Các dạng toán thường gặp: • Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, … • Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, [r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG Các bài giảng thầy, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức thân giáo viên đến đâu, thì thực chất mà nói, đó chẳng qua là chương trình, là lời dẫn để điều chỉnh trật tự nhận thức học sinh Người nào biết ngồi nghe thầy giảng thân mình lòng không cảm thấy khát khao học tập, không khát khao vươn lên thì có thể nói tất điều người nghe giảng lớp tòa nhà xây trên cát mà thôi CHUYÊN ĐỀ 11 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải các bài toán hình không gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh hình PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp (Quyết định thành công bài toán) Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan Bước 3: Sử dụng các kiến thức tọa độ để giải bài toán Các dạng toán thường gặp: • Định tính: Chứng minh các quan hệ vuông góc, song song, … • Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, … • Bài toán cực trị, quỹ tích …………… Ta thường gặp các dạng sau Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vuông Ví dụ : Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông O, OB=a, OC= a , (a>0) và đường cao OA= a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và OM z Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó O(0;0;0), A(0; 0; a 3); B (a; 0; 0), C (0; a 3; 0), a a M ; ; 2 A a3 N a a 3 ÷÷ , gọi N là trung điểm AC ⇒ N 0; ; ÷ 2 ÷ MN là đường trung bình tam giác ABC ⇒ AB // MN ⇒ AB //(OMN) ⇒ d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) = d(B;(OMN)) uuuur a a uuur a a OM = ; ; ÷÷ , ON = 0; ; ÷ 2 ÷ 2 uuuur uuur 3a a a a [OM ; ON ] = ; ; ÷÷ = 4 4 a B Ta có: d ( B; (OMN )) = Vậy, d ( AB; OM ) = 3.a + + + 1+ = a ) = y M a x a2 r 3; 1; = n , với nr = ( 3; 1; 1) r Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến n : x + y + z = ( C O a A a 15 a 15 Cách 2: Gọi N là điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình) ⇒ OM // (ABN) Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 N O C a M B a 157 (2) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG ⇒ d(OM;AB) = d(OM;(ABN)) = d(O;(ABN)) Dựng OK ⊥ BN , OH ⊥ AK ( K ∈ BN ; H ∈ AK ) AK ⊥ BN Ta có: AO ⊥ (OBC ); OK ⊥ BN BN ⊥ OK ; BN ⊥ AK BN ⊥ ( AOK ) OH ⊥ AK ; OH ⊥ BN BN ⊥ OH OH ⊥ ( ABN ) d (O; ( ABN ) = OH Từ các tam giác vuông OAK; ONB có: OH = OA + OK = + + = + + = OH = a 15 Vậy, OA OB ON 3a a 3a 3a a 15 d (OM ; AB ) = OH = b Dạng khác Ví dụ 1: Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ∆ ABC vuông C Độ dài các cạnh là SA =4, AC = 3, BC = Gọi M là trung điểm cạnh AB, H là điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SHB) và (SBC) Hướng dẫn giải z Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: S A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) và H(1;0;0) mp(P) qua H vuông góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy uuur uur SHB ) , ( SBC ) = ( IH , IK ) (1) (· uur uuur SB = ( − 1; − 3; 4) , SC = (0; − 3; 4) suy ra: I K ́ x = 1− t ́ x= y A ptts SB: y = − 3t , SC: y = − 3t và (P): x + 3y – 4z – = C z = 4t z = 4t M uuur uur H 15 51 32 IH IK · ̃ I ; ; ÷ , K 0; ; ÷ ̃ cos ( SHB ) , ( SBC ) = =… B x IH IK 8 2 25 25 Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), đó ta không cần phải tìm K Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S trên đáy trùng với trọng tâm G ∆ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) 60o Cách 1: BC = a a a Gọi M là trung điểm BC ̃ AM = ; AG = z Gọi E, F là hình chiếu G lên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông a x ̃ AG = AE AE = AF = Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0;0;0), B(a;0;0), a a a a C(0; a; 0), G ; ; ÷ , S ; ; x ÷ 3 2 C F A uur a a uur 2a a uuur a 2a SA = ; ; x ÷ , SB = ; − ; − x ÷ , SC = − ; ; − x ÷ y G E 3 3 M uur uur a2 a r r a [ SA; SB] = 0; ax; − = a 0; x; − ÷ = a.n1 , với n1 = 0; x; − ÷ B ÷ ÷ 3 3 uur uuur r a a2 a r x [ SA; SC ] = ( − ax; 0; ) = − a x; 0; − ÷ = − a.n2 , với n2 = x; 0; − ÷ 3 3 uur uur r Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ phương SA, SB nên có vectơ pháp tuyến n1 uur uuur r Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ phương SA, SC nên có vectơ pháp tuyến n2 Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) 60o Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 158 (3) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 0.x + x.0 + o ⇔ cos 60 = + x2 + a2 TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG a2 = 2 x + a2 a x + 0+ 9 a a 3 S I C a a ⇔ = ⇔ x + a = 2a ⇔ x = a ⇔ x = 2 9x + a a A Vậy, x = Cách 2: Gọi M là trung điểm BC ̃ AM ⊥ BC (∆ABC vuông cân) SG ⊥ BC Suy ra: BC ⊥ ( SAM ) Ta có: SG ⊥ ( ABC ) · là góc phẳng nhị diện (B; SA; C) IM ⊥ SA và IC ⊥ SA ̃ BIC Dựng BI ⊥ SA ∆ SAB = ∆ SAC (c − c − c ) ̃ IB = IC G M B ∆ IBC cân I a a BC = ; AG = 2 AM a IM = SG = x = 2 AS SG + AG BC = a 2; AM = BM = MC = ∆ AIM ~ ∆ AGS ax 3ax 2a ⇔ IM = x + x + 2a 3.3ax · = 30o ⇔ BM = IM tan 30o ⇔ a = · = 60o ⇔ BIM Ta có: BIC 2 x + 2a a a ⇔ x + 2a = 3x ⇔ x + 2a = 27 x ⇔ 18 x = 2a ⇔ x = a ⇔ x = Vậy, x = 3 Ví dụ 3: (Trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC) Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu S trên (ABC), ta suy O là trọng tâm ∆ ABC Gọi I là trung điểm BC, ta có: a a a AI = BC = ̃ OA = , OI = z 2 S Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: a a a a ; 0; ÷ ̃ I − ; 0; ÷ , B − ; ;0÷, O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A M N 6 h a a a a h a a h C − ;− ; ÷ , M − ; ; ÷ và N − ;− ; ÷ 12 4 2 12 B I r uuuur uuur 5a ah C ̃ n( AMN ) = AM , AN = ; 0; , y 24 ÷ O a r uur uuur a2 x A n ( SBC ) = SB, SC = − ah; 0; ÷ r r 5a uuuur uuur a 10 AM , AN = ( AMN ) ⊥ ( SBC ) n ( AMN ) n ( SBC ) = h2 = S ∆ AMN = 12 16 Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vuông b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS là Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h) Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 159 (4) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b ∆ SAD cạnh a và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; a 3 a a a a 0), A ; 0; ÷ , B ; b; ÷ , C − ; b;0 ÷ , D − ; 0;0 ÷ , S 0; 0; 2 ÷ Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục các dạng trên z Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD) A' B' D' C' Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O ≡ A; B ∈ Ox; D ∈ Oy và A' ∈ Oz ⇒A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), C'(1;1;1) y A D ⇒Phương trình đoạn chắn mặt phẳng(A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = B C r uuuur x ⇒Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n( A ' BC ) = ( 1;1;1) và AC ' = ( 1;1;1) Vậy AC' vuông góc với (A'BC) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên là hình vuông cạnh a Gọi D, F là trung điểm các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B và B'C' Giải Cách 1: Vì các các mặt bên lăng trụ là hình vuông nên AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a ⇒ các tam giác ABC, A’B’C’ là các tam giác z C’ Chọn hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0;0;0), ’ A a a a a B ; ; 0÷ , C − ; ; ÷ , A '(0; 0; a ), B’ 2 2 a a a a B ' ; ; a÷ , C ' − ; ; a÷ 2 2 Ta có: B ' C ' //BC , B ' C ' // ( A ' BC ) ̃ d ( B ' C '; A ' B ) = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( B '; ( A ' BC ) ) a A x uuuur a a uuuur a a B A' B = ; ; − a ÷ , A'C = − ; ; − a÷ 2 2 uuuur uuuur a2 3 r 3 2 r A ' B ∧ A ' C = 0; a ; ÷ = a 0; 1; ÷ = a n , với n = 0; 1; ÷ r Phương trình mặt phẳng (A’BC) qua A’ với vectơ pháp tuyến n : 3 a 0( x − 0) + 1( y − 0) + ( z − a) = ⇔ ( A ' BC ) : y + z− = 2 a 3 a a + a − A’ a 21 2 2 d ( B ' ( A ' BC ) ) = = = 7 B’ F 1+ H a 21 Vậy, d ( A ' B; B ' C ' ) = Cách 2: Vì các các mặt bên lăng trụ là hình vuông nên A AB = BC = CA = A ' B ' = B ' C ' = C ' A ' = a ’ ’ ’ ⇒ các tam giác ABC, A B C là các tam giác D B Ta có: ' C ' //BC ̃ B ' C ' //( A ' BC ) B Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 C y D C’ C 160 (5) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ̃ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG d ( A ' B; B ' C ') = d ( B ' C '; ( A ' BC ) ) = d ( F ; ( A ' BC ) ) ́ BC ⊥ FD ̃ BC ⊥ ( A ' BC ) Ta có: BC ⊥ A ' D (∆ A'BC caân taïi A') Dựng FH ⊥ A ' D BC ⊥ FH H ⊥ ( A ' BC ) Vì BC ⊥ ( A ' BC ) ∆A’FD vuông có: FH = + A'F FD a 21 Vậy, d ( A ' B; B ' C ') = FH = = 3a + a = 3a FH = a 21 Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc với nhau, AB = 3, AC=AD=4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) Lời giải z D + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A ≡ O D ∈Ox; C ∈ Oy và B ∈ Oz ⇒A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) ⇒Phương trình mặt phẳng (BCD) là: x y z + + = ⇔ 3x + 3y + 4z - 12 = 4 Suy khoảngr cách từ A tới mặt phẳng (BCD) II Luyện tập y A x C B Bài 1: Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đề 1, O là trọng tâm tam giác ∆ABC I là trung điểm SO Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tích tứ diện SBCM và tứ diện SABC H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB Chứng minh IH qua trọng tâm G ∆SAC Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O là gốc tọa độ A∈Ox, S∈Oz, BC//Oy 6 6 ; 0; ÷÷ ; B − ; − ; ÷÷ ; C − ; ; ÷÷ ; S 0; x ÷÷ ; I 0; 0; ÷ ⇒ A ÷ uur uuur uur uuur 6 3 ; ;− ; 0; Ta có: BC = (0;1; 0) ; IC = − ÷÷ ; ̃ BC , IC = − ÷ ÷ 6 ( x − 0) + 0( y − 0) + (z − )= 6 uur uur r 6 ; 0; − Hay: − + z − ÷÷ SA// u SA (1; 0; − 2) = mà ta lại có: SA = z ⇒Phương trình mặt phẳng (IBC) là: − Phương trình đường thẳng SA: x = S H + t; y = 0; z = − 2t I G C O N y A x Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 161 (6) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG ́ + t (1) x= (2) y = + Tọa độ điểm M là nghiệm hệ: (3) y = − 2t − x + z − = (4) Thay (1), (2), (3) và (4): uuur 3 6 6 ̃ x= ; y = 0; z = M ; 0; ; 0; − ÷÷ ; ̃ SM = ÷ 12 4 12 ÷ 12 12 V( SBCM ) SM = = ̃ ⇒M nằm trên đoạn SA và V ( SABC ) SA Do G là trọng tâm tam giác ∆ASC ⇒SG qua trung điểm N AC ⇒GI ⊂ (SNB) ⇒GI và SB đồng phẳng (1) uur 6 6 ; ; ;− ; Ta lại có G ÷÷ ̃ GI = − ÷÷ 18 18 18 uur uur uur 6 ̃ GI = − ;− ; ÷ ̃ GI SB = GI ⊥ SB (2) ÷ 18 18 Từ (1) và (2) ̃ GI ⊥ SB = H uur uuur SA = 4SM z S M I B C O y A x Bài 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi vuông góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d(M, (OAB)) = ⇒ zM = Tương tự ⇒ M(1; 2; 3) x y z ⇒ (ABC): + + = a b c M ∈ ( ABC ) + + = (1) VO ABC = abc (2) a b c 3 (1) ̃ = + + ≥ 3 a b c a b c ̃ abc ≥ 27 (2) ̃ Vmin = 27 ⇔ = = = a b c z C M c O a b H B y A x Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông A, AD=a, AC=b, B=c Tính diện tích tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh 2S ≥ abc ( a + b + c ) Giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) uuur uuur uuur uuur BC = ( − c; b; ) , BD = ( − c; 0; a ) , BC , BD = ( ab; ac; bc ) Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 162 (7) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN S BCD = ñpcm ⇔ uuur uuur BC , BD = a b + a c + b c a2b2 + a c2 + b2 c2 ≥ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG z D abc(a + b + c ) ⇔ a b + a c + b c ≥ abc (a + b + c ) Theo bất đẳng thức Cachy ta có: a b + b c ≥ 2ab c b c + c a ≥ 2bc a c a + a b ≥ 2ca b ₫ y A C Coäng veá : a 2b + a 2c + b c ≥ abc(a + b + c) B x Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC A1B1C1 có đáy là tam giác đề cạnh a AA1 = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D là trung điểm BB1; M di động trên cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác MC1D Lời giải + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A≡O; B∈Oy; A1∈Oz Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) a a C1 ; ; 2a ÷÷ và D(0;a;a) 2 Do M di động trên AA1, tọa độ M(0;0;t) với t ∈ [0;2a] uuur uuuur Ta có : S∆ DC1M = DC , DM z uuur a a DC1 = ; − ; a ÷÷ uuur uuuur ̃ DG , DM = − a (t − 3a; 3(t − a); a 3) Ta có: uuuur DM = ( 0; − a; t − a ) uuur uuuur a ̃ DG , DM = (t − 3a )2 + 3(t − a ) + 3a 2 a 4t − 12at + 15a 2 a S∆ DC1M = 4t − 12at + 15a 2 Giá trị lớn S DC1M tùy thuộc vào giá trị tham số t f '(t) = 8t −12a f(t) = 4t2 − 12at + 15a2 3a f '(t ) = ⇔ t = Lập bảng biến thiên ta giá trị lớn S DC1M = C D M A = Xét f(t) = 4t2 − 12at + 15a2 B A x B C (t ∈[0;2a]) a 15 t =0 hay M ≡ A Chú ý + Hình chóp tam giác có đáy là tam giác và các cạnh bên nhau, không thiết phải đáy Chân đường cao là trọng tâm đáy + Tứ diện là hình chóp tam giác có cạnh bên đáy + Hình hộp có đáy là hình bình hành không thiết phải là hình chữ nhật III CÁC DẠNG BÀI TẬP CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 163 (8) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG Bài (Trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) Bài Cho ∆ABC vuông A có đường cao AD và AB = 2, AC = Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F là trung điểm SB, SC và H là hình chiếu A trên EF Chứng minh H là trung điểm SD Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) và (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với đôi Gọi H là hình chiếu điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ là hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB) Tính thể tích tứ diện HA’B’C’ Gọi S là điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC là tứ diện Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi α , β , γ là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H là hình chiếu đỉnh O trên (ABC) Chứng minh H là trực tâm ∆ABC 1 1 = + + Chứng minh 2 OH OA OB OC Chứng minh cos α + cos β + cos γ = Chứng minh cos α + cos β + cos γ ≤ Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với đôi Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB Tính góc ϕ (OMN) và (OAB) Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O trên (ABC) là trọng tâm ∆ ANP 1 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông và = + a b c Bài Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông cân A, SA vuông góc với đáy Biết AB = 2, (· ABC ), ( SBC ) = 600 Tính độ dài SA Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với đôi Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Tính diện tích ∆ MAB theo a Tính khoảng cách MB và AC theo a Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC vuông cân B, AB = SA = Cạnh SA vuông góc với đáy Vẽ AH vuông góc với SB H, AK vuông góc với SC K Chứng minh HK vuông góc với CS Gọi I là giao điểm HK và BC Chứng minh B là trung điểm CI Tính sin góc SB và (AHK) Xác định tâm J và bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vuông C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = và vuông góc với đáy Gọi D là trung điểm cạnh AB Tính cosin góc hai đường thẳng AC và SD Tính khoảng cách BC và SD Tính cosin góc hợp hai mặt phẳng (SBD) và (SCD) Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cạnh a SA vuông góc với đáy và SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và SC Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 164 (9) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h Mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với SC Tìm điều kiện h theo a để (α) cắt cạnh SC K Tính diện tích ∆ABK Tính h theo a để (α) chia hình chóp thành hai phần có thể tích Chứng tỏ đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Gọi E là trung điểm CD Tính diện tích ∆SBE Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE) (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD và AC Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = cm Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD H, M, K Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD Chứng minh BD song song với (α) Chứng minh HK qua trọng tâm G ∆ SAC Tính thể tích hình khối ABCDKMH Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB và CN Tính góc hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) · = Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM Tìm điều kiện a và b để cos CMN Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ∆ SAD và vuông góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm AD Tính d(D,(SBC)), d(HC,SD) Mặt phẳng (α) qua H và vuông góc với SC I Chứng tỏ (α) cắt các cạnh SB, SD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O SO vuông góc với đáy và SO = 2a , AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD B ', C ', D ' Chứng minh ∆ B ' C ' D ' Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 ≤ m ≤ a) Tìm vị trí điểm M để diện tích ∆ SBM lớn nhất, nhỏ a Cho m = , gọi K là giao điểm BM và AD Tính góc hợp hai mặt phẳng (SAK) và (SBK) 3 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N là trung điểm A’D’, BB’, CD, BC Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK và AD Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (Trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B,A'C,D] Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M trên cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 165 (10) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) và (ABB’A’) Trên cạnh AD’, DB lấy các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC) b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ đó MN là đoạn vuông góc chung AD’ và DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa uuuur uuur uuur uuuur AM = mAD, BN = mBB ' (0 ≤ m ≤ 1) Gọi I, K là trung điểm AB, C’D’ Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD) Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ A ' BD Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’ Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N Tính bán kính r đường tròn (C) là giao (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) và hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, · = 600 Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’ BAD Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng (α) qua B và vuông góc với B’C Tìm điều kiện a, b, c để (α) cắt cạnh CC’ I (I không trùng với C và C’) Cho (α) cắt CC’ I a Xác định và tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện và đáy HẾT PHẦN 11 Giáo viên : NGUYỄN ĐÌNH CƯỜNG – ĐT : 0918288123 166 (11)