Chuyên đề số nguyên tố và số chính phương

CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ VÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A, LÝ THUYẾT 1, Số nguyên tố: Tìm ước 2; 3; 4; 5; Các số 2; 3; có hai ước nên gọi số ngun tố, cịn có nhiều hai ước nên gọi hợp số Đ/N: Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước Chú ý: Số 0, không số nguyên tố không hợp số Số số nguyên tố chẵn nhât, số nguyên tố lại số lẻ Các số nguyên tố < 20 2; 3; 5;7; 11; 13; 17; 19 B, LUYỆN TẬP DẠNG 1: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 3.4.5+6.7 b, 5.7.9.11-2.3.4.7 c, 3.5.7+11.13.17 d, 16354+67541 HD: 3.4.5  6.7   4.5  2.7  M3 a, Ta có: , Vậy tổng hợp số 5.7.9.11  2.3.4.7   5.9.11  2.3.4  M b, Ta có: , Vậy tổng hợp số c, Ta có : 16354  67541 có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 2: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 5.6.7+8.9 b, 5.7.9.11.13-2.3.7 c, 5.7.11+13.17.19 d, 4253+1422 HD : 5.6.7  8.9   5.2.7  8.3 M3 a, Ta có : , Vậy tổng hợp số 5.7.9.11.13  2.3.7   5.9.11.13  2.3 M7 b, Ta có : , Vậy tổng hợp số 5.7.11 13.17.19 c, Ta có : số lẻ, số lẻ, Nên tổng số chẵn M2=> Là hợp số 4253  1422 d, Ta có : có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 3: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 17.18.19.31+11.13.15.23 b, 41.43.45.47+19.23.29.31 c, 987654+54321 HD : 17.18.19.31  11.13.15.23   17.6.19.31  11.13.5.23 M3 a, Ta có: , hợp số b, Ta có: 41.43.45.47 số lẻ, 19.23.29.31 số lẻ, nên tổng số chẵn nên hợp số c, Ta có : 987654  54321 có chữ số tận nên chia hết cho 5, hợp số Bài 4: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 5.31.19.101+62.131.1989.17 b, 23.161.121.19-13.157.22.17 c, 123456789+729 Bài 5: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 5.7.8.9.11-132 b, 4.5.6+9.13 c, 7.11.13-5.6.7 d, 17.19.23+23.25.27 Bài 6: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a, 11.13.17-121 b, 15+3.40+8.9 c, 5.7.9-2.5.6 d, 90.17-34.40+12.51 Bài 7: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: 2 a, 2010+4149 b,    c, 7.8.9.10-2.3.4.5 d, 2007  2010 HD : d, Dựa vào dấu hiệu chia hết cho Bài 8: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3… n + HD : Xét n   1.2.3   số nguyên tố Xét n   1.2.3.4   25 hợp số Vậy không kết luận Bài 9: Cho a=2.3.4.5….2008 Hỏi 2007 số tự nhiên liên tiếp sau có hợp số không a+2, a+3, a+4, … , a+2008 HD: Ta có: 2007 số hợp số chúng chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008, Và lớn Bài 10: Thay chữ số d vào số 5d để hợp số HD: d � 0;1;2;3; ;8;9 Vì d � 0;2;4;6;8  5d M2 Nếu => hợp số d � 1;7  5d M3 Nếu => hợp số d � 5  55M5 Nếu => hợp số d � 3;9  5d Nếu số nguyên tố Bài 11: Thay chữ số vào * để * số nguyên tố HD: * � 0;1;2;3; ;8;9 Vì * � 0;2;4;6;8  *M2  Nếu hợp số * � 5;7  *M5,7 *M7  Nếu hợp số * � 1;3;9  * Nếu số nguyên tố Bài 12: Thay chữ số vào * để 5* số nguyên tố Bài 13: Thay a vào 13a để số nguyên tố Bài 14: Thay chữ số vào để 1*,3* hợp số Bài 15: Thay chữ số vào * để 5*,9* số nguyên tố Bài 16: Tìm số tự nhiên k để 3.k số nguyên tố, 7.k số nguyên tố HD: Vì 3.k chia hết cho 3, nên để số ngun tố 3k có ước nó, Vậy k=1 Vì 7.k chia hết cho 7, nên để số nguyên tố 7k có ước nó, Vậy k=7 Bài 17: Thay dấu * chữ số thích hợp để số sau số nguyên tố: *1,15*,12*, 2*9 Bài 18: Các số sau số nguyên tố hay hợp số: a, 111 ( 2010 số 1) b, 333 ( 2009 số 3) HD: 11 (2010 số 1) => hợp số a, Số 111 1M Số 333 3M3 => Là hợp số n  n  1 c, Số có TH : n   n  n  1  Nếu số nguyên tố n �2  n  n  1 Nếu hợp số Mn Mn+1 d, Số 3.5.7.9  28M7 => hợp số Bài 19: Các số sau số nguyên tố hay hợp số: a, n b, 111…1 (2001 chữ số 1) HD: a, Với n   3.n  số nguyên tố c, n(n+1),n > d, 3.5.7.9-28 c, n  d, 1112111 b, Với n �2  3.n hợp số Số 111 ( 2001 chữ số 1) có tổng chữ số 2001 M3=> hợp số Với n   n   số nguyên tố b, c, Với n �2  n  hợp số 1112111  1111000  1111  1111 103  M 1111 d, Số hợp số Bài 20: Các số sau số nguyên tố hay hợp số: a, 111…1(2000 số 1) b, 1010101 c, 311141111 HD: a, Số 111 (2000 số 1) chia hết cho 11 nên hợp số 101 nên hợp số b, Số 1010101  101.10001M c, Số 311141111  311110000  31111 chia hết cho 31111 nên hợp số Bài 21: Tìm tất số tự nhiên n để n a, n  12n số nguyên tố b,  số nguyên tố HD : n  12n  n  n  12  n  12   n  n  12  a, Ta có : , Vì có thêm ước n n+2 n  n  12  Để số nguyên tố n   n  12n  13 (thỏa mãn) n b, Nếu n     số nguyê tố   n Nếu n �0   6M3 hợp số Bài 22: Tìm số nguyên tố p cho: a, p+2, p+4 số nguyên tố b, p+10, p+14 số nguyên tố HD : p  2 l a, Giả sử với p  số nguyên tố => p   hợp số p  3 t / m  Với p  số nguyên tố  p   5, p   số nguyên tố=> p   p  3k  1, p  3k  2,  k �N  Với p  3k   l  Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p   3k   2M3 hợp số => p  3k   l  Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố => p   3k   4M3 hợp số=> Vậy p = số nguyên tố cần tìm  p   l  b, Giả sử với p  số nguyên tố  p  10  12M2 hợp số  p   t / m  Với p  số nguyên tố  p  10  13, p  14  17 số nguyê tố p   p  3k  1, p  3k  2,  k �N  Với  p  3k   l  Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p  14  3k   14M3 hợp số  p  3k   l  Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p  10  3k   10M3 hợp số Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 23: Tìm số nguyên tố p cho: a, p+2, p+6, p+8, p+14 số nguyên tố b, p+6, p+8, p+12, p+14 số nguyên tố HD : p  2 l a, Giả sử với p  số nguyên tố => p   4M2 hợp số=> p  3 l  Với p  số nguyên tố  p   M3 hợp số=> Với p  số nguyên tố => p   7, p   11, p   13, p  14  19 số nguyên tố p   p  5k  1, p  5k  2, p  5k  3, p  5k  4,  k �N  Với hợp số  p  5k   l  Nếu p  5k  giả sử số nguyên tố  p  14  5k   14M  p  5k   l  Nếu p  5k  giả sử số nguyên tố  p   5k  10M5 hợp số hợp số  p  5k   l  Nếu p  5k  giả sử số nguyên tố  p   5k   M hợp số  p  5k   l  Nếu p  5k  giả sử số nguyên tố  p   5k   6M Vậy p=5 số nguyên tố cần tìm Bài 24: Tìm số nguyên tố p cho: a, p+4, p+8 số nguyên tố b, p+94, p+1994 số nguyên tố HD : p  2 l b, Giả sử với p  số nguyên tố => p  94  96 hợp số p  3 t / m  Với p  số nguyên tố  p  94  97, p  1994  1997 số nguyên tố=> Với p   p  3k  1, p  3k  2,  k �N  p  3k   l  Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p  1994  3k   1994M3 hợp số => p  3k   l  Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố => p  94  3k   94M3 hợp số=> Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 25: Tìm số nguyên tố p cho: a, p+18, p+24, p+26, p+32 số nguyên tố b, p+2, p+10 số nguyên tố Bài 26: Tìm số nguyên tố p cho: p+2, p+8, p+16 số nguyên tố Bài 27: Tìm số nguyên tố p cho: a, 2p-1, 4p-1 số nguyên tố b, 2p+1, 4p+1 số nguyên tố HD: p  2 t / m a, Giả sử với p  số nguyên tố => p   3,4 p   số nguyên tố p  3 t / m  Với p  số nguyên tố  p   5,4 p   11 số nguyên tố=> p   p  3k  1, p  3k  2,  k �N  Với  p    3k  1   12k  3M3 Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố hợp số => b, p  3k   l  p    3k     6k  3M Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố => hợp số p  3k   l  => Vậy p = p = số nguyên tố cần tìm p  2 l Giả sử với p  số nguyên tố => p   hợp số p  3 t / m  Với p  số nguyên tố  p   7, p   13 số nguyên tố=> p   p  3k  1, p  3k  2,  k �N  Với  p    3k  1   6k  3M Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố hợp số p  3k   l  => p    3k     12k  M3 Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố => hợp số p  3k   l  => Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 28: Tìm tất số tự nhiên n để n+1, n+3, n+7, n+9, n+13, n+15 số nguyên tố Bài 29: Tìm tất số nguyên tố p, q cho 7p+q pq+11 số nguyên tố HD : Nếu pq  11 số ngun tố phải số lẻ số ngun tố lớn Suy pq số chẵn, số p q Giả sử : p   p  q  14  q số nguyên tố q   p  q  7.2   16  l  Nếu q   p.q  11  2.3  11  17  t / m  p  q  7.2   17  t / m  Nếu q   q  3k  1, q  3k  2,  k �N  Nếu  q  3k  1 l  Với q  3k   p  q  14  3k  1M3 hợp số Với q  3k   pq  11  2q  11   3k    11  6k  15M3 Vậy p  2, q  hợp số  q  3k   l  Xét tiếp TH giả sử q  ta p  Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số Bài 30: Tìm số nguyên tố k để 5k số ngun tố HD : Thấy 5k ln có ước Nên k   5k hợp số Để 5k số nguyên tố thi k=1 Bài 31: Tìm số nguyên tố p cho 5p+7 số nguyên tố HD : Nhận thấy p  số nguyê tố, p   17 số nguyên tố p  2k  1,  k �N  Ngồi p  p p  2k   p    2k  1   10k  12 M2 p  2k   l  Nếu hợp số, nên Vậy p=2 số nguyên tố cần tìm Bài 32: Tìm số tự nhiên k để 11k số nguyên tố Bài 33: Chứng minh với số tự nhiên n (n>1) ln tìm n số tự nhiên liên tiếp hợp số HD : a  2.3.4 n  n  1 Chọn số tự nhiên a  2, a  3, a  4, , a  n, a   n  1 Khi ta có n số tự nhiên liên tiếp là hợp số Vì n số chia hết cho 2,3, 4, , n, n  Bài 34: Tìm 2002 số tự nhiên liên tiếp hợp số HD : Chọn a  2.3.4 2002.2003 Khi ta có 2002 số tự nhiên liên tiếp a  2, a  3, a  4, , a  2002, a  2003 hợp số Vì 2002 số chia hết cho 2,3, 4, , 2002,2003 Bài 35: Tìm số nguyên tố a cho 6a+13 số nguyên tố 25 �6a  13 �45 HD : Ta có : Từ 25 đến 45 có số nguyên tố : 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 Nên ta có bảng sau : 6a+13 29 31 37 41 43 a Mà a số nguyên tố nên a = (loại) Bài 36: Tìm số nguyên tố a để 2a+7 số nguyên tố 2 Vì p vừa tổng vừa hiệu số nguyên tố nên phải có số nguyên tố chẵn, Như số chẵn 2,Khi ta có : p  a   b  ( với a, b số nguyên tố)  a  p  2, p, b  p  số lẻ liên tiếp nên có số chia hết cho 3, phải có số Nếu a   p  5, b  Nếu p   a  1 l  b   p   l  Nếu Vậy số nguyên tố cần tìm Bài 38: Tìm tất số nguyên tố p cho 4p+11 số nguyên tố Với x �y �1 Nếu A chứa thừa số nguyên tố x+1=6=>x=5, Chọn thừa số nguyên tố bé A   32 Nếu A chứa hai thừa số nguyên tố thì: x=2, y=1 ngược lại, để A nhỏ ta chọn thừa số nguyên tố bé có số mũ lớn thừa số lớn có số mũ bé A   ước: Đối chiếu đề ta thấy A>27 2 32 thỏa mãn: => p  32  23   số nguyên tố Bài 43: Cho số nguyên tố lớn thỏa mãn số sau lớn số trước k đơn vị CMR: k M6 HD: Gọi số nguyên tố thỏa mãn là: p, p+k p+2k => k số chẵn=> k chia hết cho 2, Giả sử k khơng chia hết cho k  3m  1, k  3m  TH1: k  3m  Với p chia dư thì: p=3n+1=> p+2k=3n+1+6m+2 chia hết cho ( loại) Với p chia dư thì: p=3n+2=> p+k = 3n+2+3m+1 chia hết cho 3(loại) TH2: k=3m+2 Với p chia dư thì: p=3n+1=>p+k=3n+1+3m+2 chia hết cho (loại) Với p chia dư thì: p=3n+2=> p+2k=3n+2+6m+4 chia hết cho 3(loại) nên k phải chia hết k chia hết cho 3=> k chia hết cho Bài 44: Tìm số nguyên tố p cho p  số nguyên tố 2 Bài 45: Tìm số nguyên tố thỏa mãn: x  y  HD: 2 Từ gt=> x   y , x chia hết cho x nguyên tố nên x=3, lúc y=2 nguyên tố 2 Nếu x khơng chia hết cho x  chia hết cho y chia hết cho 3, mà (2;3) =1 Nên y chia hết cho 3, => y=3 x  19 không thỏa mãn, Bài 46: Tìm số n nhỏ để: n + 1; n + 3; n + nguyên tố Bài 47: Tìm hai số nguyên tố p q biết p > q cho p + q p – q số nguyên tố p Bài 48: Tìm số nguyên tố p thỏa mãn:  p số nguyên tố y Bài 49: Tìm ba số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: x   z DẠNG 2: CHỨNG MINH LÀ HỢP SỐ Bài 1: Cho p 8p-1 số nguyên tố, chứng minh 8p+1 hợp số HD: Nhẩm thấy p  số cần tìm Đặt p  3a  r  r  0;1;2  Nếu r   p  3a số nguyên tố nên a   p  3,8 p   23 số nguyên tố, Thỏa mãn điều kiện đầu bài, Khi p   25 hợp số (đpcm) Nếu r   p  3a  giả sử số nguyên tố p    3a  1   24a  giả sử số nguyên tố, đó: p    3a  1   24a  9M3 hợp số(đpcm) r   p    3a     24 a  15M3 r  2 l Nếu hợp số nên Bài 2: Chứng minh rằng: p số nguyên tố >3 2p+1 số nguyên tố 4p+1 hợp số HD: p  3k  1, p  3k   k �N  Vì p số nguyên tố lớn nên  p   6k  3M3  l  Nếu p  3k  số nguyên tố Nếu p  3k  số nguyên tố  p   6k  giả sử số nguyên tố, Khi : p   12k  9M3 hợp số, (đpcm) Bài 3: Cho p số nguyên tố >3, biết p+2 số nguyên tố, cmr p+1 chia hết cho HD : p  3k  1, p  3k  2, k �N * Vì p số nguyên tố lớn 3, nên  p   3k  3M3  l  Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố   Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p   3k  giả sử số nguyên tố, p   3k    k  1 M Khi : Mà p nguyên tố nên 3k  số lẻ  3k số lẻ =>3k số lẻ=> k số lẻ=> k+1 số chẵn   k  1 M6 (đpcm) Bài 4: Cho p p+4 số nguyên tố lớn 3, cmr p+8 hợp số HD : p  3k  1, p  3k  2, k �N * Vì p số nguyên tố lớn 3, nên p có dạng Nếu p  3k   p   3k  6M3 hợp số (loại)   Nếu p  3k  giả sử số nguyên tố  p   3k  giả sử số nguyên tố, Khi : p   3k  9M3 hợp số (đpcm) Bài 5: Chứng minh với p số nguyên tố lớn 8p2 +1 số nguyên tố 8p2 -1 hợp số HD : Vì p,8 p  số nguyên tố lớn nên không chia hết cho 2 Khi ta có : p  1;8 p ;8 p  số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho  3, p M   p M  , Vậy p  1M3 hợp số Mà p  1M Bài 6: Chứng minh p p+2 hai số nguyên tố >3 tổng chúng chia hết cho 12 HD : A  p   p    p    p  1 Đặt Và p   p   Xét số liên tiếp p  1, p, p  phải có số chia hết cho Vì p số nguyên tố lớn 3, nên p không chia hết cho 3,  chia hết cho p  chia hết cho 3, p  1M3   p  1 M3 Mặt khác p  M Lại có p số nguyên tố >3 nên p lẻ  p  số chẵn M2  p  1 M 12 Vậy Bài 7: Chứng minh p số nguyên tố >3 (p-1)(p+1) chia hết cho 24 HD : Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho   p  1 ,  p  1   p  1  p  1 M Với p không chia hết cho hai số chẵn liên tiếp Mặt khác p không chia hết p  3k  1, p  3k  Nếu p  3k    p  1 M3   p  1  p  1 M24 p  3k    p  1 M3   p  1  p  1 M24 Nếu Bài 8: Cho p 10p+1 số nguyên tố >3, cmr 5p+1 hợp số HD: p  3k  1, p  3k  2, k �N * Vì p số nguyên tố lớn nên Với p  3k  giả sử số nguyên tố,  10 p   30k  11 giả sử số nguyên tố   Khi đó: p   15k  6M3 hợp số (đpcm) Với p  3k  giải sử số nguyên tố  10 p   30k  21M3 (loại) Bài 9: Cho p p+8 số nguyên tố (p>3) cmr p+4 hợp số Bài 10: Cho p 4p+1 hai số nguyên tố (p>3), cmr 2p+1 hợp số Bài 11: Cho p 5p+1 hai số nguyên tố (p>3), cmr 10p+1 hợp số Bài 12: Cho p 8p+1 hai số nguyên tố (p>3), cmr 4p+1 hợp số Bài 13: Cho p p+10 số nguyên tố, cmr p+32 hợp số Bài 15: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100, có số nguyên tố chẵn số Còn lại 24 số nguyên tố lại số lẻ => tổng 24 số lẻ cho ta số chẵn Vậy xét tổng 25 số nguyên tố cho ta số chẵn Bài 16: Tổng ba số nguyên tố 1012, Tìm số nguyên tố nhỏ số nguyên tố HD: Tổng số nguyên tố 1012 số chẵn, nên bắt buộc phải có số chẵn, Mà số nguyên tố chẵn nhỏ số Bài 17: CMR số nguyên tố >2 có dạng 4n+1 4n-1 HD: p  2k  1, k �N * Mọi số nguyên tố p lớn có dạng TH1: Nếu k chẵn  k  2n  p  2k   2.2n   4n     k  2n   p  2k    2n  1   4n  TH2: Nếu k lẻ Bài 18: CMR p số nguyên tố >3 p có dạng 6k+1 6k+5 HD: Mọi số tự nhiên p lớn có dạng p  3n  1, p  3n  Vì n lẻ p số chẵn p không số nguyên tố  n  2k  k  0, k �N  Nên n phải chẵn , Xét TH: p  n   k  TH1:  n �N  , * TH2: p  3n   3.2k   6k   6k  Bài 19: CMR p số nguyên tố lớn 3, cho 14p+1 số nguyên tố 7p+1 bội số HD: Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho Khi p  số chẵn nên chia hết cho  p  3k  1, p  3k  3, k �N * p Mặt khác khơng chia hết p có dạng p  3k  1 l  Với p  3k  giả sử số nguyên tố,  14 p   45k  15M3 nên  Với p  3k   14 p   42k  29 giả sử số nguyên tố, Khi đó: p   21k  15M3 Như p  1M6 Bài 20: Cho p số nguyênt ố lớn 3, CMR: p  2012 hợp số Bài 21: Chứng minh p tích n số nguyên tố p  p  khơng thể số phương HD: Vì p tích n số ngun tố nên pM2 p chia hết cho (1) p   m  m �N  - Giả sử p+1 số phương, Đặt Vì p chẵn nên p  lẻ  m lẻ =>m lẻ m  2k   k �N  m  4k  4k   p   4k  4k   p  4k  4k  4k  k  1 Đặt , Ta có: Mẫu thuẫn với (1) =>p+1 khơng thể số phương - Giả sử p  2.3.5 M3  p  có dạng 3k+2  p  khơng số phương n  n  1 Vậy p tích số nguyên tố p – p + khơng số phương B  1.3.5.7 2017.2019 Bài 22 : Cho , Hỏi số B  1, B, B  số số phương? HD : B M3  B   3k   k �N  Ta có : B   2.1.3.5 2017.2019  , có  B  khơng số phương   B M2 B M 4 Với B  2.1.3.5 2017.2019  B chẵn=> B lẻ nên B M Và 2B chẵn nên 2B không chia cho dư dư 3, 2B khơng số phương 4 Với B   2.1.3.5 2017.2019   B  số lẻ, nên B  M   B  M  dư 1=> 2B +1 khơng số phương B M Bài 23 : Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống HD : aabb Σ��� n ,  a , b N  ,1 a 9,0 b Gọi số phương phải tìm : n  aabb  11.a 0b  11 100a  b   11  99a  a  b  Ta có : (1) 11  a  bM 11 Nhân xét thấy : aabbM Mà �a �9, �b �9  �a  b �18  a  b  11 n  112  9a  1  9a  Thay vào (1) ta : số phương Bằng phép thử a từ đến ta thấy có a = thỏa mãn => b=4 Vậy số cần tìm 7744 Bài 24 : Cho p số nguyên tố lớn thỏa mãn : 10 p  số nguyên tố, CMR : p  1M6 HD : Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 3, nên 10p không chia hết cho (1) 3 Lại có 10 p  số nguyên tố 10 p    10 p  M (2) 10 p  10 p  1  10 p   Ta có : tích số tự nhiên liên tiếp nên phải có số chia hết cho  10 p  2M3  p  1M3 Lại có p số nguyên tố lớn nên p lẻ=> p  số chẵn nên chia hết cho 2, p  1M6 DẠNG 3: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: Chứng minh số sau hợp số 11 17 19 23 29 125 25 15 a, 12  13  17 b,  23  29  25 c, 45  37 HD: 11 17 19 a, Ta có: 12  13  17 số chẵn nên hợp số 354 25 d, 95  51 23 29 125 b,  23  29  25 số chẵn nên hợp số 25 15 c, Ta có : 45  37 số chẵn nên hợp số 354 25 d, Tương tự 95  51 số chẵn nên hợp số Bài 2: Chứng minh số sau hợp số 123 124 125 21 a, 21  23  25 b, 10  10  c, 17  24  13 HD: b, Ta có : 10  10  có tổng chữ số chia hết hợp số 25 15 d, 425  37 21 c, Ta có : 17  24  13 số chẵn nên hợp số 25 15 d, 425  37 số chẵn nên hợp số Bài 3: Chứng minh số sau hợp số 11 13 17 19 354 25 a,      11 b, 195  151 c, HD: a, 354 25 b, Ta có: 195  151 số chẵn nên hợp số n 1 n n n 1  2 n.2  n.2  22   4 nên c, Ta có : 4n  41 n1  4.4 n 1  4  4.4    n n 1 4n 1 n 1  3, n �N  6.4  , 2 d, 2 n1 n 1  7, n �N   5M hợp số n 2  13, n �N Bài 4: Chứng minh số sau hợp số: Bài 5: Chứng minh số sau hợp số: a, abcabc  b, abcabc  22 c, abcabc  39 HD: a, Ta có: abcabc  a.10  b.10  c.10  a.10  b.10  c   a.100100  b.10010  1001c   1001  100a  101b  c   Vì 1001 chia hết abcabcM7 hợp số 11 nên hợp số b, Tách tương tự, 1001M c, Tách tương tự, 1001 M13 nên hợp số Bài 6: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r hợp số, tìm r Bài 7: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r, Tìm r biết r khơng số ngun tố Bài 8: Cho C=222 22000 00777 77( 2011 số 2, 2011 số 2011 số 7) Vậy C nguyên tố hay hợp số? HD: Tổng chữ số C 2011(2+7)=2011.9 chia hết C hợp số Bài 9: CMR: Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố Bài 10: Có hay khơng số ngun tố mà chia cho 12 dư Bài 11: CMR : Trong ba số nguyên tố lớn 3, tồn số nguyên tố mà tổng hiệu chúng chia hết cho 12 Bài 12: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư hợp số r, tìm r 2 2 Bài 13: Cho a,b,c,d số nguyên dương thỏa mãn : a  c  b  d , CMR : a+b+c+d hợp số HD:  a2  b2  c2  d    a  b  c  d    a2  a    b2  b    c  c    d  d  Ta có : => a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1 M2 Mà a  c  b  d  a  b  c  d   b  d  M2 Do a  b  c  d M2 Vậy a+b+c+d �4 nên a+b+c+d hợp số n n n n Bài 14 : Cho số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn : ab=cd Chứng minh : A  a  b  c  d hợp số với số tự nhiên n CHUN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Định nghĩa: Số phương bình phương số tự nhiên A  k2  k �N  Như vậy: A số phương A có dạng VD: 0;1;4;9;16;25;… Tính chất: - Số phương tận 0,1,4,5,6,9 - Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số với mũ chẵn Hệ quả: + Tích số phương số phương + Số phương M2 M4 + Số phương M3 M9 + Số phương M5 M25 + Số phương M8 M16 + Số lượng ước lẻ số phương ngược lại + Số phương chia dư DẠNG 1: CHỨNG MINH LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Các tổng sau có phải số phương khơng? 20 a/ A      b/ B  11  11  11 100 e/ 10 HD: 10 c/ 10  10 d/ 10   1050  a, Tổng A Chi hết cho không chia hết khơng số phương b, Tổng B có chữ số tận nên khơng số phương 10 c, Ta có: 10  có chữ số tận nên khơng số phương 10 d, Ta có: 10  chia hết cho không chia hết cho 25 nên khơng số phương 100 50 e, Ta có: 10  10  có tổng chữ số nên chia hết cho mà không chia hết không số phương 20 Bài 2: Cho A      , chứng minh A+4 khơng số phương? HD: 21 21 Tính tổng A ta được: A    A   khơng số phương có mũ lẻ 100 Bài 3: Cho B      , chứng minh 2B+3 khơng số phương? HD: 101 101 Tính tổng B ta được: 2B    2B   không số phuownh mũ lẻ Bài 4: Viết liên tiếp từ đên 12 ta số A=1234…1112 hỏi số A có 81 ước khơng? HD: Giả sử A số phương, ta có tổng chữ số A là: 1  3  11 12  51M3 M  nên khơng số phương Khi A khơng thể có 81 ước Hoặc A có chữ số tận 2, nên A khơng số phương Bài 5: Tìm số nguyên tố ab để ab  ba số phương (a>b>0) HD: A  ab  ba  9a  9b  32  a  b Phân tích ta có: Để số phương a-b số phương 1�a  b �8  a  b� 1;4 Mà a  b   ab� 21;32;43;54;65;76;87;98 TH1: Với Thấy có 43 số nguyên tố a  b   ab� 51;62;73;84;95 TH2: Với Có 73 số nguyên tố Vậy số ab 43 73 Bài 6: Tìm số có dạng ab cho ab  ba số phương Bài 7: Số 101112…20 có số phương khơng? HD: Số có chữ số tận nên khơng số phương 2 2 Bài 8: Chứng minh 2004  2003  2002  2001 số phương HD: Tổng có chữ số tận nên khơng số phương Bài 9: Chứng minh số 1234567890 khơng số phương? HD: Số chia hết cho không chia hết cho 25 nên khơng số phương Bài 10: Chứng minh số có tổng chữ số 2004 số khơng số phương? HD: Số có tổng chữ số 2004 số chia hết cho không chia hết cho Bài 11: Chứng minh số có tổng chữ số 2006 khơng phải số phương HD: Số phương chia cho dư Số có tổng chữ số 2006 nên chia dư 2, số phương Bài 12: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 khơng số phương? HD: Ta có: 1  3  2004  2005  2006.2005:  1003.2005  A Phân tích A ta thấy A khơng số phương 44 444 4444 Bài 13: Chứng minh n   44  444  4444  15 khơng số phương? HD: 44 n  4k  3 k �N  Ta có: M4,44 M4  n : dư 3, => => n khơng số phương Bài 14: Tìm số phương có chữ số, biết hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống HD: aabb Σ��� n2  a, b N ,1 a 9,0 b 9 Gọi số phương cần tìm là: n2  aabb  11.a0b  11 100a  b  11 99a  a  b Ta có: (1) 11  a  bM 11  a  b  11 Thay vào (1) ta được: Thấy aabbM n2  112  9a  1  9a  số phương Thử a=1, 2, 3, …., thấy a=7 thỏa mãn=> b=4 Bài 15: Chứng minh số sau số phương 3 3 a,     b,     2n  HD:  1 2n  1 n  n2 A b, Tính tổng B ta được: Vậy tổng số phương Bài 16: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương HD: Ta có: 10 �n �99  21�2n  �199 , Tìm số phương lẻ khoảng ta được: 25; 49;81; 121; 169 ứng với n=12, 24, 40, 60, 84 Khi 3n+1=37, 73, 121, 181, 253, Thấy có 121 số phương, n=40 Bài 17: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số để 3n+1 4n+1 số phương Bài 18: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết nhân với 135 ta số số phương HD: 135n  a2  a�N  Gọi số phải tìm n, ta có: Hay 5.n  a số phương=> n=3.5.k2 Với k=1=>n=15 Vơi k=2=>n=60 Với k �3=>n �135 (loại) Vậy số cần tìm 15 60 Bài 19: Các số sau số phương khơng? 2001 a, abab b, abcabc c, ababab d, 2001 e, A  abc  bca  cab HD: 101 ( Vơ lý) a, Ta có: n  abab  ab.101  abM 1001 ( Vô lý) b, Ta có: n  abcabc  abc.1001  abcM 10101 ( Vơ lý) c, Ta có: n  ababab  ab.10101  ab.3.7.13.37=> abM   20012001  20011000 2001 d, Ta có: , Số 2001 chia hết cho không chia hết cho A  abc  bca  cab  111a  111b  111c  3.37 a  b  c e, a  b  cM37 mà a  b  c �27 nên A khơng thể số phương Bài 20: Cho số 3,6,8,8 tìm số phương lập từ số HD: Gọi n số phương phải tìm Vì số phương khơng có tận 3; nên n2 có tận 6=> n2 tận 36 86  nên phải có tạn 36 Nếu tận 86 M2 M Vậy số cần tìm 8836 Bài 21: Cho số 0,2,3,4 Tìm số phương có chữ số từ số HD: 2 Gọi n số phương phải tìm=> n có tận Nếu n có tận n có tận 00=> loại n có tận n có tận 04, 24, 34 Do n số phương nên M2 M4=> tận 04 24 Xét số: 2304; 3204; 3024 có 2304 số phương Bài 22: Cho số 0,2,3,5 Tìm số phương có chữ số từ số HD: 2 Gọi n số phương phải tìm=> n có tận Nếu n có tận 0=> n tận 00 ( loại) Nếu n có tận 5=> n có tận 25 Ta có số cần tìm 3025 Bài 23: Cho số 0,2,4,7 Tìm số phương có chữ số gồm só HD: 2 Gọi n số phương cần tìm=> n có tận Nếu n có tận n có tận 00 (loại) Nếu n có tận n có tận 04; 24; 74 Do n số phương nên chia hết cho chia hết cho => n có tận 04 24 Khi ta có số: 2704; 7204; 7024, số có số 2704 số phương Bài 24: Tổng chữ số số phương 1983 khơng? HD: Tổng số số 1983 số chia hết cho không chia hết cho 9, nên số phương khơng có tổng 1983 100 Bài 25: Cho A      , hỏi A có số phương khơng? HD: Nhận thấy A chia hết cho A lại không chia hết cho 25 nên A khơng số phương Bài 26: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp khơng số phương? HD: Gọi số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a+2, a+3 Xét tổng ta có: S= 4a+6, thấy tổng chia hết cho không chia hết không số phương Bài 27: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết nhân với 45 ta số phương? HD: n.45  a2  a�N  Gọi số cần tìm n, ta có: n.5.9  a2  n  5.k2  k �N  Hay Khi với k=1=> n=5( loại) K=2=>n=20 ( nhận) K=3=>n=45( nhận) K=4=>n=80 ( nhận) K=5=>n=125 ( loại)  a  1  a   a  a  3 số phương Bài 28: Tìm a cho số Bài 29: Tìm số ab , biết: c  ab  ba số phương Bài 30: Tìm a,b cho 2007ab bình phương số tự nhiên Bài 31: Cho S      2009  2011 a, Tính S b, Chứng tổ S số phương c, Tìm ước ngun tố khác S Bài 32: Cho A=1-2+3-4+ +19-20 a, A có chia hết cho 2;3;5 khơng? b, Tìm tất ước A Bài 33: CMR: tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương HD: Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n-2,n-1,n, n+1, n+2, n số tự nhiên n �2 2 2 A   n     n  1  n   n  1   n     n   Xét tổng bình phương: , Vì n khơng thể có tận 8, nên n  chia hết cho hay A khơng số phương Bài 34: Cho n số tự nhiên có hai chữ số Tìm n biết n+4 2n số phương HD: Vì n số có hai chữ số nên 9n=32=>n+4=36 số phương Với 2n=100=>n=50=>n+4=54 khơng số phương Với 2n=144=>n=72=>n+4=76( loại) Với 2n=196=>n=98=