Chuyên đề Véc-Tơ và tọa độ trong mặt phẳng

Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm ABC nằm trên trục tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng 1.. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.[r]

Véc-tơ và tọa độ mặt phẳng A Tóm tắt lý thuyết Hệ trục tọa độ Oxy : Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với   Véc-tơ đơn vị trên Ox là i , véc-tơ đơn vị trên Oy là j     Tọa độ véc-tơ: a  x;y   a  xi  yj   Tính chất: Cho a và b  x';y ' , ta có   x  x '  ab   , y  y '    a  b   x  x';y  y ' ,   ka   kx;ky  ,   a.b  xx' yy ' ,   a  x2  y ,    cos a,b    xx' yy ' x2  y x'2  y '2    ( a , b  ),     a  b  ab   xx' yy '  ,    x  kx'  a / /b  k   xy '  x'y  y  ky '     Tọa độ điểm: M  x;y   OM  x;y   OM  xi  y j   AB   xB  x A ; y B  y A  , AB   xB  x A    y B  y A   x  x A  kxB    M 1 k  M chia AB theo tỉ số k ( MA  kMB )    y M  y A  kyB  1 k  x  x A  xB  M Đặc biệt: M là trung điểm AB   y A  yB yM    x  x A  x B  xC  G  G là trọng tâm tam giác ABC   y A  y B  yC yG   Lop12.net B Một số ví dụ     Ví dụ Cho a  3; 6  và véc-tơ b có tọa độ dạng b  k;k  1 Xác định tọa b biết rằng:   1) a  b   2) a  b   3) cos a,b     Giải     1) Ta có ab  3k   k  1  3k  a  b  ab   3k    k  2   b  2; 1    2) a  b   k  1  6k  k    b  ; 3  3) Ta có    a  32  62  , b  k   k  1  2k  2k     cos a,b    k  2k  2k  Do đó   cos a,b      k2 2 5 2k  2k  k   k  2    k  4k     7k  6k   2k  2k 1     B  0;1 k       k   B  6;1  7    Ví dụ Cho A  1;2  , B  4;5  , C  2; 7  1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh tam giác 2) Tính độ dài các cạnh tam giác ABC 3) Xác định trọng tâm G tam giác ABC 4) Xác định trực tâm H tam giác ABC 5) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Giải Lop12.net k         6k  1) Ta có AB  3;3  , BC  6; 12  AB  kBC      k    12k k       Vậy  k : AB  kBC  AB và BC không cùng phương  A , B , C không thẳng hàng  A , B , C là ba đỉnh tam giác 2) 3) 4)  AB  32  32  , BC  62  22  10 , CA  3;9   CA  32  92  10  x  x A  xB  xC   G  G  1;0  G là trọng tâm tam giác ABC   y A  yB  yC yG  0    Ta có AH  xH  1;y H   , BH  x H  4;y H    BCAH  6  xH  1  12  y H    6  x H  2y H   Suy    CABH   xH     y H     x H  3y H  19    BCAH  H là trực tâm tam giác ABC     CABH     x H  2y H       H  23;14    x H  3y H  19   5) Ta có  2 IA   xI ;2  y I   IA    xI     y I   xI2  y I2  2xI  4y I  ,  2 IB   xI ;5  y I   IB    xI     y I   xI2  y I2  8xI  10y I  41 ,  2 IC  2  xI ; 7  y I   IC2   2  xI    7  y I   xI2  y I2  4xI  14y I  53 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA  IB IA  IB     IB  IC IB  IC2  x  y  2x  4y   x  y  8x  10y  41 x  yI  I I I I I I I I     I  I  13; 7   xI  2y I  1  xI2  y I2  8xI  10y I  41  xI2  y I2  4xI  14y I  53 Ví dụ Cho A  1; 2  , B  3;4  Tìm tọa độ điểm C  Ox cho 1) Tam giác ABC vuông A 2) Tam giác ABC cân A Giải Lop12.net C  Ox  tọa độ C có dạng C  c;0      1) AB   2;6  , AC   c  1;2   ABAC   c  1  6.2  2c  10  Do đó: tam giác ABC vuông A  ABAC   2c  10   c    C  5;0  2) Ta có AB  22  62  40 , AC2   c  1  22  c  2c  Do đó: tam giác ABC cân A  AB  AC  AB  AC2  40  c2  2c   C  7;0  c    c  2c  35    c  5  C  5;0  Lop12.net C Bài tập Bài Cho A  1;2  , B  3;4  , C  5;6  Chứng minh A , B , C thẳng hàng Bài Cho A  1; 1 , B  2;4  Tìm giao điểm đường thẳng AB với các trục toạ độ       Bài Cho a  1;2  , b  2;3  , c  3;7  Hãy biểu diễn c qua a , b Bài Cho A  1;1 , B  1;2  , C  4;0  Tìm toạ độ điểm M cho:    1) AM  2BC  3AC     2) AM  2BM  3CM  3) ABCM là hình bình hành Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo Bài Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ) Biết A  2;  , B  4;1 , C  3;1 Tìm tọa độ đỉnh D hình thang biết CD  3AB ĐS: D   9;4  Bài Cho A  2;5  , B  2;4  Hãy tìm toạ độ giao điểm đường trung trực d AB với các trục toạ độ     ĐS: M  d  Ox  M  ;0 , N  d  Ox  N 0; Bài Cho A  3;6  , B  1;   , C  6;3  Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 4 2 ĐS: ;   Bài Cho A  1;1 , B  3;2  , C  ; 1 1) Tính chu vi ABC 2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Bài Cho ABC với A  2;4  , B  2;1 , C  6;1 1) Tính độ dài đường phân giác góc A 2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp ABC Bài 10 Cho A  3;4  , B  4;0  Tìm tọa độ điểm C cho gốc toạ độ O  0;0  là trọng tâm ABC ĐS: C  7; 4  Lop12.net Bài 11 [ĐHD04] Cho tam giác ABC có các đỉnh A  1;0  , B  4;0  , C  0;m  với m  tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G  3 ĐS: G 1; m , m  3 Bài 12 Cho A  3;4  , B  4;0  Tìm toạ độ điểm C cho trọng tâm ABC nằm trên trục tung và cách trục hoành đoạn có độ dài Bài 13 Cho ABC Biết A  1;2  , M  0;1 là trung điểm AB , N  3; 1 là trung điểm AC Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại tam giác Bài 14 Cho ABC Biết A  1;2  , M  0;1 là trung điểm AB , P  3;1 là trung điểm BC Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại tam giác Bài 15 Cho ABC Biết M  1;2  , N  3; 2  , P  5;0  là toạ độ trung điểm các cạnh AB , BC , CA tam giác Hãy xác định toạ độ các đỉnh tam giác Bài 16 Cho M1  x1;y1  , M  x ;y  , M  x ;y  là trung điểm các cạnh BC , CA , AB ABC Hãy xác định tọa độ A , B , C theo tọa độ M1 , M , M Bài 17 Cho ABC Biết A  3; 4  và các trung tuyến qua B , C là Ox , Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại tam giác ĐS: B  3;0  , C  0;4  Bài 18 Cho ABC Biết A  1;3  và các trung trực ứng với các cạnh AB , AC là Ox , Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại tam giác Bài 19 Cho ABC Biết A  2;5  và các trung trực ứng với các cạnh AB , BC là Ox , Oy Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại tam giác Bài 20 Cho A  1;2  , B  3;4  Tìm trên trục hoành điểm M cho 1) MA  MB nhỏ 2) MA  MB lớn Bài 21 Cho A  2;4  Tìm B  Ox , C  Oy cho chu vi ABC đạt giá trị nhỏ Giá trị nhỏ nói trên bao nhiêu? Bài 22 Chứng minh với x , y , z , t ta có: x2  y  z  t2   x  z 2   y  t 2 Hãy rõ đẳng thức xảy nào Lop12.net