Toán học - Chuyên đề 9: Phương pháp tọa độ trong không gian

CHUYÊN ĐỀ 9 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các bài toán về tọa độ trong không gian thường có các yêu cầu xác định tọa độ của điểm, vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc 2 vectơ, các vấ[r]

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Các bài toán tọa độ không gian thường có các yêu cầu xác định tọa độ điểm, vectơ, độ dài đoạn thẳng, tính góc vectơ, các vấn đề mặt phẳng và đường thẳng không gian (phương trình, vị trí tương đối, song song, vuông góc, số đo góc, khoảng cách,… ) Tùy theo trường hợp ta cần lưu ý vận dụng các kiến thức sau đây : I Toạ độ điểm Toạ độ vectơ Trong không gian tọa độ vuông góc Oxyz có vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz là G G G e1 , e2 , e3 JJJJG G G G * Cho M(x, y, z) thì OM = x e1 + y e2 + z e3 G G G G G * Cho a = (a1, a2, a3) thì a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 II Các phép toán trên tọa độ điểm, vectơ Các phép toán trên tọa độ điểm JJJG Cho hai điểm A(x1, y1, z1) và B(x2, y2, z2) Ta có nhóm công thức tính tọa độ vectơ AB , khoảng cách hai điểm A, B và tọa độ điểm M là chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ JJJG * AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) JJJG 2 * AB = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) + ( z2 − z1 ) * ( x= x1 − kx y − ky z − kz2 ,y= ,z= 1− k 1− k 1− k ) Các phép toán trên tọa độ vectơ G G Cho hai vectơ a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) Với α và β là số thực ta có các công thức tính và công thức quan hệ sau : a) Công thức tính toán G G α a + β b = ( α a1 + β b1, α a2 + β b2, α a + β b ) G G a b = a1.b1 + a2.b2 + a b ( )= GnG cos a, b a1 b1 + a b2 + a b3 a12 + a 2 + a 32 b12 + b2 + b32 b) Công thức quan hệ Lop6.net ⎧a1 = b1 G G ⎪ a = b ⇔ ⎨a = b ⎪a = b ⎩ G G a cuøng phöông b ⇔ ( a a1 a = = b3 b1 b2 ) (b1, b2, b ≠ 0) G G a ⊥ b ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a b = Chuù yù : Góc hai đường thẳng chéo không gian là góc nhọn tạo hai vectơ phương đường thẳng đó MAËT PHAÚNG I Phöông trình maët phaúng G 1.* Phöông trình tham soá cuûa maët phaúng α qua M(x0, y0, z0) coù caëp vectô chæ phöông a = (a1, G a2, a ), b = (b1, b2, b ) vieát laø : ⎧ x = x0 + t1a1 + t b1 ⎪ ⎨ y = y + t1a + t b2 ⎪z = z + t a + t b 3 ⎩ t1, t2 ∈ R 2.* Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng α laø : Ax + By + Cz + D = 0với A2 + B2 + C2 > G Maët phaúng α coù : phaùp vectô : n = (A, B, C) 3.* Phương trình mặt phẳng qua M(x0, y0, z0) và vuông góc với vectơ G n = (A, B, C) vieát laø : (x – x0)A + (y – y0)B + (z – z0)C = 4.* Phöông trình maët phaúng qua M(x0, y0, z0) vaø nhaän vectô chæ phöông G G a = (a1, a2, a ), b = (b1, b2, b ) vieát laø a2 a3 b2 b3 ( x − x0 ) + a3 a1 b3 b1 ( y − y0 ) + a1 a2 b1 b2 ( z − z0 ) = 5.* Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a.b.c ≠ viết là : x y z + + =1 a b c II Toán trên mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ M(x0, y0, z0) đến Lop6.net α : Ax + By + Cz + D = laø : MH = Ax + By + Cz0 + D A + B2 + C2 Vị trí tương đối hai mặt phẳng G Cho hai mặt phẳng α , β có pháp vectơ là n = (A, B, C), G n1 = (A1, B1, C1) G G Vị trí hai mặt phẳng α , β là vị trí pháp vectơ n , n1 : α ⊥β G G ⇔ n // n1 G G ⇔ n ⊥ n1 α caét β G G ⇔ n khaùc phöông n1 α // β ĐƯỜNG THẲNG I Phương trình đường thẳng 1.* Phương trình tham số đường thẳng Δ qua G M(x0, y0, z0) coù vectô chæ phöông a = (a1, a2, a ) vieát laø ⎧ x = x0 + ta1 ⎪ ⎨ y = y0 + ta2 ,t ∈ R (Heä I) ⎪ z = z + ta ⎩ Neáu a1.a2.a3 ≠ ta coù phöông trình chính taéc laø: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 2.* Phương trình tổng quát đường thẳng Δ xác định giao tuyến mặt phẳng α và β vieát laø : ⎧ Ax + By + Cz + D = ⎨ ⎩ A1x + B1y + C1z + D1 = (α) (β) (II) Ghi chuù: Cho phương trình đường thẳng Δ xác định hệ (II) Để viết thành phương trình tham số đường thẳng ta có thể đặt z = t và tính x, y theo t từ hệ (II) và nhờ hệ (I) ta có vectơ phương và điểm Δ (hoặc x = t, y = t, nên chọn lựa ẩn phụ t để phép tính hai biến còn lại theo t đơn giản) 3.*Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) : ⎧ A1x + B1y + C1z + D1 = ⎨ ⎩ A x + B2 y + C z + D2 = Lop6.net Có dạng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = (*) với m, n không đồng thời baèng Phương trình (*) gọi là phương trình chùm mặt phẳng xác định đường thẳng (d) Chuù yù :Neáu m= thì n khaùc 0, chia hai veá cuûa (*) cho n ta coù (*) thaønh A2x + B2y + C2z + D2 = Neáu m khaùc chia hai veá cuûa (*) cho m ta coù: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = với h = n m Vậy chùm mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có dạng: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = hay A2x + B2y + C2z + D2 = Vấn đề TÌM PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG ¾ Phöông phaùp : Thông thường ta có cách sau : - Caùch : Tìm moät ñieåm vaø moät caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng - Caùch : Tìm moät ñieåm vaø moät phaùp vectô cuûa maët phaúng - Caùch : Duøng phöông trình chuøm maët phaúng Vấn đề : TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ¾ Phöông phaùp : Thông thường ta có cách sau : - Cách : Tìm điểm và vectơ phương đường thẳng - Cách : Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng cần tìm - Ghi chú : Trong cách, thực chất việc tìm phương trình đường thẳng là tìm phương trình mặt phẳng cùng chứa đường thẳng Cái khó là phải xác định mặt phẳng phân biệt nào cùng chứa đường thẳng cần tìm Thông thường ta hay gặp giả thuyết sau : + Đường thẳng (Δ) qua điểm A và cắt đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng qua A và chứa d + Đường thẳng (Δ) qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng qua A và vuông góc với d + Đường thẳng (Δ) song song với d1 và cắt d2 : Khi đó đường thẳng (Δ) nằm mặt phẳng chứa d2 và song song với d1 Chaúng haïn : Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua điểm A, vuông góc với đường thẳng a và cắt đường thẳng aáy ª Caùch giaûi : - (Δ) qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm mặt phẳng α qua A và vuông góc với d - (Δ) qua A và cắt d nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A và chứa d Khi đó (Δ) chính là giao tuyeán cuûa α vaø β Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1 và d2 ª Caùch giaûi : - (Δ) qua A và cắt d1 nên (Δ) nằm mặt phẳng α qua A và chứa d1 Lop6.net - (Δ) qua A và cắt d2 nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A và chứa d2 Khi đó (Δ) chính là giao tuyến α và β Lập phương trình đường thẳng (Δ) qua giao điểm A đường thẳng d và mặt phẳng α, vuông góc với d và nằm α ª Caùch giaûi : - Từ giả thuyết ta đã có (Δ) ⊂ α - (Δ) qua A và vuông góc với d nên (Δ) nằm mặt phẳng β qua A và vuông góc với d Khi đó (Δ) chính là giao tuyến α và β Lập phương trình đường thẳng (Δ) song song với đường thẳng (D) và cắt đường thẳng d1 và d2 ª Caùch giaûi : - (Δ) song song với (D) và cắt d1 nên (Δ) nằm mặt phẳng α chứa d1 và song song với (D) - (Δ) song song với (D) và cắt d2 nên (Δ) nằm mặt phẳng β chứa d2 và song song với (D) Khi đó (Δ) chính là giao tuyến α và β Vấn đề HÌNH CHIEÁU Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc H điểm A trên đường thẳng (d) ¾ Phöông phaùp : A (d) H - Cách : (d) cho phương trình tham số : + H ∈ (d) suy dạng tọa độ điểm H phụ thuộc vào tham số t → → + Tìm tham số t nhờ điều kiện AH ⊥ a d - Cách : (d) cho phương trình chính tắc, gọi H(x, y, z) → → + AH ⊥ a d (*) + H ∈ (d) : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm x, y, z - Cách : (d) cho phương trình tổng quát : + Tìm phương trình mặt phẳng α qua A và vuông góc với đường thẳng (d) + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân (d) Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc H điểm A trên mặt phẳng (α) - Caùch : Goïi H(x, y, z) + H ∈ α (*) → → + AH cùng phương với n α : Biến đổi tỉ lệ thức này để dùng điều kiện (*), từ đó tìm x, y, z - Caùch : + Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với mặt phẳng (α) + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (α) Lop6.net Bài toán : Tìm hình chiếu vuông góc (Δ) đường thẳng (d) xuống mặt phẳng α - Tìm phương trình mặt phẳng β chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng α - Hình chieáu (Δ) cuûa d xuoáng maët phaúng α chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β Bài toán : Tìm hình chiếu H A theo phương đường thẳng (d) lên mặt phẳng (α) ¾ Phöông phaùp : - Tìm phương trình đường thẳng (Δ) qua A và song song với (d) - Hình chieáu H chính laø giao ñieåm cuûa (Δ) vaø (α) Bài toán : Tìm hình chiếu (Δ) đường thẳng (d) theo phương đường thẳng (D) lên mặt phaúng (α) (Δ) (d) ¾ Phöông phaùp : A (D) d H (Δ) - Tìm phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và song song với (D) - Hình chieáu (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa (α) vaø (β) Vấn đề4 ĐỐI XỨNG Bài toán : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa A treân d - H laø trung ñieåm AA’ Bài toán : Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa A treân α - H laø trung ñieåm AA’ Bài toán : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua đường thẳng (Δ) ¾ Phöông phaùp : (D) - Trường hợp : (Δ) và (D) cắt : A M (Δ) A’ d + Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (Δ) + Tìm điểm A trên (D) khác với điểm M + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d chính là đường thẳng qua điểm A’ và M Lop6.net - Trường hợp : (Δ) và (D) song song : + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (Δ) + d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (Δ) - Trường hợp : (Δ) và (D) chéo : + Tìm ñieåm phaân bieät A, B treân (D) + Tìm điểm A’, B’ là điểm đối xứng A, B qua (Δ) + d chính là đường thẳng qua điểm A’, B’ Bài toán : Tìm phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng (D) qua mặt phẳng α ¾ Phöông phaùp : - Trường hợp : (D) cắt α + Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (α) + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α + d chính là đường thẳng qua hai điểm A’ và M - Trường hợp : (D) song song với α (D) d A A’ - Tìm moät ñieåm A treân (D) - Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng α - d chính là đường thẳng qua A’ và song song với (D) Vấn đề KHOẢNG CÁCH Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = ¾ Phöông phaùp : d(M, α ) = Ax + By + Cz + D A + B2 + C Bài toán : Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Δ) ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa M treân (Δ) - Khoảng cách từ M đến (Δ) chính là độ dài đoạn MH Bài toán : Tính khoảng cách đường thẳng song song d1 và d2 ¾ Phöông phaùp : Lop6.net - Tìm moät ñieåm A treân d1 - Khoảng cách d1 và d2 chính là khoảng cách từ điểm A đến d2 Bài toán : Tính khoảng cách mặt phẳng song song α : Ax + By + Cz + D1 = Vaø β : Ax + By + Cz + D2 = ¾ Phöông phaùp : Khoảng cách α và β cho công thức : d(α, β) = D1 − D2 A + B2 + C Bài toán : Tính khoảng cách đường thẳng chéo d1 và d2 ¾ Phöông phaùp : - Caùch : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 và song song với d2 + Tìm moät ñieåm A treân d2 + Khi đó d(d1, d2) = d(A, α) - Caùch : + Tìm phương trình mặt phẳng α chứa d1 và song song với d2 + Tìm phương trình mặt phẳng β chứa d2 và song song với d1 + Khi đó d(d1, d2) = d(α, β) Ghi chuù : Mặt phẳng α và β chính là mặt phẳng song song với và chứa d1 và d2 - Caùch : + Viết dạng phương trình tham số theo t + Viết d2 dạng phương trình tham số theo t2 + Xem A ∈ d1 ⇒ dạng tọa độ A theo t1 + Xem B ∈ d2 ⇒ dạng tọa độ B theo t2 + Tìm vectô chæ phöông → → a1, a2 d1 và d2 ⎧ → → ⎪ AB ⊥ a + AB là đoạn vuông góc chung d1, d2 ⇔ ⎨ → →1 tìm t1 và t2 ⎪ AB ⊥ a ⎩ + Khi đó d(d1, d2) = AB Vấn đề GOÙC Cho đường thẳng d và d’ có phương trình : d: x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c d’ : x − x0 y − y0 z − z0 = = a' b' c' Cho maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : Ax + By + Cz + D = β : A’x + B’y + C’z + D’ = Góc hai đường thẳng d và d’ : cos ϕ = aa'+ bb'+ cc' a + b + c a' + b ' + c ' 2 Góc hai mặt phẳng α và β : Lop6.net cos ϕ = AA'+ BB'+ CC' A + B2 + C A' + B' + C' Góc đường thẳng d và mặt phẳng α : sin ϕ = Aa + Bb + Cc A + B2 + C a + b + c Chuù yù : - d ⊥ d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = -α⊥β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = - d song song (hoặc nằm trên) mặt phẳng α ⇔ aA + bB + cC = Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG Cho hai maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = β : A2x + B2y + C2z + D2 = → → Gọi n1 = (A1, B1, C1 ), n = (A , B2 , C ) là pháp vectơ mặt phẳng trên và M là điểm treân maët phaúng α → → - α caét β ⇔ n1 vaø n khoâng cuøng phöông - α song song β ⎧ ⇔ ⎪⎨ n1 vaø n cuøng phöông - α truøng β ⇔ → → ⎪⎩ M ∉β → ⎧⎪ → n vaø n cuøng phöông ⎨ ⎩⎪ M ∈β Neáu A2, B2, C2, D2 ≠ thì ta coù caùch khaùc : - α caét β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 - α song song β ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A B2 C D2 - α truøng β ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A B2 C D2 Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG - Cách : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 và d2 + Heä coù moät nghieäm nhaát : d1 caét d2 + Heä coù voâ soá nghieäm : d1 vaø d2 truøng + Heä voâ nghieäm : → → → → a d1 vaø a d a d1 vaø a d cuøng phöông : d1 // d2 khoâng cuøng phöông : d1 vaø d2 cheùo - Caùch : → → + Tìm vectô chæ phöông a d1 , a d2 cuûa d1 vaø d2 + Tìm ñieåm A ∈ d1 vaø B ∈ d2 → → a) a d1 vaø a d cuøng phöông A ∈ d : d1 ≡ d A ∉ d : d1 / / d Lop6.net → → b) a d1 vaø a d khoâng cuøng phöông ta coù: G G JJJG i) neáu ⎡⎣ ad1 , ad2 ⎤⎦ AB = thì d1,d2 caét G G JJJG ii) neáu ⎡⎣ ad1 , ad2 ⎤⎦ AB ≠ thì d1,d2 cheùo Vấn đề VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VAØ MẶT PHẲNG - Caùch : Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng α + Heä voâ nghieäm : d // α + Heä coù nghieäm nhaát : d caét α + Heä voâ soá nghieäm : d⊂α - Caùch : → → Tìm vectô chæ phöông a cuûa d, phaùp vectô n cuûa α vaø tìm ñieåm A ∈ d → → → → → → → + a n ≠ ( a khoâng vuoâng goùc n ) : d caét α → + a n = ( a ⊥ n ) A ∉ α: d / / α A ∈ α: d ⊂ α Ví duï 1: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (D) ⎧ x − 2z = ⎨ ⎩3x − 2y + z − = và vuông góc với mặt phẳng (P) : x – 2y + z + = Giaûi Phöông trình tham soá cuûa (D) vieát ⎧ x = 2t ⎪ ⎪ ⎨y = t − 2 ⎪ ⎪⎩z = t Mặt phẳng (Q) chứa (D) và vuông góc (P) qua điểm G M ( 0, − , ) ∈ (D) vaø coù caëp vectô chæ phöông laø a = G n = (1, –2, 1) (phaùp vectô cuûa (P)) ( 2, ⎛ −2 1 −2 ⎞ 1 G ⎜ ⎟ Do đó, pháp véctơ ( Q) là n1 = ; ; ⎟= ⎜⎜ 1 2 ⎟ ⎠ ⎝ = (– 11, 2, 15) 10 Lop6.net ,1 ) (vectô chæ phöông cuûa (D) vaø Vaäy phöông trình (Q) vieát –11x + ( y + ) + 15z = ⇔ 11x – 2y - 15 z – = Caùch khaùc: Pt mặt phẳng (Q) chứa (D) và vuông góc (P) có dạng: x-2z = (loại) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= Vaäy pt (Q) coù daïng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – = (Q) vuông góc với (P) nên ta có: m + + + 1- m= ⇒ m = Vaäy pt mp (Q) laø: 11x – 2y - 15 z – = Ví duï 2: Xác định các tham số m và n để mặt phẳng 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng có phöông trình : α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = Giaûi Chuøm maët phaúng coù phöông trình α (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = chứa đường thẳng (D) có phương trình : ⎧3x − y + z − = ⎨ ⎩ x − y − 2z + = Để mặt phẳng (P) : 5x + ny + 4z + m = thuộc chùm mặt phẳng trên thì (P) chứa (D) nghĩa là ⎛ 18 ⎞ ⎛ 31 ⎞ chứa điểm A ⎜ , 0, ⎟ , B ⎜ , , ⎟ ∈ (D) Điều kiện để (P) chứa A, B thì m, n thỏa hệ phương ⎠ ⎝ 10 10 ⎠ ⎝7 trình : 18 ⎧5 ⎪⎪ + + m = ⎨ ⎪5 31 + n + m = ⎪⎩ 10 10 ⎧m = −11 ⇒ ⎨ ⎩n = −5 Ví dụ 3: ( ĐH KHỐI A-2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thaúng: ⎧x − y + z − = Δ1 : ⎨ vaø Δ2 : ⎩x + y − z + = ⎧x = + t ⎪ ⎨y = + t ⎪z = + t ⎩ a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ1 và song song với đường thẳng Δ2 11 Lop6.net b) Cho điểm M (2; 1; 4) Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ2 cho đoạn thẳng MH có độ daøi nhoû nhaát BAØI GIAÛI: a) (P) chứa Δ1 và // Δ2 a Δ1 = (2, 3, 4); a Δ = (1, 1, 2); Δ1 qua M (0, −2, 0) [ ] Maët phaúng (P) coù pvt aΔ1 , aΔ =(2, 0, −1) (P) : 2x – z = b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH ⇔ MH ⊥ Δ2 C1 : Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với Δ2 Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3) C2 : MH = (−1 + t, + t, −3 + 2t), với H ∈ Δ2 Do MH a Δ = ⇒ t = Vaäy ñieåm H (2, 3, 3) Ví duï 4: ( ÑH KHOÁI B-2002) Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 coù caïnh baèng a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B và B1D b) Gọi M,N,P là các trung điểm các cạnh BB1, CD,A1D1 Tính góc hai đường thaúng MP vaø C1N BAØI GIAÛI: Chọn hệ trục tọa độ Axyz cho ta có : A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a) C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a) Suy M (a, 0, a ); N ( a , a, 0); P (0, a , a) a) A B = (a, 0, −a) B1 D = (−a, a, −a) Goïi (P) laø mp qua B1D vaø (P) // A1B ⇒ (P) coù phaùp vectô n = (1, 2, 1) ⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = ⇒ d (A1B, B1D) = d (B, (P)) = a a a (− a , 0, −a) b) MP = (−a, , ) C1 N = Ta coù : MP C1 N = ⇒ MP ⊥ C1N Vậy góc MP và C1N là 900 Ví dụ5 ( ĐH KHỐI D-2002): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + = và đường thẳng dm : ⎧(2 m + 1)x + (1 − m )y + m − = ⎨ ⎩mx + (2 m + 1)z + m + = (m laø tham soá) Xác định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P) BAØI GIAÛI: vectô chæ phöông cuûa (dm) laø : 2 a = (−2m + m + 1, −(2m +1) , - m(1 – m)) pvt cuûa (P) laø n = (2, −1, 0) ycbt ⇔ a n = ⇔ −4m2 + 2m + + (4m2 + 4m + 1) = ⇔ 6m + = ⇔ m = − 12 Lop6.net Ví dụ ( ĐH KHỐI A-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0) Goïi M laø trung ñieåm CC’ a Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b a b Xaùc ñònh tyû soá để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với b BAØI GIAÛI: A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); C (a, a, 0); D (0, a, 0) b ) JJJJG JJJG JJJJG b a) BD = (−a,a,0) ; BA ' = (−a,0, b) ; BM = (0,a, ) JJJG JJJJG ⇒ ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a ) A’ (0, 0, b); C’ (a, a, b); M (a, a, JJJG JJJJG JJJJG 2 1 ab 3a b a b ⇒ V= ⎡⎣BD,BA'⎤⎦ BM = (a2 b + ) = = (ñvtt) 6 12 JJJG JJJJG JJG b) (A’BD) coù vectô phaùp tuyeán ⎡⎣ BD,BA'⎤⎦ = (ab,ab,a2 ) hay n = (b, b,a) (MBD) coù vectô phaùp tuyeán JJJG JJJJG JJJG ⎡ BD,BM ⎤ = ( ab , ab , −a2 ) hay m = (b, b, −2a) ⎣ ⎦ 2 JJJG JJG Ta coù : (A’BD) ⊥ (MBD) ⇔ m n = ⇔ b2 + b2 – 2a2 = ⇔ a = b (a, b > 0) ⇔ a =1 b Ví duï ( ÑH KHOÁI B-2003): Trong khoâ ng gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm JJJG A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C cho AC = (0;6;0) Tính khoảng cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA BAØI GIAÛI: A (2; 0; 0); B (0; 0; 8) ⎧x C = JJJG ⎪ AC = (0; 6; 0) ⇔ ⎨y C = ⇔ C (2; 6; 0) I trung ñieåm BC ⇒ I (1; 3; 4) ⎪z = ⎩ C ⎧x = t ⎪ Pt tham soá OA : ⎨y = ⎪z = ⎩ JJJG (α) qua I ⊥ OA = (2; 0; 0) : 2(x – 1) = ⇔ x – = Tọa độ {H} = OA ∩ (α) thỏa : ⎧x = ⎧ x = t,y = 0,z = ⎪ ⇔ ⎨y = Vaäy H (1; 0; 0) ⎨ x − = ⎩ ⎪z = ⎩ d(I, OA) = IH = (1 − 1)2 + (0 − 3)2 + (0 − 4)2 = Ví dụ ( ĐH KHỐI D-2003): Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho đường ⎧ x + 3ky − z + = thaúng d k : ⎨ ⎩kx − y + z + = Tìm k để đường thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – 2z + =0JJG JJG BAØI GIAÛI: n1 = (1, 3k, −1); n = (k, −1, 1) 13 Lop6.net JJG ad JJG nP = (3k – 1, −k – 1, −1 – 3k2) = (1, −1, −2) dk ⊥ (P) ⇔ JJG ad JJG nP cuøng phöông ⎧k = 3k − − k − −1 − 3k ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ = = ⇔k=1 −1 −2 ⎪⎩ k = ∨ k = − Ví dụ9 ( ĐH KHỐI A-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 ) Gọi M là trung ñieåm cuûa caïnh SC a) Tính góc và khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN BAØI GIAÛI: Caùch 1: S N M C H D a) O B A GT ⇒ SO ⊥ (ABCD); SA = SC = n Ta coù OM // SA ⇒ Goùc (SA, MB) laø OMB n = OB ΔOBM coù tg OMB OB ⊥ (SAC) ⇒ OB ⊥ OM n= ⇒ tgOMB OM n =30 ⇒ OMB Veõ OH ⊥ SA ⇒ OH ⊥ OM vaø OH ⊥ OB ⇒ OH ⊥ (OMB) Vì SA // OM ⇒ SA // (OMB) ⇒ d (SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH = b) (ABM) ∩ SD = N ⇒ N laø trung ñieåm SD VSBMN SM SN 1 = = ⇒ VSMNB = VSBCD = VSABCD VSBCD SC SD Tương tự: VSABN = VSABCD Vaäy: VSABMN = VSMNB + VSABN = VSABCD 1 = AC.BD.SO = 4.2.2 = (ñvtt) 16 Ta coù: Caùch 2: a) O laø trung ñieåm BD ⇒ D (0; −1; 0) O laø trung ñieåm AC ⇒ C (−2; 0; 0) M laø trung ñieåm SC ⇒ M (−1;0; 2) 14 Lop6.net JJJG JJJJG SA =(2; 0;- 2 ); BM = (−1; −1; 2) Gọi ϕ là góc nhọn tạo SA và BM −2 + − cosϕ = + 1+1+ = ⇒ ϕ = 300 Gọi (α) là mp chứa SA và // BM ⇒ PT (α) : 2x + z − 2 = 2x + 2y + 3z − 2 = Ta coù d(SA, BM) = d(B, α) = b) Pt mp(ABM): ⎧x = ⎪ Pt tham soá SD: ⎨y = −1 + t (t ∈ R) ⎪ ⎩z = 2t N laø giao ñieåm cuûa SD vaø mp (ABM) ⇒ N (0; − ; 2) JJJG JJJG BS = (0; −1;2 2) ; BA = (2; −1;0) JJJG JJJJG BN = (0; − ; 2) ; BM = (−1; −1; 2) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ⎡ BS,BN ⎤ = (2 2;0;0) ; ⎡ BS,BN ⎤ BA = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ JJJG JJJG JJJJG ⎡ BS.BN ⎤ BM = −2 ⎣ ⎦ 1 VSABMN= VSABN + VSBNM = + 2 = (ñvtt) 6 Ví dụ 10 ( ĐH KHỐI D -2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 Bieát A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) a > 0, b > a) Tính khoảng cách đường thẳng B1C và AC1 theo a, b b) Cho a, b thay đổi luôn thỏa mãn a + b = Tìm a, b để khoảng cách đường thẳng B1C và AC1 lớn BAØI GIAÛI: a) C1 (0; 1; b) Goï i (α) laø maët phaú ng chứa B1C và song song với AC1 JJJJG JJJJG B1C = (a;1; − b) ; C1A = (a; −1; − b) JJJJG JJJJG Suy ra: ⎡⎣ B1C,C1A ⎤⎦ = (−2b;0; −2a) Suy ptrình (α): b(x − 0) + 0(y − 1) + a(z − 0) = ⇔ bx + az = Ta coù: d=d(B1C, AC1)=d(A, α)= ab a +b ab = a + b2 b) Caùch 1: Ta coù: d= ab a +b ≤ ab 2ab = ab ≤ a+b 2 = 2 = ⎧a = b ⎪ Max d ⇔ d = ⇔ ⎨a + b = ⇔ a = b = ⎪a > 0, b > ⎩ 15 Lop6.net Caùch 2: d = ab 16 − 2ab ⎛a+b⎞ , ñaët x = ab, ñk < x ≤ vì x = ab ≤ ⎜ ⎟ =4 ⎝ ⎠ Xeùt f(x) = x 16 − 2x f’(x) = 16 − x (16 − 2x)3 > ∀x ∈ (0; 4] ⇒ d đạt max x = ab = ⇒ a = b = (vì a + b = 4) Ví dụ 11 ( ĐH KHỐI B-2004): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm ⎧ x = −3 + 2t ⎪ A (-4; -2; 4) và đường thẳng d : ⎨ y = − t ⎪ z = −1 + 4t ⎩ Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d BAØI GIAÛI: Caùch 1: A (−4; −2; 4) ⎧x = −3 + 2t ⎪ (d) : ⎨y = − t ⎪z = −1 + 4t ⎩ LaáyJJJJ MG (−3+2t; – t; −1 + 4t) ∈ (d) ⇒ AM = (1 + 2t; – JJJJ t; −G5JJJJ +G4t) JJJG Ta có: AM ⊥ (d) ⇔ AM ad = (với ad =(2; −1; 4)) ⇔ + 4t – + t – 20 + 16t = ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1.JJJJG Vậy đường thẳng cần tìm là đt AM qua A có VTCP AM =(3;2;−1) ⇒ phöông trình (Δ) : x+4 y + z − = = −1 Cách 2: Gọi (α) là mp qua A a d ,Goïi (β) laø mp qua A JJJG vaø ⊥ d ⇒ d qua B (−3; 1; −1); ad = (2; −1; 4) (α) qua A (−4; −2; 4) (α) coù caëp VTCP : JJJG JJJJG ⎧⎪ ad = (2; −1;4) ⇒ n (α ) = (−7; 14; 7) = −7(1; −2; −1) ⎨ JJJG ⎪⎩AB = (1;3; −5) Pt mp (α) : x – 2y – z + = ⎧⎪(β ) qua A (-4; -2; 4) JJJJG JJJG ⎨ ⎪⎩(β ) ⊥ (d) → n ( β ) = ad = (2; −1;4) ⎧ x − 2y − z + = ⎩2x − y + 4z − 10 = Pt (β) : 2x – y + 4z – 10 = Pt (Δ) : ⎨ Ví dụ 12 ( ĐH KHỐI A-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng: d: x −1 y + z − = = vaø maët phaúng (P) : 2x + y – 2z + = −1 a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng Δ nằm mặt phẳng (P), biết Δ qua A và vuông góc với d ⎧x = − t ⎪ BAØI GIAÛI: a) Phöông trình tham soá cuûa d : ⎨y = −3 + 2t (t∈ R) ⎪z = + t ⎩ 16 Lop6.net I ∈ d ⇔ I (1–t ; –3+2t ; 3+t) Ta coù : d (I, (P)) = ⇔ | − 2t − + 2t − − 2t + | =2 +1+ ⎡ t = −2 Suy : I (3 ; -7 ; 1) hay I (-3 ; ; 7) ⎣t = ⇔ | − t |= ⇔ ⎢ b) Thế phương trình d vào phương trình (P) ta t = Thế t = vào phương trình d, ta x = 0; y = -1; z = Suy A (0; -1 ; 4) JG Vectô chæ phöông cuûa d : a = (−1;2;1) JG Vectô phaùp tuyeán cuûa (P): n = (2;1; −2) G G Suy vectô chæ phöông cuûa Δ : [a, n] = (−5; 0; − 5) hay (1; 0; 1) Maët khaùc Δ ñi qua A neân phöông trình tham soá cuûa Δ laø : ⎧x = t ' ⎪ (t’∈ R) ⎨ y = −1 ⎪z = + t ' ⎩ Ví dụ 13 ( ĐH KHỐI B-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4) a) Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1) b) Gọi M là trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài MN BAØI GIAÛI: a) Hình chieáu cuûa A1 xuoáng mp (Oxy) laø A ⇒ A1(0; -3; 4) Hình chieáu cuûa C1 xuoáng mp (Oxy) laø C ⇒ C1(0; 3; 4) JJJG Caëp veùc tô chæ phöông cuûa (BCC1B1) laø : BC = (−4;3;0) JJJJG BB1 = (0;0;4) Suy veùc tô phaùp tuyeán cuûa (BCC1B1) laø : JJG JJG JJJG JJJJG n = ⎡⎣ BC, BB1 ⎤⎦ = (12; 16; 0) hay m = (3; 4; 0) Maët khaùc (BCC1B1) qua B neân coù phöông trình: 3(x – 4) + 4y + 0z = ⇔ 3x + 4y – 12 = Baùn kính maët caàu laø : − 12 − 12 24 R = d (A, (BCC1B1)) = = + 16 Suy phöông trình maët caàu laø : x2 + (y + 3)2 + z2 = 576 25 b) M laø trung ñieåm cuûa A1B1 ⇒ M (2; − ; 4) JJJJG JJJJG Mp (P) coù caëp veùc tô chæ phöông AM = (2; ;4) vaø BC1 = (−4;3;4) ⇒ veùc tô phaùp tuyeán cuûa mp (P): JJG JJJJG JJJJG n P = ⎡⎣ AM; BC1 ⎤⎦ = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2) Maët khaùc (P) ñi qua A neân coù phöông trình : x + 4(y + 3) – 2z = ⇔ x + 4y – 2z + 12 = JJJJJG A1C1 ñi qua A1 vaø coù veùc tô chæ phöông A1C1 = (0; 6;0) hay (0; 1; 0) ⎧x = ⎪ neân coù phöông trình : ⎨ y = −3 + t (t ∈ R) ⎪z = ⎩ 17 Lop6.net Thế phương trình A1C1 vào phương trình (P) ta t = Thế t = vào phương trình (A1C1) ta x = 0, y = −1, z = ⇒ N (0; −1; 4) 17 vaø MN = (0 − 2)2 + (−1 + )2 + (4 − 4) = 2 Ví dụ 14 ( ĐH KHỐI D-2005): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : x −1 y + z +1 ⎧x + y − z − = = = vaø d2: ⎨ d1 : −1 ⎩x + 3y − 12 = a) Chứng minh d1 và d2 song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thaúng d1 vaø d2 b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 các điểm A, B Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ) JJG BAØI GIAÛI: a) d1 qua N (1; −2; −1) vaø coù vectô chæ phöông laø a =(3; −1; 2) JJG d2 qua B (12; 0; 10) vaø coù vectô chæ phöông laø b =(3; −1; 2) JJG JJG JJJG JJG Ta có : a = b và NB = (11, 2, 11) không cùng phương với a Vaäy d1 // d2 JJG JJG JJJG Mp (P) qua N vaø coù phaùp vectô : n =[ a , NB ] = (−15; −11; 17) Phöông trình (P) laø: −15(x–1) – 11(y+2) + 17(z+1) = ⇔ 15x + 11y – 17z – 10 = JJJG JJJG b) A(−5, 0, −5); B (12, 0, 10) ⇒ ⎡⎣ OA,OB⎤⎦ = (0, −10, 0) JJJG JJJG ⇒ Dieän tích (ΔOAB) = ⎡⎣OA,OB⎤⎦ = (ñvdt) *** 18 Lop6.net