: · C B sin BDC sin sin · · 2 DCE 300 , DE DC.sin DCE B C l l CD DE IA.IC 2a sin sin b c 2 Suy BD DE , hay Gọi D chân đường tam giác BDE cân phân giác góc cos A cla sin 450 Ta có: D Suy · · DBE DEB 300 Khi đó: · · CBE DEB 30 · · EBA EAB 150 Suy hai tam giác BCE, BAE cân hay EA CE BE Điều suy tam giác AEC vuông cân · Hay ACE 45 Suy ra: Ta có: · · tan PCQ PDQ tan 450 S ABC S PAB S PAC S PBC y 2x 5x y 1 y 2x 1 5x y 10 x y 21xy 40 xy 21 Diện tích hình thang ABCD · Vậy ACB 75 bằng: Câu 8: Đáp án B S AC.BD Theo định lí Thales ta có: AP BP PC PD 10 Đặt AP x, BP y , 1 49 x.7 y xyy 2 49 40 140 21 Câu 9: Đáp án A x y 42 x y Áp dụng công thức Heron ta suy S ABC 84 Suy cx ay bz sin 84 cx ay bz sin 168 Vậy tan 168 295 Suy m n 463 Câu 10: Đáp án C Cách 1: Dựa vào hình vẽ ta suy a, b dương ÁP dụng định lí cosin tam OA AB OB OA giác PCA, PAB, PBC ta có: a 121 b a 676 a 12 b 1369 y x c 2cx cos z y a 2ay cos cx ay bz cos a b2 c Lại có · · · · DPC DQC PCQ PDQ 132 142 152 590 =1 · · PCQ PDQ 450 cx ay bz sin Đặt AP x, PB y, PC z Tam giác OAB nên x z b 2bz cos Do tam giác APB vuông P nên cx ay bz cos 295 b 2ab 555 a b 1248 b 555 a 2b a b 1248 b 555 a 2b b 555 5552 4b 4 b 1248 b cos 600 x sin A sin C sin B cos cos 600 sin sin 600 sin C sin B Từ suy 2 sin A cos A a 21 3, b ab 315 r p b tan B sin A cos A Đặt · · x PCB PBC 800 x Áp dụng định lý sin ta có: 1 PA PB PC PB PC PA · · · sin PBA sin PCB sin PAC · · · sin PAB sin PBC sin PCA sin 200 sin x sin 400 0 1 sin10 sin 80 x sin 30 R sin A sin C sin B 4sin x.sin 400 sin100 1 sin 800 x Theo giả thiết ta có: ta có: sin cos 600 cos sin 60 11 a 2x 2x Câu 12: Đáp án D 11 a ta có: sin , cos x x Khi đó, OI R R 2r sin A 2 sin A cos A 1 37 sin 600 x sin A Câu 11: Đáp án A b 555 acb 450 a 2b tan 2 3b 3882b 5552 R 1 b 555 sin A sin C sin B a 2b b 75 sin C sin 1800 A B Và a 21 3, b ab 315 sin 1350 A Cách 2: Đặt sin A cos A x OA OB AB, giả sử Góc góc tạo tia OA Áp dụng công thức Euler tia Ox · BOx 60 sin A cos A OI R sin C sin B Io AB AC Vì vậy, 1 a 11 2x 2x 1 2sin x sin 300 sin 500 sin 800 x 2sin x cos 40 Giá trị nguyên lớn x a b c 2ab cos C thỏa mãn Nếu tam giác ABC có C nhọn yêu cầu toán x = 2 a b c Câu 16: Đáp án B sin 800 x sin x Do tam giác ABC vuông sin cos 400 sin 800 x cân nên 0 2sin 40 x cos 40 x BC 200 a R · · Vậy ACB 50 BAC Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: AB AC R b c a 92 cos A 2bc 2.9.4 R R 2R 2 2 R ·ACB 2R AB BC AC BC CA.cos Câu 13: Đáp án D 43 BC 49 BC BC BC BC BC Câu 14: Đáp án B H x; y Giả sử Ta có: uuur uuur AB.HC uuur uuur AC.HB x y 2 x y x y Câu 15: Đáp án C rr ab cos r r a b 3x x x x 1 9x x p Lại có r p a tan Câu 20: Đáp án C A R R R tan 450 R Câu 19: Đáp án D 1 r 1 R Diện tích tam giác ABC 1 S AB AC.sin A 6.8.sin 300 12 Câu 21: Đáp án D Nửa chu vi tam giác ABC Câu 17: Đáp án B SGMN · GM GN sin MGN Ta có: GC GB · sin BGC 2 SGBC 1 d G , BC BC 1 d A, BC BC S ABC 12 10 AB AC.sin A 75 12 2 2 Câu 18: Đáp án D Ta có: p 23 2 99 3.2 bc p p a 22 la bc 3 54 Câu 22: Đáp án D Dựng đường cao AE Đặt AB = x Khi AE =x Ta có: a b2 c Ta có: µA 1800 B µ C µ 450 CD AB 10 x 2 2 a b c Áp dụng định lí sin tam giác 10 x 10 x CE DC DE 10 29 2 a b c ABC ta có: 6 b c Do tam giác CAD vuông A Câu 24: Đáp án A nên sin 450 sin 600 sin 750 Ta có: b 2 100 x AE DE.CE x uuu r uuur AB 1;3 , AC 1; 2 c DE x 20 x 20 Diện tích tam giác ABC Nửa chu vi tam giác ABC: bằng: Diện tích hình thang cân bằng: p 8 44 6 S 1 2 3 AB CD AE 10 25 Diện tích tam giác ABC bằng: S 2Câu 25: Đáp án B 1 S ab sin C 8.4 sin 750 2 2 a c b 2ac cos B 10 b c a 2bc cos A 24 Câu 23: Đáp án D a cos B Bán kính nội tiếp đường trịn b cos A Ta có: uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r R sin A cos B tan A GA.GB GB.GC GC GA S 24 R sin B cos A tan B r 2 GA GB AB p 62 2 Câu 26: Đáp án A Diện tích đường trịn nột tiếp Diện tích tam giác ABC GB GC BC tam giác bằng: 2 S a.b.sin C 12 2 r GA GC AC 3.2.sin 30 2 Câu 28: Đáp án A GA2 GB GC Lại có cos sin cos BC AB AC 3 sin sin sin S a.ha 2 ma mb mc a b2 c 2 2S a Câu 27: Đáp án A cot sin cot cot cot cot cot cot cot Câu 31: Đáp án C Câu 29: Đáp án A A cot 2 cos 2 cot 2 sin 2.cos 2 cot 2 cos 2 BC 4.182 Ta có: 242 AC tan k tan 45 k 24 4.27 0 AC BC tan k tan 45 k tan k tan 45 k Mặt khác ta có: Áp dụng định lí cosin tam giác AEC ta có: cos ·AEC tan 450 xM xM xM 2;4 tan10 tan 20 x y 1 1 M ; 3 3 55 Ta có: S ABF S AEF AE.EF sin ·A 55 Vậy m n 55 63 Câu 33: Đáp án C Câu 32: Đáp án D Áp dụng công thức độ Trường hợp dài đường uuur uuuu r BC 3 x trung tuyến , ta có: BM 3 y 1 11 x 11 M ; 3 y 122 272 9.70 2.12.27 sin AEC 1 tan10 tan 440 d A, BM BM d A, BC BC tan 20 BC BM tan 220 tan 230 M x; y Giả sử Trường hợp tan 450 uuur uuuu r BC 3 x 5 223 BM 3 y Vậy n = 23 AC 70 SVABM SVABC sin 2.cos 2 cos 2 cot 2 tan 450 sin 2 1 tan k tan 45 k sin 2 sin 2 tan k tan 45 k Câu 30: Đáp án B Vậy Ta có: 1 S AGF AF AG.sin S AEG AE AG.sin S 10 AGF S AEF 13 Lại có: A AF A AE · EAF 3600 900 600 900là AF AE sin A S AEF 30 10 3 S .1.1.sin1200 S ABC AB AC.sin A 444 120 148 2 Diện tích tam giác AEF Do diện tích tam giác S 25 AGF S ABC 481 S AEF AE AF sin1200 ABC 2 S 3 Do tam giác ABC vuông B 3 nên 2 Câu 36: Đáp án A BC 372 122 35 Dễ thấy: Do AD phân giác AEF CGH BDI · góc CAB S AEF SCGH 60 S BDI BD Đặt AD x AB x Nên dễ dàng suy Diện tích hình Do diện tích hình chữ nhật Diện tích tam giác ABC: lục giác DEFGHI ABCD S ABC BA.BC S 3S ABDE 3S AEF S ABC S 2x2 ABCD Theo đề ta có: 3 12.35 210 3 3 4 ·ADE EDF · · FDC 300 Suy Câu 35: Đáp án B Áp dụng hệ thức lượng 25 5250 S AGF 210 tam 481 481 giác ADE ADF ta có: Diện tích tam giác ABD: S ABD 1 60 360 BA.BD 12 2 7 Diện tích tứ giác DCFG bằng: Chú ý tam giác bên S S ABC S AGF S ABD 148 tam Câu 34: Đáp án C giác ABC gộp thành lục giác cos 300 x 2x DE DE cos 600 x DF x DF Diện tích tam giác DEF S DEF DE.DF sin 300 2x x2 x diện tích lục giác có cạnh 3 Tỉ số diện tích x2 S DEF S ABCD x x y 13 Câu 38: Đáp án B Câu 39: Đáp án B Đặt BE x, AJ y Đặt Vì · · · FKH EJK ·AGJ DHG p sin10 sin 30 sin 50 sin 890 · · · FHK EKJ ·AJG DGH Tam giác KEJ, JAG, Trong mặt phẳng với hệ A 0;0 , B 16; sử điểm dạng Sử dụng tính chất đối C 20; xứng đối xứng ta cho định lí Pytago ta có: D E EK = xy, góc phần tư thứ FK y , EJ x y Do hai tma giác Vì ta biết ABD, BCE nên BE EJ AJ EK FK D 8;8 , E 18; x x 1 y2 y xy y x 1 1 y y 1 y y y y y2 y Do M trung điểm AE, sin10 sin 30 sin 50 sin1770 sin1790 sin10 sin 30 sin 50 tọa độ Oxy, giả GDH, HFK đồng Nên ta có phương trình: 13 x 13 x 507 Câu 37: Đáp án C nên sin1770 sin1790 sin 20 sin 40 sin1760 sin1780 sin10 sin 20 sin1790 2sin10 cos10 2sin 890 cos sin 910 sin 92 sin1780 sin17 cos10 cos 20 cos890 289 N trung điểm BD nên M 9; , N 14; Từ suy Suy p = 91 289 Vậy m + n Câu 40: Đáp án A BM BN MN 13 Trường hợp P trùng với B, Q trùng với Diện tích tam giác BMN C ta có PQ 25 Khi S BMN BM BN sin 600 S PQRS 25 625 25 m 16 1 n 45 45 Trường hợp P trùng với trung m n 61 Vậy điểm Suy đoạn AB, Q trùng với trung Câu 42: Đáp án A điểm Gọi I tâm đường tròn Gọi N hình chiếu C lên AB đoạn AC ta có: PQ 25 nội tiếp tam giác ABC Ta có: S ABCD tam giác BDI cân dễ thấy D, tam giác CEI cân E áp dụng hệt thức Hê-rông ta Vậy DE BD EC có: AM 25 Cách 1: Lại có: MD AD AM S PQRS 52 S CDM 252 11 MN MD SABC =90 Chu vi tam giác ADE Vậy 625 625 625 4 36 125 AD + AE + DE = AB + AC =43 527 11 527 11 50 40 Tỉ số chu vi vủa m n p 578 tam giác ADE Cách 2: 45 Vậy m + n = 161 Câu 41: Đáp án B m S DEF n S ABC S ABC S ADF đồng dạng hai Tam giác Do S BDE SCEF S ABC 43 ABC 63 tỉ số 1 p 1 r q 1 p r 1 q 43 860 20 63 63 m n 923 DE Câu 43: Đáp án D p q r 1 p q r pq qr rp 45 · · Ta có: sin CMD cos CMA MC MA2 AC 527 MC.MA 625 · MC.MD.sin CMD m n p 578 pq qr rp 25 11 527 527 11 2 625 40 p q r Do 25 252 MD AD AM 15 SCDM pq qr rp Ta có: CM AM Do tam giác ABC vuông CCâu 44: Đáp án B 2 nên AB 24 25 AC 49 29 DE 425 m n 484 điểm tiếp xúc Câu 45: Đáp án C PQ giao điểm (I) (I) với cạnh BC, AC, AB với AD (P AQ) Khơng tính Ta có ABCF hình bình hành tổng qt, F giao điểm CE AD D C giả sử AC < AB, E nằm Đặt AD = 3x VABC : VEFD Đặt AB = x Ta có: Áp dụng định lí cosin Gọi E giao điểm AD tam giác DE DQ.DP x.2 x BC ABC ta có: AP AQ AF Khi tam giác EAB AC BA2 BC BA.BC.cos B Ta có: ED = x-10, EC = x-8 DE AF Suy 2 S ABC AC 7 S EFD DE 15 S ABC S FAC Áp dụng định lí cosin Đặt CE = CF = y (y
Ngày đăng: 01/12/2022, 13:32
Xem thêm:
