BAI TAP TICH VO HUONG CUA HAI VEC TO VA UNG DUNG CO LOI GIAI

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC 0 BẤT KỲ TỪ ĐẾN 180 BÀI 1 Định nghĩa a ( 00 £ a £ 1800 ) ta xác định điểm M nửa đường tròn · M ( x0 ; y0 ) đơn vị cho xOM = a giả sử điểm M có tọa độ y Khi ta có định nghĩa: · sin góc a y0, kí hiệu sin a = y0 ; Với góc M · cosin góc a x0, kí hiệu cosa = x0 ; y0 ( x0 ¹ 0) , · tang góc a x0 y O - x0 tan a = ; x0 kí hiệu x0 x cot a = ( y0 ¹ 0) , y0 · cotang góc a y0 kí hiệu y0 a x Tính chất · Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = a · xON = 180 - a Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0 Do y sin a = sin( 1800 - a ) cosa = - cos( 1800 - a ) y0 N tan a = - tan( 1800 - a ) M cot a = - cot( 1800 - a ) x a - x0 x0 O Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị a lượng giác 00 300 450 600 900 1800 sina 2 cosa 2 2 - tana P cota P P 3 1 3 Trong bảng kí hiệu " P" để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 = cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = - Góc hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA = a uur r r 0 · OB = b Góc AOB với số đo từ đến 180 gọi góc hai vectơ a r r r r r r r a, b a, b = 900 b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b Nếu ta nói r r r r r r a b vng góc với nhau, kí hiệu a ^ b b ^ a r A b r a r r B a b ( ) b) Chú ý Từ định nghĩa ta có r r r r a, b = b, a ( ) O ( ) ( ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 0 Câu Giá trị cos45 + sin45 bao nhiêu? A B C 0 Câu Giá trị tan30 + cot30 bao nhiêu? 1+ A B C D Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? A sin150O =tan150O = - C B cos150O = O D cot150 = o o o o Câu Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 A P = B P= C P = D P = D o o o o Câu Tính giá trị biểu thức P = sin30 cos60 + sin60 cos30 A P = B P = C P = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O A sin45 + cos45 = D P = - O O B sin30 + cos60 = O O O O C sin60 + cos150 = D sin120 + cos30 = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O A sin0 + cos0 = O O B sin90 + cos90 = sin60O + cos60O = O O sin180 + cos180 =1 C D Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? O O A cos45 = sin45 +1 O O B cos45 = sin135 O O C cos30 = sin120 O O D sin60 = cos120 µ Câu Tam giác ABC vng A có góc B = 30 Khẳng định sau sai? 1 cosB = sinC = cosC = sin B = 2 A B C D Câu 10 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? 3 · · · cosBAH = sin BAH = sin ABC = sin ·AHC = B 2 A C D Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A C sin( 180°- a ) =- cosa sin( 180°- a ) = sin a B D sin( 180°- a ) = - sin a sin( 180°- a ) = cosa Câu 12 Cho a b hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin a = sin b B cosa = - cosb C tan a = - tan b D cot a = cot b Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = sin30°cos15°+ sin150°cos165° P= A B P = C D P = Câu 14 Cho hai góc a b với a + b = 180° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a P =- A P = B P = C P =- D P = P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C ) Câu 15 Cho tam giác ABC Tính P = P = P =1 P = A B C D P = cos A.cos( B +C ) - sin A.sin( B +C ) Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P = P = P =1 P = A B C D b Câu 17 Cho hai góc nhọn a phụ Hệ thức sau sai? A sin a =- cosb B cosa = sin b C tan a = cot b D cot a = tan b 2 2 Câu 18 Tính giá trị biểu thức S = sin 15°+ cos 20°+ sin 75°+ cos 110° A S = B S = C S = D S = Câu 19 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = sin a cosb + sin b cosa A P = C P =- D P = Câu 20 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a A P = B P = B P = C P =- D P = Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21 Cho a góc tù Khẳng định sau đúng? A sin a < B cosa > C tan a < D cot a > Câu 22 Cho hai góc nhọn a b a < b Khẳng định sau sai? A cosa < cosb B sin a < sin b C cot a > cot b D tan a + tan b > Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos75°> cos50° B sin80°> sin50° C tan45°< tan60° D cos30°= sin60° Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin100° B cos95°> cos100° C tan85°< tan125° D cos145°> cos125° Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin150° C cos90°30¢> cos100° B sin90°15¢< sin90°30¢ D cos150°> cos120° Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 2 Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos a + sin a = 1? a a a a cos2 + sin2 = cos2 + sin2 = 2 3 A B ổ 2a aử a a 5ỗ cos + sin2 ữ ữ cos2 + sin2 = ỗ ữ= ç 5ø 4 C D è Câu 27 Cho biết sin a a a = P = 3sin2 + 5cos2 Giá trị 3 ? A P= 105 25 B P= 107 25 109 25 P= 111 25 D 6sin a - 7cosa P= 6cosa + 7sin a ? Câu 28 Cho biết tan a = - Giá trị 5 P= P= P =- P =- 3 3 A B C D Câu 29 Cho biết 19 P = 13 A C P= cot a + 3tan a P= 2cot a + tan a ? Giá trị 19 25 25 P= P= P = 13 13 13 B C D cosa = - Câu 30 Cho biết cot a = Giá trị P = 2cos a + 5sin a cosa +1 ? 10 100 50 101 P= P= P= P= 26 26 26 26 A B C D 0 Câu 31 Cho biết 3cosa - sin a = , < a < 90 Giá trị tana 4 tan a = tan a = tan a = tan a = 4 A B C D 0 Câu 32 Cho biết 2cosa + 2sin a = , < a < 90 Tính giá trị cot a A cot a = cot a = cot a = B C D Câu 33 Cho biết sin a + cosa = a Tính giá trị sin a cosa A sin a cosa = a C sin a cosa = cot a = B sin a cosa = 2a a2 - D sin a cosa = a2 - 11 cosa + sin a = 2 Giá trị P = tan a + cot a bao Câu 34 Cho biết nhiêu ? 11 P= P= P= P= 4 4 A B C D sin a - cosa = 4 Giá trị P = sin a + cos a bao Câu 35 Cho biết nhiêu ? A P= 15 B P= 17 C P= 19 D P= 21 Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36 Cho O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau O 120 ? uuuur uuur uuur uuur ( MN , NP ) A uuuu r uur ( MO,ON ) B A 3 ( MN , MP ) D uuu r uuu r uuu r uur uur uuu r P = cos AB, BC + cos BC,CA + cos CA, AB ( Câu 37 Cho tam giác ABC Tính P= uuuu r uuur ( MN ,OP ) C P= B C ) P =- ( Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính A 30 ( ) ( P =- 3 D uuur uuu r AH , BA ) ) B 60 C 120 D 150 µ Câu 39 Tam giác ABC vng A có góc B = 50 Hệ thức sau sai? uuu r uuu r uuu r uuur AB, BC = 1300 BC, AC = 400 A B uuu r uur uuur uur AB, CB = 500 AC, CB = 400 C D uuur uur cos AC,CB Câu 40 Tam giác ABC vng A có BC = 2AC Tính uuur uur uuur uur 1 cos AC,CB = cos AC,CB = - 2 A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( uuur uur cos AC,CB = C ( ) uuur uur cos AC,CB = - ) D uuur uuur uuur uur uur uuu r AB, BC + BC,CA + CA, AB ( Câu 41 Cho tam giác ABC Tính tổng o A 180 o B 360 ( ) ) ( ) ( o C 270 o B 360 ) o o µ Câu 42 Cho tam giác ABC với A = 60 Tính tổng o A 120 ) ( D 120 uuu r uuu r uuu r uur AB, BC + BC,CA ) ( o C 270 ) o D 240 o Câu 43 Tam giác ABC có góc A 100 có trực tâm H Tính tổng uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur HA, HB + HB, HC + HC, HA ( ) ( ) ( o A 360 ) o B 180 Câu 44 Cho hình vng ABCD Tính uuur uuu r cos AC, BA = A uuur uuu r cos AC, BA = C ( ) ( ) Câu 45 Cho hình vng o C 80 uuur uuu r cos AC, BA ( B D o D 160 ) uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) uuu r uuur uuur uur uuu r uuur AB, DC ) +( AD,CB) +( CO, DC ) ABCD tâm O Tính tổng ( A 45 B 405 BAØI C 315 D 225 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b rr , xác định cơng thức sau: số, kí hiệu ab rr r r r r ab = a b cos a, b ( ) r r r Trường hợp hai vectơ a b vectơ ta quy ước rr ab= Chú ý r r r rr r r = Û a ^ b · Với a b khác vectơ ta có ab uu r r r rr kí hiệu a2 số gọi bình · Khi a = b tích vơ hướng aa r phương vơ hướng vectơ a Ta có: r2 r r r2 a = a a cos00 = a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: r r r Với ba vectơ a, b, c số k ta có: rr rr = ba (tính chất giao hốn); · ab r r r rr rr a b+ c = ab + a.c · (tính chất phân phối); r r rr r r ka b = k ab = a kb · ; r2 r2 r · a ³ 0, a = Û a = ( ) ( ) ( ) ( ) Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: r r r2 r r r2 a + b = a + 2ab +b ; · · ( ) r r r2 rr r2 2 ( a- b) = a - 2ab +b ; r r r r r r ( a+ b)( a- b) = a - b · Biểu thức tọa độ tích vơ hướng rr Trên mặt phẳng tọa độ rr là: tích vơ hướng ab Nhận xét Hai vectơ ( O;i; j ) , cho hai vectơ r ur a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) Khi rr ab = ab 1 + a2b2 r r a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) r khác vectơ vng góc với ab 1 + a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) Độ dài vectơ tính theo cơng thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r r b = ( b1;b2 ) khác ta có r a = ( a1;a2 ) rr r r ab ab 1 + a2b2 cos a;b = r r = a12 + a22 b12 + b22 a b ( ) c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B ( xB ; yB ) tính theo công thức: AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng? rr r r ab = a b rr r r rr rr ab =- a b - A B ab= C ab= D r r r r r Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc a hai vectơ a b rr r r ab =- a b A a = 180 B a = 0 C a = 90 D a = 45 r r r r a = 3, b = rr Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a.b = - Xác định góc r r a hai vectơ a b A a = 30 B a = 45 0 C a = 60 D a = 120 r r r r 2r r u = a- 3b r a = b =1 Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn hai vectơ r r r r r v = a+ b vng góc với Xác định góc a hai vectơ a b A a = 90 0 B a = 180 C a = 60 D a = 45 r r Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai? r r 1ær r r r ÷ r r 1ỉr r r r ư ÷ a.b = ç a+b - a - b ÷ a b = ỗ ữ ỗ ỗa + b - a - b ø ÷ ÷ ø 2è 2è A B r r 1ỉr r r r r r ỉr r r r ÷ a.b = ỗ a+b - a- b ữ a b = ỗ ữ ữ ỗ ỗa + b - a - b ø ÷ ÷ ø 2è 4è C D uuu r uuur Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.AC uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur a2 a2 a2 uuu r uuur AB AC = AB.AC = AB.AC = 2 2 A AB.AC = 2a B C D uuu r uuu r Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.BC uuur uuur a2 uuu r uuu r uuu r uuu r a2 a2 uuu r uuu r AB.BC = AB.BC = AB.BC = 2 2 A AB.BC = a B C D Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai? uuur uuu r a2 uuu r uuur uuur uur uuu r uuur 1 GA.GB = AB.AC = a2 AB.AG = a2 AC.CB = - a2 2 A B C D Câu Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề sau sai? uuu r uuur a2 uuur uur a2 uuu r uuur uuur uuu r AB.AC = AC.CB = AB, HA = 1500 2 A AH BC = B C D uuu r uuu r Câu 10 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = a Tính AB.BC ( ) uuu r uuu r uuu r uuu r a2 a2 AB.BC = AB.BC = 2 C D uuu r uuu r giác ABC vng A có AB = c, AC = b Tính BA.BC uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 B BA.BC = c C BA.BC = b + c D BA.BC = b - c uur uur giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Tính CA.CB uur uur uur uur uur uur B CA.CB = 15 C CA.CB = 17 D CA.CB = 19 uuu r uuur uuu r P = AB + AC BC BC = a , CA = b , AB = c giác ABC có Tính uuu r uuu r uuu r uuu r 2 A AB.BC = - a B AB.BC = a Câu 11 Cho tam uuu r uuu r A BA.BC = b Câu 12 Cho tam uur uur A CA.CB = 13 Câu 13 Cho tam 2 A P = b - c ( B P= c2 + b2 C P= ) c2 + b2 + a2 c2 + b2 - a2 P= D Câu 14 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung điểm cạnh uuuu r uuu r BC Tính AM BC uuuu r uuu r b2 - c2 AM BC = A uuuu r uuu r c2 + b2 + a2 AM BC = C uuuu r uuu r c2 + b2 AM BC = B uuuu r uuu r c2 + b2 - a2 AM BC = D Câu 15 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích uur uur uuu r OA +OB AB = vô hướng OAB A tam giác B tam giác OAB cân O C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân O ( ) Câu 16 Cho M , N , P , Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai? uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur MN NP + PQ = MN NP + MN PQ A B MP.MN =- MN MP uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuur uuur uuur uuuur MN - PQ MN + PQ = MN - PQ2 MN PQ = PQ MN C D uuu r uuur Câu 17 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB.AC ( ) ( )( ) uuu r uuur uuu r uuur 2 AB.AC = a AB.AC = a2 2 C D uuur uuu r uur P = AC CD +CA Câu 18 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính uuu r uuur A AB.AC = a uuu r uuur B AB.AC = a ( ) 2 C P =- 3a D P = 2a uuu r uuur uuur uuu r uuu r P = AB + AC BC + BD + BA a ABCD Câu 19 Cho hình vng cạnh Tính A P = - B P = 3a ( )( ) 2 B P = 2a C P = a D P = - 2a Câu 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua C uuu r uuu r Tính AE AB uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 A AE AB = 2a B AE AB = 3a C AE AB = 5a D AE AB = 5a Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh Điểm M nằm đoạn thẳng A P = 2a AM = AC Gọi N trung điểm đoạn thẳng DC Tính AC cho uuur uuuu r MB.MN uuur uuuu r uuur uuuu r A MB.MN =- B MB.MN = uuur uuuu r uuur uuuu r C MB.MN = D MB.MN = 16 uuu r uuu r Câu 22 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = Tích AB.BD uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A AB.BD = 62 B AB.BD = 64 C AB.BD = - 62 D AB.BD = - 64 uuu r uuur Câu 23 Cho hình thoi ABCD có AC = BD = Tính AB.AC uuur ìï AA ' = ( x - 4; y- 3) ïï r ïï uuu í BC = ( - 5;- 15) ïï uuur ïï BA ' = ( x - 2; y- 7) A '( x; y) Câu 73 Gọi Ta có ïỵ uuur uuu r ìï AA '.BC = ( 1) ìïï AA ' ^ BC ïï Û í uuur uuu r í ïïỵ B, A ', C thang hang ïï BA ' = kBC ( 2) ïỵ Từ giả thiết, ta có · ( 1) Û - 5( x - 4) - 15( y- 3) = Û x + 3y = 13 x - y- = Û 3x - y = - - - 15 · ïìï x + 3y = 13 ùỡù x = ắắ đ A '( 1;4) í ï 3x - y = - ïïỵ y = Giải hệ ïỵ Chọn C uuur ìï AA ' = ( x - 2; y- 4) ïï r ïï uuu í BC = ( 6;- 2) ïï uuur ïï BA ' = ( x + 3; y - 1) A '( x; y) Câu 74 Gọi Ta có ïỵ ( 2) Û Vì A ' chân đường cao vẽ từ đỉnh A tam giác ABC nên ïìï AA ' ^ BC í ïïỵ B, C, A ' thẳ ng hà ng uuur uuu r ìï AA '.BC = ï Û í uuur uuu r Û ïï BA ' = kBC ïỵ ìï ( x - 2) +( y- 4) ( - 2) = ïï Û í x + y- ïï = ïïỵ - ì ïïï ïíï 6x - 2y = Û ïï - 2x - 6y = ïï ïỵ ïìï ïï x = ïí ïï y = ïï ùợ Chn D uuu r uuu r à đ ABC = 900 Câu 75 Dễ dàng kiểm tra BA.BC = ¾¾ Gọi I tâm hình vng ABCD Suy I l trung im ca AC ắắ đ I ( 4;- 1) Gọi D ( x; y) , ùỡù x + =4 ùù BD ắắ đ ïí Û ïï y + = ïï ïỵ Chọn A I trung điểm ïìï x = Þ D ( 5;- 8) í ïïỵ y = - uuu r ìï BA = ( 1;3) ïï í uuu r ïï BC = ( x - 1; y- 1) C ( x; y) Câu 76 Gọi Ta có ïỵ uuu r uuu r ìï BA.BC = ï Û Û í ïï BA = BC ỵ Tam giác ABC vng cân B ìï 1.( x - 1) + 3.( y- 1) = ï í ïï + 32 = ( x - 1) +( y- 1) ïỵ ïíìï y = hay ïíìï y = ïïỵ x = ïỵï x = - Chọn C uuu r ìï AB = ( 2;1) ïï í uuu r ïï BC = ( x - 3; y) = x ; y ( ) Câu 77 Gọi C Ta có ïỵ uuu r uuu r ïìï AB ^ BC í ï AB = BC Vì ABCD hình vng nên ta có ïỵ ïì 2( x - 3) +1.y = ïìï y = 2( 3- x) ïìï y = 2( 3- x) Û ïí Û Û Û í í 2 ïï ( x - 3) + y2 = ïï 5( x - 3) = ïï ( x - 3) = ỵï ỵï ïỵ ìï x = 4- 3y Û ïí Û ïỵï 10y2 - 20y = Với C1 ( 4;- 2) ta tính đỉnh D1 ( 2;- 3) ïíìï x = ïỵï y = - ìïï x = í ïïỵ y = : thỏa mãn C ( 2;2) D ( 0;1) Với ta tính đỉnh : khơng thỏa mãn Chọn B uuu r ìï AB = ( - 2;1) ïï uuu r uuur ìï AB = DC r ùù uuu ù đ uuu ắắ đ ABCD í BC = ( - 1;- 4) ¾¾ r uuu r ïï uuur ïï AB.BC = - ¹ ï ỵ ïï DC = ( - 2;1) Câu 78 Ta có ïỵ hình hình hành Chọn D EA OA = = EB OB Câu 79 Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có uuu r r uuu EA = EB ( *) Vì E nằm hai điểm A, B nên uuu r ìï EA = ( 1- x;3- y) ïï í uuu r ïï EB = ( 4- x;2- y) E ( x; y) Gọi Ta có ïỵ ïìï ( 4- x) ìï x = - 2+ ïï 1- x = ï Û íï í ïï ïï y = 4- 2 ï ỵ ïï 3- y = ( 2- y) ( *) , suy ïỵ Từ Chọn D Câu 80 Để tứ giác ABCD hình thang cân, ta cần có cặp cạnh đối song song khơng cặp cạnh cịn lại có độ dài Gọi D ( x; y)  Trường hợp 1: uuu r uuu r ìïï AB P CD Û CD = kAB ùùợ AB CD (vi k ¹ - ) ìï x = - 2k Û ( x - 0; y- 7) = ( - 2k;2k) Û ïí ïïỵ y = 2k + ( 1) ìï uuur ïï AD = ( x - 2; y) Þ AD = ( x - 2) + y2 ắắ đ AD = BC ( x - 2) + y2 = 25 í uuu ïï r BC = ( 0;5) Þ BC = ( 2) Ta có ïỵ ék = - 1( loại) ê 2 ắắ đ D ( 7;0) ( - 2k - 2) +( 2k + 7) = 25 Û ê êk = - ê 1) 2) ( ( ë Từ , ta có ìïï AD P BC í ï AD ¹ BC D = ( 2;9)  Trường hợp 2: ïỵ Làm tương tự ta Vậy D ( 7;0) BAØI D ( 2;9) Chọn B CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC µ = cos A AB2 + AC - BC 52 + 82 - 72 = = 2AB.AC 2.5.8 Câu Theo định lí hàm cosin, ta có µ Do đó, A = 60° Chọn C Câu Theo định lí hàm cosin, ta có µ = 22 +12 - 2.2.1.cos60°= Þ BC = BC = AB2 + AC - 2AB.AC.cos A Chọn D Câu M , N trung điểm AB, BC Gi ắắ đ MN l ng trung bỡnh ca D ABC ắắ đ MN = AC Mà MN = , suy AC = Theo định lí hàm cosin, ta có · AB2 = AC + BC - 2.AC.BC.cos ACB Û 92 = 62 + BC - 2.6.BC.cos60° Þ BC = 3+ Chọn A Câu Theo nh lớ hm cosin, ta cú àị AB2 = AC + BC - 2.AC.BC.cosC Þ BC = ( 2) = ( 3) + BC - 3.BC.cos45° 6+ 2 Chọn B AB AC AC = Û = Þ AC = µ µ sin45 ° sin60 ° Câu Theo định lí hàm sin, ta có sinC sin B Chọn A Câu · · Do ABCD hình thoi, có BAD = 60°Þ ABC = 120° Theo định lí hàm cosin, ta có · AC = AB2 + BC - 2.AB.BC.cos ABC = 12 +12 - 2.1.1.cos120°= Þ AC = Chọn A Câu ( ) 2 AB2 + BC - AC + - cosB = = 2.AB.BC 2.4.6 Theo định lí hàm cosin, ta cú : MC = 2MB ắắ đ BM = BC = Do = Theo định lí hàm cosin, ta có µ AM = AB2 + BM - 2.AB.BM cosB = 42 + 22 - 2.4.2 = 12 Þ AM = Chọn C Câu Theo định lí hàm cosin, ta có: AB2 + AC - BC =2.AB.AC · · Þ BAC = 120°Þ BAD = 60° · cosBAC = AB2 + BC - AC 2 · = Þ ABC = 45° 2.AB.BC · · · Trong D ABD có BAD = 60°, ABD = 45°Þ ADB = 75° Chọn C Câu Do tam giác ABC vuông A , có tỉ lệ cạnh góc vng AB : AC 3: nên AB cạnh nhỏ tam giác · cos ABC = AB = Þ AC = AB AC Ta có D ABC Trong có AH đường cao 1 1 1 Þ = + = + Û = + Þ AB = 40 2 ö AH AB2 AC AB2 ổ 32 AB 16 AB ữ ỗ AB ữ ỗ ữ ỗ ố3 ứ Cõu 10 à MPQ · · · · · MPE = EPF = FPQ = = 30°Þ MPF = EPQ = 60° Ta có Theo định lí hàm cosin, ta có Chọn B · ME = AM + AE - 2.AM AE cosMAE = q2 + x2 - 2qx.cos30°= q2 + x2 - qx · MF = AM + AF - 2AM AF cosMAF = q2 + y2 - 2qy.cos60°= q2 + y2 - qy MQ2 = MP + PQ2 = q2 + m2 Chọn C Câu 11 Theo định lí hàm sin, ta có: OB AB AB · · · = Û OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB · · · sin30 ° sinOAB sin AOB sin AOB OB Do đó, độ dài lớn · · sinOAB = Û OAB = 90° Khi OB = Chọn D Câu 12 Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB · · · = Û OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB · · · sin30 ° sinOAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn · · sinOAB = Û OAB = 90° Khi OB = 2 2 Tam giác OAB vuông A Þ OA = OB - AB = - = Chọn B Câu 13 Theo định lí hàm cosin, ta có Mà · cosBAC = AB2 + AC - BC c2 + b2 - a2 = 2.AB.AC 2bc b( b2 - a2 ) = c( a2 - c2 ) Û b3 - a2b = a2c- c3 Û - a2 ( b+ c) +( b3 + c3 ) = Û ( b+ c) ( b2 + c2 - a2 - bc) = Û b2 + c2 - a2 - bc = 2 (do b> 0, c > Û b + c - a = bc Khi đó, Câu 14 · cosBAC = b2 + c2 - a2 · = Þ BAC = 60° 2bc Chọn C 2 2 Ta có BC = AB + AC = b + c · Do AD phân giác BAC AB c c c b2 + c2 DC = DC = BC = AC b b+ c b+ c Theo định lí hàm cosin, ta có Þ BD = ) · BD = AB2 + AD - 2.AB.AD.cos ABD Û c2 ( b2 + c2 ) ( b+ c) = c2 + AD - 2c.AD.cos45° æ c2 ( b2 + c2 ) ữ ỗ2 2bc3 ữ ữ= Û AD2 - c 2.AD + Þ AD - c 2.AD +ỗ c =0 ỗ 2 ữ ỗ ữ ữ ỗ ( b+ c) ứ ( b+ c) ố 2bc 2bc la= b+ c hay b+ c Chọn A Câu 15 Sau tàu B 40 hải lí, tàu C 30 hải lí Vậy tam µ giác ABC có AB = 40, AC = 30 A = 60 Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có Þ AD = a2 = b2 + c2 - 2bccos A = 302 + 402 - 2.30.40.cos600 = 900+1600- 1200 = 1300 Vậy BC = 1300 » 36 (hải lí) Sau giờ, hai tàu cách khoảng 36 hải lí Chọn B AC AB = ABC , sin B sin C Câu 16 Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có Vì sinC = sin( a + b) AC = nên AB.sin b 40.sin700 = » 41,47 m sin( a + b) sin1150 Câu 17 Trong tam giác AHB , ta có · tan ABH = Chn C AH à = = ắắ đ ABH » 11019' BH 20 0 · · Suy ABC = 90 - ABH = 78 41' Suy ( ) · · · ACB = 1800 - BAC + ABC = 56019' ABC Áp dụng định lý sin tam giác , ta c à AB CB AB.sin BAC = ắắ đ CB = » 17m · · · sin ACB sin BAC sin ACB Chọn B AD AB = sin b sin D ABD , Câu 18 Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có 0 µ µ Ta có a = D + b nên D = a - b = 63 - 48 = 15 AD = Do AB.sin b 24.sin480 = » 68,91 m sin( a - b) sin150 Trong tam giác vng ACD, có h = CD = AD.sin a » 61,4 m Chọn D · Câu 19 Từ hình vẽ, suy BAC = 10 ( ) · · · ABD = 1800 - BAD + ADB = 1800 - ( 500 + 900 ) = 400 Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có · BC AC BC.sin ABC 5.sin400 = ¾¾ ® AC = = » 18,5 m · · · sin100 sin BAC sin ABC sin BAC ADC , Trong tam giác vng CD · · sinCAD = ¾¾ ® CD = AC.sinCAD = 11,9 m AC Vậy CH = CD + DH = 11,9+ = 18,9 m Chọn B OAB Câu 20 Tam giác vuông AB · tan AOB = Þ AB = tan600.OB = 60 3m OB Vậy chiếu cao tháp ( B, có có ) h = AB +OC = 60 +1 m Câu 21 Từ giả thiết, ta suy tam giác ABC có c= 70 Khi ta ( Chọn C ·CAB = 600 , ABC · = 105030 v ) +B +C = 1800 Û C µ = 1800 - A µ +B µ = 1800 - 165030¢= 14030¢ A b c b 70 = = ¢ sin14030¢ Theo định lí sin, ta có sin B sinC hay sin105 30 AC = b = 70.sin105030¢ » 269,4 m sin14030¢ Do Gọi CH khoảng cách từ C đến mặt đất Tam giác vng ACH có cạnh AC 269,4 CH = = = 134,7 m CH đối diện với góc 30 nên 2 Vậy núi cao khoảng 135 m Chọn A Câu 22 Áp dụng công thức đường trung tuyến ma2 = b2 + c2 a2 ta được: AC + AB2 BC 82 + 62 102 = = 25 4 Þ ma = Chọn D Câu 23 AC a AC Þ AM = = 2 M trung điểm ma2 = Tam giác D BAM vng A Þ BM = AB2 + AM = a2 + a2 a = Chọn D Câu 24 Áp dụng hệ thức đường trung tuyến ma2 = b2 + c2 a2 ta được: AC + AB2 BC 122 + 92 152 225 = = 4 15 Þ ma = Chọn A ma2 = Câu 25 Ta có: D điểm đối xứng B qua C Þ C trung điểm BD Þ AC trung tuyến tam giác D DAB BD = 2BC = 2AC = 15 Theo hệ thức trung tuyến ta có: AC = AB2 + AD BD BD Þ AD = 2AC + - AB2 2 ổ 152 15ữ ỗ + - 92 = 144 ị AD = 12 ữ ỗ ố2 ữ ứ ị AD = ỗ Chọn C Câu 26 BC Þ BM = = BC M Ta có: trung điểm · cos AMB = AM + BM - AB2 2AM BM Trong tam giác ABM ta có: · Û AM - 2AM BM cos AMB + BM - AB2 = éAM = 13 > (thoảmã n) ê 20 13 Û AM AM + = Û ê 13 ê 13 < (loại) êAM = ê 13 ë Þ AM = 13 · · Ta có: AMB AMC hai góc kề bù · · Þ cos AMC = - cos AMB =- 13 26 Trong tam giác D AMC ta có: · AC = AM +CM - 2AM CM cos AMC ỉ 13÷ ÷ ç = 13+16- 13.4.ç = 49 Þ AC = ữ ỗ ỗ 26 ữ ố ứ Chn D Câu 27* 0 · · · · Ta có: BGC BGN hai góc kề bù mà BGC = 120 Þ BGN = 120 G trọng tâm tam giác D ABC ìï ïï BG = BM = ï Þ ïí ïï ïï GN = CN = 3 ỵï Trong tam giác D BGN ta có: · BN = GN + BG - 2GN BG.cosBGN Þ BN = +16- 2.3.4 = 13 Þ BN = 13 N trung điểm AB Þ AB = 2BN = 13 Chọn ìï b2 + c2 a2 ïï m = = 81 ïï a ïìï a2 = 292 ïï 2 ï ï a +c b = 144 Û íï b2 = 208 í mb = ïï ïï ïï ï c2 = 100 Þ 2 ïï m2 = a + b - c = 225 ïỵ ïï c Câu 28** Ta có: ïỵ cos A = Ta có: D ìï a = 73 ïï ïï í b = 13 ïï ïï c = 10 ïỵ b2 + c2 - a2 208+100- 292 = = 2bc 2.4 13.10 13 ỉ1 18 13 ÷ ÷ sin A = 1- cos2 A = 1- ỗ = ỗ ữ ỗ ữ 65 è5 13ø Chọn C 1 18 13 D ABC : SDABC = bcsin A = 13.10 = 72 2 65 Diện tích tam giác Câu 29* Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh b2 + c2 a2 ma2 = A tam giác: 2a2 a2 3a2 a = Þ ma = 2 2 4 Chọn A Mà: b + c = 2a Þ m BO = BD = 2 Câu 30* Gọi O giao điểm AC BD Ta có: BO trung tuyến tam giác D ABC ma2 = BA2 + BC AC m2 a2 + b2 n2 Û = Û m2 + n2 = 2( a2 + b2 ) 4 Chọn B G D ABC Câu 31** Gọi trọng tâm tam giác Þ BO2 = 2( b2 + c2 ) a2 AC + AB2 BC b2 + c2 a2 2 Þ AG = AM = AM = = 9 4 Ta có: 2 2 BA2 + BC AC c2 + a2 b2 Þ GN = BN = c + a - b = 18 36 4 Trong tam giác D AGN ta có: BN = · cos AGN = 2 AG +GN - AN = 2.AG.GN 2( b2 + c2 ) - a2 c2 + a2 b2 b2 + 18 36 2( b2 + c2 ) - a2 c2 + a2 b2 18 36 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 b2 + 10c2 - 2( a2 + b2 ) 9 18 36 = = =0 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 36.2 9 18 36 9 18 36 · Þ AGN = 90 Chọn D ìï b2 + c2 a2 ïï m = ïï a ïï 2 ï a +c b í mb = ïï ïï 2 ïï m2 = a + b - c c ïï Câu 32** Ta có: ïỵ æ b2 + c2 a2 ö a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 ữ ỗ ữ ị = + ỗ ữ ỗ ữ 4ứ 4 è 5ma2 = mb2 + mc2 Mà: - Û 10b2 +10c2 - 5a2 = 2a2 + 2c2 - b2 + 2a2 + 2b2 - c2 Û b2 + c2 = a2 Þ tam giác D ABC vng Chọn C ìï b2 + c2 a2 ïï m = ïï a ïï 2 a + c b ï í mb = ïï ïï 2 a + b c ïï m2 = ïï c Þ ma2 + mb2 + mc2 = ( a2 + b2 + c2 ) 4 Câu 33** Ta có: ïỵ 4 GA2 +GB2 + GC = ( ma2 + mb2 + mc2 ) = ( a2 + b2 + c2 ) = ( a2 + b2 + c2 ) 9 Chọn D BC BC 10 = 2R ị R = = = 10 à 2.sin A 2.sin30 Câu 34 Áp dụng định lí sin, ta có sin BAC Chọn B 2 · Câu 35 Áp dụng định lí Cosin, ta có BC = AB + AC - 2AB.AC.cosBAC = 32 + 62 - 2.3.6.cos600 = 27 Û BC = 27 Û BC + AB2 = AC AC R= = Suy tam giác ABC vuông B, bán kính Chọn A AB + BC +CA p= = 24 Câu 36 Đặt Áp dụng công thức Hê – rơng, ta có SD ABC = p( p- AB) ( p- BC ) ( p- CA) = 24.( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 cm2 Vậy bán kính cần tìm Chọn C SD ABC = AB.BC.CA AB.BC.CA 21.17.10 85 Þ R= = = cm 4R 4.SD ABC 4.84 Câu 37 Xét tam giác ABC cạnh a, gọi M trung điểm BC 1 a2 SD ABC = AM BC = AB2 - BM BC = 2 Ta có AM ^ BC suy SD ABC = AB.BC.CA AB.BC.CA Þ R= = 4R 4.SD ABC Vậy bán kính cần tính Chọn C a3 a = a AB.AC = AH Câu 38 Tam giác ABC vng A, có đường cao AH Þ AB 3 = Û AB = AC ( *) , AC 4 Mặt khác vào ta ỉ 12 ữ AC = ỗ ữ ç ÷ Û AC = ç è5 ø ( *) AB = = Þ BC = AB2 + AC = 5 Suy BC R= = cm Vậy bán kính cần tìm Câu 39 Vì AD = 3 D trung điểm BC Þ AD = AB2 + AC BC = 27 Þ Tam giác ABD có AB = BD = DA = 3 Þ tam giác ABD 3 AB = 3 = 3 Nên có bán kính đường trịn ngoại tiếp Chọn B ¢ B C à Â= sinCBB ị BÂC = a.sin a   B , BB C BC Câu 40** Xét tam giác vng có 2 Mà AB¢+ B¢C = AC Û AB¢= b- a.sin a BB¢ = a cos a R= AB = BB¢2 + AB¢2 = ( b- a.sin a ) + a2.cos2 a Tam giác ABB¢ vng B¢, có = b2 - 2ab.sin a + a2 sin2 a + a2 cos2 a = a2 + b2 - 2absin a Bán kính đường trịn ngoại tiếp cần tính AB a2 + b2 - 2absin a = 2R Û R = · 2cosa sin ACB µ = 1.3.6.sin600 = SD ABC = AB.AC.sin A 2 Chọn B Câu 41 Ta có · · · · ABC = 1800 - BAC + ACB = 75°= ACB Câu 42 Ta có Suy tam giác ABC cân A nên AB = AC = ( ) SD ABC = Diện tích tam giác ABC 21+17+10 p= = 24 Câu 43 Ta có · AB.AC sin BAC = Chọn C S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 Do Chọn D Câu 44 Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC cos A = 27 ắắ đ BC = 3 = 1.3.6.sin600 = SD ABC = AB.AC.sin A 2 Ta có 2S SDABC = BC.ha ắắ đ = = BC Li có Chọn C Câu 45 Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A · sin ACH = Tam giác vng AHC , có Chọn A 21+17+10 p= = 24 Câu 46 Ta có Suy AH à ắắ đ AH = AC.sin ACH = = AC S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 1 168 S = bBB 'ơắ đ 84 = 17.BB ' ắắ đ BB ' = 2 17 Chọn C Lại có 1 · SD ABC = AB.AC.sin BAC Û 64 = 8.18.sin A Û sin A = 2 Chọn D Câu 47 Ta có Câu SD ABD 48 Diện tích tam 1 a2 · = AB.AD.sin BAD = aa 2.sin450 = 2 Vậy diện tích hình bình hành ABCD giác SABCD = 2.SD ABD = FC = ABD a2 = a2 Chọn C AC = 15 cm Câu 49* Vì F trung điểm AC Þ Đường thẳng BF cắt CE G suy G trọng tâm tam giác ABC d( B;( AC ) ) Khi d( G;( AC ) ) = BF AB = Þ d( G;( AC ) ) = d( B;( AC ) ) = = 10 cm GF 3 Vậy diện tích tam giác GFC là: 1 SD GFC = d( G;( AC ) ) FC = 10.15 = 75 cm2 2 Chọn C Câu 50* Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh a BC a = 2R Û = 2.4 Û a = 8.sin600 = · sin60 sin BAC Theo định lí sin, ta có 1 · SD ABC = AB.AC.sin BAC = ( 3) sin600 = 12 cm2 2 Vậy diện tích cần tính Chọn C Câu 51* Ta có p= AB + BC +CA + 3AB = 2 ỉ ỉ ưỉ2 - AB ỉ 3AB + 3ử ữ ữ ỗ3AB - 3ữ ỗ ỗ2 + AB ữ ữ ữ ữ ữ ỗ S= ỗ ữỗ ữỗ ữỗ ữ ỗ ỗ ç ç ÷ç ÷ ÷ç ÷ ç 2 2 ố ứ ố ứỗ ố ứ ố ứ Suy S = BC.AH = Lại có ỉ ỉ ỉ ỉ 3AB + 3ư 3AB - 3ö - AB ö + AB ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç =ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữố ữố ữố ữ ỗ ỗ ỗ ỗ 2 2 è ø ø ø ø Từ ta có éAB = ê ( 9AB2 - 12)( 12- AB2 ) ơắ đ 12 = ơắ đờ ờAB = 21 16 ê ë Chọn C ABC Câu 52* Diện tích tam giác ban đầu 1 · · S = AC.BC.sin ACB = ab.sin ACB 2 Khi tăng cạnh BC lên lần cạnh AC lên lần diện tích tam giác 1 · · S = ( 3AC ) ( 2BC ) sin ACB = .AC.BC.sin ACB = 6S ABC lúc D ABC 2 Chọn D Câu 53* Diện tích tam giác ABC Vì a, b không đổi 1 · · SD ABC = AC.BC.sin ACB = ab.sin ACB 2 · sin ACB £ 1, " C Dấu " = " xảy SDABC £ nên suy · · sin ACB = Û ACB = 900 Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC ab S= ab Chọn B ® 5a2 = b2 + c2 (Áp dụng hệ có trước) Câu 54* Vì BM ^ CN ¾¾ ABC , Trong tam giác ta 2a a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A = 5a2 - 2bccos A ắắ đ bc = cos A 1 2a2 S = bcsin A = sin A = a2 tan A = 3 2 cos A Khi Chọn A Câu 55 Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC cos A = 49 ắắ đ BC = cú 1 S = AB.AC.sin A = 5.8 = 10 2 Diện tích S 2S S = pr ắắ đr = = = p AB + BC +CA Lại có Chọn C 21+ 17 + 10 p= = 24 Câu 56 Ta có Suy S = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 S = pr ắắ đr = Li cú S 84 = = p 24 Chọn C Câu 57 Diện tích tam giác cạnh a bằng: a2 S= a2 S a S = pr ắắ đr = = = a p Lại có Chọn C Câu 58 Dùng Pitago tính AC = , suy Diện tích tam giác vng Chọn C S= p= AB + BC +CA = 12 S S = pr ắắ đ r = = cm AB.AC = 24 p Lại có Câu 59 Từ giả thiết, ta có AC = AB = a BC = a æ AB + BC +CA 2+ ữ ữ ỗ p= = aỗ ữ ç ÷ ç ø è Suy Diện tích tam giác vng S = pr ¾¾ ®r = Lại có S= a2 AB.AC = 2 S a = p 2+ Chọn C ® BC = a Suy Câu 60 Giả sử AC = AB = a ¾¾ ỉ AB + BC +CA 2+ 2ử ữ ữ ỗ p= = aỗ ữ ỗ ữ ỗ 2 ố ứ Ta có Diện tích tam giác vng S = pr ắắ đr = Li cú S= R= BC a = 2 a2 AB.AC = 2 S a R = = 1+ p 2+ Vậy r Chọn A ... = cos30o cos60o - sin30o sin60o = cos30o cos60o - cos60o cos30o = Chọn D 0 Câu Vì 30 60 hai góc phụ nên ìï sin300 = cos600 ùớ ùù sin600 = cos300 ợ ắắ đ P = sin30o cos60o + sin60o cos30o = cos2... = Þ cosa = ắắ đ tan a = = 5 cos a Chọn A · 2cosa + 2sin a = Û 2sin a = 2- 2cosa ® 2sin2 a = ( 2- 2cosa ) Câu 32 Ta có Û 2sin2 a = 4- 8cosa + 4cos2 a Û 2( 1- cos2 a ) = 4- 8cosa + 4cos2 a écosa... cot b; cot a = tan b Chọn A Câu 18 Hai góc 15° 75° phụ nên sin75°= cos15° Hai góc 20° 110° 90° nên cos110°= - sin20° 2 2 Do đó, S = sin 15°+ cos 20°+ sin 75°+ cos 110° =sin2 15°+ cos2 20 + cos2